TD n° 6 Correction - ESPCI

Phénomènes de transport. TD n˚6 : Refroidissement d’un microprocesseur
Correction
1. La puissance à évacuer est 50 W. Donner un ordre de grandeur du débit de fluide (eau ou
air) nécessaire pour évacuer cette puissance.
Si Ts est la température du bloc de métal composant la partie du radiateur située sous les
microprocesseur, Tf i la température du fluide de refroidissement en entrée du système et Tf o sa
température en sortie, la quantité de chaleur échangée par unité de temps est P = QρCp (Tf o −Tf i )
où Q est le débit de fluide et ρCp sa chaleur spécifique par unité de volume. Tf o ne peut excéder
Ts qui sera au maximum 100˚C. L’écart de température du fluide entre l’entrée et la sortie sera
donc au maximum de quelques dizaines de degrés. Pour fixer un ordre de grandeur, prenons cet
écart égal à 10˚C. On trouve alors :
— pour l’air (ρCp = 103 J/m3 /K) : Q = 5 × 10−3 m3 /s = 300 l/min.
— pour l’eau (ρCp = 4 × 106 J/m3 /K), Q ≈ 1cm3 /s.
2. Calculer le flux de chaleur intégré
p le long de l’ailette et montrer qu’il n’est pas nécessaire
qu’elles soient plus longues que h∗ ≈ aλM /k
On effectue un bilan d’énergie sur une tranche de l’ailette comprise entre x et x + dx : le flux
entrant par conduction dans le métal en x est : J(x) = −λM a∂x T (x). Le flux sortant en x+dx est :
J(x + dx) = λM a∂x T (x + dx). Le flux sortant par l’interface métal fluide est : 2k(Tf − T (x))dx.
A l’équilibre thermique ces différents flux doivent s’équilibrer d’où :
λM a
∂2T
= −2k(Tf − T (x))
∂x2
(1)
En posant : θ(x) = T (x) − Tf , on a : λM a∂xx θ = 2kθ, soit : ∂xx θ = (2k/λM a)θ = m2 θ. La solution
de cette équation différentielle est : θ = C1 exp(mx) + C2 exp(−mx). Les conditions aux limites
sont : θ(0) = θs = Ts − Tf et ∂x θ(h) = 0 pour assurer un flux de chaleur nul à l’extrémité de
l’ailette. D’où : θs = C1 + C2 et 0 = C1 exp(mh) − C2 exp(−mh).
Le flux de chaleur total entre l’ailette et le fluide est :
Z
h
k
k
h
[C1 exp(mx) − C2 exp(−mx)]0 = − [C1 exp(mh)−C2 exp(mh)+C2 −C1 ]
m
m
0
(2)
soit, en tenant compte de la condition en x = h :
J = −k
θ(x) dx = −
k
[C2 − C1 ]
m
On a d’autre part, C2 = C1 exp(2mh) et C1 = θS /(1 + 2 exp(mh)), d’où :
J =−
(3)
k
θs tanh(mh)
(4)
m
La tangente hyperbolique tend vers 1 lorsque
p x → ∞ et tanh(2) ≈ 0, 97. Donc le flux de chaleur
sature à la valeur kθs /m lorsque h ≈ 2/m = 2aλM /k.
3. En supposant que l’épaisseur de la couche limite thermique δth est petite devant d, donner
un ordre de grandeur de sa valeur en loi d’échelle. Toujours en loi d’échelle, estimer le flux de
chaleur depuis l’ailette vers le fluide en fonction de la vitesse moyenne du fluide. Est-ce que cette
analyse est cohérente avec l’abaque de la fig. 2 ?
Le nombre total de canaux entre les ailettes est : N = L/(a + d). Le débit de fluide total Q
se répartit dans chacun des canaux : q = Q/N et la vitesse moyenne dans chacun des canaux est
U = q/(h × d) = Q(a + d)/L a h. Pour que l’hypothèse de profil de vitesse parabolique dans les
canaux soit vérifiée, il faut que le temps de diffusion de la quantité de mouvement sur la longueur
d, d2 /ν soit petit devant le temps de convection le long du canal L/U , soit (U d/ν) × (d/L) 1.
En supposant que cette condition soit vérifiée, si l’épaisseur de couche limite pour la température
est petite devant d, le profil de vitesse qui intervient dans l’équation de transport de la chaleur est
J =−
1
le profil linéaire tangent au profil de vitesse parabolique à la paroi. L’équation de transport pour
la chaleur est alors :
U
∂2T
y ∂T
=κ 2
d ∂x
∂y
(5)
où x est cette fois la coordonnée dans la direction de l’écoulement et y la coordonnée dans la
direction normale à la paroi de l’ailette Dimensionnellement, cette équation s’écrit :
U
δth T
T
=κ 2
d x
δth
(6)
ce qui suggère que δth varie comme (κxd/U )1/3 = (xd2 )1/3 P e−1/3 , si on définit le nombre de Péclet
sur U et d. Le flux de chaleur moyen le long du canal est :
λf
J=
L
L
Z
0
TM − Tf
dx
δth (x)
(7)
où TM est la température de surface de l’ailette. Soit :
λf (TM − Tf )P e1/3
(8)
d2/3 L1/3
Le coefficient de transfert de chaleur k utilisé pour optimiser la longueur des ailettes est donc :
J=
λf P e1/3
(9)
d2/3 L1/3
L’abaque de la fig. 2 montre le nombre de Nusselt (flux de chaleur adimensionné en prenant d
comme longueur caractéristique) en fonction de P ed × (d/L). Pour calculer le nombre de Nusselt,
il faut diviser k par le coefficient que donnerait la seule conductivité thermique soit λf /d. On a
alors :
k=
N u = P e1/3
1/3
d
L
(10)
On attend donc sur l’abaque en coordonnées logarithmiques une droite de pente 1/3, ce qui est à
peu près le cas, puisque pour 3 décades de variation en abscisse, on a une décade de variation en
N u.
A partir de cette valeur de k indiquée ci-dessus, on peut calculer complètement le flux échangé
dans le radiateur. On fixe une géométrie en choisissant L, a et d. L peut être plus grand que les
dimensions du microprocesseur, mais pas beaucoup plus grand pour deux raisons : l’encombrement
d’une part et l’inutilité d’avoir une structure ayant un rapport d’aspect trop grand de la manière
qu’il est inutile que les ailettes soient trop longues. On peut fixer un ordre de grandeur du débit
de fluide à partir du bilan global d’énergie et taire varier le débit autour de cette valeur estimée.
On peut alors calculer la longueur optimale des ailettes et calculer le flux de chaleur échangé
en fonction de θs l’écart de température entre la partie massive du radiateur (qu’on supposera
égale à la température du microprocesseur) et le fluide entrant dans les canaux.
4. Qu’est ce qui fixe la différence de pression à appliquer pour faire circuler le fluide entre les
ailettes ? Comment estimer la puissance minimale que doivent fournir le ventilateur ou la pompe ?
Si l’écoulement du fluide entre les ailettes est un écoulement de Poiseuille, la viscosité du fluide
impose la différence de pression ∆p entre l’entrée et la sortie. Pour un écoulement de Poiseuille en
géométrie rectangulaire, en supposant que d h, le débit dans un des canaux est :
q=
1 ∆p hd3
η L 12
où η est la viscosité dynamique du fluide.
Données :
2
(11)
— Air : masse volumique ρ = 1kg/m3 , chaleur spécifique Cp = 1000 J/(kg.K), conductivité
thermique λ = 0, 025 W/(m.K)
— Eau : masse volumique ρ = 1000kg/m3 , chaleur spécifique Cp = 4000 J/(kg.K), conductivité
thermique λ = 0, 6 W/(m.K)
— Aluminium conductivité thermique λM = 240 W/(m.K)
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