Pour c = 0, la suite (K n) est la suite 2

Pour c=0, la suite (Kn) est la suite 2-périodique donnée par
Pour c=1, la suite (Kn) est 3-périodique, avec
Pour c=4, on montre par récurrence double que Kn=n2. C’est clair pour n=0 et
n=1 et si Kn-1=(n-1)2et Kn-2=(n-2)2, alors
Kn=2(n-1)2-(n-2)2+2 =n2:
On suppose désormais que cest un carré supérieur ou égal à 9. Pour simplifier la
relation (1), on cherche une solution évidente, par exemple constante (disons égale
à l ). Une telle suite vérifie la relation (1) si et seulement si
On pose donc, pour tout nŒ,
Cette suite est récurrente linéaire double et vérifie la relation
Les racines de l’équation caractéristique sont
Ces racines sont distinctes, positives et sont les carrés de
Il existe donc deux réels a , b tels que
Les conditions initiales K0=0 et K1=1 donnent les valeurs
Ainsi, pour nŒ,
N
( )
= = E
+nK 0, K 1 . n n2 2 1
N
( )
= = = E
+ + nK 0, K K 1 . n n n3 3 1 3 2
λ =Fc
2
4.
λ = F = + F uc K K 2
4.
n n n
( ) ( )
= F F G
F F
u c u u n2 2 .
n n n1 2
F ± Fc c c2 4
2.
± Fc c 4
2.
α β N
( )
=F + F
-
@
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
D+F F F
-
@
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
DFFE
c c c c c c
cnK2 4 2
2 4
2
2
4.
n
n n
α β = = Fc
1
4.
=F
F + F
-
@
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
D+F F F
-
@
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
D
-
@
A
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
D
DFFc
c c c c c c
c
K1
4
2 4
2
2 4
2
2
4,
n
n n
Les problèmes de l’APMEP 367
APMEP
no509
Problemes 509-Texte_Mise en page 1 04/05/14 19:04 Page367

soit encore
Or,
Donc, pour nŒ,
Pour nŒ, posons
Les nombres ont pour somme et pour produit 1. La suite (Rn)
vérifie donc la relation de récurrence linéaire
(2)
et les conditions initiales
Puisque cest un carré, une récurrence montre que cette suite est à valeurs entières,
ce qui prouve bien que est une suite de carrés parfaits.
Richard Choulet apporte de nombreux approfondissements sur ce problème. Il
remarque par exemple que dans le cas c=9, la suite (Kn) est formée des carrés des
termes d’indices pairs de la suite de Fibonacci. On peut montrer cela ainsi. On note
et (Fn) la suite de Fibonacci définie par F0=0, F1=1 et
pour n≥2 par
Fn=Fn-1+Fn-2.
Classiquement,
donc
=F
+ F
-
@
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
D+F F
-
@
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
DF
-
@
A
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
D
D
c
c c c c
K1
4
4
2
4
22 .
n
n n2 2
+ F ×F F = c c c c4
2
4
21.
=F
+ F
-
@
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
DFF F
-
@
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
D
-
@
A
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
D
D
c
c c c c
K1
4
4
2
4
2.
n
n n 2
=F
+ F
-
@
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
DFF F
-
@
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
D
-
@
A
A
A
A
A
B
C
D
D
D
D
D
D
c
c c c c
R1
4
4
2
4
2.
n
n n
± Fc c 4
2
c
( )
= F G
F F
c nR R R 2
n n n1 2
= =R 0, R 1.
0 1
( )
=K R
n n
2
ϕ =+1 5
2,
ψ =F1 5
2
ϕ ψ ϕ ψ
( )
=FFF1,
n
n n
368 Pour chercher et approfondir APMEP
no509
Problemes 509-Texte_Mise en page 1 04/05/14 19:04 Page368

Or
et
Ainsi, la suite (F2n) vérifie la relation
et les conditions initiales
On retrouve la même relation (2) que la suite (Rn) pour c=9 et les mêmes conditions
initiales, d’où l’égalité des deux suites.
Problème 502–1 (Gauthier Gidel, Alexandre Benchaouine, Benoît Joly)
Soit nŒ*, x1, …, xndes réels strictement positifs et p1, …, pndes réels strictement
positifs de somme 1. Pour tous les réels S et tvérifiant, pour tout iŒ[[1, n]],
montrer que
Solutions de Michel Lafond (Dijon) et Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).
L’inégalité de gauche est classique. Elle resulte de la convexité de la fonction
L’inégalité de Jensen garantit alors, avec les notations de l’énoncé,
l’inégalité
soit encore
En prenant l’inverse, on obtient bien
ϕ ψ ϕ ψ
( )
( ) ( )
=FFF1,
n
n n
2
2 2
ϕ ψ =1
2 2
ϕ ψ ϕ ψ + = + + + =1 1 3.
2 2
( )
= F G
( ) ( )
F F nF 3F F 2
nn n 22 1 2 2
= =F 0, F 1.
0 2
S!xi!S+t,
1pi
xi
i=1
n
!
"pixi
i=1
n
!"1pi
xi
i=1
n
!
+t2.
RE+ f x x :1.
*
H H
( )
-
@
A
A
A
B
C
D
D
D
D'
= =
f p x p f x ,
i i
i
n
i i
i
n
1 1
HH
'
=
=
p x
p
x
1.
i i
i
n
i
i
i
n
1
1
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APMEP
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