Logique temporelle 2012 / Exercices 2

Logique temporelle 2012 / Exercices 2∗
Plus bas on note TL la logique temporelle de base (c-`a-d la logique temporelle avec
les op´erateurs temporels F, P, G, H).
1. Pensons au cadre (T, <) qui consiste en cinq instants 1,2,3,4,5,
ordonn´es de fa¸con lin´eaire comme ces nombres sont ordonn´es selon leur mag-
nitude.
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Trouvez une formule (de TL) dont la signification est, si on l’´evalu´e `a l’instant
1 : “le deuxi`eme instant (c-`a-d, l’instant 2) rend vraie l’atome propositionnel
r”. Autrement dit, trouvez une formule ϕtelle que pour toute valuation V,
(T, <, V ),1|=φssi l’instant 2 appartient `a V(r).
(NB : il faut trouver un moyen d’exprimer — en utilisant une formule ´evalu´ee
`a 1 — qu’un certain instant xpost´erieur `a 1 rend vrai l’atome ret que cet
instant xest le succ´esseur imm´ediat du “d´ebut du temps”.)
2. Une inf´erence dont les pr´emisses sont P1, . . . , Pnest la conclusion est C, not´ee
P1. . . Pn,
C
est valide s’il n’existe pas de mod`ele (situation) qui rend vraies toutes les
pr´emisses P1, . . . , Pnmais rend fausse la conclusion C. Si un tel mod`ele existe,
l’inf´erence est non valide. Pour chacune des inf´erences (1) — (4), d´eterminez
si elle est valide :
(p∨q)→r¬r(1)
¬q
p→ ¬q p q (2)
r
∃x(P x ∧Qx)(3)
∀x(P x ∨Qx)
∀x(P x →Qx)(4)
∃x(P x ∧Qx)
T.S.V.P.
∗L’exercice 2.2 plus bas ne porte pas sur la logique temporelle mais sur la logique propositionnelle
et la logique des pr´edicats.

3. Pensons aux inf´erences suivantes :
Dion respirera toujours (1)
Dion respirera
Dion respirera (2)
Dion allait respirer
Dion ´etait vivant (3)
Dion aura ´et´e vivant
(a) D´emontrez que les inf´erences (1) — (3) sont valides si on suppose que la
structure du temps est un ordre lin´eaire et n’a pas des extrema (ni d´ebut,
ni fin).1
(b) Qu’est-ce qui se passe `a ces inf´erences si on n’assume rien de sp´ecifique
de la structure du temps ?
4. (a) Est-ce que la formula (F p →FFp) est valide? Si oui, expliquez pourquoi;
si non, d´ecrivez un contre-mod`ele.
(b) Donnez un exemple d’une formule contradictoire de TL — c-`a-d une
formule fausse dans toute mod`ele `a tout instant — qui n’est pas contra-
dictoire dˆue `a sa structure propositionnelle.2
(c) Trouvez une formule Xde TL telle que pour toute formule Ade TL on
a : Aest valide ssi X=⇒A(c-`a-d Aest une cons´equence logique de X).
(d) Trouvez une formule Xde TL telle que pour toute formule Aet Bde
TL on a : A=⇒Bssi Xest valide.
(e) Soit Kla classe de tous les mod`eles temporels dont la relation est lin´eaire.
Trouvez une formule Ade TL telle que Aest K-valide mais An’est pas
valide.
1Une relation binaire <dans un ensemble Test par d´efinition lin´eaire si elle irr´eflexive ; tran-
sitive ; et trichotomique : pour tout t, t0∈T, soit t=t0soit t < t0soit t0< t.
2Par ex. (F p ∧¬F p) est contradictoire dˆu `a sa structure propositionnelle, puisque toute formule
de la logique propositionnelle de forme (A∧ ¬A) est contradictoire et (F p ∧ ¬F p) peut ˆetre obtenu
de (A∧ ¬A) en substituant F p pour toute occurrence de Adans (A∧ ¬A).
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