Th`eme : Arithmétique L`exercice Les nombres 1, 11, 111, 1111, etc

Th`eme : Arithm´etique
L’exercice
Les nombres 1, 11, 111, 1111, etc. sont des nombres que l’on appelle rep-units (r´ep´etition de l’unit´e).
Ils ne s’´ecrivent qu’avec des chiffres 1. Ces nombres poss`edent de nombreuses propri´et´es qui passionnent
les math´ematiciens. Cet exercice propose d’en d´ecouvrir quelques unes. Pour tout entier kstrictement
positif, on note Nkle rep-unit qui s’´ecrit avec kchiffres 1.
1) Citer, en justifiant la r´eponse, deux nombres premiers inf´erieurs `a 10 n’apparaissant jamais dans la
d´ecomposition d’un rep-unit en produit de facteurs premiers.
2) ` A quelle condition sur k, le nombre 3 apparaˆıt-il dans la d´ecomposition en produit de facteurs premiers
du rep-unit Nk?
3) Pour tout entier kstrictement positif, on a :
Nk“
k´1
ÿ
i“0
10i“1`10 `102` ¨ ¨ ¨ ` 10k´1.
Justifier l’´egalit´e 9Nk“10k´1.
4) a) Soit kun entier strictement positif, montrer que 10k”1pmod 7qsi et seulement si kest multiple
de 6.
b) En d´eduire que 7 divise Nksi et seulement si kest multiple de 6.
Correction de l’exercice propos´e :
Dans la suite, a”bpmod nqest not´e a“brns.
1. Un entier, not´e N, est divisible par 2, si et seulement si le chiffre des unit´es de Nest 0, 2, 4, 6 ou 8.
Or, un rep-unit se termine par un 1 ; il ne peut donc ˆetre divisible par 2. La justification du crit`ere
de divisibilit´e est la suivante.
N“
n´1
ÿ
i“1
ai10i`a0.
Mais alors, N“0r2s ô a0“0r2s. De mˆeme, Nest divisible par 5, si, et seulement si, le
chiffre des unit´es est ´egal `a 0 ou `a 5. Cela car il r´esulte de l’´ecriture d’un entier en base 10 que
N“0r5s ô a0“0r5s.
2. Le nombre 3 apparait dans la d´ecomposition en facteurs premiers de Nksi, et seulement si, 3 divise
Nk. Or,
@iP v0, n ´1w,10i“1r3s,
d’o`u,
Nk“
k´1
ÿ
i“0
1r3s “ kr3s.
Il en r´esulte que 3 divise Nksi, et seulement si 3 divise k.
1

3. En utilisant la formule qui donne la somme des premiers termes d’une suite g´eom´etrique, on a
k´1
ÿ
i“0
10i“1`10 `102` ¨ ¨ ¨ ` 10k´1“1´10k
1´10 “10k´1 9.
d’o`u, 9Nk“10k´1.
a) On a : 10 “3r7s, 102“9r7s “ 2r7s, 103“6r7s, 104“4r7s, 105“5r7set 106“1r7s. Il en
r´esulte que pour tout kmultiple de 6, 10k“1r7s.
R´eciproquement, soit kun entier naturel tel que 10k“1r7s. Alors k“6q`r, o`u rP v0,5w.
Mais, 10k“106qˆ10r“10rr7s. On vient de voir que les nombres 10isont tous diff´erents de
1 modulo 7, lorsque iP v1,5w. On en d´eduit que r“0 et donc que k“6q, c’est-`a-dire est un
multiple de 6.
b) D’apr`es l’´egalit´e 9Nk“10k´1, 9Nk“0r7s ô 10k´1“0r7s ô k“6q. Mais, 7 ´etant
premier avec 9, 7 divise Nksi et seulement si 7 divise 9Nk, d’o`u le r´esultat grˆace aux ´equivalences
pr´ec´edentes.
La solution propos´ee par un ´el`eve :
1) Un rep-unit ne peut pas ˆetre multiple de 2 car il devrait se terminer par un 0, un 2, un 4, un 6 ou un
8, ce qui n’est pas le cas. Il ne peut pas non plus se terminer par 5, pour la mˆeme raison.
2) Pour qu’un nombre soit divisible par 3 il faut que la somme de ses chiffres soit divisible par 3. Il faut
qu’il y ait un multiple de trois de 1 dans l’´ecriture du rep-unit, par exemple 111 ou 111111, etc.
3) 1 `10 ` ¨ ¨ ¨ ` 10k´1est la somme d’une suite g´eom´etrique de raison 10, elle vaut
1´10k
1´10 “10k´1 9
et 9Nk“10k´1 ce qui est la formule demand´ee.
4) a) Si kest un multile de 6 ; k“6met 10k´1“106m´1“ p106qm´1. Mais, 106“1 mod 7 et
106´1 est divisible par 7, donc 9N6aussi. Et c’est pareil pour 9N12.
Le travail `a exposer devant le jury
1- Analysez la production de l’´el`eve.
2- Corrigez cet exercice comme vous le feriez devant une classe de Terminale scientifique, enseigne-
ment de sp´ecialit´e.
Voir correction ci-dessus.
3- Proposez deux ou trois exercices sur le th`eme Arithm´etique.
Voir propositions sur les pr´ec´edents dossiers d’arithm´etique.
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