Correction - TD n˚9 - Induction électromagnétisme 1 Chauffage par

Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
Physique
Correction - TD n˚9 - Induction
électromagnétisme
1 Chauffage par induction
−
→
→
u z : voir cours ou exercice vu en première année. On peut utiliser le fait
1. B = µ0 ni(t)−
−
→
que le champ B est nécessairement nul à l’infini car sinon, le champ magnétique serait
constant à l’infini, ce qui implique une énergie infinie.
2. La distribution de courant est invariante par rotation d’angle θ et par translation suivant
l’axe z, donc le champ ne dépend ni de θ, ni de z.
Tout plan passant par un point M à la distance r de l’axe du solénoïde, et orienté suivant
→
→
les vecteurs −
u z et −
u r est un plan d’antisymétrie du problème, donc le champ électrique
→
est nécessairement selon le vecteur −
u θ , donc :
−
→
→
E = Eθ (r)−
uθ
−
→
3. Calculons la circulation de E sur le cercle de rayon r, avec r < a, orienté dans le même
sens que le courant, et de surface S :
I
→
x ∂−
B −
dΦ
→ x −→−
−
→ −
→ −
→
→
E ·d ` =
rot E · d S = −
· dS = −
∂t
dt
C
S
S
où l’on a utilisé successivement l’équation de Maxwell-Faraday et le théorème de Stokes
H →
dΦ
dB
→
− −
sur le contour C. Or : C E · d ` = 2πEθ (r) et −
= −πr2
= πr2 µ0 ni0 sinωt, donc :
dt
dt
rµ0 ni0
→
−
→
E =
sinωt−
uθ
2
4. Dans le cylindre conducteur, il se crée donc un courant :
−
→ γrµ0 ni0
−
→
→
j = γE =
sinωt−
uθ
2
5. La puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le cylindre correspond à la puissance
moyenne dissipée par les forces de Lorentz , qui s’écrit :
y −
y
y
−
→→
hPLor i =
j · E dτ =
γE 2 dτ =
γ
cylindre
ωµ0 ni0 r
2
!2
hsin2 ωtirdrdθdz =
π
(µ0 ni0 )2 γω 2 b4 L
16
Cette énergie est dissipée sous forme d’effet Joule et va donc chauffer le milieu. Le chauffage
étant causé par les courants induits par le champ magnétique appelés courants de Foucault,
on parle donc de chauffage par induction.
6. Les plaques à induction sont des plaques de cuisson fondées le même principe, c’est à dire
utilisant l’effet Joule généré par les courants de Foucault.
Dans ce type de plaque, des inducteurs magnétiques sont placés sous la surface en vitrocéramique. Ces inducteurs génèrent un champ magnétique (car ils sont parcourus par
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un courant électrique à une fréquence réglable entre 50 Hz et 50 000 Hz) qui induit des
courants électriques dans le métal de la casserole. Ces courants produisent par effet joule
de l’énergie thermique (chaleur) en circulant dans le métal de la casserole.
Avec une plaque à induction, la surface de la plaque reste presque froide, seulement chauffée
par la casserole elle-même. Il y a donc peu de risques de se brûler en touchant la plaque
après retrait de l’ustensile et aucun risque à la prise en main de son manche, un moins grand
risque de se brûler sur les bords de casseroles lorsqu’elles sont non pleinement remplies, ni
sur leurs couvercles.
Les casseroles doivent être d’un métal magnétique, c’est-à-dire qu’un aimant doit pouvoir
se coller dessus. Autrement dit, les casseroles à base de fer fonctionnent bien, alors que
celles à base de cuivre ou d’aluminium ne sont pas utilisables.
2 Coup de foudre
1. La charge totale s’écrit :
Q=
Z ∞
0
I(t)dt = aire sous la courbe ' 30 carreaux
Or un carreau correspond à 100.10−6 s × 20.103 A = 2C, soit Q = 60C .
60
Q
= −3 = 6.104 A.
T
10
2. En utilisant un modèle simplifié de condensateur entre le sol (chargé positivement), et le
bas du nuage (chargé négativement par un processus complexe qui résulte principalement
de la friction des particules les plus lourdes contre les autres en tombant à l’intérieur du
nuage, et de l’ionisation par les rayons cosmiques), on peut écrire : U = Eh = 5.106 V ,
L’intensité moyenne vaut donc : Imoy =
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et Eeclair = Cu2 = QU = 1.5 × 108 J, soit, sachant que 1kW h = 3.6 × 106 J, Eeclair =
2
2
41kW h. Cette énergie est très faible, car elle n’est que 150 fois supérieure à la ration
ration énergétique journalière d’un être humain. La brièveté du phénomène et la faible
énergie véhiculées par la foudre, qui s’ajoutent au caractère aléatoire de l’emplacement sur
lequel tombe la foudre, rend vain tout espoir d’utiliser la foudre comme source potentielle
d’"énergie propre"...
3.
a) La longueur du canal emprunté par l’éclair : D ' 1km.
Le courant se propage à une vitesse proche de celle de la lumière dans le vide :
c ' 3.108 m.s−1 .
Temps du phénomène : τ ' 10−3 s.
L’approximation de l’A.R.Q.S. est valable si le temps de propagation est négligeable
par rapport à la durée du phénomène, soit si T τ .
D
Ici, T '
' 3.3µs τ = 1000µs, donc l’A.R.Q.S. est bien vérifiée.
c
b) Le canal de l’éclair se comporte comme un fil, et génère un champ magnétique ortho−
→ µ0 I −
→
uθ
radial donné par : B =
2πr
→
−
Ce champ B génère à travers un éventuel circuit C sur lequel s’appuie une surface S
s−
→ −
→
à travers laquelle le champ magnétique crée un flux : Φ = B · d S
La présence de ce flux variable crée une f.e.m. induite e, correspondant à une tension,
donnée par la loi de Faraday :
→
x ∂−
B −
dΦ
→
=−
· dS
e=−
dt
∂t
La tension perturbatrice dans le circuit correpond donc à e, et est proportionnelle aux
variations temporelles de du champ magnétique, et donc par conséquent du courant
dans le canal de l’éclair.
dI
Les perturbations sont donc maximales lorsque
est maximal, soit entre 0 et 100µs
dt
lors de l’établissement du courant, et aussi une perturbation un peu plus faible entre
600 et 700µs au moment de la chute de courant.
La valeur de cette perturbation ne dépend pas seulement du courant, mais également
1
de la distance à l’éclair (en ) et de la dimension et de l’orientation du circuit.
r
3 Vol d’énergie
La ligne haute tension étant parcourue par un courant alternatif, un champ magnétique orthoradial autour des lignes est généré.
Si un utilisateur peu scrupuleux place un circuit rectangulaire de façon à récupérer le flux
de ce champ magnétique, il pourra brancher ce circuit sur un récepteur et donc récupérer de
l’énergie.
Ceci ne serait pas possible avec une tension continue. En effet, afin qu’un courant induit
apparaisse dans le circuit, il faut que le flux du champ magnétique à travers le circuit soit
variable. Le courant recueilli est donc un courant alternatif.
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L’effet de ce vol d’énergie est, en vertu de la loi de Lenz, de créer un champ magnétique qui
va tendre à diminuer celui créé par le fil haute tension, et donc créer un champ électromoteur
qui va tendre à "ralentir le courant" du fil haute tension. Il apparaîtra ainsi une chute de courant
qui peut être mesurable si le vol d’énergie n’est pas négligeable devant les pertes en ligne.
Remarque : l’origine du champ électromoteur précédent est le champ de Neumann. En effet,
−
→
d’après la symétrie du problème le potentiel vecteur A est dirigé suivant l’axe du fil. Donc
→
−
∂A
−
→
→
Em = −
est également dirigé suivant −
u z.
∂t
−
→
−
→
−
→
→
−→−
La modification de B modifie A en vertu de la relation B = rot A , et donc également le
champ électromoteur de Neumann.
4 Analyse qualitative du phénomène d’induction
1. Si l’aimant n’est pas en mouvement, aucun phénomène d’induction ne peut avoir lieu et
UAB = 0.
2. Quand on approche l’aimant dans le sens précisé sur la figure, le flux du champ magnétique
à travers la bobine augmente (on rappelle que le champ magnétique "sort par la face
nord" d’un aimant). Il apparaît donc dans celle-ci un courant induit qui crée un champ
magnétique s’opposant à cette augmentation de flux, d’après la loi de Lenz, donc dirigé en
→
sens contraire de −
v : le courant induit est positif de A vers B et UAB est donc positive
dans la résistance.
5 Forces de Laplace
1.
a) La force de Laplace s’exerçant sur la tige s’écrit :
−
→
F Laplace =
Z
tige
−
→ →
−
−
→
id ` ∧ B = −I`(x)B0 cosα→
u x − I`(x)B0 sinα−
uz
où `(x) = 2xtanθ correspond à la longueur de la tige parcourue par un courant
→
lorsque celle-ci se trouve à l’abscisse x, et où le vecteur −
u z est le vecteur unitaire
perpendiculaire au plan dans lequel glisse la barre.
b) L’application du principe fondamental de la dynamique appliqué à la tige permet
d’obtenir :
→
d−
v
−
→ −
→
→
−
= P + R N + F Laplace
m
dt
−
→
où R N est la force de réaction exercée par le support sur la tige. Celle-ci est normale
au plan de déplacement de la tige à cause de l’absence de frottement.
En projection sur l’axe x, on obtient :
mẍ = mgsinα − 2IxtanθB0 cosα
qui peut se réécrire sous la forme d’une équatiopn différentielle harmonique :
ẍ + ω02 x = gsinα
avec ω02 =
2ItanθB0 cosα
.
m
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Cette équation a pour solution, en utilisant les conditions initiales :
x=
gsinα
(1 − cosω0 t)
ω02
La tige va donc osciller à la pulsation ω0 .
c) Si on change le sens du courant, la tige chute jusqu’en bas de la rampe, car aucune
force n’est dirigée vers le haut de la rampe cette fois-ci. L’équation de la tige est une
exponentielle en fonction de la position x.
2.
a) Les forces de Laplace des fils verticaux se compensent, et la force de Laplace du fil
situé au niveau de la balance est nulle car le champ magnétique y est très faible
(valeur importante seulement dans l’entrefer de l’aimant en U). La résultante des
forces de Laplace est celle s’exerçant sur le tronçon horizontal situé dans l’entrefer
de l’aimant. En utilisant l’expression de la force de Laplace et en tenant compte du
sens du champ magnétique et du sens du courant, on montre directement que la force
exercée sur le fil est dirigée vers le bas. L’effet sera donc potentiellement mesurable
sur la balance.
b) La norme de la force est donnée par :
FLaplace = I`B0 = 1 × 5.10−2 × 0.1 = 5.10−3 N
FLaplace
= 5.10−4 kg
g
soit un demi gramme, ce qui est mesurable avec une bonne balance.
ce qui entraînera une variation de masse sur la balance de ∆m =
3. Les forces de Laplace s’exerçant sur les parties latérales du circuit sont horizontales et
dirigées vers l’extérieur de l’entrefer. Les deux forces ne sont pas coléinéaires et induisent
un moment entraînant la rotation du cadre autour de son axe.
Lorsque le cadre est à l’horizontale, les deux forces sont colinéaires et le moment est nul.
Si le signe du courant ne change pas, lorsque le cadre dépasse la position horizontale, le
moment exercé par le couple de force de Laplace change de signe, et le sens de rotation
s’inverse.
Pour éviter ceci et continuer la rotation, grâce à une partie isolante au niveau du rotor du
moteur (trait noir sur la figure), le signe du courant change de sens et le moment reste
dirigé dans le même sens.
Ce système fonctionne même si l’alimentation est continue pouisque le changement de signe
du courant est dû à la mécanique même du système et non pas à une source de courant
alternatif.
6 Induction et conversion d’énergie
1. La tige étant en mouvement dans un champ magnétique stationnaire, elle est soumise à un
phénomène d’induction de Lorentz. Il apparaît donc dans la tige une force électromotrice e
telle que
Z
e=
tige
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−
−
→ →
−
→
→
−
→
→
→
→
E m · d` avec E m = −
v e ∧ B = v−
u z ∧ (−B −
u y ) = Bv −
ux
5
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−
→
et où e est orienté dans le sens de d`. En orientant le circuit dans le sens trigonométrique,
on a
Z a
e=
vBdx = vBa
0
L
uy
+
B0
g
uz
ux
i
A
B
e
La loi des mailles fournit alors
di
+ Ri = e
dt
où i est orienté dans le sens de e. En remplaçant e par son expression, on obtient l’équation
électrique :
di
L
+ Ri − vBa = 0
(1)
dt
L
Remarque : Le flux du champ magnétique à travers le circuit est la somme du flux magnétique extérieur φe = −Ba(z + cste) et du flux propre φp = Li. La loi de Faraday
s’écrit
dφe dφp
d(Li)
dφ
=−
−
= Bav −
etot = −
dt
dt
dt
dt
Par ailleurs, la loi des mailles s’écrit
etot = Ri
et l’on retrouve l’équation différentielle précédente. Toutefois, le circuit étant déformable,
le coefficient d’inductance propre L dépend aussi du temps, effet que l’on néglige ici.
2. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la tige est soumise :
→
? à son poids m−
g ;
−
→ −
−
→
−
→ R
→
−
→
→
→
? à la force de Laplace F = tige id` ∧ B . Avec d` = dx −
u x et B = −B −
u y , on obtient
−
→
F =
Z a
0
→
→
→
idx−
u x ∧ (−B −
u y ) = −iaB −
uz
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la ige dans le référentiel terrestre du
laboratoire s’écrit, en projection sur vuz :
mz̈ = mv̇ = mg − iBa
(2)
Remarque : On vérifie la loi de Lenz. Si v > 0, l’équation électrique montre que i > 0 ce
qui implique F = −iBa < 0 : la force de Laplace s’oppose à la chute de la tige.
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3. Dans l’équation électrique, tous les termes ont la dimension d’une tension. En multipliant
l’équation (1) par i, on obtient un bilan de puissance électrique :
Li
soit
di
+ Ri2 − v i Ba = 0
dt
!
d 1 2
Li + Ri2 = ei = v i aB
dt 2
(3)
La puissance Pel = ei fournie par la force électromotrice est en partie stockée dans la
bobine (Em = 1/2 Li2 ) et en partie stockée par effet Joule (PR = Ri2 ).
Dans l’équation mécanique, tous les termes ont la dimension d’une force. En multipliant
l’équation (2) par v, on obtient un bilan de puissance mécanique :
mz̈ v = mgv − iBav
soit
d 1
mv 2 − mgz
dt 2
!
= F v = −v i aB
(4)
La puissance PL des efforts de Laplace est utilisée pour faire varier l’énergie cinétique Ec =
1/2mv 2 et l’énergie potentielle de pesanteur Em = −mgz.
En sommant les équations (3) et (4), on obtient
d 1
1
mv 2 − mgz Li2
dt 2
2
!
= −Ri2
(5)
Cette équation indique que l’énergie totale E du circuit (magnétique et mécanique) est
dissipée par effet Joule :
dE
= −Ri2
dt
avec E = Em + Ec + Ep
et


1


Em = Li2



2
1

Ec = mv 2


2


E = −mgz
p
Remarque : Le bilan énergétique ne fait intervenir ni le travail des efforts de Laplace,
ni l’énergie électrique fournie par la f.e.m. : ces deux puissances se compensent car la
conversion électromécanique possède un rendement de 100%.
4. L’équation électrique (1) fournit
1
v=
aB
di
L
+ Ri
dt
!
En reportant cette expression dans l’équation mécanique (2), on obtient
!
m
d2 i
di
L 2+R
aB
dt
dt
= mg − iaB
soit
d2 i R di (aB)2
gBa
+
+
i=
2
dt
L dt
mL
L
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(6)
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5. L’équation (6) se ré-écrit
d2 i R di (aB)2
+
+
dt2 L dt
mL
Posons
i0 =
mg
aB
mg
i−
aB
!
=0
et I = i − i0
L’équation (6) devient
d2 I R dI
(aB)2
2
2
+
+
ω
I
=
0
avec
ω
=
0
0
dt2 L dt
mL
L’équation caractéristique
r2 +
r
r + ω02 = 0
L
a pour discriminant
R2
− 4ω02
L2
Si la résistance est très grande, c’est-à-dire si R 2Lω0 , alors le coefficient d’amortissement est très grand et les solutions sont exponentiellement amorties. On en déduit
∆=
t→∞
I(t) −−−→ 0 soit
mg
aB
t→∞
i(t) −−−→ i0 =
La vitesse atteint donc également une valeur limite constante
1
v0 =
aB
di0
L
+ Ri0
dt
!
soit
v0 =
mgR
(aB)2
6. Si R est négligeable, c’est-à-dire si R 2Lω0 , la solution de l’équation différentielle
pour I(t) est quasiment sinusoïdale à la pulsation ω0 (il existe un amortissement sur une
durée caractéristique τ = L/R ω0 ) :
I(t) = A cos(ω0 t + varphi) soit
i(t) = i0 + A cos(ω0 t + ϕ)
où A et ϕ sont des constantes à déterminer en fonction des conditions initiales.
di
À t = 0, v = 0 et i = 0. On en déduit L (t = 0) = −Ri(t = 0) + aBv(t = 0) = 0. On a
dt
donc

(

i(t = 0) = 0 = i0 + A cos(ϕ)
ϕ=0
=⇒
di

A = −i0
 (t = 0) = 0 = −Aω0 sin(ϕ)
dt
On obtient donc
i(t) = i0 [1 − cos(ω0 t)]
avec


mg


 i0 =
aB
aB



ω0 = √
mL
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L’équation mécanique (2) fournit
v̇ = g −
aB
i = g − g [1 − cos(ω0 t)] = g cos(ω0 t)
m
Par intégration, avec v(t = 0) = 0, on trouve
v(t) =
et
z(t) = −
g
sin(ω0 t)
ω0
g
cos(ω0 t) + rmcste
ω02
La tige oscille autour d’une position moyenne. Elle est parcourue par un courant moyen
hi(t)i = i0 de sorte que la force de Laplace vale
hF i = −i0 Ba = −mg
compense le poids.
Ce résultat était prévisible d’après l’équation (5) puisqu’en l’absence de résistance, aucun phénomène dissipatif n’intervient. L’énergie totale est donc constante et il y a une
conversion entre l’énergie magnétique stockée dans la bobine et l’énergie mécanique de la
tige.
7 Définition de l’Ampère
1. Le champ créé par un fil a été vu plusieurs fois en TD et en cours. On a simplement, en
utilisant le théorème d’Ampère sur un cercle passant par M et centré sur l’axe du fil 1 :
µ0 I
~
B(M
)=
e~θ
2πa
2. Dès qu’un courant I circule dans un champ magnétique, on sait qu’il apparaît une force
~ = d`e~z du fil 2, la force de Laplace
de Laplace. Sur un petit élément infinitésimal d`
~
infinitésimale dF s’écrit
µ0 I
e~θ
2πa
~ ∧B
~ = I d`
~ = Id`e~z ∧
dF
!
2
Donc
~ = − µ0 I d` e~r
dF
2πa
La force est attractive.
3. En intégrant l’expression ci-dessus sur une longueur ` du fil 2, on obtient
2
µ0 I `
F~` = −
e~r
2πa
donc on en déduit l’intensité I en fonction de la norme de la force par unité de longueur
f = F` /` :
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s
I=
2πaf
= 1A
µ0
La mesure de cette force correspond, dans le système international, à la définition de
l’Ampère : c’est le courant nécessaire pour faire une force par unité de longueur de 2 ×
10−7 N.m−1 entre deux fils infinis séparés d’une distance de 1m.
8 Inductance propre d’un câble coaxial
1. Étude des symétries
Soit un point M quelconque. Le plan passant par M et contenant l’axe (Oz) est un plan
−
→
de symétrie pour la distribution de courant. B étant un pseudo-vecteur, il est orthogonal,
en un point M , à tout plan de symétrie passant par M . On en déduit
−
→
→
B (M ) = B(M ) −
uθ
Étude des invariances
La distribution de courant est invariante par rotation autour de l’axe (Oz) et par translation le long de (Oz). Les composantes du champ magnétique ne dépendent ni de θ, ni
de z, en coordonnées cylindriques.
On en déduit
−
→
−
B (M ) = B(r) →
uθ
→
On applique le théorème d’ampère sur un cercle C d’axe (Oz), de rayon r et orienté par −
u z.
I
C
Or
I
C
→
−
→ −
B · d` =
et
I 2π



0
Ienlacé =
+I
−
→
B (M ) =
0
→
→
B(r) −
u θ · (rdθ −
u θ ) = 2π r B(r)
si r < R1
si R1 < r < R2
si R2 < r


0
On en déduit
→
−
→ −
B · d` = µ0 Ienlacé



R1 −
→
µ0 js1
uθ
r
−
→

0
avec I = js1 2πR1
si R1 < r < R2
sinon
−
→
Remarque : B est discontinu en r = R1 et r = R2 car les distributions de courant
sont surfaciques et que le champ est tangent aux nappes de courant (discontinuité de la
−
→
composante tangentielle de B ). En r = R1 , la discontinuité vaut
B(r = R1+ ) − B(r = R1− ) = µ0 js1
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En r = R2 , la discontinuité vaut
B(r = R2+ ) − B(r = R2− ) = µ0 js1
R1
avec I = −2πR2 js2 = 2πR1 js1
R2
d’où
B(r = R2+ ) − B(r = R2− ) = −µ0 js2
2. La densité volumique d’énergie magnétique vaut
um =

2

 µ0 I
B2
2µ0
=
si R1 < r < R2
8π 2 r2

0
sinon
3. Entre deux plans de cote z et z + `, l’énergie magnétique vaut
ZZZ
Em =
um dτ =
D’où
Em
Z R2 Z 2π Z z+` 2
B
r=R1
I2
= µ0
8π 2
2µ0
θ=0 z
Z R2
dr
R1
r
2π`
Finalement, on obtient
Em
µ0 `I 2
=
ln
4π
rdr dθ dz
R2
R1
!
4. L’énergie magnétique comprise dans une tranche de câble de longueur ` est de la forme
1 2
LI
2
où L est l’inductance propre de la tranche de câble. Par identification, on obtient
Em =
µ0 `
L=
ln
2π
R2
R1
!
et l’inductance propre par unité de longueur de câble vaut
L µ0
ln
L= =
`
2π
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11
R2
R1
!
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9 Tige en rotation
1. On est présence d’un circuit mobile dans un champ magnétique permanent. Le mouvement
du circuit étant perpendiculaire au champ magnétique, il existe localement dans le circuit
un champ électromoteur de Lorentz donné par :
−
→
−
→
−
Em = →
v ∧ B0
→
Ce champ électromoteur est orienté selon la direction du circuit (selon −
u r ) et va donc
mettre en mouvement les charges mobiles électroniques à l’intérieur du conducteur (les
charges liées ioniques restant fixes), et donc donner naissance à une différence de potentiel
définie par :
Z B
→
−
−
→
eAB =
Em · d `
A
Remarque : la présence du champ électromoteur met en mouvement les électrons qui vont
−
→
−
→
−
s’accumuler au point A sous l’effet de la force F = −e E m , orientée suivant −→
u r . Des
−
→
charges vont donc s’accumuler jusqu’à ce qu’il se crée un champ E dû à la séparation des
charges qui s’oppose exactement au champ électromoteur, de sorte que la force électromotrice totale s’annule. Dans le cas stationnaire, il exite donc une charge positive au bout
de la tige en B et une charge négative en A. C’est cette séparation des charges qui est
responsable de la différence de potentiel eAB .
Le fait que le potentiel ne soit pas uniforme n’est pas une contradiction ici car le champ
n’est nul dans un conducteur qu’à l’équilibre électrostatique. Or ici, non seulement il existe
un champ magnétique, mais en plus les charges sont mobiles.
Le raisonnement utilisé ici est très proche de celui utilisé pour l’effet Hall.
2. Sachant que la vitesse des charges mobiles situées à la distance r du point A est donnée
−
→
par : →
v = rω −
u θ , on en déduit directement par intégration le long de la tige :
eAB =
Z B
A
→
→
→
(rω −
u θ ∧ B0 −
u z ) · dr−
ur =
Z L
0
rωB0 dr =
L2 B0 ω
2
10 Phénomènes d’induction électromagnétique
I Flux du vecteur champ magnétique
1. L’analyse des symétries et des invariances, puis l’application du théorème d’Ampère sur
un cercle centré sur le fil, perpendiculaire à celui-ci, et de rayon r permet de montrer que,
pour r > 0 :
µ0 i1 −
→
−
→
B 1 (M ) =
uθ
2πr
2. Les lignes de champ magnétique sont des cercles concentriques centrés sur le fil, perpendiculaire à celui-ci, et s’enroulant autour du fil dans le sens trigonométrique.
3. Le flux du champ magnétique créé par le fil à travers le cadre rectangulaire orienté dans
le sens ABCD vaut :
!
Z
x →
x
d+`
µ0 i1 L d+` dr µ0 i1 L
−
→
−
−
→
→
−
=
ln
φ1 =
B1 · dS =
B1 u θ · dzdr u θ =
2π d
r
2π
d
ABCD
ABCD
Le flux est donc positif avec cette orientation du circuit.
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12
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Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
Physique
z
I1
B1
II Force électromotrice et courants induits
dΦ1
= 0.
dt
2. Ce deuxième cas correspond au cas de Neumann.
1. La f.e.m. est nulle car Φ1 = cste et donc e = −
a) Le courant i2 tourne dans le sens trigonométrique dans le circuit (sens DCBA (Fig.2a)).
a)
+
z
C
B
b)
c)
z
i 2(t)
i 1(t)
B1
R
dS
e<0
i 1(t)
Q
e = VP -VQ
P
A
D
b) L’orientation du courant se prouve avec loi de Lenz qui permet d’affirmer que le
champ magnétique induit doit s’opposer à la cause qui lui a donné naissance, c’est à
−
→
dire à B 1 . Le sens s’obtient en utilisant la règle de la main droite pour que le champ
→
induit par la circulation dans le circuit soit orienté suivant −−
u θ.
c) Calculons tout d’abord la f.e.m. induite dans le circuit en utilisant la loi de Faraday :
!
µ0 aL
d+`
dΦ1
=−
ln
e=−
dt
2π
d
On obtient une f.e.m. négative, de sorte que dans le montage électrique équivalent
(Fig.2b), le générateur idéal de tension doit être orienté dans le sens opposé au courant
i2 pour pouvoir donner lieu à un courant i2 tournant dans le sens trigonométrique.
L’application de la loi d’Ohm dans le circuit équivalent constitué du générateur idéal
de tension et d’une résistance R nous donne : e = −Ri2 , et on obtient finalement :
!
µ0 aL
d+`
i2 =
ln
2πR
d
Le courant est bien positif car nous avons bien fait attention au signes en nous appuyant sur les résultats obtenus avec la loi de Lenz.
d) Lorsque l’interrupteur est ouvert, aucun courant ne circule dans le circuit ; cependant,
la présence du champ magnétique variable donne toujours lieu à un champ électromoteur identique dont la circulation n’a pas changé par rapport au cas précédent varié
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Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
Physique
puisqu’on néglige la taille de l’interrupteur. Il existe donc une différence de potentiel entre les points P et Q identique à la f.e.m. calculée précédemment. En utilisant
l’orientation précédemment choisie pour la f.e.m. (Fig.2c), on obtient directement :
µ0 aL
d+`
VP − VQ = e = −
ln
2π
d
3.
!
<0
a) De la même façon que précédemment, on obtient avec i2 orienté dans le sens trigonométrique :
!
µ0 Im Lω1 cos(ω1 t)
d+`
i2 =
ln
2πR
d
b) Les courbes i1 (t) et i2 (t) sont en quadrature de phase, avec i2 d’amplitude nécessairement plus faible que i1 :
i 2(t)
i 1(t)
t
4. Ce dernier cas correspond au cas de Lorentz.
a) Le champ électromoteur de Lorentz est nul dans ce cas, car le déplacement du circuit
−
→
−
→
−
→
−
se fait selon la direction du champ, donc E m = →
v circuit ∧ b 1 = 0 .
On peut également s’en convaincre en se plaçant dans le référentiel du cadre mobile :
→
−
le champ B 1 étant invariant par rotation d’angle θ autour de l’axe z, le champ perçu
par le circuit est invariant.
b) Calculons la f.e.m. induite dans le circuit de deux façons différentes.
Première méthode : en utilisant la circulation du champ électromoteur sur le circuit
orienté dans le sens horaire ABCD :
I
e=
circuit
→
−
−
→
E m ·d ` =
I
circuit
−
→
−
−
(v →
u r ∧ B1 →
u θ )·d ` =
I
circuit
→
−
→
vB1 −
u z ·d ` =
"Z
B
A
vB1 d` +
"
µ0 i1 vLω1
1
1
e = vL [B1 (d0 + vt) − B1 (d0 + ` + vt)] =
−
2π
d0 + vt d0 + ` + vt
e=
#
µ0 i1 vLω1
`
2π
(d0 + vt)(d0 + ` + vt)
On trouve que la f.e.m. est positive lorsqu’elle est orientée dans le sens de ABCD,
et le courant induit est également dirigé dans le sens horaire, contrairement aux cas
étudiés précédemment.
Seconde méthode : en utilisant la loi de Faraday, le circuit étant toujours orienté dans
le sens horaire ABCD :
dΦ
µ0 i1 L d
e=−
=−
dt
2π dt
"Z
d0 +`+vt
d0 +vt
#
dr
µ0 i1 vLω1
`
=
r
2π
(d0 + vt)(d0 + ` + vt)
On retrouve bien le même résultat que précédemment.
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Z D
C
#
vB1 d`
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Physique
11 Pince Ampèremétrique
1. La distribution de courant dans la bobine torique est invariante par rotation autour de
−
→
l’axe Oz, et donc le champ B ne dépend pas de θ. De plus, tout plan passant par un point
M à l’intérieur du tore, et passant par l’axe Oz, est plan de symétrie de la distribution de
courants, donc le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan, et donc dirigé suivant
→
le vecteur −
u θ . On en déduit donc :
−
→
−
B = Bθ (r, z)→
uθ
2. Appliquons le théorème d’Ampère sur un cerle centré sur l’axe Oz, de rayon r, et situé à
la hauteur z dans le tore, tournant dans le sens trigonométrique autour de l’axe Oz (avec
cette orientation, les courants traversant le contour sont comptés positivement) :
I
C
X
→
− →
−
b · d ` = 2πrBθ (r, z) = µ0
Ienlacés = µ0 N i + µ0 I
On en déduit que le champ magnétique est finalement indépendant de z à l’intérieur du
tore, et s’écrit :
µ0 (N i + I)−
→
−
→
B =
uθ
2πr
3. Le flux magnétique ϕ à travers une seule spire est donné par :
ϕ=
Z 2a Z a
→
−
r=a z=0
µ0 aln2
→
−
B · dS =
(N i + I)
2π
Le flux total φ à travers les N spires est donc donné par :
φ=
µ0 aln2 2
(N i + N I)
2π
Or la loi des mailles sur le circuit portant la bobine permet d’écrire, en négligeant le
dφ
coefficeint d’autoinduction de la bobine : e = (R + r0 )i, avec e = − . On en déduit
dt
(R + r0 )i =
µ0 a
d
µ0 a N
dI
ln(2)
(N 2 i + N I) ≈
ln(2)
2π
dt
2π
dt
soit
im cos(ωt + ψ) = −
µ0 a N
ln(2) ω Im sin(ωt)
2π(R + r0 )
Le déphasage ψ est donc fixé à ψ = +π/2 et l’on a
iM
µ0 aln2
=
Nω
IM
2π(R + r0 )
4. Bien sûr qu’on en a tenu compte ! Le flux Φ est somme du flux "extérieur" créé par I,
µ0 N Ia ln 2
µ0 N 2 ia ln 2
Φext =
et du flux propre créé par i, Φpropre =
qui est par définition
2π
2π
dΦ
le produit Li. On a écrit plus haut Ri = e = −
; détaillons :
dt
Ri = e = −
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dΦext dΦpropre
dΦext
di
dΦ
=−
−
=−−
−L
dt
dt
dt
dt
dt
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Physique
Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
dΦext
di
soit
Ri + L = −
dt
dt
On a donc bien tenu compte de l’inductance de la bobine !
5. NON ! Le champ est, de par le théorème d’Ampère, proportionnel à I+N i et, quelle que soit
la géométrie de la bobine, il en sera de même pour Φ qui sera de la forme Φ = KN (N +N i)
où K est un facteur géométrique. Dès lors que ωN 2 K est grand devant R, ce qui précède
reste valable.
6. Un tel dispositif permet de mesurer l’amplitude d’un signal sinusoïdal sans insérer un ampèremètre dans le circuit, soit parce que le circuit ne peut être débranché, soit car le courant
est trop important pour pouvoir y insérer un ampèremètre classique sans dommage.
La pince ampèremétrique fonctionne d’autant mieux que la surface du tore est importante,
pour que le flux du champ créé à l’intérieur de celle-ci soit le plus important possible. Ceci
explique que iM augmente avec a. Il faut également le plus grand nombre de tours de fils
possible, pour les mêmes raisons. Plus la fréquence est importante, plus la détection est
bonne, avec une détection nulle en régime statique. C’est la variation du champ magnétique
induit qui génère un courant dans la pince. Finalement, le courant mesuré sera d’autant
plus grand que le courant à mesurer l’est, et d’autant plus grand que les résitances du
dispositif sont faibles.
La position du fil dans la bobine torique n’est absolument pas critique ; la mesure sera identique tant que le fil passe à l’intérieur du tore. Ceci explique encore la facilité d’utilisation
de la pince ampèremétrique.
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Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
12 Freinage d’une spire par induction
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Physique
Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
13 Courants de Foucault : influence du feuilletage
−
→
1. Le potentiel vecteur est un vecteur polaire contrairement au champ magnétique B : les
plans de symétrie pour le champ magnétique sont des plans d’antisymétrie pour le potentiel
vecteur et vice-versa.
Étude des symétries.
Soit un point M quelconque. Le plan passant par M et contenant l’axe (Oz) du cylindre
est un plan de symétrie pour le champ magnétique : c’est donc un plan d’antisymétrie
pour le potentiel vecteur. Le potentiel vecteur étant un vecteur polaire, il est orhtogonal,
au point M , à tout plan d’antisymétrie passant par M . Le potentiel vecteur est donc de
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Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
Physique
la forme
−
→
−
A (M ) = Aθ (M ) →
uθ
Étude des invariances.
D’après la géométrie du problème, le potentiel vecteur est invariant par rotation autour
−
→
→
de l’axe (Oz) et par translation suivant −
u z . Les composantes de A ne dépendent donc
que de la distance à l’axe r.
On en déduit
−
→
−
A (M ) = aθ (r) →
uθ
−
→
→
On calcule la circulation de A sur un cercle C d’axe (Oz) et de rayon r, orienté par −
uz :
I
C
−
−
→ →
A · d` =
I
C
−
−
Aθ (r) →
u θ · (rdθ →
u θ ) = r Aθ (r)
Mais, d’après le théorème de Stokes
I
ZZ
→ ZZ
→
−
→ −
→ −−
−→ −
2
A · d` =
rot( A ) · d S =
C
Σ(C)
Σ(C)
Z 2π
0
= 2πr Aθ (r)
→
−
→ −−
B · d2 S = πr2 B0 cos(ωt)
On en déduit
2πr Aθ (r) = πr2 B0 cos(ωt) soit Aθ (r) =
r
B0 cos(ωt)
2
Finalement
r
−
→
→
A (M ) = B0 cos(ωt) −
uθ
2
2. Le cylindre est le siège d’un phénomène d’induction de Neumann. Le champ électromoteur
vaut donc
−
→
∂A
r
−
→
→
Em = −
= B0 ω sin(ωt) −
uθ
∂t
2
Si l’on admet la validité de la loi d’Ohm locale dans le cadre de l’ARQS, on a, à l’intérieur
du cylindre conducteur :
γr
−
→
→
−
→
 = γ Em =
B0 ω sin(ωt) −
uθ
2
3. La force exercée par le champ électromagnétique sur une charge libre q du conducteur est
la force de Lorentz
→
−
→
−
−
→
→
F = q Em + −
v ∧B
→
La puissance instantanée reçue par une charge q se déplaçant à la vitesse −
v vaut donc
−
→ →
−
→
→
P = F ·−
v = q−
v · Em
La puissance par unité de volume absorbée par les charges libres de densité volumique n
vaut
dP
−
→
→
−
−
→
w=
= nq →
v · Em = −
 · Em
dτ
On en déduit
1
w = γ r2 B02 ω 2 sin2 (ωt)
4
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Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
Physique
4. La puissance dissipée dans tout le cylindre à l’instant t est obtenue par intégration sur les
variables d’espace :
ZZZ
Ptot =
cylindre
w
dτ
|{z}
r2 drdθdz
1
= w = γ B02 ω 2 sin2 (ωt)
4
Z a
0
3
r dr
Z 2π
0
dθ +
Z `
0
dz
On en déduit
Ptot =
π
γ a4 ` B02 ω 2 sin2 (ωt)
8
La puissance totale dissipée en moyenne sur une période vaut donc
hPtot i =
où l’on a utilisé
hsin2 (ωt)i =
ω
2π
π
γ a4 ` B02 ω 2
16
Z 2π/ω
0
sin2 (ωt) dt =
1
2
La puissance dissipée par effet Joule par les courants de Foucault est proportionnelle au
carré de la fréquence du champ magnétique.
5. Chaque petit cylindre de rayon a0 dissipe une puissance moyenne
hP0 i =
π
γ a4 ` B02 ω 2
16
d’où
hP0 i =
avec πa20 = s
1
γ B02 ω 2 ` s2
16π
La puissance moyenne totale dissipée dans l’ensemble des cylindres vaut
0
hPtot
i = N hP0 i =
1
γ B02 ω 2 ` N s2
16π
Or la section totale vaut S = πa2 = N s d’où s = S/N . On en déduit
0
hPtot
i=
1
S 2 hPtot i
γ B02 ω 2 `
=
16π
N
N
Le fait de diviser le grand cylindre métallique en N cylindres parallèles de petit rayon,
isolés les uns des autres permet de diviser par N la puissance moyenne dissipée par les
courants de Foucault.
C’est le principe du feuilletage utilisé dans les matériaux ferromagnétiques (machines tournantes, transformateurs, électro-aimants).
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Physique
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14 Oscillateurs couplés par induction mutuelle
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Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
Physique
15 Étiquette antivol
1. La bobine correspond à l’enroulement du fil métallique et le condensateur est situé au
centre (peu visible). Ce dispositif est en général couplé avec une puce électronique sur
laquelle sont enregistrées des données. On appelle ce système RFID (radio-frequency identification), et celui-ci est très largement répandu (antivols dans les magasins, étiquetage
remplaçant les codes-barres, passes Navigo et Velib, marquage des dossarts pour le suivi
automatique des coureurs dans les courses comme le marathon de Paris, marquage des aliments pour être "reconnus par le réfrigérateur lorsqu’ils dépassent la date de péremption,
marquage des lettres et des colis postaux...).
2. Le courant variable dans le portique émetteur génère un champ variable et donc un flux
variable au travers de la bobine de l’antivol. Ainsi, lorsque l’étiquette se trouve entre les
portiques, il apparaît dans le circuit de l’étiquette une force électromotrice de la forme
e(t) = E0 cos(ωt) à la même pulsation que celle du courant dans le portique émetteur.
3. La loi des mailles permet d’écrire
e = uL + uC
qui se réarrange en
1 de d2 i
i
= 2+
L dt dt
LC
1
On obtient bien l’équation différentielle proposée en posant ω0 = √ .
LC
4. En posant i(t) = I(ω) sin(ωt), on obtient :
−
ω
E0 sin(ωt) = −ω 2 I(ω) sin(ωt) + ω02 I(ω) sin(ωt)
L
soit
I(ω) =
E0 ω
L(ω 2 − ω02 )
5. Lorsque LCω 2 = 1, il se produit alors une résonance en courant, c’est à dire que le courant
devient très important.
6. En pratique, le courant ne tend pas vers l’infini car le circuit a nécessairement une petite
résitance qui "arrondira" la résonance. Cependant, pour la fréquence caractéristique, le
courant peut néanmoins être important car la résitance de l’antivol est très faible.
7. Lorsque l’étiquette antivol traverse les portiques, le champ magnétique au niveau du portique récepteur diminue, car une partie de l’énergie utile pour générer le champ magnétique
a été consommée par l’antivol. On peut également comprendre le phénomène avec la loi de
Lenz, qui permet de comprendre directement que l’effet de la génération de courants induits dans l’antivol va s’opposer aux causes qui leur ont donné naissance, et par conséquent
générer un champ magnétique opposé au champ magnétique initial. Le champ résutlant
dans le portique récepteur est donc plus faible. Ce phénomène est d’autant plus important
que le courant induit est important, c’est à dire si la résonance est bien calculée pour
1
√
= 2π × 135kHz. L’effet sur la fem induite dans le récepteur est important, c’est à
LC
dire que le flux est moins important et que la fem diminue. C’est cette chute de tension
qui déclenche l’alarme.
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22
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Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
Physique
Remarque : dans les capteurs RFID plus perfectionnées, le courant induit peut permettre
d’alimenter une puce, qui peut émettre un code ou une référence particulière qui peut
également être détectée par un système de portique plus complexe.
16 Régime transitoire dans des circuits inductifs couplés
1. Établissement du courant dans le solénoïde
a) La loi des mailles pour t > 0 conduit à
L
di
+ Ri = E
dt
Les solutions sont de la forme
i(t) = K e−Rt/L +
E
R
où K est une constante d’intégration à déterminer à partir des conditions initiales. La
continuité du courant aux bornes d’une bobine implique i(t = 0+ ) = 0 = K + E/R.
On en déduit
E
E
et i(t) =
K=−
1 − e−Rt/L
R
R
b) Au bout d’un temps infini
i(t) −−−→ i∞ =
t→∞
E
R
Au bout d’un temps infini, l’effet de l’induction est négligeable et le courant est
quasiment permanent.
2.
a) Le flux magnétique traversant la bobine du circuit primaire est la somme du flux
propre Φpropre = Li1 et du flux du champ magnétique créé par le circuit secondaire Φ2→1 = M i2 . Il apparaît alors, dans le circuit primaire, une force électromotrice
aux bornes de la bobine
e=−
dΦ
dΦpropre dΦ2→1
di1
di2
=−
−
= −L
−M
dt
dt
dt
dt
dt
En convention récepteur, la tension aux bornes de la bobine au primaire s’écrit
uL,1 = L
di1
di2
+M
dt
dt
La loi des mailles appliquée au circuit primaire s’écrit, pour t > 0
E = Ri1 + L
di1
di2
+M
dt
dt
De la même manière, pour le circuit secondaire, le loi des mailles devient
0 = Ri2 + L
PSI - Année 2010/2011
23
di2
di1
+M
dt
dt
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Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
Physique
b) En sommant les deux équations précédentes, on obtient
E = RI + (L + M )
dI
dt
En prenant la différence entre les deux équations couplées, on trouve
E = RJ + (L − M )
dJ
dt
c) Les équations différentielles sont découplées en I et J. Les solutions sont donc de la
forme
E
R
E
+
R
I = K1 e−t/τ1 +
J
= K2 e−t/τ2
On détermine les constantes d’intégration à l’aide des conditions initiales :
I(t = 0) = i1 (t = 0) + i2 (t = 0) = 0 = K1 +
E
E
⇒ K1 = −
R
R
J(t = 0) = i1 (t = 0) − i2 (t = 0) = 0 = K2 +
E
E
⇒ K2 = −
R
R
et
Ainsi
I(t) =
J(t) =
E
1 − e−t/τ1
R
E
1 − e−t/τ2
R
On en déduit
I +J
E
e−t/τ1 + e−t/τ2
i1 (t) =
=
1−
2
R
2
!
et
i2 (t) =
I −J
E −t/τ2
=
e
− e−t/τ1
2
2R
L’intensité au primaire croît exponentiellement avec le temps de la valeur 0 jusqu’à
sa valeur asymptotique i1,∞ = E/R.
L’intensité au secondaire est nulle à l’instant initial et prend des valeurs négatives
pour t > 0. Ce résultat était prévisible en vertu de la loi de Lenz : le courant induit
au secondaire s’oppose à la cause qui lui a donné naissance. Autrement dit, le courant
i2 crée un champ magnétique qui s’oppose à celui créé par i1 .
On remarque également que i2 tend vers 0 quand t → ∞. En effet, au bout d’un
temps infini, le régime permanent est atteint dans le circuit primaire : l’intensité i1
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24
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Correction - TD no 9 : Induction électromagnétisme
Physique
Figure 1: Représentation des intensités i1 (t) (circuit primaire) et i2 (t) (circuit secondaire) en
fonction du temps.
est alors constante. Aucun phénomène d’induction ne peut alors générer un courant
dans le secondaire.
Comme i2 (t = 0) = 0 = i2,∞ , l’intensité i2 doit nécessairement passer par un extremum tel que
E
1
1
di2
=
− e−t/τ2 + e−t/τ1
dt
2R
τ2
τ1
!
τ1 τ2
=0⇔t=
ln
τ1 − τ2
τ1
τ2
!
L2 − M 2
=
ln
2M
L+M
L−M
L’intensité au secondaire est alors négative et maximale en valeur absolue
i2,max
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E
=
2R
!
τ2
−1
τ1
25
e−τ2 ln(τ1 /τ2 )/(τ1 −τ2 ) < 0
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!