L’intérêt de la représentation de Fresnel est de faire apparaître les amplitudes, les phases des
signaux et de profiter des opérations vectorielles plus commodes que les opérations sur les
fonctions sinus et cosinus.
Par exemple :
- si on cherche dv/dt en valeur instantanée il faut calculer dv/dt = w.Vmcos(wt+ϕ), dv/dt =
w.Vm.sin(wt+ϕ+π/2). Sur la représentation de Fresnel il suffit de multiplier le module par
w et d’ajouter π/2 à la phase de V.
- si on cherche ∫v.dt en valeur instantanée il faut calculer ∫v.dt = -(1/w).Vmcos(wt+ϕ) , et
∫v.dt = (1/w).Vm sin(wt + ϕ -π/2). Sur la représentation de Fresnel il suffit de diviser le
module par w et de retrancher π/2 à la phase de V.
Attention la représentation de Fresnel ne peut être utilisée que si les signaux sont
d’amplitudes constantes et de même pulsation.
• Représentation complexe.
Si la représentation de Fresnel est portée dans le plan complexe :
J
jb V
- 2 - Signaux-electriques.doc
j
ϕ
0 a R
La notation complexe associée au signal v est V.
V = a + jb = Vm.(cosϕ + jsinϕ) = Vm.ejϕ .
Quand il y a plusieurs signaux, les opérations sont facilitées. La forme cartésienne convient au
additions et la forme polaire aux produits et quotients.
Si V’ est la dérivée de V alors V’ = jw . V.
Si V’’ est la primitive de V alors V’’ = V / jw.
Attention la notation complexe ne peut être utilisée que si les signaux sont d’amplitudes
constantes et de même pulsation.
3. Signaux périodiques.
Un signal périodique u(t) de période T est équivalent à une somme infinie de termes :
u(t) = <u(t) > + ∑n=1 à ∝ [An sin(nwt) + Bn cos(nwt)] où w = 2π / T, n un nombre entier et
An = (2/T)∫0Tu(t) sin(nwt) dt,
BBn = (2/T)∫0Tu(t) cos(nwt) dt.
Ainsi tout circuit électrique soumis à un signal non sinusoïdal mais périodique répond à un
spectre infini de termes sinusoïdaux plus éventuellement une composante continue.
La notation complexe est utilisable pour les composantes sinusoïdales et le théorème de
superposition s’applique pour l’étude.