LES QUADRIPOLES PASSIFS LINEAIRES

Quadripôles passifs linéaires : exercices
Exercice 1 : diviseur de tension
On considère le dispositif ci-contre :
1. Étude du circuit vu de l'entrée
a. Exprimer l’impédance d’entrée du quadripôle en
fonction de R1, R2 et Ru.
b. En déduire la valeur efficace de ie(t) si
ve(t) = 5.sin(1000.t) et Ru = 500 W.
2. Exprimer l’impédance de sortie du quadripôle en
fonction de R1 et R2.
3. Calculer la fonction de transfert
T=Vs
Ve
à vide
(Ru est débranchée) ; Ve et Vs sont les nombres
complexes associés respectivement à ve(t) et vs(t).
4. Le schéma ci-contre représente le quadripôle avec
une résistance Ru en sortie.
Indiquer les valeurs littérales des résistances et de la
source de tension puis exprimer Vs en fonction de Ve
et des résistances R1, R2 et Ru.
R1 = 1 kW et R2 =2 kW forment le diviseur de tension.
Ru est la résistance de charge. L’impédance interne
du générateur imposant ve(t) est supposée nulle.
Exercice 2 : détermination d'impédances d'entrée et de sortie
Les quadripôles représentés ci-dessous sont « attaqués » par un générateur dont l'impédance interne est une
résistance notée Rg. La charge est représentée par une impédance Zu.
Déterminer pour chacun d'eux les impédances complexes d'entrée et de sortie lorsque Zu est résistive
(Zu = Ru) puis lorsque Zu est constituée d'une capacité Cu en parallèle avec une résistance Ru.
Exercice 3 : mesures d'impédances d'entrée et de sortie
On considère un quadripôle dont les bornes d'entrée sont reliées à un générateur de résistance interne égale à
75 W. La charge du quadripôle est égale à 150 W. Pour déterminer les impédances d'entrée et de sortie du
quadripôle, on utilise les montages ci-dessous :
Indications des appareils : 8,4 V et 67 mA Indications des appareils : 7,5 V et 33 mA
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1. Le GBF délivre une tension sinusoïdale, indiquer le type des appareils de mesure utilisés (RMS ou
« classiques ») ainsi que leur position (AC, DC, AC + DC).
2. Impédance d'entrée
a. Indiquer le montage utilisé pour sa détermination.
b. Quelle est la valeur de la résistance R ?
c. Calculer le module de cette impédance d'entrée à partir des indications des appareils de mesure.
3. Impédance de sortie
a. Quelle est la valeur de la résistance R ?
b. Calculer le module de cette impédance d'entrée à partir des indications des appareils de mesure.
c. Proposer une méthode pour la détermination expérimentale de l'argument de l'impédance de sortie.
Exercice 4 : Étude d'un quadripôle
On étudie le quadripôle représenté ci-contre. La résistance Ru
placée entre ses bornes de sortie représente sa charge.
1. Détermination de l'impédance d'entrée
a. Exprimer l'impédance d'entrée Ze du quadripôle en fonction
de C, R, Ru et de la pulsation w des grandeurs d'entrée.
b. Mettre l'impédance d'entrée sous la forme Ze = Re + j Xe et
donner les expressions de Re et Xe en fonction des éléments
du montage. R = 1 kW, C = 470 nF, Ru = 470 W
c. Vers quelle valeur tend le module de l'impédance d'entrée si les grandeurs d'entrée sont continues ?
2. Étude pour une fréquence de 1000 Hz
La tension d'entrée du quadripôle est sinusoïdale, de fréquence 1 kHz et de valeur efficace 8 V.
a. Calculer le module de l'impédance d'entrée pour 1 kHz.
b. En déduire la valeur efficace de l'intensité en entrée du quadripôle.
c. Calculer l'argument de l'impédance d'entrée pour 1 kHz.
d. En déduire le déphasage de la tension par rapport à l'intensité en entrée du quadripôle.
e. Parmi les graphes ci-dessous et ceux de la page suivante, lequel (ou lesquels) peut (peuvent) correspondre
au cas étudié ?
Échelle verticale : une division pour 5 mA ou une division pour 2 V.
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Exercice 5 : répartiteur d'antenne
Une antenne de télévision se comporte comme un dipôle d'impédance de sortie égale à 75 W. Elle est reliée
au circuit de réception du téléviseur par un câble d'impédance caractéristique Z0 = R0, supposée résistive et
égale à 75 W.
1. Exprimer la puissance Pa transmise par l'antenne en fonction de la puissance Pr qu'elle reçoit.
On souhaite relier quatre téléviseurs à cette antenne.
2. Premier montage : le raccordement réalisé est schématisé
ci-contre.
a. Calculer l'impédance vue par l'antenne. Comparer la puissance
Pa4 transmise par l'antenne dans cette situation avec la puissance
Pa.
b. Calculer la puissance reçue par chaque téléviseur.
3. Deuxième montage : pour améliorer le
fonctionnement, le montage ci-contre est proposé (les
résistances sont notée R).
a. Exprimer l'impédance équivalente vue par l'antenne en
fonction de R et R0.
b. Calculer R pour que la charge branchée sur l'antenne
soit égale à son impédance caractéristique.
c. Calculer la puissance reçue par chaque récepteur et la comparer avec celle de la situation précédente.
Exercice 6 : adaptation d'impédance et rendement
Un générateur sinusoïdal est représenté par une fém de valeur efficace Eg en série avec une résistance Rg et
une réactance Xg (constituant l'impédance du générateur). La fréquence est notée f.
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Une impédance Zu, constituée d'une résistance Ru en série avec une réactance Xu, est placée aux bornes du
générateur (charge).
1. Dessiner le schéma de l'association.
2. Expression de l'intensité dans le circuit
a. Exprimer le nombre complexe I associé à l'intensité à travers le générateur en fonction des éléments du
montage.
b. Exprimer la valeur efficace de l'intensité à travers le générateur.
3. L'adaptation d'impédance est réalisée.
a. Écrire la nouvelle expression de la valeur efficace de l'intensité à travers le générateur.
b. Exprimer le puissance fournie par le générateur et celle reçue par la charge. Calculer le rendement. Cette
situation est-elle souhaitable dans le cas de la distribution d'énergie électrique.
Exercice 7 : adaptation en tension
Un capteur de masse délivre à vide une tension Vp0 évoluant entre 0 et 10 V lorsque la masse M qu'il mesure
évolue de 0 à 5000 kg. Le facteur de proportionnalité entre Vp0 et M est noté K : Vp0 = K.M.
1. Calculer K.
La résistance de sortie du capteur est notée Rp et vaut 1 kW. Le capteur peut donc être représenté par une fém
(notée Ep) en série avec la résistance Rp.
Le capteur est raccordé à une entrée d'automate dont la résistance d'entrée est notée Rau.
2. Tensions en entrée de l'automate
a. Exprimer Vp (tension de sortie du capteur) en fonction de Ep, Rp et Rau (il peut être judicieux de représenter
le schéma équivalent).
b. Calculer Vp si Rau = 5 kW lorsque M = 2500 kg.
c. Quelle valeur de Rau donnerait Vp = 5 V lorsque M = 2500 kg ?
Exercice 8: démonstration de la condition d'adaptation d'impédance
Le schéma ci-contre représente la liaison entre deux
quadripôles, l'un est représenté par Es1 et Zs1 (fém et impédance
de sortie), l'autre est représenté par son impédance d'entrée Ze2.
1. Expression de la puissance transmise à Ze2
a. Exprimer I en fonction des éléments du montage
b. Exprimer la puissance P transmise au second quadripôle en
fonction de Re2, Xe2, Rs1, Xs1 et Es1.
Zs1=Rs1j Xs1
et
Ze2=Re2j Xe2
2. L'objectif est de montrer que la puissance transmise est maximale si les impédances Ze2 et Zs1 ont des
parties réelles égales et des parties imaginaires de même valeur absolue mais de signes contraires.
a. La puissance est maximale si le dénominateur est minimal, en déduire la condition sur les parties
imaginaires des impédances de sortie et d'entrée. Écrire l'expression de P lorsque cette condition est
vérifiée.
b. Déterminer l'expression de la dérivée de P (question 2.a) par rapport à Re2 et montrer qu'elle s'annule
lorsque Re2 = Rs1.
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