Fonctions `a variations bornées

Quelques r´esultats sur la diff´erentiabilit´e
La diff´erentiabilit´e est au cœur de nombreux probl`emes math´ematiques
et principalement en analyse. L’une de ses applications les plus importantes
est l’´etude des ´equations diff´erentielles. Il est donc important d’avoir des
conditions assurant la diff´erentiabilit´e d’une fonction.
Ici, on s’int´eressera au cas des fonctions `a variations born´ees et au th´eor`eme
de Rademacher.
On va introduire les fonctions `a variations born´ees et aboutir au th´eor`eme
de compacit´e de Helly. Au passage, on ´enoncera des propri´et´es plus ou moins
´el´ementaires sur ces fonctions, qui sont utiles lorsqu’on s’int´eresse de plus pr`es
`a ces fonctions. Toutefois, on n’´etudiera que les fonctions d’une variable, car
le cas de fonctions de deux variables est d´ej`a bien plus compliqu´e et au-
del`a, cela ne s’arrange pas. Il faut notamment faire intervenir la th´eorie des
distributions et des mesures.
Par ailleurs, le th´eor`eme de Rademacher est un r´esultat simple mais sur-
prenant, qui peut ˆetre utilis´e facilement. Son int´erˆet est qu’il est utilisable
pour des fonctions de plusieurs variables `a valeurs vectorielles.
Premi`ere partie
Fonctions `a variations born´ees
D´efinition 1. 1 Soit Jun intervalle de R. Soit une application u:J→Rn.
On appelle variation totale de ula quantit´e :
τ(u) = sup (N
X
j=1
|u(xj)−u(xj−1)|)
1

o`u Nest un entier non nul et (x0, ..., xn)sont des points de Jtels que
x0< ... < xn.
Si cette quantit´e est finie, on dit que uest `a variations born´ees.
On note BV l’ensemble des fonctions `a variations born´ees.
On va maintenant donner quelques propri´et´es ´el´ementaires sur les fonc-
tions `a variations born´ees.
Propri´et´e 1. 2 –
– Une fonction monotone sur un intervalle born´e est `a variations born´ees.
– Une fonction monotone admettant des limites finies aux bornes de son
intervalle de d´efinition est `a variations born´ees.
– Toute fonction `a variations born´ees est born´ee.
– Toute fonction dont la d´eriv´ee est born´ee est `a variations born´ees.
– Toute fonction ffinie sur un intervalle (a, b)v´erifie :
∀c∈(a, b), τ(a,b)(f) = τ(a,c)(f) + τ(c,b)(f).
– L’ensemble BV des fonctions `a variations born´ees est stable par la plu-
part des op´erations. On retiendra que BV est un sous-espace vectoriel
de F(R,R).
Ces r´esultats sont assez ´el´ementaires. Leur int´erˆet principal est de re-
connaˆıtre assez facilement certaines fonctions `a variations born´ees.
On va maintenant ´enoncer quelques propri´et´es moins imm´ediates, qui
sont utiles pour la suite.
Propri´et´e 1. 3 Soit u:]a, b[→Rnune fonction `a variations born´ees.
∀x∈]a, b[, les limites `a gauche et `a droite de uen xsont bien d´efinies.
De plus, uadmet un nombre de points de discontinuit´e au plus d´enombrable.
Ainsi, si uest `a variations born´ees, on peut red´efinir la valeur de uen
chaque point de discontinuit´e en posant u(x) = u(x+). Par cons´equent, uest
continue `a droite.
On va maintenant introduire la fonction variation totale de u, not´ee U,
qui mesure la variation totale de la fonction usur les intervalles ] − ∞, x[.
Cette fonction sera utile notamment dans les d´emonstrations futures.
D´efinition 1. 4 Soit uune fonction `a variations born´ees sur Ret continue
`a droite. La fonction variation totale de uest la fonction :
U:x7→ sup (N
X
j=1
|u(xj)−u(xj−1)| | N≥1, x0< ... < xN=x)
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La fonction variation totale pr´esente des propri´et´es int´eressantes qui se-
ront utiles pour certaines d´emonstrations.
Propri´et´e 1. 5 –
– La fonction Uest croissante.
– La fonction Uest continue `a droite.
– La fonction Uv´erifie U(−∞) = 0 et U(+∞) = τ(u).
–∀x < y, on a : |u(y)−u(x)| ≤ U(y)−U(x).
On a ´enonc´e les principales propri´et´es qui nous seront utiles pour aboutir
au th´eor`eme de Helly.
Avant de passer `a la partie ”importante” des fonctions `a variations born´ees,
on va rapidement ´evoquer une autre mani`ere d’approcher les fonctions `a va-
riations born´ees, `a l’aide des fonctions monotones. C’est cette approche que
privil´egie Natanson, dans ”Theory of Functions of a real variable”.
Natanson montre que les fonctions croissantes ont un nombre de points
de discontinuit´e au plus d´enombrable et introduit la fonction de saut associ´ee
`a une fonction.
Puis il s’int´eresse `a la diff´erentiabilit´e des fonctions monotones. ` A l’aide de
plusieurs lemmes, on en d´eduit essentiellement trois r´esultats importants :
– Toute fonction croissante d´efinie sur un segment admet une d´eriv´ee
finie en presque tout point. Autrement dit, elle est d´erivable presque
partout. De plus, la d´eriv´ee est mesurable et int´egrable sur le segment.
– Une fonction `a variations born´ees est la somme de sa fonction de saut
et d’une fonction continue `a variations born´ees.
– Une fonction est `a variations born´ees si et seulement si elle est la
diff´erence de deux fonctions croissantes. Par cons´equent, elle est d´erivable
en presque tout point et sa d´eriv´ee est int´egrable.
Dans ”Analyse r´eelle et complexe”, Rudin ´evoque une autre mani`ere de
d´emontrer la diff´erentiabilit´e des fonctions `a variations born´ees, `a l’aide de
notions de th´eorie de la mesure.
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Deuxi`eme partie
Th´eor`eme de compacit´e de
Helly
Avant de citer le th´eor`eme de Helly proprement dit, on va s’int´eresser `a
deux propositions utiles lorsqu’on pousse plus loin l’´etude des fonctions `a va-
riations born´ees. Ces propri´et´es sont ´enonc´ees par Bressan, dans ”Hyperbolic
systems of conservation laws : The one dimensional Cauchy problem”.
Proposition 2. 1 (Approximation par des fonctions en escalier) Soit
u:R→Rnune fonction continue `a droite et `a variations born´ees.
Pour tout ε > 0, il existe une fonction en escalier vtelle que τ(v)≤τ(u)et
kv−uk∞≤ε.
Si de plus, on a R0
−∞ |u(x)−u(−∞)|dx +R+∞
0|u(x)−u(+∞)|dx < +∞,
alors on peut trouver vv´erifiant de plus kv−ukL1≤ε.
Proposition 2. 2 Soit u:R→Rnune fonction `a variations born´ees.
Alors :
∀ε > 0,on a : 1
ε·Z+∞
−∞
|u(x+ε)−u(x)|dx ≤τ(u).
Ce r´esultat est en fait utile lorsqu’on ´etudie les fonctions `a variations
born´ees de plusieurs variables.
Th´eor`eme 2. 3 (Helly) Soit (uk)k∈Nune suite de fonctions de Rdans Rn.
Si il existe Cet Mtels que ∀k∈N,∀x∈R, τ (uk)≤Cet |uk(x)| ≤ M,
alors il existe une fonction u`a variations born´ees et une suite extraite uφ(k)k∈N
qui converge simplement de limite u. De plus, on a : τ(u)≤Cet pour tout
x∈R,|u(x)| ≤ M.
Autrement dit, BV est compact dans F(R,R).
On va maintenant d´emontrer une application aux fonctions de deux va-
riables, ce qui est plus utile en pratique.
Corollaire 2. 4 Soit (uk)k∈Nune suite de fonctions de [0,+∞[×Rdans Rn.
Si il existe des constantes C,Met Ltelles que pour tout k∈N, on a :
∀t∈R+,∀x∈R, τ(uk(t, .)) ≤C, |uk(t, x)| ≤ M
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et ∀(s, t)∈(R+)2,Z+∞
−∞
|uk(t, x)−uk(s, x)|dx ≤L|t−s|,
alors il existe une suite extraite uφ(k)k∈Nconvergente vers une limite udans
L1
loc ([0,+∞[×R,Rn)qui v´erifie la propri´et´e :
∀(s, t)∈(R+)2,Z∞
−∞
|u(t, x)−u(s, x)|dx ≤L|t−s|.
De plus, les valeurs de upeuvent ˆetre uniquement d´etermin´ees en posant :
∀t∈R+,∀x∈R, u(t, x) = u(t, x+).
On a alors ∀t∈R+,∀x∈R, τ(u(t, .)) ≤C, |u(t, x)| ≤ M.
Troisi`eme partie
Th´eor`eme de Rademacher
D´efinition 3. 1 Soit Ωun ouvert de Rn, soit f: Ω →Rm.fest une fonc-
tion localement lipschitzienne si et seulement si
∀x∈Ω∃δ > 0et kx>0∀(u, v)∈]x−δ, x +δ[2|f(u)−f(v)| ≤ kx|u−v|.
D´efinition 3. 2 Soit f: [a, b]→C. On dit que fest absolument continue
si et seulement si
∀ε > 0∃δ > 0∀n∈N∗pour tous intervalles ]α1, β1[, ..., ]αn, βn[disjoints
inclus dans [a, b]
n
X
i=1
(βi−αi)< δ ⇒
n
X
i=1
|f(βi)−f(αi)|< ε
On remarque que toute fonction lipschitzienne est absolument continue
(il suffit de prendre δ=ε
ko`u kest la constante de Lipschitz de la fonction).
On remarque aussi que toute fonction absolument continue est continue (car
la continuit´e consiste `a v´erifier le cas n=1).
On va maintenant ´enoncer un th´eor`eme qu’on admettra. Il a ´et´e d´emontr´e
par Rudin dans son livre ”Analyse r´eelle et complexe”, chapitre 8. Il fait appel
`a des notions de th´eorie de la mesure notamment. (La mesure consid´er´ee ici
est la mesure de Lebesgue sur R).
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