Correction - TD n˚9 - Induction électromagnétisme 1 Chauffage par

Physique Correction - TD no9 : Induction électromagnétisme
Correction - TD n˚9 - Induction
électromagnétisme
1 Chauffage par induction
1. −→ B=µ0ni(t)−→ uz: voir cours ou exercice vu en première année. On peut utiliser le fait
que le champ −→ Best nécessairement nul à l’infini car sinon, le champ magnétique serait
constant à l’infini, ce qui implique une énergie infinie.
2. La distribution de courant est invariante par rotation d’angle θet par translation suivant
l’axe z, donc le champ ne dépend ni de θ, ni de z.
Tout plan passant par un point Mà la distance rde l’axe du solénoïde, et orienté suivant
les vecteurs −→ uzet −→ urest un plan d’antisymétrie du problème, donc le champ électrique
est nécessairement selon le vecteur −→ uθ, donc :
−→
E=Eθ(r)−→ uθ
3. Calculons la circulation de −→ Esur le cercle de rayon r, avec r < a, orienté dans le même
sens que le courant, et de surface S:
IC
−→
E·d−→ `=x
S
−→
rot−→ E·d−→ S=−x
S
∂−→ B
∂t ·d−→
S=−dΦ
dt
où l’on a utilisé successivement l’équation de Maxwell-Faraday et le théorème de Stokes
sur le contour C. Or : HC−→ E·d−→ `= 2πEθ(r)et −dΦ
dt =−πr2dB dt =πr2µ0ni0sinωt, donc :
−→
E=rµ0ni0
2sinωt−→
uθ
4. Dans le cylindre conducteur, il se crée donc un courant :
−→
j=γ−→ E=γrµ0ni0
2sinωt−→
uθ
5. La puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le cylindre correspond à la puissance
moyenne dissipée par les forces de Lorentz , qui s’écrit :
hPLori=y
cylindre
−→
j·−→ E dτ =yγE2dτ =yγ ωµ0ni0r
2!2
hsin2ωtirdrdθdz =π
16(µ0ni0)2γω2b4L
Cette énergie est dissipée sous forme d’effet Joule et va donc chauffer le milieu. Le chauffage
étant causé par les courants induits par le champ magnétique appelés courants de Foucault,
on parle donc de chauffage par induction.
6. Les plaques à induction sont des plaques de cuisson fondées le même principe, c’est à dire
utilisant l’effet Joule généré par les courants de Foucault.
Dans ce type de plaque, des inducteurs magnétiques sont placés sous la surface en vi-
trocéramique. Ces inducteurs génèrent un champ magnétique (car ils sont parcourus par
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un courant électrique à une fréquence réglable entre 50 Hz et 50 000 Hz) qui induit des
courants électriques dans le métal de la casserole. Ces courants produisent par effet joule
de l’énergie thermique (chaleur) en circulant dans le métal de la casserole.
Avec une plaque à induction, la surface de la plaque reste presque froide, seulement chauffée
par la casserole elle-même. Il y a donc peu de risques de se brûler en touchant la plaque
après retrait de l’ustensile et aucun risque à la prise en main de son manche, un moins grand
risque de se brûler sur les bords de casseroles lorsqu’elles sont non pleinement remplies, ni
sur leurs couvercles.
Les casseroles doivent être d’un métal magnétique, c’est-à-dire qu’un aimant doit pouvoir
se coller dessus. Autrement dit, les casseroles à base de fer fonctionnent bien, alors que
celles à base de cuivre ou d’aluminium ne sont pas utilisables.
2 Coup de foudre
1. La charge totale s’écrit :
Q=Z∞
0
I(t)dt =aire sous la courbe '30 carreaux
Or un carreau correspond à 100.10−6s×20.103A= 2C, soit Q= 60C.
L’intensité moyenne vaut donc : Imoy =Q
T=60 10−3= 6.104A.
2. En utilisant un modèle simplifié de condensateur entre le sol (chargé positivement), et le
bas du nuage (chargé négativement par un processus complexe qui résulte principalement
de la friction des particules les plus lourdes contre les autres en tombant à l’intérieur du
nuage, et de l’ionisation par les rayons cosmiques), on peut écrire : U=Eh = 5.106V,
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et Eeclair =1
2Cu2=1 2QU = 1.5×108J, soit, sachant que 1kW h = 3.6×106J,Eeclair =
41kW h. Cette énergie est très faible, car elle n’est que 150 fois supérieure à la ration
ration énergétique journalière d’un être humain. La brièveté du phénomène et la faible
énergie véhiculées par la foudre, qui s’ajoutent au caractère aléatoire de l’emplacement sur
lequel tombe la foudre, rend vain tout espoir d’utiliser la foudre comme source potentielle
d’"énergie propre"...
3. a) La longueur du canal emprunté par l’éclair : D'1km.
Le courant se propage à une vitesse proche de celle de la lumière dans le vide :
c'3.108m.s−1.
Temps du phénomène : τ'10−3s.
L’approximation de l’A.R.Q.S. est valable si le temps de propagation est négligeable
par rapport à la durée du phénomène, soit si Tτ.
Ici, T'D
c'3.3µs τ= 1000µs, donc l’A.R.Q.S. est bien vérifiée.
b) Le canal de l’éclair se comporte comme un fil, et génère un champ magnétique ortho-
radial donné par : −→ B=µ0I
2πr−→
uθ
Ce champ −→ Bgénère à travers un éventuel circuit Csur lequel s’appuie une surface S
à travers laquelle le champ magnétique crée un flux : Φ = s−→ B·d−→ S
La présence de ce flux variable crée une f.e.m. induite e, correspondant à une tension,
donnée par la loi de Faraday :
e=−dΦ
dt =−x∂−→
B
∂t ·d−→
S
La tension perturbatrice dans le circuit correpond donc à e, et est proportionnelle aux
variations temporelles de du champ magnétique, et donc par conséquent du courant
dans le canal de l’éclair.
Les perturbations sont donc maximales lorsque dI
dt est maximal, soit entre 0et 100µs
lors de l’établissement du courant, et aussi une perturbation un peu plus faible entre
600 et 700µs au moment de la chute de courant.
La valeur de cette perturbation ne dépend pas seulement du courant, mais également
de la distance à l’éclair (en 1
r) et de la dimension et de l’orientation du circuit.
3 Vol d’énergie
La ligne haute tension étant parcourue par un courant alternatif, un champ magnétique or-
thoradial autour des lignes est généré.
Si un utilisateur peu scrupuleux place un circuit rectangulaire de façon à récupérer le flux
de ce champ magnétique, il pourra brancher ce circuit sur un récepteur et donc récupérer de
l’énergie.
Ceci ne serait pas possible avec une tension continue. En effet, afin qu’un courant induit
apparaisse dans le circuit, il faut que le flux du champ magnétique à travers le circuit soit
variable. Le courant recueilli est donc un courant alternatif.
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L’effet de ce vol d’énergie est, en vertu de la loi de Lenz, de créer un champ magnétique qui
va tendre à diminuer celui créé par le fil haute tension, et donc créer un champ électromoteur
qui va tendre à "ralentir le courant" du fil haute tension. Il apparaîtra ainsi une chute de courant
qui peut être mesurable si le vol d’énergie n’est pas négligeable devant les pertes en ligne.
Remarque : l’origine du champ électromoteur précédent est le champ de Neumann. En effet,
d’après la symétrie du problème le potentiel vecteur −→ Aest dirigé suivant l’axe du fil. Donc
−→
Em=−∂−→
A
∂t est également dirigé suivant −→
uz.
La modification de −→ Bmodifie −→ Aen vertu de la relation −→ B=−→ rot−→ A, et donc également le
champ électromoteur de Neumann.
4 Analyse qualitative du phénomène d’induction
1. Si l’aimant n’est pas en mouvement, aucun phénomène d’induction ne peut avoir lieu et
UAB = 0.
2. Quand on approche l’aimant dans le sens précisé sur la figure, le flux du champ magnétique
à travers la bobine augmente (on rappelle que le champ magnétique "sort par la face
nord" d’un aimant). Il apparaît donc dans celle-ci un courant induit qui crée un champ
magnétique s’opposant à cette augmentation de flux, d’après la loi de Lenz, donc dirigé en
sens contraire de −→ v: le courant induit est positif de Avers Bet UAB est donc positive
dans la résistance.
5 Forces de Laplace
1. a) La force de Laplace s’exerçant sur la tige s’écrit :
−→
FLaplace =Ztige id−→ `∧−→ B=−I`(x)B0cosα−→ ux−I`(x)B0sinα−→ uz
où `(x)=2xtanθ correspond à la longueur de la tige parcourue par un courant
lorsque celle-ci se trouve à l’abscisse x, et où le vecteur −→ uzest le vecteur unitaire
perpendiculaire au plan dans lequel glisse la barre.
b) L’application du principe fondamental de la dynamique appliqué à la tige permet
d’obtenir :
md−→
v
dt =−→
P+−→ RN+−→ FLaplace
où −→ RNest la force de réaction exercée par le support sur la tige. Celle-ci est normale
au plan de déplacement de la tige à cause de l’absence de frottement.
En projection sur l’axe x, on obtient :
m¨x=mgsinα −2IxtanθB0cosα
qui peut se réécrire sous la forme d’une équatiopn différentielle harmonique :
¨x+ω2
0x=gsinα
avec ω2
0=2ItanθB0cosα
m.
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Cette équation a pour solution, en utilisant les conditions initiales :
x=gsinα
ω2
0
(1 −cosω0t)
La tige va donc osciller à la pulsation ω0.
c) Si on change le sens du courant, la tige chute jusqu’en bas de la rampe, car aucune
force n’est dirigée vers le haut de la rampe cette fois-ci. L’équation de la tige est une
exponentielle en fonction de la position x.
2. a) Les forces de Laplace des fils verticaux se compensent, et la force de Laplace du fil
situé au niveau de la balance est nulle car le champ magnétique y est très faible
(valeur importante seulement dans l’entrefer de l’aimant en U). La résultante des
forces de Laplace est celle s’exerçant sur le tronçon horizontal situé dans l’entrefer
de l’aimant. En utilisant l’expression de la force de Laplace et en tenant compte du
sens du champ magnétique et du sens du courant, on montre directement que la force
exercée sur le fil est dirigée vers le bas. L’effet sera donc potentiellement mesurable
sur la balance.
b) La norme de la force est donnée par :
FLaplace =I`B0= 1 ×5.10−2×0.1 = 5.10−3N
ce qui entraînera une variation de masse sur la balance de ∆m=FLaplace
g= 5.10−4kg
soit un demi gramme, ce qui est mesurable avec une bonne balance.
3. Les forces de Laplace s’exerçant sur les parties latérales du circuit sont horizontales et
dirigées vers l’extérieur de l’entrefer. Les deux forces ne sont pas coléinéaires et induisent
un moment entraînant la rotation du cadre autour de son axe.
Lorsque le cadre est à l’horizontale, les deux forces sont colinéaires et le moment est nul.
Si le signe du courant ne change pas, lorsque le cadre dépasse la position horizontale, le
moment exercé par le couple de force de Laplace change de signe, et le sens de rotation
s’inverse.
Pour éviter ceci et continuer la rotation, grâce à une partie isolante au niveau du rotor du
moteur (trait noir sur la figure), le signe du courant change de sens et le moment reste
dirigé dans le même sens.
Ce système fonctionne même si l’alimentation est continue pouisque le changement de signe
du courant est dû à la mécanique même du système et non pas à une source de courant
alternatif.
6 Induction et conversion d’énergie
1. La tige étant en mouvement dans un champ magnétique stationnaire, elle est soumise à un
phénomène d’induction de Lorentz. Il apparaît donc dans la tige une force électromotrice e
telle que
e=Ztige −→ Em·−→ d` avec −→ Em=−→ ve∧−→ B=v−→ uz∧(−B−→ uy) = Bv −→ ux
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