Th`eme : Arithmétique L`exercice Les nombres 1, 11, 111, 1111, etc

Thème : Arithmétique
L’exercice
Les nombres 1, 11, 111, 1111, etc. sont des nombres que l’on appelle rep-units (répétition de l’unité).
Ils ne s’écrivent qu’avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent
les mathématiciens. Cet exercice propose d’en découvrir quelques unes. Pour tout entier k strictement
positif, on note Nk le rep-unit qui s’écrit avec k chiffres 1.
1) Citer, en justifiant la réponse, deux nombres premiers inférieurs à 10 n’apparaissant jamais dans la
décomposition d’un rep-unit en produit de facteurs premiers.
2) À quelle condition sur k, le nombre 3 apparaı̂t-il dans la décomposition en produit de facteurs premiers
du rep-unit Nk ?
3) Pour tout entier k strictement positif, on a :
Nk “
k´1
ÿ
10i “ 1 ` 10 ` 102 ` ¨ ¨ ¨ ` 10k´1 .
i“0
Justifier l’égalité 9Nk “ 10k ´ 1.
4) a) Soit k un entier strictement positif, montrer que 10k ” 1 pmod 7q si et seulement si k est multiple
de 6.
b) En déduire que 7 divise Nk si et seulement si k est multiple de 6.
Correction de l’exercice proposé :
Dans la suite, a ” b pmod nq est noté a “ b rns.
1. Un entier, noté N , est divisible par 2, si et seulement si le chiffre des unités de N est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Or, un rep-unit se termine par un 1 ; il ne peut donc être divisible par 2. La justification du critère
de divisibilité est la suivante.
N“
n´1
ÿ
ai 10i ` a0 .
i“1
Mais alors, N “ 0 r2s ô a0 “ 0 r2s. De même, N est divisible par 5, si, et seulement si, le
chiffre des unités est égal à 0 ou à 5. Cela car il résulte de l’écriture d’un entier en base 10 que
N “ 0 r5s ô a0 “ 0 r5s.
2. Le nombre 3 apparait dans la décomposition en facteurs premiers de Nk si, et seulement si, 3 divise
Nk . Or,
@i P v0, n ´ 1w, 10i “ 1 r3s,
d’où,
Nk “
k´1
ÿ
1 r3s “ k r3s.
i“0
Il en résulte que 3 divise Nk si, et seulement si 3 divise k.
3. En utilisant la formule qui donne la somme des premiers termes d’une suite géométrique, on a
k´1
ÿ
10i “ 1 ` 10 ` 102 ` ¨ ¨ ¨ ` 10k´1 “
i“0
10k ´ 1
1 ´ 10k
“
.
1 ´ 10
9
d’où, 9Nk “ 10k ´ 1.
a) On a : 10 “ 3 r7s, 102 “ 9 r7s “ 2 r7s, 103 “ 6 r7s, 104 “ 4 r7s, 105 “ 5 r7s et 106 “ 1 r7s. Il en
résulte que pour tout k multiple de 6, 10k “ 1 r7s.
Réciproquement, soit k un entier naturel tel que 10k “ 1 r7s. Alors k “ 6q ` r, où r P v0, 5w.
Mais, 10k “ 106q ˆ 10r “ 10r r7s. On vient de voir que les nombres 10i sont tous différents de
1 modulo 7, lorsque i P v1, 5w. On en déduit que r “ 0 et donc que k “ 6q, c’est-à-dire est un
multiple de 6.
b) D’après l’égalité 9Nk “ 10k ´ 1, 9Nk “ 0 r7s ô 10k ´ 1 “ 0 r7s ô k “ 6q. Mais, 7 étant
premier avec 9, 7 divise Nk si et seulement si 7 divise 9Nk , d’où le résultat grâce aux équivalences
précédentes.
La solution proposée par un élève :
1) Un rep-unit ne peut pas être multiple de 2 car il devrait se terminer par un 0, un 2, un 4, un 6 ou un
8, ce qui n’est pas le cas. Il ne peut pas non plus se terminer par 5, pour la même raison.
2) Pour qu’un nombre soit divisible par 3 il faut que la somme de ses chiffres soit divisible par 3. Il faut
qu’il y ait un multiple de trois de 1 dans l’écriture du rep-unit, par exemple 111 ou 111111, etc.
3) 1 ` 10 ` ¨ ¨ ¨ ` 10k´1 est la somme d’une suite géométrique de raison 10, elle vaut
1 ´ 10k
10k ´ 1
“
1 ´ 10
9
et 9Nk “ 10k ´ 1 ce qui est la formule demandée.
4) a) Si k est un multile de 6 ; k “ 6m et 10k ´ 1 “ 106m ´ 1 “ p106 qm ´ 1. Mais, 106 “ 1 mod 7 et
106 ´ 1 est divisible par 7, donc 9N6 aussi. Et c’est pareil pour 9N12 .
Le travail à exposer devant le jury
1- Analysez la production de l’élève.
2- Corrigez cet exercice comme vous le feriez devant une classe de Terminale scientifique, enseignement de spécialité.
Voir correction ci-dessus.
3- Proposez deux ou trois exercices sur le thème Arithmétique.
Voir propositions sur les précédents dossiers d’arithmétique.