4. Action de groupe - UTC

4. Action de groupe
1Deux points de vue ´equivalents sur l’action d’un groupe sur un ensemble
2Exemples d’actions de groupe
3Orbites et stabilisateurs ; action transitive, action fid`ele
4Formule des classes
5Trois actions d’un groupe Gdans lui-mˆeme
6Th´eor`eme de Cayley
7L’action naturelle de Snsur [[1, n]]

1. Deux points de vue ´equivalents sur l’action d’un groupe
sur un ensemble
Soient (G, ∗, e)un groupe et Xun ensemble.
D´efinition (action de groupe, 1er point de vue)
On appelle action ou op´eration du groupe Gsur l’ensemble Xune
application
Φ : G×X−→ X
(g, x)7−→ g·x
telles que :
1(∀x∈X)e·x=x
2(∀x∈X)(∀g, g0∈G)g0·(g·x) = (g0∗g)·x
On dit aussi que Gagit ou op`ere sur X.
Remarque : On ne consid`ere ici que des actions `a gauche.

Second point de vue sur l’action de (G, ∗, e)sur X
D´efinition-proposition (action de groupe, 2nd point de vue)
1A toute action de Gsur Xest associ´e un morphisme de groupe
ρ:G−→ Bij(X)
g7−→ ρ(g) : x7→ g·x
2R´eciproquement, un morphisme de groupe ρ:G→Bij(X)d´efinit une
action du groupe Gsur Xpar
Φ : G×X−→ X
(g, x)7−→ ρ(g)(x)
Un tel morphisme ρ:G→Bij(X)s’appelle une repr´esentation du groupe G
sur l’ensemble X.
D´emonstration : simple v´erification (exercice). 

2. Exemples d’actions de groupe
1. L’exemple g´en´erique : Soit Xun ensemble non vide. Tout sous-groupe
Gde (Bij(X),◦,IdX)induit une action sur Xpar l’injection canonique
ρ:G//Bij(X)
C’est l’op´eration naturelle de Gsur X.
2. Repr´esentation lin´eaire : Soit Xun -espace vectoriel. On consid`ere
son groupe lin´eaire GL(X)//Bij(X). Soit Gun groupe. Un morphisme
de groupe
ρ:G//GL(X)
s’appelle une repr´esentation lin´eaire de Gsur X. On dit aussi que Gop`ere
lin´eairement sur X.

3. Orbites et stabilisateurs
Soient un groupe (G, ∗, e), un ensemble Xet une action Φ : G×X→X.
D´efinition (orbite)
On appelle orbite de x∈Xsous l’action de G,
Orb(x)d´ef = Φ (G× {x}) = {g·x:g∈G} ⊂ X
Exercice :
Les orbites forment une partition de X. Elles sont les classes d’´equivalence
de la relation
(∀x, x0∈X)xRx0d´ef ⇐⇒ ∃g∈G:x0=g·x
Exemple visuel : X=2sur lequel on fait op´erer naturellement son groupe
orthogonal O(2) = {ϕ:2→2isom´etrie}→GL(2). Les orbites
sont les cercles centr´es sur l’origine.