résonance, filtrage d`une tension créneau

filtrage d'une tension non sinusoïdale par un circuit RLC
1. réponse du circuit en régime sinusoïdal :
on considère le circuit RLC ci-contre, avec :
L = 2,50 mH (bobine parfaite, Rbobine = 0)
R = 100 Ω
C = 100 nF
il est alimenté par un générateur BF sinusoïdal parfait
(Rgéné = 0) de tension efficace VE ;
on mesure la tension efficace VS aux bornes de R, et on
trace VS/VE en fonction de la fréquence f :
1.0
0.5
0
0Hz
5KHz
V(VS)/ V(VE)
10KHz
15KHz
20KHz
25KHz
30KHz
35KHz
40KHz
Frequency
1.1 retrouver la fréquence de résonance f0 du circuit, à partir des valeurs des composants.
1.2 déterminer à partir du graphe, la bande passante f2 - f1 du circuit.
1.3 en déduire le facteur de qualité Q0 et le coefficient d'amortissement σ.
1.4 vérifier ces résultats à partir des valeurs des composants.
2. filtrage d'une tension créneau
on alimente maintenant ce circuit par une tension créneau, de fréquence 5,00 kHz, de valeur moyenne nulle, de
rapport cyclique égal à 1, dont la décomposition en série de Fourier donne pour l'harmonique de rang n :
Un = 4U/nπ avec n impair, et U = 5,00 V
2.1 déterminer à partir du graphe, les valeurs maximales des harmoniques de rangs 1, 3, 5 et 7 de la tension de
sortie VS.
2.2 en se limitant à ces quatre harmoniques, calculer la valeur efficace de la tension de sortie VS.
2.3 avec la même inductance, calculer la valeur de la capacité et de la résistance permettant de "sélectionner" la
fréquence f = 20 kHz avec un facteur de qualité supérieur à 10.
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corrigé : filtrage d'une tension non sinusoïdale par un circuit RLC
1. réponse du circuit en régime sinusoïdal
1.0
Hmax/√2 = 0,707
0.5
f1 = 7,4 kHz
0
0Hz
f2 = 13,7 kHz
5KHz
V(VS)/ V(VE)
10KHz
15KHz
20KHz
25KHz
30KHz
35KHz
40KHz
Frequency
1.1sur le graphe, on lit la fréquence de résonance f0 du circuit : 10 kHz ;
à partir des valeurs des composants on aurait f0 = ω0/2π =
1
2π LC
=
1
2π 0,0025.100.10 −9
= 10,0 kHz
c'est bien en accord avec la valeur précédente.
1.2 on lit également sur le graphe : f1 = 7,4 kHz, f2 = 13,7 kHz (lecture ± 0,1 kHz) pour H = Hmax/√2 = 0,707
la bande passante f2 - f1 est donc 13,7 - 7,4 = 6,3 kHz (± 0,2kHz)
1.3
Q0 =
ω0
f0
10
=
=
= 1,6
ω 2 − ω1 f 2 − f1 6,3
1
1.4 à partir des expressions ω0 =
soit ici : Q 0 =
LC
et Q 0 =
et σ =
R
2
1
donne σ = 0,31
2σ
C
1
1
il vient : Q 0 =
=
L
2σ R
L 1
=
C R
Lω 0
L2
=
LC
R
Lω 0 0,0025.2π.10
=
= 1,57 ≈ 1,6 on retrouve bien la même valeur.
R
100
4
2. filtrage d'une tension créneau :
2.1 un générateur de tension créneau est équivalent à un ensemble de générateurs sinusoïdaux correspondant à
chaque harmonique, placés en série; en appliquant le théorême de superposition, on peut écrire pour
l'harmonique de rang n aux bornes de la résistance :
VS n =
R
1
R + j(Lnω −
)
Cnω
VE n
et sa valeur maximale VS n =
R
1 2
R + ( Lnω −
)
Cnω
VE n
avec VEn= 4U/nπ
2
puis la valeur maximale de la tension de sortie non sinusoïdale : VS = Vs21 + Vs23 + Vs25 + ...
à partir du graphe on peut déterminer les valeurs du module de la fonction de transfert pour l'harmonique de rang
n, puis la valeur de VSn = HnVEn = Hn4U/nπ (valeurs maximales) avec U = 5,0 V:
1.0
0.5
H1
0
0Hz
5KHz
V(VS)/ V(VE)
H5
H3
10KHz
15KHz
20KHz
25KHz
H7
30KHz
35KHz
40KHz
Frequency
rang n
fréquence (kHz)
VEn=4U/nπ
Hn ± 0,01
VSn = HnVEn
1
5,00
6,37
0,38
2,45
3
15,0
2,12
0,61
1,30
5
25,0
1,27
0,29
0.37
7
35,0
0,91
0,19
0,18
(valeurs maximales)
2.2 en se limitant à ces quatre harmoniques, on calcule la valeur maxi. de VS:
VS = VS12 + VS32 + VS52 + VS72 = 2,45 2 + 1,30 2 + 0,37 2 + 0,18 2 = 2,80 V VS = 2,80 V et VSeff = 1,98 V
2.3 pour "sélectionner" la fréquence 20 kHz (d'un autre signal), il faudrait avoir f0 = 20 kHz
or f0 = ω0/2π =
1
2π LC
ce qui donne : C =
1
4π 2 f 02 L
le facteur de qualité est lié à la résistance par Q 0 =
= 25,3 nF
Lω 0
0,0025.2.π.20000
et on veut Q0 > 10 d'où R <
= 31,4 Ω
10
R
on obtiendrait alors la courbe de résonnce suivante :
1.0
0.5
0
0Hz
5KHz
V(VS)/ V(VE)
10KHz
15KHz
20KHz
25KHz
30KHz
35KHz
40KHz
Frequency
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