Pour c = 0, la suite (K n) est la suite 2

Pour c = 0, la suite (Kn) est la suite 2-périodique donnée par
K 2 n = 0, K 2 n+1 = 1
(n E N ).
Pour c = 1, la suite (Kn) est 3-périodique, avec
K 3 n = 0, K 3n+1 = K 3n+2 = 1
( n E N ).
Pour c = 4, on montre par récurrence double que Kn = n2. C’est clair pour n = 0 et
n = 1 et si Kn-1 = (n - 1)2 et Kn-2 = (n - 2)2, alors
Kn = 2(n - 1)2 - (n - 2)2 + 2 = n2:
On suppose désormais que c est un carré supérieur ou égal à 9. Pour simplifier la
relation (1), on cherche une solution évidente, par exemple constante (disons égale
à l). Une telle suite vérifie la relation (1) si et seulement si
λ=
2
.
4Fc
On pose donc, pour tout n Œ ,
2
.
cF4
Cette suite est récurrente linéaire double et vérifie la relation
un = K n F λ = K n +
un = ( c F 2) unF1 F unF2 (n G 2).
Les racines de l’équation caractéristique sont
c F2 ± c cF 4
.
2
Ces racines sont distinctes, positives et sont les carrés de
c ± cF 4
.
2
Il existe donc deux réels a, b tels que
n
n
- c F 2 + c c F 4 BD
- c F 2 F c c F 4 BD
DD F 2
DD + β AA
K n = α AAA
( n E N) .
AA
DC c F 4
DC
A@
2
2
@
Les conditions initiales K0 = 0 et K1 = 1 donnent les valeurs
α =β =
1
.
cF 4
Ainsi, pour n Œ ,
Kn =
n
nB
1 AA-A c F 2 + c c F 4 BDD -A c F 2 F c c F 4 BDD DD
2
,
+
A
AAAA
DD A
DD DDD F
2
2
c F 4 A@A@
C A@
C DC c F 4
soit encore
Kn =
2n
2n
BD
- c F c F 4 BD
1 AA-A c + c F 4 BD
AA
DD.
D
D
A
+
F
2
A
DD
DD
DD
AA
c F 4 AA@AA@
2
2
C
@
C
DC
Or,
c + cF4
c F cF 4
×
= 1.
2
2
Donc, pour n Œ ,
n
nB
1 AA-A c + c F 4 BDD -A c F c F 4 BDD DD
Kn =
AA
DD F AA
DD DDD .
c F 4 AA@AA@
2
2
C A@
C DC
2
Pour n Œ , posons
Rn =
n
nB
1 AA-A c + c F 4 BDD -A c F c F 4 BDD DD
A
F
A
A
DD A
DD DDD.
2
2
c F 4 AA@AA@
C A@
C DC
c ± c F 4 ont pour somme
2
vérifie donc la relation de récurrence linéaire
Les nombres
c et pour produit 1. La suite (Rn)
R n = c R nF1 F R nF2 ( n G 2)
(2)
et les conditions initiales
R 0 = 0, R1 = 1.
Puisque c est un carré, une récurrence montre que cette suite est à valeurs entières,
ce qui prouve bien que (K n = R 2n ) est une suite de carrés parfaits.
Richard Choulet apporte de nombreux approfondissements sur ce problème. Il
remarque par exemple que dans le cas c = 9, la suite (Kn) est formée des carrés des
termes d’indices pairs de la suite de Fibonacci. On peut montrer cela ainsi. On note
1+ 5
1F 5 et (F ) la suite de Fibonacci définie par F = 0, F = 1 et
, ψ=
n
0
1
2
2
pour n ≥ 2 par
ϕ=
Fn = Fn-1 + Fn-2.
Classiquement,
Fn =
donc
1
ϕ n Fψ n ) ,
(
ϕ Fψ
F2 n =
(
)
n
n
1
ϕ 2 ) F (ψ 2 ) ,
(
ϕ Fψ
Or
ϕ 2ψ 2 = 1
et
ϕ 2 +ψ 2 = ϕ + 1 +ψ + 1 = 3.
Ainsi, la suite (F2n) vérifie la relation
F2 n = 3F2(nF1) F F2(nF2) (n G 2)
et les conditions initiales
F0 = 0, F2 = 1.
On retrouve la même relation (2) que la suite (Rn) pour c = 9 et les mêmes conditions
initiales, d’où l’égalité des deux suites.