Logique temporelle 2012 / Exercices 2

Logique temporelle 2012 / Exercices 2∗
Plus bas on note TL la logique temporelle de base (c-à-d la logique temporelle avec
les opérateurs temporels F, P, G, H).
1. Pensons au cadre (T, <) qui consiste en cinq instants 1, 2, 3, 4, 5,
ordonnés de façon linéaire comme ces nombres sont ordonnés selon leur magnitude.
◦
1
/◦
/◦
/◦
/◦
2
3
4
5
Trouvez une formule (de TL) dont la signification est, si on l’évalué à l’instant
1 : “le deuxième instant (c-à-d, l’instant 2) rend vraie l’atome propositionnel
r”. Autrement dit, trouvez une formule ϕ telle que pour toute valuation V ,
(T, <, V ), 1 |= φ ssi l’instant 2 appartient à V (r).
(NB : il faut trouver un moyen d’exprimer — en utilisant une formule évaluée
à 1 — qu’un certain instant x postérieur à 1 rend vrai l’atome r et que cet
instant x est le succésseur immédiat du “début du temps”.)
2. Une inférence dont les prémisses sont P1 , . . . , Pn est la conclusion est C, notée
P1 . . . P n ,
C
est valide s’il n’existe pas de modèle (situation) qui rend vraies toutes les
prémisses P1 , . . . , Pn mais rend fausse la conclusion C. Si un tel modèle existe,
l’inférence est non valide. Pour chacune des inférences (1) — (4), déterminez
si elle est valide :
(p ∨ q) → r
¬q
¬r
∃x(P x ∧ Qx)
∀x(P x ∨ Qx)
(1)
(3)
p → ¬q
p
q
r
∀x(P x → Qx)
∃x(P x ∧ Qx)
(2)
(4)
T.S.V.P.
∗
L’exercice 2.2 plus bas ne porte pas sur la logique temporelle mais sur la logique propositionnelle
et la logique des prédicats.
3. Pensons aux inférences suivantes :
Dion respirera toujours
Dion respirera
(1)
Dion respirera
Dion allait respirer
Dion était vivant
Dion aura été vivant
(2)
(3)
(a) Démontrez que les inférences (1) — (3) sont valides si on suppose que la
structure du temps est un ordre linéaire et n’a pas des extrema (ni début,
ni fin).1
(b) Qu’est-ce qui se passe à ces inférences si on n’assume rien de spécifique
de la structure du temps ?
4. (a) Est-ce que la formula (F p → F F p) est valide? Si oui, expliquez pourquoi;
si non, décrivez un contre-modèle.
(b) Donnez un exemple d’une formule contradictoire de TL — c-à-d une
formule fausse dans toute modèle à tout instant — qui n’est pas contradictoire dûe à sa structure propositionnelle.2
(c) Trouvez une formule X de TL telle que pour toute formule A de TL on
a : A est valide ssi X =⇒ A (c-à-d A est une conséquence logique de X).
(d) Trouvez une formule X de TL telle que pour toute formule A et B de
TL on a : A =⇒ B ssi X est valide.
(e) Soit K la classe de tous les modèles temporels dont la relation est linéaire.
Trouvez une formule A de TL telle que A est K-valide mais A n’est pas
valide.
1
Une relation binaire < dans un ensemble T est par définition linéaire si elle irréflexive ; transitive ; et trichotomique : pour tout t, t0 ∈ T , soit t = t0 soit t < t0 soit t0 < t.
2
Par ex. (F p∧¬F p) est contradictoire dû à sa structure propositionnelle, puisque toute formule
de la logique propositionnelle de forme (A ∧ ¬A) est contradictoire et (F p ∧ ¬F p) peut être obtenu
de (A ∧ ¬A) en substituant F p pour toute occurrence de A dans (A ∧ ¬A).
2