Fonctions homogènes, concaves et convexes

Fonctions homog` enes, concaves et convexes
Herv´ e Hocquard
Universit´ e de Bordeaux, France
16 mars 2014

Fonctions homog` enes
D´ efinition
Soit f: (R∗
+)n→R. Soit r∈R.
On dit que fest homog` ene de degr´ ersi :
∀t∈R∗
+,f(tX) = trf(X),pour tout X∈(R∗ +)n

Fonctions homog` enes
D´ efinition
Soit f: (R∗
+)n→R. Soit r∈R.
On dit que fest homog` ene de degr´ ersi :
∀t∈R∗
+,f(tX) = trf(X),pour tout X∈(R∗ +)n
Exemple
f(x,y,z) = kx
α
y
β
z
γ
(Cobb-Douglas ` a 3 variables)
f(x,y,z) = ax2+by2+cz2+dxy +exz +fyz (quadratique)

Fonctions homog` enes
D´ efinition
Soit f: (R∗
+)n→R. Soit r∈R.
On dit que fest homog` ene de degr´ ersi :
∀t∈R∗
+,f(tX) = trf(X),pour tout X∈(R∗ +)n
Exemple
f(x,y,z) = kx
α
y
β
z
γ
(Cobb-Douglas ` a 3 variables)
f(x,y,z) = ax2+by2+cz2+dxy +exz +fyz (quadratique)
Attention
f(x,y) = q25−x2−y2
fn’est pas homog` ene.

Fonctions homog` enes en ´ economie
D´ efinition
Si fest une fonction de production de nvariables : f(x1,···,xn)
ninputs pour 1 output