LES QUADRIPOLES PASSIFS LINEAIRES
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Quadripôles passifs linéaires : exercices Exercice 1 : diviseur de tension On considère le dispositif ci­contre : 1. Étude du circuit vu de l'entrée a. Exprimer l’impédance d’entrée du quadripôle en fonction de R1, R2 et Ru. b. En déduire la valeur efficace de ie(t) si ve(t) = 5.sin(1000.t) et Ru = 500 W. 2. Exprimer l’impédance de sortie du quadripôle en fonction de R1 et R2. Vs à vide R1 = 1 kW et R2 =2 kW forment le diviseur de tension. Ve Ru est la résistance de charge. L’impédance interne (Ru est débranchée) ; Ve et Vs sont les nombres du générateur imposant ve(t) est supposée nulle. complexes associés respectivement à ve(t) et vs(t). 3. Calculer la fonction de transfert T = 4. Le schéma ci­contre représente le quadripôle avec une résistance Ru en sortie. Indiquer les valeurs littérales des résistances et de la source de tension puis exprimer Vs en fonction de Ve et des résistances R1, R2 et Ru. Exercice 2 : détermination d'impédances d'entrée et de sortie Les quadripôles représentés ci­dessous sont « attaqués » par un générateur dont l'impédance interne est une résistance notée Rg. La charge est représentée par une impédance Zu. Déterminer pour chacun d'eux les impédances complexes d'entrée et de sortie lorsque Zu est résistive (Zu = Ru) puis lorsque Zu est constituée d'une capacité Cu en parallèle avec une résistance Ru. Exercice 3 : mesures d'impédances d'entrée et de sortie On considère un quadripôle dont les bornes d'entrée sont reliées à un générateur de résistance interne égale à 75 W. La charge du quadripôle est égale à 150 W. Pour déterminer les impédances d'entrée et de sortie du quadripôle, on utilise les montages ci­dessous : Indications des appareils : 8,4 V et 67 mA Quadripôles Page 1 sur 4 Indications des appareils : 7,5 V et 33 mA TS2ET 2014­2015 1. Le GBF délivre une tension sinusoïdale, indiquer le type des appareils de mesure utilisés (RMS ou « classiques ») ainsi que leur position (AC, DC, AC + DC). 2. Impédance d'entrée a. Indiquer le montage utilisé pour sa détermination. b. Quelle est la valeur de la résistance R ? c. Calculer le module de cette impédance d'entrée à partir des indications des appareils de mesure. 3. Impédance de sortie a. Quelle est la valeur de la résistance R ? b. Calculer le module de cette impédance d'entrée à partir des indications des appareils de mesure. c. Proposer une méthode pour la détermination expérimentale de l'argument de l'impédance de sortie. Exercice 4 : Étude d'un quadripôle On étudie le quadripôle représenté ci­contre. La résistance Ru placée entre ses bornes de sortie représente sa charge. 1. Détermination de l'impédance d'entrée a. Exprimer l'impédance d'entrée Ze du quadripôle en fonction de C, R, Ru et de la pulsation w des grandeurs d'entrée. b. Mettre l'impédance d'entrée sous la forme Ze = Re + j Xe et donner les expressions de Re et Xe en fonction des éléments du montage. R = 1 kW, C = 470 nF, Ru = 470 W c. Vers quelle valeur tend le module de l'impédance d'entrée si les grandeurs d'entrée sont continues ? 2. Étude pour une fréquence de 1000 Hz La tension d'entrée du quadripôle est sinusoïdale, de fréquence 1 kHz et de valeur efficace 8 V. a. Calculer le module de l'impédance d'entrée pour 1 kHz. b. En déduire la valeur efficace de l'intensité en entrée du quadripôle. c. Calculer l'argument de l'impédance d'entrée pour 1 kHz. d. En déduire le déphasage de la tension par rapport à l'intensité en entrée du quadripôle. e. Parmi les graphes ci­dessous et ceux de la page suivante, lequel (ou lesquels) peut (peuvent) correspondre au cas étudié ? Échelle verticale : une division pour 5 mA ou une division pour 2 V. Quadripôles Page 2 sur 4 TS2ET 2014­2015 Exercice 5 : répartiteur d'antenne Une antenne de télévision se comporte comme un dipôle d'impédance de sortie égale à 75 W. Elle est reliée au circuit de réception du téléviseur par un câble d'impédance caractéristique Z0 = R0, supposée résistive et égale à 75 W. 1. Exprimer la puissance Pa transmise par l'antenne en fonction de la puissance Pr qu'elle reçoit. On souhaite relier quatre téléviseurs à cette antenne. 2. Premier montage : le raccordement réalisé est schématisé ci­contre. a. Calculer l'impédance vue par l'antenne. Comparer la puissance Pa4 transmise par l'antenne dans cette situation avec la puissance Pa. b. Calculer la puissance reçue par chaque téléviseur. 3. Deuxième montage : pour améliorer le fonctionnement, le montage ci­contre est proposé (les résistances sont notée R). a. Exprimer l'impédance équivalente vue par l'antenne en fonction de R et R0. b. Calculer R pour que la charge branchée sur l'antenne soit égale à son impédance caractéristique. c. Calculer la puissance reçue par chaque récepteur et la comparer avec celle de la situation précédente. Exercice 6 : adaptation d'impédance et rendement Un générateur sinusoïdal est représenté par une fém de valeur efficace Eg en série avec une résistance Rg et une réactance Xg (constituant l'impédance du générateur). La fréquence est notée f. Quadripôles Page 3 sur 4 TS2ET 2014­2015 Une impédance Zu, constituée d'une résistance Ru en série avec une réactance Xu, est placée aux bornes du générateur (charge). 1. Dessiner le schéma de l'association. 2. Expression de l'intensité dans le circuit a. Exprimer le nombre complexe I associé à l'intensité à travers le générateur en fonction des éléments du montage. b. Exprimer la valeur efficace de l'intensité à travers le générateur. 3. L'adaptation d'impédance est réalisée. a. Écrire la nouvelle expression de la valeur efficace de l'intensité à travers le générateur. b. Exprimer le puissance fournie par le générateur et celle reçue par la charge. Calculer le rendement. Cette situation est­elle souhaitable dans le cas de la distribution d'énergie électrique. Exercice 7 : adaptation en tension Un capteur de masse délivre à vide une tension Vp0 évoluant entre 0 et 10 V lorsque la masse M qu'il mesure évolue de 0 à 5000 kg. Le facteur de proportionnalité entre Vp0 et M est noté K : Vp0 = K.M. 1. Calculer K. La résistance de sortie du capteur est notée Rp et vaut 1 kW. Le capteur peut donc être représenté par une fém (notée Ep) en série avec la résistance Rp. Le capteur est raccordé à une entrée d'automate dont la résistance d'entrée est notée Rau. 2. Tensions en entrée de l'automate a. Exprimer Vp (tension de sortie du capteur) en fonction de Ep, Rp et Rau (il peut être judicieux de représenter le schéma équivalent). b. Calculer Vp si Rau = 5 kW lorsque M = 2500 kg. c. Quelle valeur de Rau donnerait Vp = 5 V lorsque M = 2500 kg ? Exercice 8: démonstration de la condition d'adaptation d'impédance Le schéma ci­contre représente la liaison entre deux quadripôles, l'un est représenté par Es1 et Zs1 (fém et impédance de sortie), l'autre est représenté par son impédance d'entrée Ze2. 1. Expression de la puissance transmise à Ze2 a. Exprimer I en fonction des éléments du montage b. Exprimer la puissance P transmise au second quadripôle en fonction de Re2, Xe2, Rs1, Xs1 et Es1. Z s1= R s1 j X s1 et Z e2 =Re2 j X e2 2. L'objectif est de montrer que la puissance transmise est maximale si les impédances Ze2 et Zs1 ont des parties réelles égales et des parties imaginaires de même valeur absolue mais de signes contraires. a. La puissance est maximale si le dénominateur est minimal, en déduire la condition sur les parties imaginaires des impédances de sortie et d'entrée. Écrire l'expression de P lorsque cette condition est vérifiée. b. Déterminer l'expression de la dérivée de P (question 2.a) par rapport à Re2 et montrer qu'elle s'annule lorsque Re2 = Rs1. Quadripôles Page 4 sur 4 TS2ET 2014­2015
