Filtres numériques FIR - (à réponse impulsionelle finie)

Signaux
Filtrage
Transformée en Z
Filtres numériques FIR
(à réponse impulsionelle finie)
Guy Gauthier
École de technologie supérieure
1er mai 2014
Filtres FIR
Fenêtres
Signaux
Filtrage
Outline
1
Signaux
2
Filtrage
3
Transformée en Z
4
Filtres FIR
5
Fenêtres
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Signaux
Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Représentation des signaux - signal périodique
Dans le domaine temporel un signal périodique x (t) peut
ressembler à :
Dans le domaine fréquentiel ce signal devient :
T1 est la période du signal ;
f1 est sa fréquence.
Fenêtres
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Filtres FIR
Représentation des signaux - signal non périodique
Dans le domaine temporel un signal non périodique x (t) peut
ressembler à :
Dans le domaine fréquentiel ce signal devient :
fm est sa bande passante.
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Filtres FIR
Définitions
Bande passante
Plage de fréquences pour laquelle le signal dépasse une certaine
amplitude.
Spectre (en fréquence)
La courbe du signal en fréquence est appelée le spectre du signal.
Cette courbe s’étend sur une plage de fréquences positives et
négatives. La courbe est une fonction paire, i.e., elle symétrique
par rapport à l’axe des amplitudes.
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Filtres FIR
L’échantillonnage d’un signal continu
Un signal échantillonné à une certaine période :
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L’échantillonnage d’un signal continu
Période d’échantillonnage
Temps entre deux échantillons.
Ce temps est invariant.
La période d’échantillonnage doit donner une fréquence au
moins 2 fois plus grande que le signal le plus rapide à mesurer.
Durée d’échantillonnage
Dépend des convertisseurs A/N utilisés.
Devrait être courte devant la période d’échantillonnage
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Filtres FIR
L’échantillonnage à une fréquence très très rapide
Très bonne qualité de représentation
Exige de la mémoire
Exige un système rapide
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L’échantillonnage à la fréquence de Nyquist
Fréquence limite pour l’acquisition
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L’échantillonnage sous la fréquence de Nyquist
Le signal est complètement déformé (Recouvrement – Alias).
Superposition des spectres dans le domaine fréquentiel.
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Fenêtres
En conclusion
Deux solutions possibles :
1) Échantillonner plus que 2 fois plus rapidement que le signal
le plus rapide.
2) Filtrer le signal analogique pour éliminer les fréquences
indésirables.
Les deux solutions peuvent être appliquées ensembles.
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Le filtrage des signaux
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Filtres FIR
Le filtrage des signaux - types de filtres
Filtres passe-bas
Filtres passe-haut
Filtres passe-bande
Filtres coupe-bande
Filtres passe-tout (Modifie simplement la phase des signaux)
Fenêtres
Signaux
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Filtres FIR
Phase des signaux
Indésirable :
- musique
- vidéo
- communications numériques
L’oreille humaine utilise la phase pour localiser la source du
son.
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Filtres FIR
Fenêtres
Filtres analogiques — passe haut
Filtre passe-haut
- La fonction de transfert d’un filtre passe haut est :
H(ω) =
R
jωRC
=
R + 1/(jωC )
jωRC + 1
C’est un vecteur dans le domaine complexe.
(1)
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Filtres FIR
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Filtres analogiques — passe haut
Le gain est l’amplitude du vecteur ;
|A| =
q
Re[H(ω)]2 + Im[H(ω)]2
(2)
La phase est l’angle du vecteur ;
φ = tan
−1
Im[H(ω)]
Re[H(ω)]
(3)
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Filtres FIR
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Filtres analogiques
La fréquence de coupure du filtre correspond à la fréquence ou
l’amplitude est descendu de 3 dB par rapport au plateau.
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Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Filtres analogiques — passe bas
Filtre passe-bas
- La fonction de transfert d’un filtre passe bas est :
H(ω) =
1/(jωC )
1
=
R + 1/(jωC )
jωRC + 1
(4)
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Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
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Critères de performance d’un filtre - Réponse en amplitude
L’ondulation (ripple) dans la bande passante est nuisible.
Il est possible de faire un filtre sans ondulations.
Pente en dB/décade.
L’atténuation (en dB) de la bande bloquée.
Note : Gain(dB)= 20 log10 |A|.
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Critères de performance d’un filtre - Réponse en phase
Représente un délai en temps en fonction de f .
La réponse de phase devrait être linéaire.
- Même délai en temps quelque soit la fréquence.
Si pas linéaire :
-distorsion
-audible si on écoute de la musique
-visible si on regarde une image.
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Filtrage
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Transformée en Z
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Filtres FIR
5
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Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
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Transformée en Z
Filtres FIR
Rappel sur la transformée en Z
La transformée en Z peut être vue comme l’équivalent, dans
le domaine discret, de la transformée de Laplace qui
s’applique au domaine continu.
- La transformée en Z est la résultante de l’application de la
transformée de Laplace sur un signal échantillonné.
À l’entrée de l’échantillonneur bloqueur, le signal analogique
est continu : x (t).
À sa sortie, le signal est discret (échantillonné) : xs (t).
Fenêtres
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Transformée en Z
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Fenêtres
Signal discret dans le domaine du temps
Un signal discret est définit par la série suivante :
xs (t) =
∞
X
(x (t)δ(t − kTS ))
k=0
avec la période d’échantillonnage TS = 1/FS , FS étant la
fréquence d’échantillonnage.
Le terme δ(t − kTS ) est une impulsion retardée de kTS .
(5)
Signaux
Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
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Transformée de Laplace de ce signal
La transformée de Laplace est définie par cette intégrale :
Z ∞
Xs (s) =
xs (t)e−st dt
(6)
0
Avec la définition donnée pour xs (t), on trouve :
Xs (s) =
Z ∞ (X
∞
0
Z ∞
=
0
)
(x (t)δ(t − kTS )) e−st dt
k=0
(x (t)δ(t) + x (t)δ(t − TS ) + . . .) e−st dt
(7)
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Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
La transformée de Laplace d’une impulsion
Une propriété importante de δ(t) est :
Z ∞
0
f (t)δ(t − kTS )dt = f (kTS )
(8)
Ainsi, on peut écrire :
Xs (s) =
∞
X
x (kTS )e−skTS
(9)
k=0
Avec la définition donnée pour xs (t), on trouve :
Xs (s) = x (0) + x (TS )e−sTS + x (2TS )e−2sTS + . . .
(10)
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Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
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Signal discret
Pour simplifier l’écriture, définissons z = esTS . Alors :
Xs (z) =
∞ X
x (kTS )z −k = ZT {x [k]}
k=0
Regardons maintenant deux exemples de transformées en Z.
(11)
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Transformée en Z
Filtres FIR
Premier exemple de transformée en Z
Soit x [n] = e na , avec n ≥ 0 et a une constante :
X (z) =
∞
X
na −n
e z
i=0
=
∞ X
e a z −1
n
i=0
n
Posons u n = e a z −1 . Or, il existe une série semblable qui
donne :
∞
X
i=0
un =
1
1−u
Cette série converge si |u| < 1.
Donc, si |e a z −1 | < 1, on peut alors écrire :
X (z) =
1
z
=
a
−1
1−e z
z − ea
Fenêtres
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Transformée en Z
Filtres FIR
Second exemple de transformée en Z
Soit x [n] = sin(nωTS ), avec n ≥ 0, ω la pulsation du
sinusoïde et TS la période d’échantillonnage. En utilisant une
des relations d’Euler, on peut écrire :
sin(nωTS ) =
e jnωTS − e −jnωTS
2j
Ainsi :
X (z) =
∞ 1 X
e jωTS z −n − e −jωTS z −n
2j n=0
En se basant sur l’exemple précédent, on peut écrire :
X (z) =
1
2j
z
z
−
jωT
z −e S
z − e −jωTS
Fenêtres
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Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Second exemple de transformée en Z
On peut simplifier la dernière équation en mettant tout sous
le même dénominateur :
1
X (z) =
2j
z(z − e −jωTS ) − z(z − e jωTS )
(z − e jωTS )(z − e −jωTS )
!
Ce qui donne :
1
X (z) =
2j
z(e jωTS − e −jωTS )
z 2 − (e jωTS + e −jωTS )z + 1
!
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Filtres FIR
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Second exemple de transformée en Z
Le numérateur divisé par 2j, c’est le sinus. Le coefficient de z
au dénominateur correspond à cette relation d’Euler :
cos(ωTS ) =
e jωTS + e −jωTS
2
Ce qui mène à :
X (z) =
z2
z sin(ωTS )
− 2z cos(ωTS ) + 1
Note : ω = 2πf , avec f la fréquence de la sinusoïde.
(12)
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Filtrage
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1
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2
Filtrage
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Filtres FIR
5
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Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
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Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Filtres FIR
Un filtre FIR est basé sur l’équation suivante :
y [n] =
∞
X
(h[k]x [n − k])
(13)
k=0
Si l’entrée x [n] est une impulsion à t = 0 (soit δ(0), alors
y [n] = h[n]. Il se trouve que y [n] suivra donc la réponse
impulsionnelle représentée par la suite des h[n].
Cette opération est nommée une convolution et est
N
représentée par y [n] = h[n] x [n].
Dans le domaine Z cette convolution correspond à ce produit
Y (z) = H(z)X (z).
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Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
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Filtres FIR
La définition de H(z) est :
H(z) =
∞
X
(h[k]z −k )
(14)
k=0
Puisqu’un microcontrôleur a une quantité de mémoire finie, il
faut choisir un H(z) plus réaliste en le tronquant.
Considérons que nous changeons la borne supérieure de la
somme de ∞ à N.
- Il suffit alors de connaître les N + 1 coefficients, de h[0] à
h[n], pour obtenir le filtre.
- Il faut mémoriser N + 1 données de x [n] à x [n − N].
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Transformée en Z
Filtres FIR
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Filtre FIR
La définition de H(z) tronquée est :
H(z) =
N
X
(h[k]z −k )
k=0
=h[0]z −0 + h[1]z −1 + . . . + h[N]z −N
=
(15)
h[0]z N + h[1]z N−1 + . . . + h[N]
zN
Ce filtre présente un grand avantage. Il est toujours stable,
puisque les N pôles de ce filtre sont à 0.
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Transformée en Z
Filtres FIR
Structure du filtre FIR
Cette structure met en évidence les délais z −1 présents dans le
filtre.
Fenêtres
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Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Exemple de filtre FIR
Un filtre à moyenne mobile est un filtre FIR :
H(z) =
9
X
k=0
Réponse en fréquence.
(0.1z −k )
(16)
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Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Second exemple de filtre FIR
Soit la fonction de transfert suivante :
G(z) =
0.995z − 0.995
z − 0.99
(17)
qui est un filtre passe haut dont la fréquence de coupure est
de 100 Hz (le système est échantillonné à 10 kHz).
Considérons les 16 premiers termes de la réponse
impulsionnelle de ce filtre :.
H(z) =0.9950 − 0.0099z −1 − 0.0098z −2 − 0.0097z −3
− 0.0096z −4 − 0.0095z −5 − 0.0094z −6 − 0.0093z −7
− 0.0092z −8 − 0.0091z −9 − 0.0090z −10 − 0.0090z −11
− 0.0089z −12 − 0.0088z −13 − 0.0087z −14 − 0.0086z −15
(18)
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Transformée en Z
Filtres FIR
Second exemple de filtre FIR
Ce filtre comporte une certaine réponse en fréquence (en bleu
G(z), en vert H(z) en rouge FIR à 100 points de la réponse
impulsionnelle de G(z)) :
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Signaux
Filtrage
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Filtres FIR
Fenêtres
Filtre FIR en structure échelle
Certaines applications (filtrage adaptatif, traitement de la voie) ont
besoin de filtres FIR ayant des structures particulières.
Un de ces structures est nommée "structure en échelle" (Lattice
structure).
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Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Filtre FIR en structure échelle
Pour l’étage i, on peut écrire :
yi [n] = yi−1 [n] + ki ei−1 [n − 1]
(19)
ei [n] = ki yi−1 [n] + ei−1 [n − 1]
(20)
et :
Le premier étage reçoit comme entrées x[n]. Donc : Pour l’étage
#1, on peut écrire :
y1 [n] = x [n] + k1 x [n − 1]
(21)
e1 [n] = k1 x [n] + x [n − 1]
(22)
et :
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Filtres FIR
Fenêtres
Filtre FIR en structure échelle
Pour le second étage, on peut écrire :
y2 [n] =y1 [n] + k2 e1 [n − 1]
=x [n] + k1 (1 + k2 )x [n − 1] + k2 x [n − 2]
(23)
et :
e2 [n] =k2 y1 [n] + e1 [n − 1]
=k2 x [n] + k1 (1 + k2 )x [n − 1] + x [n − 2]
Remarquez vous les coefficients des deux équations ?
(24)
Signaux
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Transformée en Z
Filtres FIR
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Filtre FIR en structure échelle
Si on généralise pour un filtre du N-ième ordre :
yN [n] =
N
X
ai x [n − i]
(25)
aN−i x [n − i]
(26)
i=0
et :
eN [n] =
N
X
i=0
Pour un filtre du 2-ième ordre : on peut tirer de l’acétate
précédente que a0 = 1,a1 = k1 (1 + k2 ) et a2 = k2 .
Il serait intéressant de trouver la relation entre les a• et les k• .
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Transformée en Z
Filtres FIR
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Filtre FIR en structure échelle
La transformée en Z du filtre du N-ième ordre est :
YN (z) =
N
X
ai X (z)z −i
(27)
aN−i X (z)z −i
(28)
i=0
et :
EN (z) =
N
X
i=0
On remarque que EN (z) = z −N YN (1/z). Cela signifie que le
polynôme EN (z) est le polynôme image de YN (z).
Signaux
Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Filtre FIR en structure échelle
La transformée en Z de la r -ième section du filtre est :
Yr (z) = Yr −1 (z) + kr z −1 Er −1 (z)
(29)
Er (z) = kr Yr −1 (z) + z −1 Er −1 (z)
(30)
et :
La dernière équation peut s’écrire :
Er −1 (z) =
Er (z) − kr Yr −1 (z)
z −1
(31)
Signaux
Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Filtre FIR en structure échelle
Puis en remplaçant Er −1 (z) dans l’équation de Yr (z) :
Yr (z) = Yr −1 (z) + kr z −1
Er (z) − kr Yr −1 (z)
z −1
(32)
Ensuite :
Yr (z) = Yr −1 (z) + kr (Er (z) − kr Yr −1 (z))
(33)
Et isolant Yr −1 (z), on obtient :
Yr −1 (z) =
Yr (z) − kr Er (z)
1 − kr2
(34)
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Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Filtre FIR en structure échelle
En utilisant la notion de polynôme image :
Yr −1 (z) =
Yr (z) − kr z −r Yr (1/z)
1 − kr2
Or :
Yr (z) =
r
X
ar ,i z −i
(35)
(36)
i=0
et :
Yr (1/z) =
r
X
i=0
ar ,(r −i) z r −i
(37)
Signaux
Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Filtre FIR en structure échelle
En utilisant la notion de polynôme image :
r
X
a(r −1),i z
−i
Pr
i=0 ar ,i z
=
−i
i=0
Pr
− kr z −r
1 − kr2
i=0 ar ,(r −i) z
r −i
(38)
Puis :
r
X
a(r −1),i z
−i
Pr
=
i=0 ar ,i z
i=0
−i
− kr ri=0 ar ,(r −i) z −i
1 − kr2
P
(39)
Ce qui mène à la relation recherchée :
a(r −1),i =
ar ,i − kr ar ,(r −i)
1 − kr2
(40)
Signaux
Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Filtre FIR en structure échelle
Cette relation :
a(r −1),i =
ar ,i − kr ar ,(r −i)
1 − kr2
est utilisée de façon itérative avec i = 0, 1, 2, . . . , r − 1 et
r = N, N − 1, N − 2, . . . , 1.
Le gain kr est posé égal à ar ,r et |kr | =
6 1.
Cette approche permet de calculer les gains ki à partir des
coefficients ai,j .
Fenêtres
Signaux
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Transformée en Z
Filtres FIR
Filtre FIR en structure échelle - Exemple
Soit ce filtre de 2e ordre :
Y2 (z) = 1 + 0.2z −1 − 0.5z −2 = a2,0 + a2,1 z −1 + a2,2 z −2
On commence en posant r = N = 2 (filtre du 2e ordre).
Le gain k2 = a2,2 = −0.5.
Puis on calcule :
a1,0 =
a1,1 =
a2,0 − k2 a2,1
1 − (−0.5)(−0.5)
=
=1
1 − (−0.5)2
1 − k22
0.2 − (−0.5) × 0.2
a2,1 − k2 a2,1
=
= 0.4
2
1 − (−0.5)2
1 − k2
Fenêtres
Signaux
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Transformée en Z
Filtre FIR en structure échelle - Exemple
On décrémente r à 1 et on recommence.
Le gain k1 = a1,1 = 0.4.
Cela met un terme au calculs.
Filtres FIR
Fenêtres
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Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Filtre FIR en structure échelle - Obtenir les coefficients ai
Soit k1 = 0.4 et k2 = −0.5. On peut procéder au calcul
suivant :
ar ,r = kr
Donc, a1,1 = k1 = 0.4 et a1,0 = 1, ce qui mène à :
Y1 = 1 + 0.4z −1
Puis a2,2 = k2 = −0.5 et a2,0 = 1. De plus :
a2,1 = a1,1 + k2 a1,1 = 0.4 − 0.5 × 0.4 = 0.2
Ce qui mène à :
Y (z) = 1 + 0.2z −1 − 0.5z −2
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Filtres FIR
Fenêtres
Filtres FIR basés sur la transformée de Fourier
On peut créer des filtres FIR en se basant sur la transformée
de Fourier. Pour ce faire définit le spectre en fréquence désiré
du filtre :
∞
Hd (ω) =
X
Cn e jnωTS
(41)
−∞
Normalisons les fréquences avec ν = f /FN , avec FN = FS /2
et TS = 1/FS :
Hd (ν) =
∞
X
Cn e jnπν
(42)
−∞
Les coefficients de Fourier Cn sont calculés avec :
1
Cn =
2
Z +1
−1
Hd (ν)e −jnπν dν
Rappel : e −jnπν = cos(nπν) − j sin(nπν).
(43)
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Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Filtres FIR basés sur la transformée de Fourier
De plus, si on intègre une fonction impaire entre -1 et +1 cela
donne 0. Puisque H(ν) est une fonction paire, alors :
Z 1
Cn =
0
Hd (ν) cos(nπν)dν
(44)
avec n ≥ 0.
Et C−n = Cn .
On approxime Hd (ν) en réduisant le nombre de coefficients à
2Q + 1 :
Ha (ω) =
Q
X
−Q
Cn e jnωTS
(45)
Signaux
Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Calcul des coefficients Cn
Filtre passe bas :
sin(nπν1 )
nπ
En vertu de la règle de l’Hopital, C0 = ν1 .
Filtre passe haut :
Cn =
Cn = −
sin(nπν1 )
nπ
(46)
(47)
Filtre passe bande (ν2 > ν1 ) :
Cn =
sin(nπν2 ) − sin(nπν1 )
nπ
(48)
Filtre coupe bande (ν2 > ν1 ) :
Cn =
sin(nπν1 ) − sin(nπν2 )
nπ
(49)
Signaux
Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Calcul des coefficients Cn - Exemple
Il faut concevoir un filtre passe bas ayant une fréquence de
coupure de 1 kHz. Le signal est échantillonné à 10 kHz et le
filtre est de 33 points.
Calcul de la fréquence de coupure normalisée ν1 :
ν1 =
2fc
2000
fc
=
=
= 0.2
FN
FS
10000
La formule pour obtenir les 16 coefficients (car 2Q + 1 = 33)
est :
sin(0.2nπ)
Cn =
(50)
nπ
Les coefficients sont : C0 = 0.2, C1 = 0.1871, C2 = 0.1514,
C3 = 0.1009, C4 = 0.0468, C5 = 0, C6 = −0.0312,
C7 = −0.0432, C8 = 0.0378, C9 = −0.0208, C10 = 0,
C11 = 0.017, C12 = 0.0252, C13 = 0.0233, C14 = 0.0134,
C15 = 0 et C16 = −0.0117.
Signaux
Filtrage
Outline
1
Signaux
2
Filtrage
3
Transformée en Z
4
Filtres FIR
5
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Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Signaux
Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Les fonctions de fenêtres
Pour le FIR, on ne considère qu’une partie des points, car
normalement, la réponse impulsionnelle est de durée infinie.
Pour pouvoir l’exploiter, il faut tronquer cette réponse.
On tronque en multipliant la série par une fonction de fenêtre
rectangulaire.
(
1, si |n| ≤ Q;
(51)
wR [n] =
0, ailleurs.
Signaux
Filtrage
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Filtres FIR
Fenêtres
Les fonctions de fenêtres - Fenêtre de Hann (ou Hanning)
Le fait de ne considérer qu’une partie des coefficients fait en
sorte que la fonction de transfert sera tronquée.
La fonction de fenêtre coupe très abruptement à ses
frontières, ce qui entraîne certains problèmes.
Pour améliorer le comportement du filtre, on peut ne
considérer qu’un certain nombre de points et utiliser une
fonction différente pour pondérer chacun des points. Plusieurs
personnes ont proposés diverses fonctions.
Parmi ces fonctions, il y a la fenêtre de Hann (nommée aussi
Hanning) :
(
wHA [n] =
0.5 + 0.5 cos(nπ/Q), si |n| ≤ Q;
0,
ailleurs.
(52)
Signaux
Filtrage
Transformée en Z
Filtres FIR
Fenêtres
Les fonctions de fenêtres - Fenêtre de Hamming
Un autre fonction de fenêtre est la fenêtre de Hamming :
(
wH [n] =
0.54 + 0.46 cos(nπ/Q), si |n| ≤ Q;
0,
ailleurs.
(53)
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Filtres FIR
Fenêtres
Les fonctions de fenêtres - Fenêtre de Blackman
Enfin, on trouve la fenêtre de Blackman :
(
wB [n] =
0.42 + 0.5 cos(nπ/Q) + 0.08 cos(2nπ/Q), si |n| ≤ Q;
0,
ailleurs.
(54)
Signaux
Filtrage
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Filtres FIR
Spécifications pour concevoir un filtre
L’ondulation maximale en bande passante est représentée par
δp et en bande bloquée par δs .
δp dB = 20 log10 (1 + δp )
δs dB = −20 log10 (δs )
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Filtres FIR
Spécifications pour concevoir un filtre
Les fréquences fpass et fstop délimitent les zones des bandes
passante et coupées.
La fréquence de coupure fc est définie par (fpass + fstop )/2.
De plus ∆f est définie par |fpass − fstop |/fS , avec fS la
fréquence d’échantillonnage.
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Filtres FIR
Fenêtres
Spécifications pour concevoir un filtre
Dans ce tableau, N représente le nombre minimum de points
requis dans le filtre. Ce nombre est arrondit au nombre impair
suivant.
M = (N − 1)/2.
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Filtres FIR
Fenêtres
Exemple de conception
On désire concevoir un filtre passe haut possédant une
ondulation maximale de 0.1 dB dans la bande passante et une
atténuation d’au moins 40 dB dans la bande bloquée.
La fréquence d’échantillonnage est de 2000 Hz. La bande
passante s’étend de 400 à 1000 Hz. La bande bloquée couvre
de 0 à 250 Hz.
Les spécifications d’ondulation et d’atténuation implique
l’utilisation d’une fenêtre de Hanning, ou mieux. La fenêtre
rectangulaire est éliminée.
∆f = |400 − 250|/2000 = 0.075
N = 3.1/∆f = 41.33 ⇒ N = 43.
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Exemple de conception
Le filtre passe haute comportera 43 coefficients.
La fréquence de coupure est fc = (400 + 250)/2 = 325 Hz.
La fréquence de Nyquist est fN = fS /2 = 1000 Hz.
La fréquence normalisée est : ν = fc /fN = 0.325
Les coefficients de Fourier du filtre sont :
Cn = −
sin(nπν)
nπ
Les coefficients de la fenêtre de Hanning sont :
wn = 0.5 + 0.5 cos
avec n ∈ [−21, +21].
nπ
21
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Filtres FIR
Exemple de conception
Les coefficients du filtre sont :
hn = Cn−21 wn−21
sin((n − 21)πν)
(n − 21)π
=−
0.5 + 0.5 cos
(n − 21)π
21
avec n ∈ [0, 42] (ce qui donne 43 coefficients).
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