10.Ondes élastiques et ondes électromagnétiques. Champ de
Chapitre V
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
61
Chapitre V
V.1 Ondes élastiques dans un milieu homogène
Les ondes élastiques se propagent dans un corps solide sous l’effet des forces
volumiques de densité
et des contraintes internes, décrites par le tenseur de contraintes .
La forme générale de l’équation est :
où
est le vecteur du mouvement, - la densité et t le temps.
Pour un milieu linéaire et isorope ; le vecteur
(M, t) est décrit par le tenseur de
déformation (M, t), dont les composantes sont :
!
"
!
#
#
$
%
#
&
''
'
%
#
#
%
#
!"
Selon la loi de Hooke, le tenseur de contraintes et lié au tenseur des déformations par :
(
)*
##
+;
(
(
)*
##
+
#
#
(
#
,
##
(
##
)*
##
+
#
#
(
#
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
Chapitre V
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
62
Les coefficients ( et ) sont les coefficients de Lamé, qu’on exprime en fonction du
module d’Young par :
( -
) -
./
Si l’on pose dans (V.3) les expressions du tenseur de déformation, alors, les
composantes du tenseur de contraintes s’expriment par :
(
012
0
)
;
3
4
!
5
"
(
! )
#
#
($
%
#
&
##
(
#
% )
#
#
(
%
#
!"6
En remplaçant (V.5) dans (V.1), on obtient l’équation d’oscillations
789:):;<
8=>(8=>
:;<(789:
?
Pour un milieu homogène et isdrope on a :
:
:>
3
@A
B3
@789::;<
C
Le vecteur de mouvement
peut être décomposé en partie potentielle
D
et
solonoidale
E
, c'est-à-dire :
F
G
HI
F
J
G
JK
Les ondes du mouvement
E
sont transversales alors que celles de
D
sont longitudinales.
Elles satisfont :
G
L
M
G
F
N
M
F
O
Chapitre V
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
63
L
P(
N
P)(
Elles peuvent s’écrire en fonction du potentiel scalaire Q et du potentiel vectoriel R
sous
forme de :
D
789:S
E
8=>R
V.2 ondes électromagnétiques dans un milieu conducteur
Le champ électromagnétique est l’ensemble des vecteurs T
(M, t) et U
(M, t) agissant
sur une charge q se déplaçant à une vitesse :
VW-
XYZ
X[J
L’ectrodynamique macroscopique se base sur le système d’équations de Maxwell :
\
]
8=>U
\
-
^:;<Z
J
8=>-
.Z
\
:;<-
où
\
est perméabilité diélectrique du vide, c- la vitesse de la lumière dans le vide. La
densité _ du courant et la densité de charge sont liées par :
:;<_J
Dans un milieu matériel, la densité du courant est composée de la densité des
courants de déplacement, de conductibilité, de magnétisation et externes :
`.
\
]
-
aT
8=>$
3.
\
]
&U
`
b4c
,
où est la perméabilité diélectrique du milieu, la conductivité du milieu, (- la
perméabilité magnétique du milieu. La densité de la charge est :
:;<.
\
Y-
defg
hL
On doit satisfaire les équations de continuité :
ijkl
:;<*aT
+J
b4c
:;<`
b4c
J
Les équations de Maxwell dans un milieu matériel sont :
Chapitre V
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
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m8=>no-
aT
`
b4c
:;<*3no+J
8=>T
.3pq
:;<*T
+@
defg
@
b4c
r
s
s
t
s
s
u
/
où v
w
3
U
est le champs magnétique.
Pour un espace homogène, les équations de Maxwell permettent d’avoir :
-
x-
HIHI-
.(y
z{
| 6
pq
xpq
8=>8=>no8=>`
b4c
où v = 1/}3- la vitesse de propagation du champ d’électromagnétique dans le milieu, D =
w
~3
- le coefficient de diffusion du champ électromagnétique dans le milieu conducteur.
En pratique on prend : •
€|?
où L- est la dimension du domaine, T- la période d’oscillations. Alors (V.15) devient :
8=>pq-
y
hL
8=>-
.(
\
•pq
•>C
Le champ magnétique est déterminé dans ce cas par la loi de Biot-Savart pour un
courant stationnaire : HI‚
-
^
hL
HI-
ƒ(‚
K
où T
v
„
b4c
- les transformées de Fourrer de T
v
et ` respectivement.
-
X
… †-
‡
ˆ‡
Xƒ‰
ˆNŠL
ƒ
pqX
… †‚
‡
ˆ‡
Xƒ‰
NŠL
ƒ
Chapitre V
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
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yX
… †^
hL
‡
ˆ‡
Xƒ‰
ˆNŠL
ƒ
Les équations (V.18) décrivent le cas quasi stationnaire. En général, on prend à la
place de la conductibilité électrique, la conductibilité complexe - iƒ.
Pour le cas d’un milieu hétérogène, il faut considérer les conditions aux limites au
niveau des surfaces de séparation.
Alors :
mW-
‹
[
G
JW‚
‹
[
G
J
-
‹
*Œ
Y-
+YŒ
‚
‹
*Œ
Y•‚
+YŒ
ŽO
où •
est la normale à la surface de séparation des paramètres du milieu, -
•
‚
•
- vecteur
tangentiels à la surface S. Pour une distribution locale arbitraire des paramètres
électromagnétiques dans un domaine V, le champ se transforme en champ d’ondes
sphériques dans lequel :
o;‘
’“‡
-
”
‚
•
"–(
o;‘
—“‡
$T
˜
v
™
&.–3
J
où T
™
T
˜
v
™
v
˜
- sont les composantes des champs électrique et magnétique en
coordonnées sphériques.
Soit une distribution initiale de la conductibilité électrique a
D
et de la perméabilité
magnétique 3
D
. les champs initiaux sont T
D
et v
D
. Ils satisfont :
HI‚
F
F
-
F
^
hL
HI-
F
ƒ(
F
‚
F
Les champs recherchés seront les champs secondaires :
T
E
T
.T
D
v
E
v
.v
D
Qui satisfont : HI‚
G
-
G
*.
F
+-
F
HI-
G
ƒ(‚
G
ƒ*(.(
F
+‚
F
et qui sont crées par les champs initiaux. On prend en général ((
\
/…J
ˆš
›œ• pour
la terre et :
6
7
1
/
7
100%
