Le Bruit en Electronique

EIS
App
Systèmes
Grenoble INP
et
Esisar
Composants Electroniques
EE479
Electronique
des
Capteurs
Fond de rayonnement cosmique
Auteur : Dehay
Imprimé en avr.-17
Version 1 : 2000
Rév. oct 2015
Grenoble INP Esisar
50 rue B. De Laffemas – BP 54
26 902 Valence CEDEX 9
EE479 Electroniques des capteurs
Systèmes et Composants Electroniques
Table des matières
Le Bruit en Electronique -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Origines & Transmission --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
I/ Introduction ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
II/ Bruits -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
1/ Généralités ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
2/ Sources de bruit externes ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1
3/ Sources de bruit internes ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1
III/ Bruit thermique ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
1/ Définition ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1
2/ Densité spectrale de puissance ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
3/ Puissance disponible ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
4/ Résistance bruyante : schéma équivalent ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
5/ Associations de résistance ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
6/ Bruit thermique d’une impédance ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
IV/ Autres types de bruit ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4
1/ Bruit de grenaille --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
2/ Bruit de scintillation ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
V/ Température de Bruit ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
1/ Définition ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4
2/ Exemple 1 : Antenne----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
3/ Exemple 2 : Amplificateur ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
VI/ Bruit dans un récepteur --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
1/ Notations ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
2/ Température de bruit équivalente à l’entrée ------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
3/ Facteur de bruit ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6
4/ Bruit en sortie d’un système -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7
5/ Cas des atténuateurs ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8
6/ Température de bruit équivalente -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9
Bibliographie ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
GD : 2000 - révision 2015
2/13
EE479 Electroniques des capteurs
Systèmes et Composants Electroniques
Le Bruit
en
Electronique
Fond de rayonnement cosmique
Origines
&
Transmission
Image radar bruité
GD : 2000 - révision 2015
3/13
EE479 Electroniques des capteurs
I/ Introduction
Dans le langage courant, le terme de bruit est utilisé pour
désigner un son gênant ou désagréable : il a donc en général
une connotation fortement négative. En matière technique, et
notamment dans le domaine des télécommunications, le bruit
désigne tout signal indésirable limitant à un degré ou à un
autre l’intégrité et l’intelligibilité d’un signal utile dans un
processus de transmission ou de traitement d’information, ce
signal utile n’étant pas forcément d’origine acoustique. En
télévision, par exemple, un certain type de bruit se caractérise
par l’apparition aléatoire de petits points blancs sur l’écran,
que les techniciens appellent ‘‘neige’’ ; dans le domaine du
traitement numérique des signaux, une erreur dans le
décodage d’un mot binaire peut être interprétée comme le
résultat de l’addition d’un ‘‘bruit binaire’’. Toutefois, si le
bruit est généralement considéré comme un phénomène
nuisible, il est parfois lui-même porteur d’informations
relatives à ses origines (radioastronomie, surveillance des
vibrations des machines industrielles ...).
De plus, il est souvent nécessaire de générer volontairement
du bruit afin de contrôler expérimentalement
l’insensibilité d’un système en fonction du niveau de
perturbation ou encore d’analyser l’état d’un système par des
méthodes statistiques.
II/ Bruits
1/ Généralités
L’origine du bruit que l’on rencontre en transmission peut être
de nature très diverse : le ‘‘ronflement’’ du 50 Hz, les
perturbations atmosphériques, la diaphonie dans un circuit
téléphonique ... Il est intéressant d’établir une distinction entre
le bruit dû à des perturbations à caractère purement aléatoire,
et donc imprévisible, et les interférences provoquées par le
captage accidentel d’autres signaux utiles (tels que ceux dus à
des couplages entre lignes de transmission voisines) ou la
mauvaise élimination de composantes parasites.
Les sources de bruit sont classables en deux catégories :
- les sources de bruit localisées à l’extérieur d’un système
donné et agissant sur lui par influence ;
- les sources de bruit internes au système, créatrices d’un
bruit propre indépendant des conditions extérieures.
2/ Sources de bruit externes
Les causes de perturbations externes sont de deux types :
- les perturbations artificielles liées aux parasites générés
par les équipements électriques (équipements industriels :
commutateurs, relais, postes de soudure à arc électrique,
lignes à haute tension ; activités humaines : allumages des
moteurs à explosion, appareils électroménagers) ; elles
dominent dans les zones urbaines et sont négligeables pour
des fréquences supérieures à 100 MHz.
- les perturbations naturelles associées à des phénomènes
atmosphériques (décharges électriques dues aux orages) ou
cosmiques (éruptions solaires, sources galactiques d’ondes
électromagnétiques) et aux phénomènes d’évanouissement
des signaux de radiocommunication dus à des fluctuations
des conditions de propagation selon le milieu ; elles sont
négligeables pour des fréquences supérieures à 30 MHz.
GD : 2000 - révision 2015
Systèmes et Composants Electroniques
L’influence de ces bruits peut être réduite ou même
complètement éliminée par une conception intelligente des
systèmes : blindage, circuit de masse, recherche de
compatibilité électromagnétique ...
3/ Sources de bruit internes
Les causes de perturbations internes sont également de deux
types :
- les perturbations de types essentiellement impulsionnels
engendrés par des commutations de courants (circuits
logiques, comparateurs, interrupteurs électroniques).
- le bruit de fond généré dans les câbles et les composants
en raison des mécanismes statistiques de conduction
électrique.
Si le premier type de perturbation peut être réduit, voire
éliminer, par une conception adaptée, le bruit de fond est
irréductible. Ses trois composantes principales affectant les
circuits électroniques sont :
- le bruit thermique (qui occupe une place prépondérante) ;
- le bruit de grenaille ;
- le bruit de scintillation.
III/ Bruit thermique
1/ Définition
C’est en 1928 que Johnson met expérimentalement en
évidence les fluctuations de tensions aux bornes d’une
résistance et que Nyquist en donne l’explication. Ils ont
montré que l’intensité de ces fluctuations ne dépendaient que
de la température de la résistance, d’où son nom de ‘‘bruit
thermique’’.
Au-dessus du zéro absolu (0°K), le mouvement brownien des
électrons dans un conducteur provoque, même en l’absence de
champ électrique, une fluctuation aléatoire de la valeur
instantanée de la tension observable aux bornes de tout
composant, passif ou actif, présentant une certaine résistance
au passage du courant et porté à la température T.
2/ Densité spectrale de puissance
Constante de
Constante de
Planck
Boltzmann
h = 6,62.10-34 J.s
S[dBm]
-170
-180
10
102
k = 1,38.10-23 J.K-1.
103
104
105
f en GHz
T = 290°K
T = 29°K
-190
T = 2,9°K
-200
-210
Fig. 1 : Densité spectrale de puissance du bruit thermique.
La mécanique quantique permet de montrer que la densité
spectrale du bruit thermique est décrite par la loi suivante :
1/13
EE479 Electroniques des capteurs
hf
1
2
[W/Hz]
hf
e
kT
-1
Pour h|f| << kT,
Sth ( f )  12
h f
2
1 h f
1+
+ .
+...- 1
kT 2 kT
h f
 
 ½ kT
Or, par exemple, à température ambiante T = T 0 =290°K et
pour une fréquence f = 1GHz :
h|f| = 6,62.10-25 << kT  4.10-21
hf
kT
4/ Résistance bruyante : schéma équivalent
Le mouvement brownien des électrons
produit aux bornes d’une résistance R
(1/G), une tension erratique u, dont la
distribution d’amplitude est gaussienne, de
valeur moyenne <u> nulle et de variance
(valeur quadratique moyenne) <u²> = ²u.
A cette tension, il faut associer un courant i
de valeur moyenne <i> nulle et de variance
²i.
En première approximation, la fonction d’autocorrélation du
bruit thermique est une impulsion de Dirac.
Cth() = ½ kT.().
Sth
G
De l'expression de la puissance totale disponible
PR = u . i = R . i2 = G. u2
La puissance dans R est la puissance dû au bruit thermique
PR =Pth = kTB
On déduit les variances :
²u = kTBR
²i = kTBG
et
Or la puissance disponible (ou utilisable) est définit comme la
puissance maximale que l’on peut récupérer sur une charge à
partir d’un générateur de résistance interne non nulle. Si le
générateur a une impédance interne Zi, la puissance maximum
est récupérée sur Zc la charge adaptée. L'impédance de Zc est
égale à Zi*.
R
(sans bruit)
½.kT
G=1/R
(sans bruit) a
a
i
f
B
b
i
Sth = 2.10-21 Ws= - 177dBm
Sth(f) = ½ kT ,  f < 1 THz.
u
On va chercher à exprimer cette variance de bruit u2
engendré par R puis de trouver un modèle électrique de cette
résistance bruyante. De la loi d’Ohm nous donne :
u = R i =
Graphiquement, on constate qu’à la température ambiante
(T = 290 °K), le bruit reste sensiblement blanc jusqu'à des
fréquences de l’ordre de 1000 GHz (1 THz) ; et même pour
des températures très basses de quelques degrés Kelvin
(utilisées dans les amplificateurs masers), cette propriété est
encore valide jusqu'à une dizaine de GHz. Ainsi, on retiendra
que la densité spectrale de puissance disponible d’un bruit
thermique, à la température T, est uniforme et est donnée par :
a
Objectif :
= 1,6.10-4 << 1
B
i
R (bruyante)
S th (f ) 
Systèmes et Composants Electroniques
u
u0
Fig. 2 : Densité spectrale de puissance du bruit thermique sur une bande de
fréquence limitée, quand f < 1000 GHz.
i
R
i0
u
R
Définition : dBm
PdB = 10 log(
PdBm = 10 log(
[ mW]
P
1W
[W]
P
1W
b
)
On cherche la tension à vide u0 et le courant de court-circuit
i0 tel que la puissance dans une charge adaptée soit égale à la
puissance de bruit thermique :
) = 10 log(10 3. P[W])
PdBm = 30  PdB
PR =
3/ Puissance disponible

PR = R² i = R i0
2
ou
4
et
[W]
Une résistance R, à la température
T, fournit donc une puissance de
bruit indépendante de sa valeur R.
R
(bruyante)
Pth = kTB
 ²u0 = 4kTBR
u
et
²i0 = 4kTBG
Les densités spectrales de puissance associées sont alors :
b
GD : 2000 - révision 2015
2u
2
= u0
R
4R
a
i
Pth = Sth.2B = ½ kT.2B
Pth = kTB
b
Fig. 3 : Schéma équivalent d'une résistance bruyante.
Su0(f) =
 2u 0
2B
= 2kTR
et
Si0(f) =
 i20
2B
= 2kTG
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EE479 Electroniques des capteurs
Systèmes et Composants Electroniques
Conclusion
Une résistance bruyante R peut être représentée :
- par un générateur de tension de valeur efficace
u0= 4 kTBR en série avec une résistance idéale (sans
bruit) de même valeur ;
- par un générateur de courant de valeur efficace
i0 = 4 kTBG en parallèle avec une conductance idéale
(sans bruit) de valeur G = 1 / R.
D'autre part, chacun des bruits thermiques générés par les
résistances est indépendant. Par conséquent, la variance de
leur somme est égale à la somme des variances partielles (pas
d'inter-corrélation) :
²ueq = ²u01 + ²u02
Soit
 4kTeq BR eq = 4kT1BR1 + 4kT2 BR 2
io2
R
 Teq =
R
uo
2
Fig. 4 : Représentation de Thévenin / Norton d'une résistance bruyante.
La résistance équivalente est obtenu comme le modèle de
Thèvenin, en rendant inactives les sources, soit :
Cas particulier
A température ambiante (290°k), kT  4.10-21 [J], on a alors :
u0[µV] = 4 B(kHz).R(MΩ) .
Si la résistance considérée est la résistance d’entrée d’un
amplificateur idéal (sans bruit), il faut que cette résistance soit
d’autant plus faible que la bande passante est plus grande si
on veut éviter un bruit excessif.
Req = R1 + R2
b/ Association parallèle
Dans le cas d’une association parallèle de
deux résistances R1 et R2 aux températures
respectives T1 et T2, la résistance équivalente
Req = R1 // R2 est à la température Teq.
(démonstration analogue à la précédente)
5/ Associations de résistance
a/ Association série
Dans le cas d’une association série de deux
résistances R1 et R2 aux températures
respectives T1 et T2, la résistance équivalente
Req = R1 + R2 est à la température :
Teq =
R2
Teq =
T1G1  T2 G 2
G1  G 2
²i0eq = ²i01 + ²i02
6/ Bruit thermique d’une impédance
Dans les circuits électroniques, on rencontre aussi des
éléments réactifs (inductifs ou capacitifs), et l’impédance, vue
de deux points quelconques d’un circuit passif, est en général
une quantité complexe dépendant de la fréquence :
Z(f) = R(f) + jX(f)
R(f) désigne la partie résistive
R1
X(f) désigne la partie réactive.
La formule de Nyquist établit que la variance, ²u, mesurée
dans une bande B autour d’une fréquence f, de la tension de
bruit aux bornes d’un tel circuit est :
i
i
²u0 = 4k T B R(f)
Req
R2
u
R1
u
u01
R1
Geq = G1 + G2
avec
R2
T1R 1  T2 R 2
R1  R 2
u02
i
u
ueq
Cette tension a donc une densité spectrale de puissance
indépendante de la partie réactive du circuit :
Su0(f) = 2kTR(f)
Fig. 5 : Association de résistances bruyantes en série.
u = (R1 + R2).i  (u01 + u02)
u01
u02
i (montage à vide)
4kT1BR1
4kT2 BR 2
0
u = ueq  Req.i
R1
R2
Exemples
A température ambiante, il s’agit de tensions à vide très
faibles, peu gênantes dans les applications où les signaux
d’information sont de l’ordre du volt, par exemple :
R
1 M
100 k
10 k
B
20 MHz
20 MHz
20 MHz
179 µV
17,9 µV
1,8 µV
u0
T1R 1  T2 R 2
R1  R 2
ueq = 4kTeq BR eq
R(f)
a
Réseau RLC
bruyant
Z(f) =
R(f) + jX(f)
u0
X(f)
a
u0 = 4kTBR(f)
b
b
Fig. 6 : Schéma équivalent d'une impédance bruitée.
i = 0
GD : 2000 - révision 2015
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Un réseau quelconque constitué d’éléments passifs R, L et C
constitue un générateur de bruit dont la densité spectrale ne
dépend que de la partie résistive de son impédance.
IV/ Autres types de bruit
Application
a/ Phénoménologie
Le bruit non thermique le plus fréquent est le bruit de
grenaille. Il est dû à la nature discrète du flux d’électrons. Il se
manifeste essentiellement dans les composants électroniques
où les porteurs de charges sont peux nombreux et circulent à
des vitesses très grandes (tubes à vide et semi-conducteurs),
au contraire des conducteurs où les électrons sont beaucoup
plus nombreux et leurs vitesses plus faible, et pour lesquels le
bruit thermique est prépondérant sur le bruit de grenaille.
Schottky, en 1918, a montré que, dans une diode à vide, le
courant électrique était constitué d’une composante moyenne,
le courant continu I, auquel se superpose une partie fluctuante,
le bruit de grenaille proprement dit, dont la variance était
directement proportionnelle au courant I. On montre, en
faisant l’hypothèse d’une émission de densité de probabilité
de Poisson des électrons, que la densité spectrale de ce
courant est donnée par :
Vérifions la formule de Nyquist dans le cas d’un dipôle RC
parallèle en effectuant le calcul de la DSP par 2 chemins
différents :
a
C
R
a
R
u
u0
u
C
b
b
Fig. 7 : Exemple d'une impédance bruitée.
Calcul direct
Dans ce circuit, seule la résistance R est génératrice de bruit ;
elle peut donc être remplacée par un générateur de tension de
densité spectrale Su0(f) = 2kTR, en série avec une résistance
idéale de même valeur R. Cette tension de bruit devient
l’entrée d’un filtre passe-bas RC, de fonction de transfert
H(f) :
H(f) =
avec fc =
1
1 j2RCf
1
2  RC
1
1 jf/f c
=
fréquence de coupure.
Alors la densité spectrale en sortie du filtre est :
Su(f) = |H(f)|2. Su0(f) =
2
1
1 f/f c
2kTR =
2kT R
1(f/fc )²
Formule de Nyquist
Si on utilise la formule de Nyquist, l’impédance complexe du
dipôle est :
Z(f) =
R
1 j 2  RCf
=
R
1 j(f/fc ) 2
 j
R f/f c
1 j (f/fc ) 2
Z(f) = R(f) + jX(f)
Donc
Su(f) = 2kTR(f) = 2kT
R
1 j (f/fc ) 2
/ formule vérifiée
Complément : Puissance pour une bande « ∞ »
Pour une bande passante infinie, la variance à vide est alors :
²u0 =


 Su (f)df = 2kTR 


²u0 = 2kTRfc arctan
f
fc
1
1 + (f/f c ) 2

= 2kTRfc. (

²u0 =
df
π
π
-(- ))
2
2
kT
C
SURPRENANT / INTERESSANT
La variance dépend de C et non de R alors que la source de
bruit est la résistance et non le condensateur !
GD : 2000 - révision 2015
1/ Bruit de grenaille
Si(f) = e  I
où la charge de l’électron e = 1,6.10-19 C
Comme le bruit d’origine thermique, le bruit de grenaille peut
donc être considéré comme un bruit blanc (au moins jusqu'à
des fréquences inférieures à 1 / ,  désignant le temps de
transit des électrons entre l’anode et la cathode) ; de même,
des considérations sur l’origine physique de ce bruit et
l’utilisation du théorème central limite nous conduisent à
affirmer le caractère gaussien de ce bruit. En revanche, il ne
dépend pas de la température : c’est un bruit non thermique.
En outre, sa valeur dépend du courant qui traverse la diode, ce
qui n’est pas le cas du bruit des résistances. Enfin, les résultats
établis par Schottky sont également valables pour les diodes à
semi-conducteur.
2/ Bruit de scintillation
On trouve dans les semi-conducteurs d’autres sources de
bruit, dont la plus importante est le bruit de scintillation. Il
s’agit d’un bruit dont la densité spectrale de puissance varie
comme f v, où v est un nombre voisin de un (d’où son nom
de bruit en 1 / f) ; c’est donc un bruit qui peut être très gênant
dans les applications basse fréquence. On l’attribue à des
inhomogénéités dans la fabrication des composants.
V/ Température de Bruit
1/ Définition
La température de bruit est un paramètre permettant de
caractériser simplement le bruit engendré par une source de
bruit quelconque de manière à prendre en compte les sources
de bruits autres que le bruit thermique.
Une source de bruit thermique délivre dans une bande de
fréquence B une puissance disponible P th = kTB. La
température T est la température commune des résistances
que contient cette source, si le circuit est constitué seulement
d’éléments passifs R, L et C.
La puissance P délivrée aux bornes d’un quadripôle
quelconque (c’est-à-dire pouvant contenir des composants
actifs) à la température T et dans une bande de fréquence B,
4/13
EE479 Electroniques des capteurs
Systèmes et Composants Electroniques
TB =
P
kB
ou encore
P = k.B.TB
Cette température de bruit prend donc en compte à la fois le
bruit thermique et toutes les autres sources de bruit. La densité
spectrale de puissance de ce bruit est alors égale à :
kT
S(f) = 2PB  B
2
Il est important de souligner que la température de bruit n’est
pas une température physique et ne correspond donc pas à la
température réelle du circuit.
3/ Exemple 2 : Amplificateur
R bruyante
est supérieure à la puissance, Pth, due aux bruits d’origine
thermique seuls.
On définit alors une température fictive, T B, appelée
température de bruit du quadripôle, par la relation :
½ vs(t)
Considérons un amplificateur idéal de gain en tension A (Fig.
9). On suppose qu’il a une impédance d’entrée infinie et une
impédance de sortie qui est une résistance pure, Rs sans bruit.
On connecte à son entrée une résistance R à la température T.
La puissance de bruit disponible en sortie est obtenue lorsque
la charge est adaptée. La puissance dans Rs :
2
2
2
A <v e (t)> A  e 2
<v s2 (t)>

P=
=
4R s
4R s
4R s
L’impédance d’entrée étant infinie, la tension d’entrée ve(t)
est celle fournie par le générateur de bruit thermique que
constitue la résistance R, et donc :
Ampli
2
P 
TBant°
Fig. 8 : Antenne spire, loin d’émetteur, soumis à des rayonnements.
Considérons une antenne sous sa forme la plus simple, une
boucle de fil conducteur par exemple. Si sa résistance est
négligeable, le bruit thermique engendré est lui-même
négligeable. Mais cette antenne est en mesure de capter tous
les rayonnements électromagnétiques qui la traversent, et, si
elle est connectée à l’entrée d’un récepteur, de les transformer
en courant électrique (c’est d’ailleurs son rôle !). Si le
récepteur est accordé sur une fréquence que n’utilise aucun
émetteur proche, l’expérience montre que l’antenne captera
quand même des rayonnements, dont les caractéristiques sont
celles d’un bruit. Ce bruit provient de sources extérieures
diverses, d’origine artificielle liée à l’activité humaine ou
d’origine naturelle, dont des exemples ont déjà été cités.
Si P désigne alors la puissance, mesurée dans une bande de
fréquence B, de l’ensemble des sources de bruit, l’antenne
peut être considérée comme un quadripôle générateur de bruit
et dont la température de bruit est égale, par définition, à :
TBant =
P
kB
Dans ces conditions, TBant n’a rien à voir avec sa température
physique, laquelle sera le plus souvent sa température
ambiante.
Antenne satellite
Une antenne de réception de satellites, et donc pointée vers le
ciel a une température de bruit de l’ordre d’une dizaine de
degré Kelvin ;
Antenne hertzienne
Une antenne de faisceaux hertziens, qui capte principalement
le rayonnement thermique de la terre, a une température de
bruit voisine de la température ambiante (290 °K).
GD : 2000 - révision 2015
Rs
Fig. 9 : Amplificateur chargé, avec une résistance bruitée en entrée.
2/ Exemple 1 : Antenne
Spire
R=0
Rs
ve(t) vs(t)
= Ave(t)
A  u 2 A 2 4kTBR
R

= A² kT
B
4R s
4R s
Rs
Puissance thermique équivalente :
𝑃𝑡ℎ = 𝑘𝑇𝐵
D’où on déduit la température de bruit du quadripôle
𝑃𝑡ℎ = 𝑃
TB =
P
R
= A² T
kB
Rs
Conclusion
TB peut donc être plus grande ou plus petite que la
température physique T de la source, y compris proche de
l’infini ou de zéro.
Le quadripôle est considéré comme une source de bruit
(équivalent thermique) à la T° TB.
VI/ Bruit dans un récepteur
1/ Notations
La notation est difficile, attention au indice et exposant. Ils
peuvent évidemment être mixés.
𝑒=𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒
𝑋𝑆=𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑙
𝑌
( )
𝑋 𝑒=𝑒𝑛𝑡𝑟é
𝑠=𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒
𝑋𝑆=𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑙
𝑌
( )
𝑋 𝑠=𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒
𝑖=𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒
𝑋𝐵=𝐵𝑟𝑢𝑖𝑡
2/ Température de bruit équivalente à l’entrée
Objectif :
A partir d’un amplificateur « bruyant », on souhaite trouver
un modèle faisant intervenir un amplificateur parfait.
5/13
EE479 Electroniques des capteurs
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PBe =Pth = kTB
Mise en situation
Considérons un amplificateur de gain en puissance G. Le
signal à l’entrée est constitué d’un signal s, de puissance Pse et
d’un bruit blanc additif b, de puissance PBe à la température T,
ce qui correspond à un bruit thermique kTB.
(S/B)s
(S/B)e Amplificateur
bruyant :
PBi ; G
PBs
= G PBe + PBi
Bruit b
= G (PBe + Pbi)
PBe = Pth = kTB
Signal
Pse
Fig. 10 : Amplificateur bruyant avec une entrée bruitée.
Définition
Le rapport signal sur bruit en entrée de l’amplificateur est
défini par :
𝑆
𝑃𝑠𝑒
( ) ≜ 𝑒
𝐵 𝑒 𝑃𝐵
𝑆
( ) =
𝐵 𝑠
𝑆
( ) ≜
𝐵 𝑠
1
𝑆 =
𝑆
( )
𝑇𝑒 ( )
𝐵 𝑒 1+
𝐵 𝑒
1+
T
𝐺kTB
𝑃𝐵𝑖
En posant
𝑇𝑒 =
𝑃𝐵𝑖
𝐺𝐾𝐵
Te est appelée température de bruit équivalente à l’entrée.
Cette relation traduit la dégradation du rapport signal sur bruit
à la traversée d’un quadripôle ; celle-ci dépend de la valeur
relative de la température de la source T et de la température
de bruit équivalente en entrée du quadripôle ; en particulier, si
Te << T, le quadripôle peut être considéré comme parfait.
Dans ces conditions la puissance de bruit en sortie est égale
à:
PBs = GPBe  PBi = GkTB + GkTeB
Le rapport signal sur bruit en sortie de l’amplificateur est :
𝑃𝑠𝑠
𝑃𝐵𝑠
1
PBs = GkB (T + Te)
Ce qui implique que la température de bruit en sortie est :
Ts = G(T + Te)
Notion
La puissance du signal en entrée est amplifiée par
l’amplificateur de gain en puissance de G, on a donc :
𝑃𝑠𝑠 = 𝐺 𝑃𝑠𝑒
La puissance du bruit en sortie est constituée de la puissance
du bruit en entrée amplifiée par l’amplificateur et de la
puissance
du
bruit
interne
à
l’amplificateur 𝑃𝐵𝑖 .
L’amplificateur est constitué de composants bruyants qui
apportent leur propre contribution au bruit :
On ramène la puissance de bruit de l’ampli P Bi comme une
excitation par un bruit thermique Pbi à l’entrée de
température Te.
P se
Amplificateur
Parfait
G
PBe(T)
𝑃𝑠𝑠 + 𝑃𝐵𝑠
Pbi(Te) = k Te B
Fig. 11 : Schéma équivalent avec l’amplificateur parfait, et le bruit interne
ramené en entrée sous forme d’un bruit thermique (équivalent).
𝑃𝐵𝑠 = 𝐺 𝑃𝐵𝑒 + 𝑃𝐵𝑖
On exprime alors le rapport signal sur bruit en sortie en
fonction de celui de l'entrée :
𝑆
( ) ≜
𝐵 𝑠
𝑃𝑠𝑠
𝑃𝐵𝑠
=
𝐺
𝐺
𝑃𝐵𝑒
𝑃𝑠𝑒
+
𝑃𝐵𝑖
𝑃𝑠𝑒
=
𝑃𝐵𝑒 +
𝑃𝐵𝑖
𝐺
=
𝑃𝑠𝑒
𝑃𝐵𝑒
1+
𝑃𝐵𝑖
3/ Facteur de bruit
a/ Introduction
Par convention, (issue du calcul du rapport signal sur bruit
précédent) on définit le facteur de bruit par :
F=1+
𝐺 𝑃𝐵𝑒
Te
avec T0 la température ambiante (290°K).
T0
avec Te la température d’entrée du quadripôle.
Objectif
𝑆
( ) =
𝐵 𝑠
1
𝑆
𝑃𝑖 ( )
1 + 𝐵𝑒 𝐵 𝑒
𝐺 𝑃𝐵
Nous allons exprimez un lien entre le facteur de bruit et les
rapports signal sur bruit d'entrée et de sortie. De la définition,
on tire :
Nécessairement on a :
Te = T0 ( F – 1 )
𝑆
( ) ≤ 𝑆
𝐵 𝑠 ( )
𝐵 𝑒
Il y a donc dégradation du rapport signal sur bruit sauf dans le
cas limite où
𝑆
( ) =
𝐵 𝑠
1
1
𝑆 =
𝑆
𝑇𝑒 ( )
T𝑜 ( F – 1 ) ( )
𝐵 𝑒 1+
𝐵 𝑒
1+
T
T
Si la température de la source est à la température ambiante
T = T0, Alors
PBi = 0
Si dans le cas considéré, le bruit est du bruit thermique, la
puissance de bruit dans une bande donnée est donc :
GD : 2000 - révision 2015
𝑆
1
𝑆
( ) =
𝐵 𝑠 𝐹( )
𝐵 𝑒
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EE479 Electroniques des capteurs
Systèmes et Composants Electroniques
ou en décibels
G2 PBi1 = G2 G1 k Te1 B
𝑆
( ) = 𝑆
𝐵 𝑠 ( ) | − 𝐹|𝑑𝐵
𝐵 𝑒 𝑑𝐵
b/ Retour à la définition
La définition du facteur de bruit peut se voir comme le
quotient du rapport signal sur bruit de l’entrée sur celui de la
sortie avec un bruit thermique à la T° de T o 290°K en entrée :
𝐹=
(𝑆⁄𝐵)
𝑒
(𝑆⁄𝐵)
Le facteur de bruit s’écrit :
𝐹=
𝑒
(𝑆⁄𝐵)
=
𝑠
G1
𝑃𝑠𝑒 𝑃𝐵𝑠
𝑃𝑠𝑒 𝑃𝐵𝑠
1 𝑃𝐵𝑠
= 𝑒∙ 𝑠 = 𝑠 ∙ 𝑒 = ∙ 𝑒
𝑃𝐵 𝑃𝑠
𝑃𝑠 𝑃𝐵
𝐺 𝑃𝐵
𝑃𝑠𝐵 (𝑇)
= GkB(𝑇 + 𝑇𝑒 )
𝑃𝑖2
𝑏 (𝑇𝑒2 )
= k𝑇𝑒2 B
Pi2 = G2kTe2B.
On a donc :
PBs = G PBe + G PBi1 + PBi 2
2
PBs = G1 G2 k T B + G2 G1 k Te1 B + G2 k Te2 B
PBs = G k T B + G k Te1 B + G2 k Te2 B
𝐺𝑃𝐵𝑒 + 𝑃𝐵𝑖
𝑃𝐵𝑖
=
1
+
𝐺 𝑃𝐵𝑒
𝐺 𝑃𝐵𝑒
PBs = k G B ( 𝑇 + 𝑇𝑒1 +
Le facteur de bruit F quantifie la dégradation du rapport signal
sur bruit d’un amplificateur.
𝑇𝑒1
𝐺1
)
Par ailleurs, par définition, la température équivalente de bruit
en entrée, Te, est telle que la puissance de bruit disponible en
sortie peut s’écrire :
𝐹≥1
s = G k B(T + T )
PB
e
Pour un amplificateur parfait F=1.
D’où par identification :
Conclusion
Le bruit interne est donc négligeable (F  1) pour les
amplificateurs ayant un gain très important.
4/ Bruit en sortie d’un système
a/ Formules de Friss
Objectif
On souhaite calculer le facteur de bruit global F d’une
structure à 2 amplificateurs bruités de gain G1 et G2. On
exprimera F en fonction des facteurs de bruit de chaque étage.
𝑇𝑒 = 𝑇𝑒1 +
Quadripôle 1
G1, PBi1
Quadripôle 2
G2, PBi2
Charge
Fig. 12 : Schéma fonctionnel d'une cascade d'amplificateurs bruités.
La puissance de bruit disponible en sortie est la somme des
contributions des différents bruits.
Puissance du bruit d’entrée amplifié :
𝐺𝑃𝐵𝑒 = 𝐺1 𝐺2 𝑃𝐵𝑒 = 𝐺1 𝐺2 𝑘 𝑇 𝐵
où G = G1.G2 désigne le gain global du système.
Puissance du bruit interne du premier amplificateur amplifié
par le second :
GD : 2000 - révision 2015
𝑇𝑒1
𝐺1
En appliquant la définition du facteur de bruit pour chaque
amplificateur :
𝑇𝑒1
𝑇𝑒2
𝐹1 = 1 +
𝑒𝑡 𝐹2 = 1 +
𝑇𝑜
𝑇𝑜
On a alors
𝑇𝑒
𝑇𝑒1
𝑇𝑒2
𝐹2 − 1
𝐹 =1+ = 1+
+
= 𝐹1 +
𝑇𝑜
𝑇𝑜 𝐺1 𝑇𝑜
𝐺1
Par récurrence, on peut généraliser (formules de Friis) :
Structure
Source
T
G2
Puissance du bruit interne du second amplificateur
où G désigne le gain en puissance du quadripôle.
Le facteur de bruit est donc le rapport entre la puissance de
bruit en sortie du quadripôle réel 𝑃𝐵𝑠 et la puissance de bruit
qu’il y aurait si le quadripôle était parfait 𝐺𝑃𝐵𝑒 . Soit,
𝑃𝐵𝑠 = 𝐺𝑃𝐵𝑒 + 𝑃𝐵𝑖
𝐹=
𝑃𝑠𝐵
= G2 𝑃𝐵𝑠1 + 𝑃𝐵𝑖2
= G2 [𝐺1 (𝑃𝐵𝑒 + 𝑃𝐵𝑖1 ) + 𝑃𝐵𝑖2
=⋯
Fig. 13 : Schéma des 2 amplificateurs parfait avec les T° de bruits
équivalentes en entrée des bruits internes.
Interprétation
(𝑆⁄𝐵)
𝑃𝐵𝑒 (𝑇)
= k𝑇B
𝑃𝑖1
𝑏 (𝑇𝑒1 )
= k𝑇𝑒1 B
|
𝑠 𝑇=𝑇
𝑜
𝑃𝑠𝑒
𝑃𝐵𝑒
𝑃𝑠𝑠
𝑃𝐵𝑠
𝑃𝑠1
𝐵
= G1 𝑃𝐵𝑒 + 𝑃𝐵𝑖1
= G1 kB(T + Te1 )
𝑇𝑒 = 𝑇𝑒1 +
𝐹 = 𝐹1 +
𝑇𝑒2
𝑇𝑒3
𝑇𝑒𝑚
+
+ ⋯ + 𝑚−1 + ⋯
∏𝑖=1 𝐺𝑖
𝐺1 𝐺1 𝐺2
𝐹2 − 1 𝐹3 − 1
𝐹𝑚 − 1
+
+ ⋯ + 𝑚−1 + ⋯
∏𝑖=1 𝐺𝑖
𝐺1
𝐺1 𝐺2
Commentaire
Chaque étage apporte sa propre contribution au bruit de sortie,
mais chacune d’elles est divisée par le gain des étages
précédents. Le bruit engendré par le premier étage est
prépondérant dans le bruit en sortie ; il convient donc
d’apporter une attention particulière à la conception du
premier étage.
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EE479 Electroniques des capteurs
Systèmes et Composants Electroniques
b/ Exemple élémentaire
Un
récepteur
micro-onde
MASER
(amplificateur
hyperfréquence) est utilisé en spatiales. On souhaite calculer
la température de bruit équivalente à l’entrée de l’ampli et le
facteur de bruit du dispositif.
Température d’antenne : Ta =14°K.
Ta
MASER
Gm ; T i
Gain en puissance : Gm = 30dB
T° interne de bruit : Ti= 4°K
Température de bruit équivalente en entrée :
PBs = G 𝑃𝐵𝑒 + 𝜆 𝑃𝐵𝑖 = G k T B +  k Ta B
Pour déterminer la valeur de , considérons la situation
particulière dans laquelle : T = Ta. Vu de la sortie, l’ensemble
source + atténuateur constitue alors une source unique de bruit
thermique à la température T = T a (en d’autres termes il n’y a
pas d’échange thermique entre la source et l’atténuateur). Le
bruit en sortie est alors le bruit délivré par cette source :
= 𝐾 𝑇𝑖 𝐵
Puissance thermique de bruit d’antenne :
𝑃𝐵𝑒 = 𝐾 𝑇𝑎 𝐵
Expression de Teqe Température de bruit équivalente en entrée
dû au bruit interne de l’amplificateur :
𝑃𝐵𝑠 = 𝑘 𝑇𝑎 𝐵
𝑒
𝐾𝑇𝑖 𝐵 = 𝑘 𝑇𝑒𝑞
𝐵
k Ta B = G k Ta B +  k Ta B
Soit
𝑇𝑖
4
=
= 4 𝑚𝐾
𝐺 1 000
d’où on déduit :
=1-G
Température de bruit en sortie
TBs Température de bruit en sortie dû au bruit interne de
l’amplificateur et au bruit de l’antenne :
𝑒
𝑇𝐵𝑠 = 𝐺(𝑇𝑒 + 𝑇𝑒𝑞
)
𝑇𝐵𝑠
= 1000 ∙ (14 + 4 ∙ 10
−3 )
= 14 000 𝐾
Facteur de bruit
Facteur de bruit de l’ampli est alors
S
F
S
Bs
 1
Be
e
Teq
Ta
 1
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑇 = 𝑇𝑎
En identifiant ce résultat avec l’équation générale dans
laquelle (T = Ta), on obtient :
𝑃𝐵𝑖 = 𝐺𝑃𝑏𝑖
𝑒
𝑇𝑒𝑞
=
4.10 3
14
et finalement :
PBs = G k T B + (1 - G) k Ta B.
Vérifions intuitivement cette relation :
- si G = 0 : tout se passe comme si on avait déconnecté
l’entrée de la sortie ; le bruit de la source est complètement
atténué, et le bruit interne ne peut que se diriger
intégralement vers la sortie ; dans ces conditions :
𝑃𝐵𝑠 = 𝑘 𝑇𝑎 𝐵
 1,0028
F  12 mdB
- si G =1 : il n’y a alors pas d’atténuation, et donc aucun
élément dissipatif dans l’atténuateur, et donc pas de source
de bruit interne ; le bruit de sortie est uniquement dû au
bruit d’entrée, et puisque G = 1.
5/ Cas des atténuateurs
PBs = k T B
Atténuateur
Un atténuateur est un circuit dissipatif bidirectionnel (lignes
de transmission sur câbles métalliques ou fibres optiques,
guides d’ondes utilisés dans les circuits hyperfréquence).
Dans un atténuateur, toute la puissance de bruit interne n’est
pas intégralement délivrée en sortie ; une partie de cette
puissance est réfléchie vers l’entrée. Pour déterminer sa
température de bruit, il faut calculer la puissance de bruit en
sortie.
i
PBe
T
Atténuateur T° Ta
G ; PBi
PB
Fig. 14 : Atténuateur avec bruit interne.
GD : 2000 - révision 2015
cela par définition.
Donc par identification, on déduit la température équivalente
en entrée de l’atténuateur :
𝑇𝑒 =
où
𝐴=
1−𝐺
𝑇𝑎 = (𝐴 − 1)𝑇𝑎
𝐺
1
>1
𝐺
est l’atténuation
Le facteur de bruit s’écrit alors :
GPB (T)
On veut le facteur de bruit.
PBs = G k (T + Te) B
Ampli
e
Objectif
0 <  < 1.
Détermination de
Puissance thermique de bruit interne :
𝑃𝐵𝑖
Considérons un atténuateur à la température T a
(Ta température physique, puisque l’atténuateur n’est le siège
d’aucun autre bruit que le bruit thermique), de gain en
puissance G (0 < G < 1), à l’entrée duquel est connectée une
source de bruit à la température T (température de bruit).
Le bruit en sortie, dans la bande B, est la somme du bruit
appliqué en entrée « amplifié » d’un gain G et d’une partie du
bruit interne engendré par l’atténuateur.
F = 1 + (A - 1)
Ta
.
To
T
On rappelle que F = 1  e
To
La température de bruit de l’atténuateur augmente donc avec
l’atténuation.
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EE479 Electroniques des capteurs
Systèmes et Composants Electroniques
En particulier, si l’atténuateur est à température ambiante, son
facteur de bruit est égal à son atténuation :
F = 2 + 2(4 - 2) +
F=A
F = 6,38 = 8 dB.
En conséquence une atténuation de 3 dB réduit de moitié le
rapport signal sur bruit.
Supposons que dans un récepteur, le premier étage soit
constitué d’un atténuateur à la température ambiante (par
exemple, les câbles de connexion entre l’antenne et le premier
amplificateur), suivi d’un préamplificateur de température de
bruit équivalente en entrée Tep. La température de bruit
équivalente en entrée Te de l’ensemble est donc, d’après la
formule de Friis :
𝑇𝑒 = 𝑇𝑒1 +
2(20-1)
100
La contribution du préamplificateur au facteur de bruit total
est de 4, celle du coaxial de 2. La contribution du coaxial
n’est donc plus négligeable lorsqu’il précède le
préamplificateur.
Sans préamplificateur
Antenne
Coaxial ,
A2 = 3 dB = 2
𝑇𝑒2
𝑇𝑒3
+
+⋯
𝐺1 𝐺1 𝐺2
Amplificateur
G3 = 90 dB
F3 = 13 dB =20
Fig. 17 : Chaîne de transmission bruitée.
𝐴𝑇𝑒3
𝑇𝑒 = (𝐴 − 1)𝑇𝑜 + A 𝑇𝑒𝑝 +
+⋯
𝐺2
Alors l’atténuateur en entrée amplifie la contribution du bruit
des étages qui le suivent. En conséquence, la place
qu’occupent les atténuateurs dans les récepteurs n’est pas
indifférente au bruit total.
Les formules de Friis pour les quadripôles en cascade et celles
concernant le cas particulier des atténuateurs permettent de
couvrir l’ensemble des situations rencontrées dans la pratique.
Exemple :
Chaîne initiale
Antenne
Préamplificateur
G1 = 20 dB
= 100
F1 = 6 dB = 4
Coaxial ,
A2 = 3 dB = 2
Amplificateur
G3 = 90 dB
F3 = 13 dB =20
Si le préamplificateur est omis :
F = F2 + A2(F3 - 1) = A2 + A2(F3 - 1)
F = 2 + 2(20 -1) = 40
F = 16 dB.
Sans le préamplificateur la puissance du bruit de sortie est
multipliée par 10.
6/ Température de bruit équivalente
On présente une méthode de mesure de la température de
bruit équivalente à l’entrée et du facteur de bruit. La
résistance thermique RTH étant à la température ambiante, T 0.
On mesure la puissance de sortie.
G
Gain en
puissance
RTH
Fig. 15 : Chaîne de transmission bruitée.
enceinte
De la formule de Friis, on déduit :
𝐹 = 𝐹1 +
Mesure de la
puissance de
sortie
𝐹2 − 1
𝐴2 (𝐹3 − 1)
F+
𝐺1
𝐺1
2−1
2(20 − 1)
𝐹 =4+
F+
= 4,39 = 6,4𝑑𝐵
100
100
La contribution du préamplificateur au facteur de bruit total
est de 4, celle du coaxial de 0,1 et est donc négligeable.
Ps1 =  PBs =  GkB(T0 + Te)
où  est le calibre de la mesure de puissance
Puis, on fait varier la température de l’enceinte de façon à
observer en sortie une puissance :
Ps2 = 2 Ps1 à la température Tr
Soit Tr la température correspondante.
Permutation
Si le coaxial et le préamplificateur sont inversés :
Antenne
Coaxial ,
A2 = 3 dB = 2
Préamplificateur
G1 = 20 dB
= 100
F1 = 6 dB = 4
Amplificateur
G3 = 90 dB
F3 = 13 dB =20
Ps2 =  G k B(Tr + Te) = 2 G k B (Te + To)
D’où, sans avoir à déterminer G ou B, on peut déduire la
température de bruit équivalente à l’entrée et le facteur de
bruit.
Te = Tr - 2T0
Fig. 16 : Chaîne de transmission bruitée V2.
𝐹 = 𝐹2 + 𝐴2 (𝐹1 − 1) +
𝐴2 (𝐹3 − 1)
𝐺1
T
T  2To Tr
F  1 e  1 r

1
To
To
To
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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Bibliographie
G. ASCH et Collaborateurs : Acquisition de données Du capteur à l’ordinateur. Dunod
P. HOROWITZ & W. HILL Traité de l’électronique : Vol. 1; Elektor
TRAN TIEN LANG : Electronique des systèmes de mesures ; Mise en œuvre des procédés analogique et numérique ;Masson
Au vray : Electronique des signaux analogiques. Dunod.
Coulon : Théorie et traitement des signaux. Traité d’électricité de l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne. Presses
Polytechniques et Universitaires Romandes.
Milsant : Cours d’électronique Tome 3. Eyrolles.
Ventre : Cours de télécommunication. Polycopié de l’Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications
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