Mécanique quantique (Ex)

PCSI 2 Mécanique quantique
2016 – 2017 1/3
MECANIQUE QUANTIQUE
I Photons hertziens
Un émetteur relais de téléphonie mobile émet un signal autour d'une fréquence f = 1 GHz et d'une puissance P = 10 W pour une action
d'une dizaine de kilomètres. Évaluer le nombre de photons qu'il émet par seconde.
On donne : la constante de Planck h = 6,63.10-34 J.s et le nombre d’Avogadro NA = 6,02.1023 mol-1.
Réponse : 2.1025 photons ; 3.101 mol.
II Tir d’un projectile
Une balle de fusil de masse m = 10 g est lancée avec une vitesse v = 25 ± 1 m.s-1.
Quelle est la limite de la précision donnée par la mécanique quantique avec laquelle on pourra déterminer à un instant donné sa
position ? Conclusion ?
Réponse : 10-32 m.
III Diffusion Compton
L’américain Arthur Compton a réalisé en 1923 l’expérience suivante. Il a envoyé des rayons X durs (c’est-à-dire une onde
électromagnétique de fréquence élevée, donc de très faible longueur d’onde λ typiquement de 1 pm à 1 nm) sur une mince feuille de
graphite. Il a observé que l’onde était diffusée (déviée) dans la direction θ vérifiant la relation
€
λ '− λ =h
mc
1−cos θ
( )
, où λ’ est la
longueur d’onde diffusée, m = 9,1.10-31 kg la masse de l’électron, h = 6,6.10-34 J .s la constante de Planck et c = 3.108 m.s-1 la vitesse de
la lumière.
1) Montrer que la quantité
€
h
mc
est homogène à une longueur et la calculer.
2) Pourquoi cette expérience est-elle spécialement intéressante pour des rayons X ?
3) Comment évolue l’énergie du photon dans cette expérience ? Que se passe-t-il ?
4) Pour des rayons X incidents avec λ = 7,08.10-11 m, Compton a observé des rayons X diffusés à θ = 90°. Quelle est leur longueur
d’onde ?
5) Quelle est l’énergie ΔE perdue par le photon ? Qu’en déduire sachant qu’une énergie d’ionisation est de l’ordre de la dizaine
d’eV (1 eV = 1,6.10-19 J) ?
Cette expérience peut être interprétée en termes corpusculaires, mais pas de manière ondulatoire, vu le changement de fréquence du
rayonnement. Tout comme l’effet photoélectrique, elle nécessite donc la notion de photon.
Réponse : λ’ = 7,3.10-11 m,
€
ΔE≈600eV
.
IV Modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène
Données numériques :
Masse de l’électron :
€
m=9,11.10−31 kg
; Charge du proton :
€
e=1, 60.10−19 C
; Constante de Planck :
€
h=6, 63.10−34 J.s
;
Rapport des masses proton/électron :
€
M
m=1,84.103
; Célérité de la lumière dans le vide :
€
c=3, 00.108m.s−1
;
Permittivité diélectrique du vide :
€
ε
o=8,85.10−12 F.m−1
; Constante de la gravitation universelle :
€
G=6, 67.10−11USI
.
Ce modèle est un complément du modèle planétaire d'Ernest Rutherford (1911) qui décrit l'atome d'hydrogène comme un noyau massif
et chargé positivement, autour duquel se déplace un électron chargé négativement.
Le problème posé par ce modèle est que l'électron, charge électrique accélérée, devrait selon la physique classique, rayonner de
l'énergie et donc finir par s'écraser sur le noyau.
Le modèle d’atome d’hydrogène proposé par Niels Bohr (1913) s’appuie principalement sur les axiomes suivants, dans un référentiel
galiléen :
i) l’électron décrit une trajectoire circulaire de rayon
€
r
sur laquelle il ne rayonne pas,
ii) l’électron échange de l’énergie avec l’extérieur lorsqu’il change de trajectoire circulaire,
iii) axiome de quantification : le moment cinétique de l’électron mvr est quantifié et vaut
€
mvr =nh
2 π
=n!
, où
€
m
et
€
v
désignent respectivement la masse et le module de la vitesse de l’électron,
€
n
un nombre entier naturel non nul et
€
h
la
constante de Planck. A chaque valeur de l’entier
€
n
correspond une valeur du rayon
€
r
, de la vitesse
€
v
et de l’énergie,
notées respectivement
€
rn
,
€
vn
et
€
En
.
On considère un atome d’hydrogène constitué d’un proton (charge
€
e
, masse
€
M
) et d’un électron (charge
€
−e
, masse
€
m
). Le proton,
situé en un point O, est supposé immobile; l’électron, en M est repéré par le vecteur
€
OM =r ur
dans le repère polaire
€
(ur,u
θ
)
.
λ
λ’
θ

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2016 – 2017 2/3
1) Justifier l’unité de la constante
€
h
(J.s).
2) Montrer que l’on peut négliger la force gravitationnelle
€
GMm
r2
devant la force électrostatique
€
e2
4 πε
0r2
entre le proton et
l’électron.
3) En appliquant la deuxième loi de Newton à l’électron, établir l’expression de son énergie cinétique
€
Ec
en fonction de r (on
rappelle l’accélération pour un mouvement circulaire uniforme v2/r).
L’énergie potentielle dont dérive la force électrostatique s’écrit
€
Ep=−e2
4 πε
0r
. Vérifier que
€
Ep+2Ec=0
(théorème du viriel).
4) En utilisant l’axiome de quantification, exprimer le rayon
€
rn
en fonction de
€
n
et de
€
r
1
correspondant à
€
n=1
et exprimer
€
r
1
en
fonction de
€
ε
o
,
€
m
,
€
e
et
€
h
. Calculer
€
r
1
, rayon de Bohr (à noter que cette valeur correspond au maximum de la probabilité de
présence de l’électron en mécanique quantique !).
5) Exprimer la vitesse
€
vn
en fonction de
€
n
et de
€
v1
. Exprimer
€
v1
en fonction de
€
ε
o
,
€
e
et
€
h
. Calculer
€
v1
. Comparer sa valeur à
celle de
€
c
, vitesse de la lumière dans le vide. Conclure.
6) Déterminer la relation entre la longueur d’onde de De Broglie λn associée à l’électron et le périmètre de sa trajectoire. Interpréter
le résultat géométriquement en terme d’onde stationnaire.
7) Déterminer l’énergie mécanique totale
€
En
de l’électron. L’origine des énergies pour l’électron correspond à l’état où l’électron
est au repos à une distance infinie du proton. Ecrire
€
En
sous la forme
€
En=E
1
n2
en précisant l’expression de
€
E
1
en fonction de
€
ε
o
,
€
m
,
€
e
et
€
h
. On appelle « état fondamental » de l’atome l’état d’énergie minimale. Montrer que cet état correspond à
€
E
1
. Calculer
€
E
1
en électron-volt (
€
1eV =1, 6.10−19 J
).
8) Représenter graphiquement sur un axe vertical orienté positivement vers la haut les niveaux d’énergie successifs
€
En
de l’atome
d’hydrogène (l’axe sera gradué en eV). Quel est son énergie d’ionisation Ei à partir de l’état fondamental n = 1 ?
9) L’arrivée d’un photon fait passer l’atome du niveau n au niveau p avec p > n. Calculer la longueur d’onde λ correspondante et la
mettre sous la forme
€
1
λ
=RH
1
n2−1 p2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
. Exprimer la constante de Rydberg RH en fonction de E1, h et c. Donner sa valeur en unité
du système international.
10) Johann Balmer à identifié des raies visibles de l’hydrogène (1885). Il a proposé une formule empirique donnant leurs longueurs
d’onde justifiée a posteriori par la mécanique quantique.
Vérifier que la formule du 9) avec n = 2 permet de retrouver la valeurs des longueurs d’onde de la série de Balmer : 661 nm, 489
nm, 437 nm, … Dans quel domaine se situe la série de Lyman (1906) avec n = 1. Dans quel domaine se situent les séries de
Paschen (1908), Brackett (1922) et Pfund (1924) correspondant respectivement à n = 3, 4 et 5 ?
Réponse :
€
rn=n2r
1
avec
€
r
1=
ε
0h2
π me2
;
€
vn=v1
n
avec
€
v1=e2
2 ε
0h
;
€
n λ
n=2
π rn
;
€
E1=−me4
8 ε
0
2h2
; Ei = 13,6 eV ;
€
RH=−E1
hc
.
V Expérience de G. P Thomson
En 1927, les physiciens américains Davisson et Germer fournissaient la preuve expérimentale de l’hypothèse de Louis de Broglie en
mettant en évidence le phénomène de diffraction d’électrons sur un échantillon monocristallin de nickel. Quelques mois plus tard, le
britannique G. P. Thomson confirmait ce résultat en faisant passer un faisceau d’électrons monocinétique à travers une mince feuille de
métal. Avec des électrons accélérés par une différence de potentiel (tension) de l’ordre du
kilovolt (kV), il obtient sur une plaque photographique placée derrière la cible une figure de
diffraction identique à celle observée avec des rayons X de même énergie.
La figure ci-contre représente les anneaux concentriques obtenus par diffraction sur un
mince feuillet métallique :
- de rayons X (à gauche) ;
- d’électrons (à droite).
1) En quoi l’expérience de G. P. Thomson confirma-t-elle la nature ondulatoire des
électrons ?
2) Donner l’ordre de grandeur de la longueur d’onde des rayons X. L’utilisation de ces derniers vous semble-t-elle adaptée pour
mener une étude cristallographique par diffraction ?
3) Soumis à une différence de potentiel U > 0, un électron de charge q = - e = -1,60.10-19 C et de masse m = 9,11.10
-31 kg,
initialement au repos acquiert une énergie cinétique égale à eU. Etablir la relation numérique approchée
€
λ =1, 23
U
nm où U est la
tension accélératrice en volts (V). En déduire la longueur d’onde des électrons utilisés par Thomson. Commenter.
Donnée : h = 6,63.10-34 J.s.

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2016 – 2017 3/3
VI Principe d’indétermination
On réalise l’expérience des fentes d’Young avec des photons de longueur
d’onde λ que l’on envoie un à un. La distance entre les fentes est a, la
distance entre le plan des fentes et l’écran de détection est D.
1) Dans cette question, l’écran de détection est fixe. M est un point de
l’écran tel que
€
OM =d! u
x
.
a) Décrire ce que l’on observe sur l’écran au fur et à mesure de
l’arrivée des photons.
b) Les fentes sont à égale distance de la source et on admet que :
€
F2M−F
1M≈ax
D
. Exprimer le déphasage en M des ondes passant
par les deux fentes.
c) Donner l’ordre de grandeur d’une distance caractéristique du
phénomène observé sur l’écran de détection.
2) Dans cette question, l’écran est monté sur un dispositif mobile de
manière qu’il puisse se déplacer en translation dans son plan, selon l’axe
(Ox). On se place dans le modèle corpusculaire. Quand un photon arrive
sur l’écran, l’écran l’absorbe et gagne sa quantité de mouvement selon
(Ox). En mesurant la quantité de mouvement de l’écran juste après la
détection du photon, on doit pouvoir savoir de quelle fente il provient.
On note p la norme de la quantité de mouvement du photon.
a) Exprimer p1x, quantité de mouvement selon (Ox) d’un photon parvenant en M et passant par la fente F1 en fonction de p, d, a
et D. Exprimer de même p2x, quantité de mouvement selon (Ox) d’un photon provenant de la fente F2.
b) En déduire que l’on sait de quelle fente provient le photon seulement si l’indétermination quantique sur la quantité de
mouvement de l’écran est très inférieure à une valeur que l’on exprimera en fonction de p, a et D.
c) En se plaçant dans cette hypothèse, comparer l’indétermination quantique sur la position de l’écran et la distance
caractéristique définie à la première question. Conclure.
Réponse :
€
ϕ ≈2
π ad
λ D
;
€
i≈
λ D
a
;
€
p1x≈pd−a/ 2
D
;
€
Δpx<< pa
D
; Δx >> i.
VII Absorption de photons par un puits quantique
1) En utilisant une analogie avec les modes propres d’une corde vibrante, déterminer l’expression
des énergies totales En d’une particule libre de masse m confinée dans un puits quantique de
largeur L. On exprimera le résultat en fonction de m, L, de la constante de Planck h et d’un entier n
non nul.
2) Ce puits quantique peut émettre ou absorber un photon de fréquence vnk si l’écart En – Ek entre
deux niveaux d’énergie du puits vérifie la relation En – Ek = h νnk (n > k, h = 6,6.10-34 J.s).
a) Quelle est l’interprétation physique de la relation précédente ?
b) Déterminer les fréquences ν21 et ν31, ainsi que les longueurs d’onde correspondantes λ21 et
λ31 pour un puits à semi-conducteurs à base d’arséniure de gallium (AsGa), d’épaisseur L = 60 Å (on précise que l’angström est
défini par 1 Å = 10-10 m), et tel que me = 0,067 m avec m = 9,1.10-31 kg la masse de l’électron.
c) A quel domaine du spectre appartiennent les longueurs d’onde des photons obtenues dans la question précédente ? Proposer
des applications pratiques de tels puits quantiques.
Réponse :
€
En=h2
8mL2n2
; λ21 = 2,7 µm et λ31 = 1,0 µm.
VIII Étude d'une cellule photoélectrique au potassium
La cathode d'une cellule photoélectrique au potassium est éclairée par deux radiations lumineuses monochromatiques différentes de
longueurs d'ondes respectives λ = 490 nm et λ = 660 nm. La puissance P = 9,00.10-7 W de ces deux sources de rayonnement est la
même. Le travail d'extraction d'un électron du potassium est W0 = 2,25 eV.
On rappelle la masse de l'électron me = 9,11.10-31 kg, la charge élémentaire e = 1,60.10-19 C et la constante de Planck h = 6,63.10-34 J·s.
1) Les deux radiations permettent-elles l'émission d'électrons ?
2) Déterminer l'expression de la vitesse des électrons émis par la cathode et calculer sa valeur numérique.
3) On observe que l'intensité du courant de saturation est IS = 4,00.10-8 A. Déterminer le rendement quantique de la cellule, c'est-à-
dire le rapport du nombre d'électrons émis au nombre de photons reçus. On supposera que tous les électrons émis participent au
courant de saturation.
Réponse : émission pour λ = 490 nm ; pas d’émission pour λ = 660 nm ; 3,18.105 m.s-1 ; 11,3 %.