TD n° 6 Correction - ESPCI

Ph´enom`enes de transport. TD n˚6 : Refroidissement d’un micro-
processeur
Correction
1. La puissance `a ´evacuer est 50 W. Donner un ordre de grandeur du d´ebit de fluide (eau ou
air) n´ecessaire pour ´evacuer cette puissance.
Si Tsest la temp´erature du bloc de m´etal composant la partie du radiateur situ´ee sous les
microprocesseur, Tfi la temp´erature du fluide de refroidissement en entr´ee du syst`eme et Tfo sa
temp´erature en sortie, la quantit´e de chaleur ´echang´ee par unit´e de temps est P=QρCp(Tf o −Tf i)
o`u Qest le d´ebit de fluide et ρCpsa chaleur sp´ecifique par unit´e de volume. Tfo ne peut exc´eder
Tsqui sera au maximum 100˚C. L’´ecart de temp´erature du fluide entre l’entr´ee et la sortie sera
donc au maximum de quelques dizaines de degr´es. Pour fixer un ordre de grandeur, prenons cet
´ecart ´egal `a 10˚C. On trouve alors :
— pour l’air (ρCp= 103J/m3/K) : Q= 5 ×10−3m3/s = 300 l/min.
— pour l’eau (ρCp= 4 ×106J/m3/K), Q≈1cm3/s.
2. Calculer le flux de chaleur int´egr´e le long de l’ailette et montrer qu’il n’est pas n´ecessaire
qu’elles soient plus longues que h∗≈paλM/k
On effectue un bilan d’´energie sur une tranche de l’ailette comprise entre xet x+dx : le flux
entrant par conduction dans le m´etal en xest : J(x) = −λMa∂xT(x). Le flux sortant en x+dx est :
J(x+dx) = λMa∂xT(x+dx). Le flux sortant par l’interface m´etal fluide est : 2k(Tf−T(x))dx.
A l’´equilibre thermique ces diff´erents flux doivent s’´equilibrer d’o`u :
λMa∂2T
∂x2=−2k(Tf−T(x)) (1)
En posant : θ(x) = T(x)−Tf, on a : λMa∂xxθ= 2kθ, soit : ∂xxθ= (2k/λMa)θ=m2θ. La solution
de cette ´equation diff´erentielle est : θ=C1exp(mx) + C2exp(−mx). Les conditions aux limites
sont : θ(0) = θs=Ts−Tfet ∂xθ(h) = 0 pour assurer un flux de chaleur nul `a l’extr´emit´e de
l’ailette. D’o`u : θs=C1+C2et 0 = C1exp(mh)−C2exp(−mh).
Le flux de chaleur total entre l’ailette et le fluide est :
J=−kZh
0
θ(x)dx =−k
m[C1exp(mx)−C2exp(−mx)]h
0=−k
m[C1exp(mh)−C2exp(mh)+C2−C1]
(2)
soit, en tenant compte de la condition en x=h:
J=−k
m[C2−C1] (3)
On a d’autre part, C2=C1exp(2mh) et C1=θS/(1 + 2 exp(mh)), d’o`u :
J=−k
mθstanh(mh) (4)
La tangente hyperbolique tend vers 1 lorsque x→ ∞ et tanh(2) ≈0,97. Donc le flux de chaleur
sature `a la valeur kθs/m lorsque h≈2/m =p2aλM/k.
3. En supposant que l’´epaisseur de la couche limite thermique δth est petite devant d, donner
un ordre de grandeur de sa valeur en loi d’´echelle. Toujours en loi d’´echelle, estimer le flux de
chaleur depuis l’ailette vers le fluide en fonction de la vitesse moyenne du fluide. Est-ce que cette
analyse est coh´erente avec l’abaque de la fig. 2 ?
Le nombre total de canaux entre les ailettes est : N=L/(a+d). Le d´ebit de fluide total Q
se r´epartit dans chacun des canaux : q=Q/N et la vitesse moyenne dans chacun des canaux est
U=q/(h×d) = Q(a+d)/L a h. Pour que l’hypoth`ese de profil de vitesse parabolique dans les
canaux soit v´erifi´ee, il faut que le temps de diffusion de la quantit´e de mouvement sur la longueur
d,d2/ν soit petit devant le temps de convection le long du canal L/U , soit (Ud/ν)×(d/L)1.
En supposant que cette condition soit v´erifi´ee, si l’´epaisseur de couche limite pour la temp´erature
est petite devant d, le profil de vitesse qui intervient dans l’´equation de transport de la chaleur est
1

le profil lin´eaire tangent au profil de vitesse parabolique `a la paroi. L’´equation de transport pour
la chaleur est alors :
Uy
d
∂T
∂x =κ∂2T ∂y2(5)
o`u xest cette fois la coordonn´ee dans la direction de l’´ecoulement et yla coordonn´ee dans la
direction normale `a la paroi de l’ailette Dimensionnellement, cette ´equation s’´ecrit :
Uδth
d
T
x=κT δ2
th
(6)
ce qui sugg`ere que δth varie comme (κxd/U )1/3= (xd2)1/3P e−1/3, si on d´efinit le nombre de P´eclet
sur Uet d. Le flux de chaleur moyen le long du canal est :
J=λf
LZL
0
TM−Tf
δth(x)dx (7)
o`u TMest la temp´erature de surface de l’ailette. Soit :
J=λf(TM−Tf)P e1/3
d2/3L1/3(8)
Le coefficient de transfert de chaleur kutilis´e pour optimiser la longueur des ailettes est donc :
k=λfP e1/3
d2/3L1/3(9)
L’abaque de la fig. 2 montre le nombre de Nusselt (flux de chaleur adimensionn´e en prenant d
comme longueur caract´eristique) en fonction de P ed×(d/L). Pour calculer le nombre de Nusselt,
il faut diviser kpar le coefficient que donnerait la seule conductivit´e thermique soit λf/d. On a
alors :
Nu =P e1/3d
L1/3
(10)
On attend donc sur l’abaque en coordonn´ees logarithmiques une droite de pente 1/3, ce qui est `a
peu pr`es le cas, puisque pour 3 d´ecades de variation en abscisse, on a une d´ecade de variation en
Nu.
A partir de cette valeur de kindiqu´ee ci-dessus, on peut calculer compl`etement le flux ´echang´e
dans le radiateur. On fixe une g´eom´etrie en choisissant L,aet d.Lpeut ˆetre plus grand que les
dimensions du microprocesseur, mais pas beaucoup plus grand pour deux raisons : l’encombrement
d’une part et l’inutilit´e d’avoir une structure ayant un rapport d’aspect trop grand de la mani`ere
qu’il est inutile que les ailettes soient trop longues. On peut fixer un ordre de grandeur du d´ebit
de fluide `a partir du bilan global d’´energie et taire varier le d´ebit autour de cette valeur estim´ee.
On peut alors calculer la longueur optimale des ailettes et calculer le flux de chaleur ´echang´e
en fonction de θsl’´ecart de temp´erature entre la partie massive du radiateur (qu’on supposera
´egale `a la temp´erature du microprocesseur) et le fluide entrant dans les canaux.
4. Qu’est ce qui fixe la diff´erence de pression `a appliquer pour faire circuler le fluide entre les
ailettes ? Comment estimer la puissance minimale que doivent fournir le ventilateur ou la pompe ?
Si l’´ecoulement du fluide entre les ailettes est un ´ecoulement de Poiseuille, la viscosit´e du fluide
impose la diff´erence de pression ∆pentre l’entr´ee et la sortie. Pour un ´ecoulement de Poiseuille en
g´eom´etrie rectangulaire, en supposant que dh, le d´ebit dans un des canaux est :
q=1
η
∆p
L
hd3
12 (11)
o`u ηest la viscosit´e dynamique du fluide.
Donn´ees :
2

— Air : masse volumique ρ= 1kg/m3, chaleur sp´ecifique Cp= 1000 J/(kg.K), conductivit´e
thermique λ= 0,025 W/(m.K)
— Eau : masse volumique ρ= 1000kg/m3, chaleur sp´ecifique Cp= 4000 J/(kg.K), conductivit´e
thermique λ= 0,6 W/(m.K)
— Aluminium conductivit´e thermique λM= 240 W/(m.K)
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