Requêtes sur des données à ordre incomplet

Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Requêtes sur des données à ordre incomplet
Antoine Amarilli1 , M. Lamine Ba1 ,
Daniel Deutch2 , Pierre Senellart1,3
1 Télécom
2 Tel
3 National
ParisTech
Aviv University
University of Singapore
29 septembre 2015
1/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Algèbre relationnelle sur des données ordonnées
On considère des tables avec un ordre sur leur tuples :
2/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Algèbre relationnelle sur des données ordonnées
On considère des tables avec un ordre sur leur tuples :
Hôtel
Restaurant
Arr.t
8e
Gagnaire
Tour d’argent 5e
Restaurant
Arr.t
Épicure
Tsukizi
8e
6e
Arr.t
Mercure 5e
Balzac
8e
Mercure 12e
2/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Algèbre relationnelle sur des données ordonnées
On considère des tables avec un ordre sur leur tuples :
Hôtel
Restaurant
Arr.t
8e
Gagnaire
Tour d’argent 5e
Restaurant
Arr.t
Épicure
Tsukizi
8e
6e
Arr.t
Mercure 5e
Balzac
8e
Mercure 12e
→ Ici, classement par préférence
2/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Algèbre relationnelle sur des données ordonnées
On considère des tables avec un ordre sur leur tuples :
Hôtel
Restaurant
Arr.t
8e
Gagnaire
Tour d’argent 5e
Restaurant
Arr.t
Épicure
Tsukizi
8e
6e
Arr.t
Mercure 5e
Balzac
8e
Mercure 12e
→ Ici, classement par préférence
→ Comment exécuter des requêtes relationnelles sur ces tables ?
2/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Incertitude
Restaurant
Arr.t
Épicure
Tsukizi
8e
6e
3/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Incertitude
Restaurant
Arr.t
Épicure
Tsukizi
8e
6e
∪
3/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Incertitude
Restaurant
Arr.t
Épicure
Tsukizi
8e
6e
∪
Restaurant
Arr.t
Gagnaire
Tour d’argent
8e
5e
3/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Incertitude
Restaurant
Arr.t
Épicure
Tsukizi
8e
6e
∪
Restaurant
Arr.t
Gagnaire
Tour d’argent
8e
5e
=
3/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Incertitude
Restaurant
Arr.t
Épicure
Tsukizi
8e
6e
∪
Restaurant
Arr.t
Gagnaire
Tour d’argent
8e
5e
= ??
3/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Incertitude
Restaurant
Arr.t
Gagnaire
Tour d’argent
8e
5e
3/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Incertitude
Restaurant
Arr.t
Gagnaire
Tour d’argent
8e
5e
▷◁
3/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Incertitude
Restaurant
Arr.t
Gagnaire
Tour d’argent
8e
5e
▷◁
Hôtel
Arr.t
Mercure
Balzac
Mercure
5e
8e
12e
3/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Incertitude
Restaurant
Arr.t
Gagnaire
Tour d’argent
8e
5e
▷◁
Hôtel
Arr.t
Mercure
Balzac
Mercure
5e
8e
12e
=
3/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Incertitude
Restaurant
Arr.t
Gagnaire
Tour d’argent
8e
5e
▷◁
Hôtel
Arr.t
Mercure
Balzac
Mercure
5e
8e
12e
= ??
3/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Incertitude
Restaurant
Arr.t
Gagnaire
Tour d’argent
8e
5e
▷◁
Hôtel
Arr.t
Mercure
Balzac
Mercure
5e
8e
12e
= ??
→ Le résultat des opérateurs est incertain en termes d’ordre
→ Quelle sémantique adopter ?
3/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Notre objectif
Ordre incertain : plusieurs ordres possibles sur les tuples
4/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Notre objectif
Ordre incertain : plusieurs ordres possibles sur les tuples
Hôtel
Arr.t
Hôtel
Arr.t
Mercure
Balzac
Mercure
5e
8e
12e
Balzac
Mercure
Mercure
8e
5e
12e
4/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Notre objectif
Ordre incertain : plusieurs ordres possibles sur les tuples
Hôtel
Arr.t
Hôtel
Arr.t
Mercure
Balzac
Mercure
5e
8e
12e
Balzac
Mercure
Mercure
8e
5e
12e
→ Algèbre relationnelle positive : Π, σ, ∪, ×, constantes
→ Généraliser la sémantique multiensembliste (bag)
4/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Notre objectif
Ordre incertain : plusieurs ordres possibles sur les tuples
Hôtel
Arr.t
Hôtel
Arr.t
Mercure
Balzac
Mercure
5e
8e
12e
Balzac
Mercure
Mercure
8e
5e
12e
→ Algèbre relationnelle positive : Π, σ, ∪, ×, constantes
→ Généraliser la sémantique multiensembliste (bag)
→ Propager l’ordre !
4/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Table des matières
1
Introduction
2
Axiomes et représentation
3
Agrégation
4
Conclusion
5/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Axiomes de base
Vide. ∅ est la relation ordonnée vide
Singleton. [t] est la relation ordonnée à un seul élément t
Total. N≤n est l’ordre total (⟨0⟩, . . . , ⟨n⟩)
6/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Axiomes de base
Vide. ∅ est la relation ordonnée vide
Singleton. [t] est la relation ordonnée à un seul élément t
Total. N≤n est l’ordre total (⟨0⟩, . . . , ⟨n⟩)
Sélection. σ conserve l’ordre
Projection. π conserve l’ordre (bag)
6/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Axiomes de base
Vide. ∅ est la relation ordonnée vide
Singleton. [t] est la relation ordonnée à un seul élément t
Total. N≤n est l’ordre total (⟨0⟩, . . . , ⟨n⟩)
Sélection. σ conserve l’ordre
Projection. π conserve l’ordre (bag)
Cohérence. Si W1 et W2 sont des relations incertaines,
Q(W1 , W2 ) est exactement l’ensemble des Q(L1 , L2 )
pour chaque monde possible L1 de W1 et L2 de W2
6/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Union et produit
Union. L’union conserve l’ordre des opérandes :
si t < t′ dans Li alors t < t′ dans L1 ∪ L2
7/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Union et produit
Union. L’union conserve l’ordre des opérandes :
si t < t′ dans Li alors t < t′ dans L1 ∪ L2
a
b
7/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Union et produit
Union. L’union conserve l’ordre des opérandes :
si t < t′ dans Li alors t < t′ dans L1 ∪ L2
a
b
∪
7/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Union et produit
Union. L’union conserve l’ordre des opérandes :
si t < t′ dans Li alors t < t′ dans L1 ∪ L2
a
b
∪
a
c
7/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Union et produit
Union. L’union conserve l’ordre des opérandes :
si t < t′ dans Li alors t < t′ dans L1 ∪ L2
a
b
∪
a
c
⊆
7/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Union et produit
Union. L’union conserve l’ordre des opérandes :
si t < t′ dans Li alors t < t′ dans L1 ∪ L2
a
b
∪
a
c
⊆
{
}
7/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Union et produit
Union. L’union conserve l’ordre des opérandes :
si t < t′ dans Li alors t < t′ dans L1 ∪ L2
a
b
∪
a
c
⊆
{
a
b
a
c
,
}
7/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Union et produit
Union. L’union conserve l’ordre des opérandes :
si t < t′ dans Li alors t < t′ dans L1 ∪ L2
a
b
∪
a
c
⊆
{
a
b
a
c
,
a
a
b
c
,
}
7/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Union et produit
Union. L’union conserve l’ordre des opérandes :
si t < t′ dans Li alors t < t′ dans L1 ∪ L2
a
b
∪
a
c
⊆
{
a
b
a
c
,
a
a
b
c
,
a
a
c
b
,
}
7/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Union et produit
Union. L’union conserve l’ordre des opérandes :
si t < t′ dans Li alors t < t′ dans L1 ∪ L2
a
b
∪
a
c
⊆
{
a
b
a
c
,
a
a
b
c
,
a
a
c
b
,
a
c
a
b
}
7/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Union et produit
Union. L’union conserve l’ordre des opérandes :
si t < t′ dans Li alors t < t′ dans L1 ∪ L2
a
b
∪
a
c
⊆
{
a
b
a
c
,
a
a
b
c
,
a
a
c
b
,
a
c
a
b
}
Produit. Le produit conserve l’ordre aussi :
si ti < t′i dans Li alors (t1 , t2 ) < (t′1 , t′2 ) dans L1 × L2
7/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Ceci définit une sémantique de l’ordre minimal à propager
On peut ordonner davantage : produit lexicographique, etc.
8/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Ceci définit une sémantique de l’ordre minimal à propager
On peut ordonner davantage : produit lexicographique, etc.
Choix d’opérateurs : σ, Π, × minimal, × lexicographique, ∪
Théorème
Retirer l’un des deux produits réduit l’expressivité
8/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Représentation efficace
Ordres totaux à n éléments L = (0, . . . , n) et L′ = (0′ , . . . , n′ )
L ∪ L′ a un nombre exponentiel de mondes possibles
9/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Représentation efficace
Ordres totaux à n éléments L = (0, . . . , n) et L′ = (0′ , . . . , n′ )
L ∪ L′ a un nombre exponentiel de mondes possibles
Idée : po-relations, partiellement ordonnées
→ Liste d’ordres possibles ⇒ ordre partiel sur les tuples
9/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Représentation efficace
Ordres totaux à n éléments L = (0, . . . , n) et L′ = (0′ , . . . , n′ )
L ∪ L′ a un nombre exponentiel de mondes possibles
Idée : po-relations, partiellement ordonnées
→ Liste d’ordres possibles ⇒ ordre partiel sur les tuples
Hôtel
Arr.t
Hôtel
Arr.t
Mercure
Balzac
Mercure
5e
8e
12e
Balzac
Mercure
Mercure
8e
5e
12e
9/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Représentation efficace
Ordres totaux à n éléments L = (0, . . . , n) et L′ = (0′ , . . . , n′ )
L ∪ L′ a un nombre exponentiel de mondes possibles
Idée : po-relations, partiellement ordonnées
→ Liste d’ordres possibles ⇒ ordre partiel sur les tuples
Hôtel
Arr.t
Mercure
Balzac
Mercure
5e
8e
12e
Hôtel
Arr.t
Balzac
Mercure
Mercure
8e
5e
12e
(Mercure, 5)
(Balzac, 8)
(Mercure, 12)
9/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Tous les ordres incertains ne sont pas représentables
10/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Tous les ordres incertains ne sont pas représentables
{
a
b
c
,
c
b
a
}
10/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Tous les ordres incertains ne sont pas représentables
{
a
b
c
,
c
b
a
}
⇒
10/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Tous les ordres incertains ne sont pas représentables
{
a
b
c
,
c
b
a
}
⇒
??
10/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Tous les ordres incertains ne sont pas représentables
{
a
b
c
,
c
b
a
}
⇒
??
Théorème
Si on applique nos opérateurs à des po-relations :
→ Le résultat est toujours une po-relation
→ À requête fixée, il est calculable en temps polynomial
10/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Table des matières
1
Introduction
2
Axiomes et représentation
3
Agrégation
4
Conclusion
11/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Motivation et difficultés
Étendre l’algèbre pour utiliser l’ordre :
“Quelle est la valeur du premier tuple ?”
“Quelle est la note totale des 3 premiers tuples ?”
“Est-ce que Gagnaire et Épicure sont toujours avant Tsukizi ?”
12/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Motivation et difficultés
Étendre l’algèbre pour utiliser l’ordre :
“Quelle est la valeur du premier tuple ?”
“Quelle est la note totale des 3 premiers tuples ?”
“Est-ce que Gagnaire et Épicure sont toujours avant Tsukizi ?”
Problème de compositionalité
W ′ ··= σpremier tuple (W)
→ Les tuples de W ′ sont incertains, pas juste l’ordre !
12/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Motivation et difficultés
Étendre l’algèbre pour utiliser l’ordre :
“Quelle est la valeur du premier tuple ?”
“Quelle est la note totale des 3 premiers tuples ?”
“Est-ce que Gagnaire et Épicure sont toujours avant Tsukizi ?”
Problème de compositionalité
W ′ ··= σpremier tuple (W)
→ Les tuples de W ′ sont incertains, pas juste l’ordre !
→ Agrégation expressive mais seulement en dernière opération
12/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Définition formelle
Monoïde pour l’agrégation (M, ⊕, ϵ) :
⊕ est associatif (pas toujours commutatif)
ϵ est neutre
h envoie les tuples vers M
→ M et h définissent un opérateur d’agrégation
13/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Définition formelle
Monoïde pour l’agrégation (M, ⊕, ϵ) :
⊕ est associatif (pas toujours commutatif)
ϵ est neutre
h envoie les tuples vers M
→ M et h définissent un opérateur d’agrégation
Cohérence. L’agrégat d’un W incertain est
l’ensemble des agrégats de L pour L ∈ W
13/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Définition formelle
Monoïde pour l’agrégation (M, ⊕, ϵ) :
⊕ est associatif (pas toujours commutatif)
ϵ est neutre
h envoie les tuples vers M
→ M et h définissent un opérateur d’agrégation
Cohérence. L’agrégat d’un W incertain est
l’ensemble des agrégats de L pour L ∈ W
L’agrégat de ∅ est ϵ
L’agrégat de (t1 , . . . , tn ) est h(t1 ) ⊕ · · · ⊕ h(tn )
13/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Utilisation
Difficile d’avoir un système de représentation
→ Étude de la possibilité et de la certitude
14/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Utilisation
Difficile d’avoir un système de représentation
→ Étude de la possibilité et de la certitude
POSS. v ∈ M est-il un agrégat possible de W ?
CERT. v ∈ M est-il le seul agrégat de W ?
14/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Utilisation
Difficile d’avoir un système de représentation
→ Étude de la possibilité et de la certitude
POSS. v ∈ M est-il un agrégat possible de W ?
CERT. v ∈ M est-il le seul agrégat de W ?
→ Quelle complexité pour ce problème ?
14/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Théorème
CERT est NP-dur en général
15/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Théorème
CERT est NP-dur en général
Théorème
CERT est PTIME sans agrégation
(L est-il le seul ordre possible ?)
15/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Théorème
CERT est NP-dur en général
Théorème
CERT est PTIME sans agrégation
(L est-il le seul ordre possible ?)
Théorème
CERT PTIME pour M annulable :
15/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Théorème
CERT est NP-dur en général
Théorème
CERT est PTIME sans agrégation
(L est-il le seul ordre possible ?)
Théorème
CERT PTIME pour M annulable :
pour tous a, b, c ∈ M,
si a · c = b · c alors a = b
si c · a = c · b alors a = b
15/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Théorème
CERT est NP-dur en général
Théorème
CERT est PTIME sans agrégation
(L est-il le seul ordre possible ?)
Théorème
CERT PTIME pour M annulable :
pour tous a, b, c ∈ M,
si a · c = b · c alors a = b
si c · a = c · b alors a = b
→ géneralise les groupes
15/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Théorème
CERT est NP-dur en général
Théorème
POSS est NP-dur en général
Théorème
CERT est PTIME sans agrégation
(L est-il le seul ordre possible ?)
Théorème
CERT PTIME pour M annulable :
pour tous a, b, c ∈ M,
si a · c = b · c alors a = b
si c · a = c · b alors a = b
→ géneralise les groupes
15/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Théorème
CERT est NP-dur en général
Théorème
CERT est PTIME sans agrégation
(L est-il le seul ordre possible ?)
Théorème
CERT PTIME pour M annulable :
pour tous a, b, c ∈ M,
Théorème
POSS est NP-dur en général
Q ··= L × L′
L et L′ totalement ordonnés
Trois valeurs a, b et c
Pas d’agrégation
si a · c = b · c alors a = b
si c · a = c · b alors a = b
→ géneralise les groupes
15/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Résultats
Théorème
CERT est NP-dur en général
Théorème
CERT est PTIME sans agrégation
(L est-il le seul ordre possible ?)
Théorème
CERT PTIME pour M annulable :
pour tous a, b, c ∈ M,
Théorème
POSS est NP-dur en général
Q ··= L × L′
L et L′ totalement ordonnés
Trois valeurs a, b et c
Pas d’agrégation
→ UNARY-3-PARTITION
si a · c = b · c alors a = b
si c · a = c · b alors a = b
→ géneralise les groupes
15/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Préservation de mesures de complexité
Comment rendre POSS tractable ?
→ Les tables d’entrée sont simples
Totalement ordonnées
Non ordonnées
“Presque pas” ou “presque totalement” ordonnées
16/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Préservation de mesures de complexité
Comment rendre POSS tractable ?
→ Les tables d’entrée sont simples
Totalement ordonnées
Non ordonnées
“Presque pas” ou “presque totalement” ordonnées
→ Certains opérateurs préservent la simplicité
Pour Q fixé, simplicité de Q(R) bornée par celle de R
16/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Préservation de mesures de complexité
Comment rendre POSS tractable ?
→ Les tables d’entrée sont simples
Totalement ordonnées
Non ordonnées
“Presque pas” ou “presque totalement” ordonnées
→ Certains opérateurs préservent la simplicité
Pour Q fixé, simplicité de Q(R) bornée par celle de R
→ POSS et CERT tractables à simplicité fixée
16/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Préservation de mesures de complexité
Comment rendre POSS tractable ?
→ Les tables d’entrée sont simples
Totalement ordonnées
Non ordonnées
“Presque pas” ou “presque totalement” ordonnées
→ Certains opérateurs préservent la simplicité
Pour Q fixé, simplicité de Q(R) bornée par celle de R
→ POSS et CERT tractables à simplicité fixée
La théorie des ordres partiels fournit de telles mesures
16/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Largeur
Largeur d’une po-relation : plus grande antichaîne
(ensemble de tuples incomparables deux à deux)
→ Totalement ordonné : largeur 1
→ (Non ordonné : largeur non bornée)
17/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Largeur
Largeur d’une po-relation : plus grande antichaîne
(ensemble de tuples incomparables deux à deux)
→ Totalement ordonné : largeur 1
→ (Non ordonné : largeur non bornée)
Tous les opérateurs sauf × minimal
préservent la largeur
17/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Largeur
Largeur d’une po-relation : plus grande antichaîne
(ensemble de tuples incomparables deux à deux)
→ Totalement ordonné : largeur 1
→ (Non ordonné : largeur non bornée)
Tous les opérateurs sauf × minimal
préservent la largeur
Théorème
POSS et CERT tractables à largeur bornée
→ programmation dynamique suivant une partition en chaînes
→ (sans agrégation, ou agrégation sur domaine borné)
17/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Partition en antichaînes indistinguables (nouveau !)
Partition en antichaînes indistinguables d’une po-relation :
Chaque classe est une antichaîne
L’ordre est exactement l’ordre entre les classes
18/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Partition en antichaînes indistinguables (nouveau !)
Partition en antichaînes indistinguables d’une po-relation :
Chaque classe est une antichaîne
L’ordre est exactement l’ordre entre les classes
IA-largeur : nombre de classes
→ Non ordonné : partition en une classe
→ (Totalement ordonné : non borné)
18/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Partition en antichaînes indistinguables (nouveau !)
Partition en antichaînes indistinguables d’une po-relation :
Chaque classe est une antichaîne
L’ordre est exactement l’ordre entre les classes
IA-largeur : nombre de classes
→ Non ordonné : partition en une classe
→ (Totalement ordonné : non borné)
Tous les opérateurs préservent l’ia-largeur
18/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Partition en antichaînes indistinguables (nouveau !)
Partition en antichaînes indistinguables d’une po-relation :
Chaque classe est une antichaîne
L’ordre est exactement l’ordre entre les classes
IA-largeur : nombre de classes
→ Non ordonné : partition en une classe
→ (Totalement ordonné : non borné)
Tous les opérateurs préservent l’ia-largeur
Théorème
POSS et CERT tractables à ia-largeur bornée
→ bruteforce sur les ordres inter-classes, puis glouton
→ (sans agrégation, ou agrégation sur domaine borné)
18/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Table des matières
1
Introduction
2
Axiomes et représentation
3
Agrégation
4
Conclusion
19/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Directions futures : sémantique non-multiensembliste
Parfois, c’est pertinent de conserver les tuples en double
Parfois, il faudrait les intégrer
20/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Directions futures : sémantique non-multiensembliste
Parfois, c’est pertinent de conserver les tuples en double
Parfois, il faudrait les intégrer
Cas facile
a
b
b
c
20/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Directions futures : sémantique non-multiensembliste
Parfois, c’est pertinent de conserver les tuples en double
Parfois, il faudrait les intégrer
Cas facile
a
b
b
c
→
20/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Directions futures : sémantique non-multiensembliste
Parfois, c’est pertinent de conserver les tuples en double
Parfois, il faudrait les intégrer
Cas facile
a
b
b
c
→
a
b
c
20/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Directions futures : sémantique non-multiensembliste
Parfois, c’est pertinent de conserver les tuples en double
Parfois, il faudrait les intégrer
Cas facile
a
b
b
c
→
Cas difficile
a
b
c
a
b
c
b
a
20/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Directions futures : sémantique non-multiensembliste
Parfois, c’est pertinent de conserver les tuples en double
Parfois, il faudrait les intégrer
Cas facile
a
b
b
c
→
Cas difficile
a
b
c
a
b
c
b
a
→
20/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Directions futures : sémantique non-multiensembliste
Parfois, c’est pertinent de conserver les tuples en double
Parfois, il faudrait les intégrer
Cas facile
a
b
b
c
→
Cas difficile
a
b
c
a
b
c
b
a
→ ??
20/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Directions futures : sémantique non-multiensembliste
Parfois, c’est pertinent de conserver les tuples en double
Parfois, il faudrait les intégrer
Cas facile
a
b
b
c
→
Cas difficile
a
b
c
a
b
c
b
a
→ ??
Considérer les cas possibles faciles, échouer sinon
→ Critère simple, PTIME, et compositionnel avec les po-relations
→ Meilleure solution ?
20/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Bilan et autres directions
Sémantique multiensembliste pour l’algèbre relationnelle
positive sur des relations avec ordre incertain sur les tuples
Les opérateurs préservent l’ordre
Sur les relations incertaines, on définit monde par monde
Système de représentation efficace : po-relations
Agrégation comme dernière opération
Complexité de décider possibilité et certitude
Bornes d’expressivité via la théorie des ordres partiels
21/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Bilan et autres directions
Sémantique multiensembliste pour l’algèbre relationnelle
positive sur des relations avec ordre incertain sur les tuples
Les opérateurs préservent l’ordre
Sur les relations incertaines, on définit monde par monde
Système de représentation efficace : po-relations
Agrégation comme dernière opération
Complexité de décider possibilité et certitude
Bornes d’expressivité via la théorie des ordres partiels
Davantage d’opérateurs ? (Map, group-by, etc.)
Sémantique ensembliste ?
Combiner avec l’incertitude sur les valeurs ?
Autres résultats pour POSS/CERT ? (Groupes finis, etc.)
21/21
Introduction
Axiomes et représentation
Agrégation
Conclusion
Bilan et autres directions
Sémantique multiensembliste pour l’algèbre relationnelle
positive sur des relations avec ordre incertain sur les tuples
Les opérateurs préservent l’ordre
Sur les relations incertaines, on définit monde par monde
Système de représentation efficace : po-relations
Agrégation comme dernière opération
Complexité de décider possibilité et certitude
Bornes d’expressivité via la théorie des ordres partiels
Davantage d’opérateurs ? (Map, group-by, etc.)
Sémantique ensembliste ?
Combiner avec l’incertitude sur les valeurs ?
Autres résultats pour POSS/CERT ? (Groupes finis, etc.)
Merci pour votre attention !
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