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Chapitre 4 - Les triangles
I- Définitions et triangles particuliers
Définition :
Un triangle est un polygone qui a trois côtés.
Exemples :
Dessiner trois triangles : un quelconque (classique), un qui est équilatéral et un qui a un angle obtus.
Définition :
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Si un triangle ABC a son angle droit au sommet A, on dit que ABC est rectangle en A. De plus, le côté qui est en face
de l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.
Exemples :
Pour chacun des triangles suivants, repasser en rouge l’hypoténuse et coder l’angle droit.
Définition :
Un triangle isocèle est un triangle qui a (au moins) deux côtés égaux. Le sommet qui touche les deux côtés égaux
s’appelle le sommet principal et le côté qui est opposé au sommet principal s’appelle la base du triangle isocèle.
Exemples :
Faire deux dessins, un posé sur la base et un posé sur l’un des deux côtés égaux.
Indiquer le vocabulaire : base et sommet principal. Marquer les côtés égaux.

Remarques :
- Dans un triangle isocèle, il y a un axe de symétrie : la droite qui passe par le milieu de la base et par le
sommet principal.
- Dans un triangle isocèle, les deux angles qui touchent la base sont égaux.
Définition 4 :
Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés égaux.
Exemples :
Faire deux dessins, un petit et un plus grand en marquant les côtés égaux.
Remarque :
Un triangle équilatéral est un triangle isocèle, il a donc un axe de symétrie. En fait il en a trois, un pour chaque
sommet.
II- Construction d’un triangle dont on connaît la longueur des trois côtés
On veut construire un triangle dont on connaît les trois côtés.
Par exemple : construire le triangle ABC tel que AB = 7cm, BC = 10cm et CA = 6cm.
Méthode + exemples : (feuille à coller)
III- Inégalité triangulaire
1) Propriété des longueurs des côtés d’un triangle
Propriété :
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Par exemple, dans le triangle ABC, on a :
<+
<+
<+
Ce sont les inégalités triangulaires.
Remarque :
Cette propriété revient à dire que, pour aller du point A au point B, il est plus court d’aller directement de A à B (en
suivant le segment [AB]) que de passer par C (si celui-ci n’est pas sur le trajet direct, c’est-à- dire le segment [AB]).

2) Vérifier qu’un triangle est constructible
Propriété :
Pour vérifier s’il est possible de construire un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés, il suffit de
vérifier que la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres.
Exemple 1 :
On veut savoir si le triangle ABC, avec AB = 6cm, AC = 4cm et BC = 3,5 cm est constructible ou pas.
On prend la longueur du plus long côté :
AB = 6 cm.
Et on compare avec la somme des longueurs des deux autres côtés :
AC + BC = 4 + 3,5 = 7,5 cm.
Comme AB < AC + BC, le triangle est constructible.
Exemple 2 :
On veut savoir si le triangle ABC, avec AB = 7cm, AC = 4cm et BC = 2,5 cm est constructible ou pas.
On prend la longueur du plus long côté :
AB = 7 cm.
Et on compare avec la somme des longueurs des deux autres côtés :
AC + BC = 4 + 2,5 = 6,5 cm.
Comme AB > AC + BC, le triangle n’est pas constructible.
3) Cas d’égalité
Propriétés :
- Si un point M appartient au segment [AB], alors on a : AB = AM + MB.
- Si trois points A, B et M sont tels que AB = AM + MB, alors M appartient au segment [AB]
(c’est-à dire que les points A, B et M sont alignés)
Exemple :
Ici on a : AB = 7 cm, AC = 4.5 cm et BC = 2.5 cm.
On a donc AB = AC + BC, donc C est un point du segment [AB].
(On peut voir ABC comme un « triangle aplati »).

IV- Construction d’un triangle dont on connaît un côté et deux angles
On veut construire un triangle ABC tel que AB = 10cm, A=30° et B=60°.
Méthode : feuille à coller
V- Construction d’un triangle dont on connaît deux côtés et un angle
On veut construire un triangle ABC tel que AB = 10cm, BC=8cm et B=60°
Méthode : feuille à coller
VI- Médianes d’un triangle
Définition :
Dans un triangle ABC la médiane issue de A est la droite passant par le sommet A et le milieu du côté opposé [BC].
Exemples : Faire trois triangles. Pour chaque triangle, tracer les médianes.
Remarques :
- Les médianes d’un triangle se coupent en un même point, on dit qu’elles sont concourantes. Leur point
d’intersection s’appelle le centre de gravité du triangle. On pourra justifier cette propriété dans quelques
mois.
- Le centre de gravité se situe toujours à l’intérieur du triangle.
VII- Médiatrice, définition et propriétés
Définition :
La médiatrice d’un segment [AB] est la droite qui est perpendiculaire à [AB] et qui passe par son milieu.
Exemples (tracé avec règle et équerre)
Propriété :
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors ce point est à égale distance des extrémités de ce
segment.

Exemple :
- On sait que : Le point M appartient à la médiatrice (d) du segment [AB].
- On en déduit que : Le point M est à égale distance des points A et B.
Faire un point P qui n’est pas sur la médiatrice de [AB] : ce point n’est pas à égale
distance de A et de B.
Propriété :
Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce
segment.
Exemple :
- On sait que : Le point M est à égale distance des points A et B.
- On en déduit que : Le point M appartient à la médiatrice du segment [AB].
Méthode de tracé avec le compas (feuille à coller)
VIII- Cercle circonscrit à un triangle
Définition :
Les médiatrices d’un triangle sont les médiatrices de ses côtés.
Propriétés :
- Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.
- Le point d’intersection des médiatrices est le centre d’un cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au triangle.
Exemples :
IX- Hauteurs d’un triangle
Définition :
Dans le triangle ABC la hauteur issue de A est la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à (BC).
Exemple
Faire deux dessins