Histoire de la relativité restreinte

Introduction à la relativité
Restreinte
Notes de cours SMP S5
Pr. M. Benjelloun

Cours de Physique Nucléaire - SMP S5  UCD  Pr. M. Benjelloun Page 2
Contenu
Introduction à la relativité .............................................................................................. 3
Relativité galiléenne .................................................................................................... 3
Mise en défaut de la relativité Galiléenne .................................................................. 4
Expérience de Michelson et Morley (1887) .................................................................. 5
Relativité restreinte ........................................................................................................ 7
Principes de la relativité .............................................................................................. 7
Simultanéité de deux événements ............................................................................... 7
Conséquences de ces deux postulats ........................................................................... 8
Dilatation du temps ................................................................................................. 8
Contraction des longueurs ......................................................................................11
Transformation de Lorentz ............................................................................................13
L’espace-temps à quatre dimensions ..........................................................................13
Transformation de Lorentz .........................................................................................13
Point de vue classique ou Galiléen : .......................................................................14
Point de vue relativiste ...........................................................................................14
Transformation des vitesses ...................................................................................15
Masse et la quantité de mouvement en mécanique relativiste..................................16
Quadrivecteurs ...............................................................................................................19
Définitions ...................................................................................................................19
Produit scalaire et norme ...........................................................................................19
4-vitesse d'une particule relativiste ...........................................................................19
Quadrivecteur impulsion-énergie ...............................................................................20
Impulsion et masse des photons .................................................................................22
Quadrivecteur d'onde ..................................................................................................22
Références .......................................................................................................................23
Exercices .........................................................................................................................24

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La description d’une expérience physique nécessite un système de référence, c’est-à-
dire un système de coordonnées servant à indiquer la position des particules dans
l’espace.
Si un observateur, dans un référentiel R(O,x,y,z) réalise une expérience, et si un
observateur, dans un référentiel R’(O’,x’,y’,z’), observe le même phénomène. Si les
équations du mouvement dans R’ ont la même forme que dans le référentiel R, on dira
que la loi physique régissant le phénomène est invariante.
Relativité galiléenne
Une transformation de Galilée correspond aux formules de transformations des
coordonnées spatiales et temporelles entre deux référentiels galiléens donnés. Tout
référentiel en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel
donné supposé galiléen, est lui-même galiléen.
Étant donnés un référentiel (R) supposé galiléen, et un second référentiel (R') en
mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse
u
par rapport à (R), l'objet de la
transformation de Galilée est de déterminer comment se transforme les coordonnées de
temps et d'espace d'un même évènement, noté E
, , ,x y z t
dans (R) et E
', ', ', 'x y z t
dans
(R'), lors du changement de référentiel.
Le cas le plus simple de transformation de Galilée consiste à considérer la situation
où les repères d'espace associés respectivement à (R) et (R') sont choisis de telle sorte que
leurs origines O et O' coïncident à l'origine commune des dates t et t' dans chacun des
référentiels, et que les trois axes soient colinéaires, (R') se déplaçant le long de la
direction Ox à la vitesse v constante.
Dans le cadre de la mécanique newtonienne, le temps possède un caractère absolu,
autrement dit si les origines des dates des horloges associées à chacun des référentiels
sont identiques, on aura
'tt
.
'
'
'
'
x x ut
yy
zz
tt
Si l’événement possède une vitesse vx dans R, alors dans R’ il aura la vitesse v’x par la
transformation Galiléenne de la vitesse
''
2 1 2 1
21
'
''
'
''
xx
x x x
x x x x x x x u t
t t t t t v v u
x x x u t
v v v u
t t t

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• Les lois de composition des vitesses s’obtiennent en dérivant les relations
spatiales par rapport au temps.
• En dérivant une nouvelle fois on obtient les lois de composition de l’accélération
''
'
' ' '
'''
x x x x
y y y y
z z z z
v v u a a
x x ut
y y v v a a
zz v v a a
Les lois de la mécanique classique, en particulier l’équation de Newton
2
2
dx
mF
dt 
sont
invariantes sous ce groupe de transformations. Les référentiels correspondants sont dits
inertiels. Dans de tels référentiels le mouvement d’une particule libre,
0F
, est
rectiligne et uniforme.
Mise en défaut de la relativité Galiléenne
Toutes les lois de la physique prennent la même forme dans tous les référentiels
inertiels. Les lois de la mécanique classique satisfont le principe de relativité vis à vis
des transformations galiléennes.
Qu’en est-il des interactions électromagnétiques décrites par les équations de
Maxwell ?
Les manipulations d’électrostatiques et de magnétostatique ont permis la mesure de
12 3 1 4 2
0
6 2 2
0
8,85418782 10 m kg s A
1,25663706 10 m kg s A
En 1864, James Clerk Maxwell établit les équations régissant les ondes
électromagnétiques et notamment les ondes lumineuses.
2
00 2
0
2
00 2
02
( , ) 0
.
1( , ) 0
.0
BE r t
EE t
t
EB r t
B B J t
ct
Ces équations permettent
 de prédire l'existence d'une onde électromagnétique
La vitesse de propagation "c" des ondes électromagnétiques comme étant une
constante puisque reliée à deux autres constantes de la physique et caractéristiques du
vide : la "permittivité magnétique o" et la "permittivité électrique o ".
00
1
c
 la vitesse de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la
vitesse de la lumière mesurée expérimentalement c  3 ×108 m/s.
 de conclure que la lumière était une onde électromagnétique de vitesse c
 Les équations de Maxwell semblent n'être valables que dans le référentiel
privilégié (éther) et ne sont pas invariantes sous une transformation de Galilée.
(Démonstration : http://www.relativite.info/invariance maxwell1.htm )

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A l’image des ondes sonores, le son est un phénomène ondulatoire de vitesse (~330
m/s) définie dans le référentiel où l’air est au repos; Sans air ou autre milieu, il n’y peut
pas exister d’onde sonore! D’où l'hypothèse de l'éther, milieu de propagation de la
lumière
Expérience de Michelson et Morley (1887)
Si la lumière se propageait grâce à la vibration de l’éther, alors la composition de la
vitesse de la lumière avec le mouvement d’un instrument lié à la Terre (dont la vitesse
est v=30 km/s), permet d’avoir des observations différentes en changeant les conditions
de composition des vitesses.
Il s’agit de
 diviser un faisceau de lumière monochromatique en deux rayons orthogonaux,
 puis de les réunir après réflexion sur des miroirs.
Supposons que l’axe horizontal (source-miroir1) soit parallèle au mouvement de
rotation de la Terre (axe Est-Ouest). Si v est la vitesse instantanée de rotation de la
Terre, le rayon horizontal met un temps t1 pour faire un aller-retour.
11
22
21
1/
L L L
tt
c v c v c v c
On peut calculer le temps de parcours du rayon Nord-Sud dans le référentiel lié à
l’éther. Pendant le temps
a
t
du parcours du rayon de A vers le miroir, ce dernier s’est
déplacé de
a
vt
pour atteindre B’ ; puis de B’ vers la source A’ de
a
vt
. Le rayon de
lumière parcourt la distance AB’A’ à la vitesse « c », ce qui donne un temps t
2
22
22
222
22
'' 2
' ( )
' ' 2 2 ( )
1
() 1/
a
aa
aa
a a a
AB A
tt
c
AB c t L v t
AB A c t L v t
L
c t L v t t cvc