Segmentation Neuro-floue Application aux Images à Résonance

Segmentation Neuro-floue
Application aux Images à Résonance Magnétique
F. Hachouf* , N. Mezhoud*
* Département d’électronique, université Mentouri Constantine
Route d’Ain El Bey , 25000 Constantine, Algérie
Tél : 031-61-42 –06 poste 31, Fax : 031-61-42-07
E-mail : [email protected], [email protected]
ABSTRACT
Dans ce papier, nous présentons une méthode hybride
pour la segmentation d’images utilisant les principes de
la classification floue et des réseaux de neurones
artificiels. Chaque pixel sera caractérisé par trois
paramètres ; l’intensité, la moyenne et l’ écart-type. La
classification est effectuée par l’algorithme des cartes
auto-organisatrices de Kohonen (SOM) qui groupe les
pixels dans les classes identifiées. Le nombre de classes
est à priori inconnu, et le réseau de neurones qui
implémente le SOM est utilisé pour le calculer. La
détermination des classes dans le SOM est effectuée par
l’algorithmes des C-moyennes floues (FCM). Les tests
réalisés sur des images à résonance magnétique ont
révélé que la méthode proposée donne de bons résultats.
1. INTRODUCTION
La segmentation d’images est une étape importante dans
l’analyse d’images et la reconnaissances de formes. Elle
consiste en la décomposition d’une scène en ses
principales composantes[1] [2]. Ses domaines
d’application sont aussi bien nombreux que variés pour ne
citer que la détection des tumeurs dans les applications
médicales et le suivi de routes pour un robot et ainsi de
suite. Les techniques de segmentation d’images peuvent
être classées [3] en trois catégories : (1) basées sur le
seuillage ou le partitionnement (2) détection de contours
et (3) extraction de région. Cependant, toutes ces
techniques possèdent des avantages et des inconvénients.
Toute méthode de segmentation élaborée est souvent ,
une combinaison de ces techniques classiques et/ou des
notions de logique floue et de réseaux de neurones.
Les méthodes de partionnement (clustering) sont souvent
associées aux approches floues pour gérer l’ambiguïté et
l’incertitude dans les images. La méthode de
partionnement flou la plus utilisée est l’algorithme des Cmoyennes floues (FCM) [ 4]. La restriction du FCM est le
nombre de classes qui doit être connu à priori.
Les réseaux de neurones artificiels (ANN) sont appliqués
aux différents domaines. Le traitement parallèle et les
caractéristiques non linéaires qu’ils offrent font que les
ANN sont beaucoup utilisés en classification et en
clustering. La carte auto-organisatrice de Kohonen
(SOM) est un outil puissant pour le partitionnement
des données [5]. SOM possède la propriété de préserver
la topologie des données ainsi que la relation de
distance entre elles. L’espace des données est projetée
sur une grille régulière dont la dimension constitue le
nombre de classes pour le FCM.
Dans ce travail, nous proposons une méthode de
segmentation
hybride. Elle est basée sur une
information globale fournie par le partionnemnt flou
dont le nombre de classes est optimisé par l’algorithme
des cartes auto-organisatrices de Kohonen [6] ; et une
information locale fournie par la moyenne et l’écart
type calculés sur une fenêtre. La fonction objective de
l’algorithme des C-moyennes floues a été modifiée par
l’ajout d’un terme de pénalisation pour garantir une
distribution uniforme des centres de classes [7].
Dans la section 2, un rappel sur les cartes autoorganisatrices de Kohonen est fait. La section 3
présente l’algorithme des C-moyennes floues (FCM).
En section 4, une description de la méthode proposée
est expliquée. La section 5 sera consacrée à la
discussion de résultats obtenus sur des images à
résonance magnétiques. Nous terminerons par une
conclusion et des perspectives de notre travail.
2. CARTES AUTO-ORGANISATRICES
DE KOHONEN
Le réseau de Kohonen [6] (SOM) est un réseau de
neurones artificiels (ANN) non supervisé. Il est
constitué (cf Fig. 1) :
- d’une couche d’entrée où tout individu à classer est
représenté par un vecteur multidimensionnel ; soit x ∈
Rn. A chaque individu est affecté un neurone qui
représente le centre de la classe.
- d’une couche de sortie ou de compétitions .
Tous les neurones d’entrée sont connectés aux neurones
de sortie qui répondent différemment à la forme de
l’entrée. Les neurones de cette couche entrent en
compétition . A chaque étape,
dans la phase
d’apprentissage , le neurone qui se rapproche le plus de
l’entrée est élu ‘’ gagnant ‘’ ( dans le sens du minimum de
la distance euclidienne).
x(t )−mc(t ) =min{ x(t )−mi(t ) }
i
(1)
centre de gravité. L’algorithme nécessite la
connaissance du nombre de classes au préalable et
génère les classes de telle sorte que les sommes des
écarts quadratiques interclasses et intra classes soient
maximale et minimale. Le problème de l’optimisation
du FCM est :
J m (U, V, X) =
mc(t ) : neurone gagnant
A chaque neurone, on fait correspondre un espace de
sortie qui , en général est un espace 2D défini par une
grille ou un voisinage rectangulaire ou hexagonale Nc(t).
Le neurone gagnant et son voisinage sont mis à jour de
façon que les poids associés soient proches de l’entrée. Le
facteur de mise à jour ou facteur de gain n’est pas égal
pour tous les neurones mais sa plus grande valeur se situe
près du neurone gagnant et décroît en fonction du
voisinage. Avec le temps, le facteur de gain doit décroître
ainsi que la taille de chaque voisinage.
mi(t +1)=mi(t )+α (t )[xi(t )−mi(t )]
∀i ∈ Nc(t)
(2)
c
n
∑∑ (µ
ik
m
) ( d ik )
2
(3)
i =1 k =1
Sous la contrainte :
Et
0≤ µik ≤1
c
∑
i=1
µ
ik
(4)
=1 ∀ k
(5)
C : étant le nombre de classes vérifiant 2 ≤ c < n
• X = {x1, x2, ….. , xk,…., xn } : l’ensemble des
p
vecteurs caractéristiques définis sur R .
• U = {µik = µi (xk), 1 ≤ k ≤ n , 1 ≤ i ≤ c } : la matrice n
× c réelle représentant une C-Partition floue de X, où
µik ∈ [0,1] est le degré d’appartenance de xk à la classe
i.
• V = { v1, v2, . . ., vi , . . ., vc } est le vecteur code
p
Fig. 1-carte auto_organisatrice de Kohonen
Durant la phase d’apprentissage, les poids des neurones
changent de manière ordonnée de telle façon que les
caractéristiques dans une image tendent à s’organiser en
fonction de la distribution topologique dans le réseau. Les
neurones adjacents répondent de manière similaire alors
que les neurones distants ont des réponses divergentes. La
convergence des caractéristiques s’effectue en imposant
des contraintes au facteur de gain α pendant la mise à
jour des poids.
3. ALGORITHME DES C-MOYENNES
FLOUES.
FCM ( Fuzzy C-means) est un algorithme de
classification floue introduit par Bezdek dans [4]. Il est
fondé sur l’optimisation d’un critère quadratique de
classification où chaque classe est représentée par son
représentant les centres inconnus des classes, vi ∈ R
,1≤i≤c.
• m ∈ [ 1, +∞ [ est le facteur de flou. Il contrôle
l’étendue de recouvrement entre les classes, donc le
flou de la partition qui croit avec la valeur de m.
l’algorithme suivant donne la solution qui converge aux
valeurs minimums locaux pour la fonction indiquée en
(3)
1.
Initialiser V et U aléatoirement en satisfaisant les
contraintes indiquées (4) et (5).
2. initialiser m>1
3. pour i=1…n, et j=1…c
1
U ji =
(6)
2 (m −1)
c
X i − Vj
∑
k =1
X i − Vk
2 (m −1)
n
pour j=1…c: V j =
∑U
i =1
n
m
ji
∑U
i =1
Xi
(7)
m
ji
4. On arrête lorsque la différence entre l’itération de U ji
courante et précédente est inférieur à
l’étape 3.
ε 1 ; sinon refaire
4. SEGMENTATION PROPOSEE
L’information fournie par l’intensité ou la couleur
d’un pixel ne suffit pas pour segmenter
correctement une image. A cet attribut, nous avons
rajouté deux autres paramètres évalués sur une
fenêtre du voisinage du pixel. Ces paramètres sont
la moyenne et l’écart type. Ainsi, pour chaque
pixel, la couche d’entrée de la carte autoorganisatrice de Kohonen sera constituée de trois
neurones et la couche de sortie sera constituée de
N neurones représentant le nombre de classes.
La procédure de segmentation proposée est
inspirée d’une version modifiée du FCM [7] , qui
consiste à minimiser une fonction objective donnée
par :

min 
U,V

n
c
∑∑U mji X i − Vj
2
i =1 j =1

+ ϑ tr ( VDV T )

(8)
Vj =
i =1
n
X i + ϑ Vj
∑U
i =1
m
ji
+ ϑ
(10)
2. mettre ϑ > 0 .
3. mettre m>1
4.
Pour
i=1…n,
1
U ji =
2 (m −1)
c
X i − Vj
∑
et
j=1…c,
calculer
2 (m −1)
X i − Vk
5. Pour j=1…c, calculer
k =1
n
Vj =
∑U
m
ji
X i + ϑ Vj
i =1
n
∑U mji + ϑ
jusqu’à convergence
i =1
6. arrêter quand la différence entre la valeur courante et
la valeur précédente de U ji est inférieure à ε1 ; sinon
aller à 4.
Les algorithmes basés sur le principe du clustering sont
très sensibles aux conditions initiales. Donc, le
minimum local dépend des choix initiaux des valeurs
des centres de classes. Pour atteindre le minimum
global , une stratégie développée dans [8] est utilisée.
Elle consiste à itérer les étapes 5 et 6 de l’algorithme
pour une décroissance linéaire du paramètre flou m
entre deux valeurs m2 et m1.
5. RESULTATS ET CONCLUSION
Dans ce cas les centres de classes sont calculés par :
m
ji
en faisant référence à la grille de la Fig. 2 :
 V1 = ( V2 + V4 ) 2



 V2 = ( V1 + V3 + V5 ) 3



 V5 = ( V2 + V4 + V6 + V8 ) 4 
1. Initialiser aléatoirement V et U satisfaisant les
contraintes :
0 ≤ U ji ≤ 1

 c



=
∀
U
1
,
i
 ∑ ji

 j =1

Fig. 2-. une grille 3x3 contient c=9 vecteurs de codes .
∑U
plus proches voisins à V j dans la grille. Dans ce cas,
la mise à jour des vecteurs de codes reflète la nature du
SOM qui sera beaucoup influencé par les valeurs des
données et le plus proche code vecteur dans la grille.
L’algorithme suivant trouve la solution qui converge au
minimum local de la fonction dans l’équation (8)
où :
ϑ > 0 représente un paramètre assurant une distribution
spatiale régulière des vecteurs de codes distribués sur une
grille. Ce paramètre force la valeur d’un vecteur de codes
à être très proche de la valeur moyenne de ses plus
proches voisins sur la grille cf Fig. 2
D : L’opérateur Laplacien.
V : Matrice constituée par les vecteurs de codes.
tr : Trace de la matrice.
n
où V j représente la moyenne des vecteurs de codes les
(9)
La méthode proposée a été appliquée sur des images à
résonance magnétique, cf Fig. 3a. L’algorithme
fonctionne selon deux modes : supervisé et non
supervisé. Le problème classique dont il faut
s’affranchir est la détermination automatique du
nombre de classes fournie par l’utilisateur : en
l’occurrence, c’est le nombre des objets présents dans le
cerveau, sachant que , si une pathologie est présente, elle
doit être prise en compte. Les différentes classes les plus
robustes ont été déterminées à partir de l’histogramme
lissé de l’image. Pour la defuzzification , nous avons
considéré les pixels ayant un degré d’appartenance
supérieur à un seuil β fixé à 0,6.
L’algorithme a été testé sur différentes images et les
valeurs du facteur flou m2 et m1 ont été fixés aux valeurs
2 et 1,07. Nous nous sommes intéressées aux variations
du paramètre ϑ . Nous remarquons que les images des
Fig. 3b et Fig. 3c sont sur-segmentées et dans le lobe
latéral gauche, une partie de la matière blanche est classée
comme matière grise avec un nombre de classes C
respectivement égal à 4 et à 6. Les images des Fig. 3d et
Fig. 3e présentent une nette amélioration dans les
résultats, ce qui nous conduit à tirer la conclusion que la
valeur optimale de ϑ est autour de 0,5. L’image de la
Fig. 3f est le résultat de la segmentation par l’algorithme
des C-moyennes floues. L’image est sur-segmentée. La
tumeur de grande taille est segmentée en deux classes et
les tumeurs de petites tailles se confondent avec les autres
classes. Il faut remarquer que dans les images des Fig. 3b,
Fig. 3c, Fig. 3d et Fig. 3e, toutes les tumeurs
appartiennent à la même classe ( elles ont la même fausse
couleur) d’où la robustesse de la méthode proposée.
En perspective, nous pensons que la méthode peut être
améliorée en introduisant d’autres paramètres de mesures
ou de textures. Ceux-ci vont être utilisés en couche
d’entrée de la carte SOM . La méthode proposée est aussi
bien valable pour la segmentation des images en couleurs.
Il suffit d’introduire les trois composantes de la couleur
dans le vecteur codes.
6. REFERENCES
[1] S. K. Pal et al., ‘‘ A Review on Image
Segmentation Techniques ’’, Pattern Recognition 29
(1993) 1277-1294.
[2] H. D. Cheng et al, ‘‘ Color Image Segmentation :
Advances and Prospects’’, Pattern Recognition 34
(2001) 2259-2281.
[3] K. S. Fu, J. K. Mui, “ A survey on Image
Segmentation ’’, Pattern Recognition 13 (1981) 3-16.
[4] R. L. Cannon, J.V. Dave, J.C. Bezdek, “ Efficient
Imlementation of the Fuzzy C-means Clustering
Algorithms”, IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell.
PAMI-8 (2) (1986) 249-255.
[5] J. Vesanto, E. Alhoneimi, “ Clustering of the Self
Organizing Map ”, IEEE Trans. Neural Networks 11 (3)
(2000) 586-600.
[6] T. Kohonen, “ The Self-Organizing Maps ”,
Neurocomputing 21 (1998) 1-6.
[7] R. D. Pascual-Marqui et al., ‘‘ Smoothly distributed
Fuzzy C-means : A New Self-Organizing Map’’ ,
Pattern recognition 34 (2001) 2395-2402.
[8] T. Graepel, M. Burger, K. Obermayer, “ Self
Organizing-Maps
:
Generalisation
and
new
Optimisation techniques ”, Neurocomputing 21 (1998)
173-190.
Fig. 3 a: image originale
Fig. 3d-image segmentée
C=5, ϑ =0,55
Fig. 3b : image segmentée
C=4, ϑ =0,7
Fig. 3e- image segmentée
C=5, ϑ =0,5
Fig. 3c : image segmentée
C=6 , ϑ =0,6
Fig. 3f-image segmentée par
le FCM, C=6 , m=1,5