Signaux électriques Les signaux électriques sont des courants ou

Signaux électriques
Les signaux électriques sont des courants ou des tensions électriques. On les caractérise par
leur forme d’onde (continue, périodique, sinusoïdale,…), leur amplitude, leur fréquence.
1. Signaux continus.
Les signaux continus sont définis en régime établi par leur amplitude constante dans le temps.
Les valeurs moyennes efficaces et instantanées sont identiques.
s
S0
0
t
2. Signaux sinusoïdaux.
• Définition.
Un signal sinusoïdal est tel que v = Vm sin(wt+ϕ).
V est la valeur instantanée du signal, Vm la valeur maximale, ϕ le déphasage par
rapport à l’origine des temps considérée, w la pulsation.
v
Vm
t
-ϕ/w 0
2π/w
Mais pour caractériser une grandeur périodique l’usage est d’évoquer sa valeur efficace.
La valeur efficace étant la valeur d’une grandeur continue qui produirait le même
dégagement de chaleur sur une résistance que le signal périodique considéré.
En identifiant les énergies calorifiques sur une période T = 2.π/w :
(1/R).Veff2.T = (1/R). ∫0Tv2dt
Veff2 = (1/T). ∫0T Vm2sin2wt.dt
Veff2 = (1/T). ∫0T Vm2(1-cos2wt).(1/2).dt
Veff2 = (1/T).Vm2[t/2 –(1/2w)sin2wt]0T
Veff = (1/√2).Vm.
• Représentation de Fresnel.
La valeur instantanée du signal varie comme la projection sur l’axe vertical du vecteur V qui
tourne à la pulsation w dans le plan (0x,0y).
y
v
Vm
V
(wt+ϕ)
t
x
-ϕ/w 0
2π/w
0
Si plusieurs vecteurs correspondant à des signaux de même pulsation w sont portés dans le
repère, la figure obtenue tourne à la pulsation w.
La représentation de Fresnel est la figure figée à t = 0.
- 1 - Signaux-electriques.doc
L’intérêt de la représentation de Fresnel est de faire apparaître les amplitudes, les phases des
signaux et de profiter des opérations vectorielles plus commodes que les opérations sur les
fonctions sinus et cosinus.
Par exemple :
- si on cherche dv/dt en valeur instantanée il faut calculer dv/dt = w.Vmcos(wt+ϕ), dv/dt =
w.Vm.sin(wt+ϕ+π/2). Sur la représentation de Fresnel il suffit de multiplier le module par
w et d’ajouter π/2 à la phase de V.
- si on cherche ∫v.dt en valeur instantanée il faut calculer ∫v.dt = -(1/w).Vmcos(wt+ϕ) , et
∫v.dt = (1/w).Vm sin(wt + ϕ -π/2). Sur la représentation de Fresnel il suffit de diviser le
module par w et de retrancher π/2 à la phase de V.
Attention la représentation de Fresnel ne peut être utilisée que si les signaux sont
d’amplitudes constantes et de même pulsation.
• Représentation complexe.
Si la représentation de Fresnel est portée dans le plan complexe :
J
jb
V
j
ϕ
0
a
R
La notation complexe associée au signal v est V.
V = a + jb = Vm.(cosϕ + jsinϕ) = Vm.ejϕ .
Quand il y a plusieurs signaux, les opérations sont facilitées. La forme cartésienne convient au
additions et la forme polaire aux produits et quotients.
Si V’ est la dérivée de V alors V’ = jw . V.
Si V’’ est la primitive de V alors V’’ = V / jw.
Attention la notation complexe ne peut être utilisée que si les signaux sont d’amplitudes
constantes et de même pulsation.
3. Signaux périodiques.
Un signal périodique u(t) de période T est équivalent à une somme infinie de termes :
u(t) = <u(t) > + ∑n=1 à ∝ [An sin(nwt) + Bn cos(nwt)] où w = 2π / T, n un nombre entier et
An = (2/T)∫0Tu(t) sin(nwt) dt,
Bn = (2/T)∫0Tu(t) cos(nwt) dt.
B
Ainsi tout circuit électrique soumis à un signal non sinusoïdal mais périodique répond à un
spectre infini de termes sinusoïdaux plus éventuellement une composante continue.
La notation complexe est utilisable pour les composantes sinusoïdales et le théorème de
superposition s’applique pour l’étude.
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4. Application aux composants
Les composants passifs les plus utilisés sont les résistances, les condensateurs et les
inductances. On les caractérise respectivement par leur résistance en Ohm (Ω), leur capacité
en Farad (F) et leurs inductance en Henry (H).
Symboles :
i
i
R
u
i
C
L
u
u
Propriétés électriques :
Pour tous les signaux on peut écrire les expressions en valeurs instantanées,
i = C . du/dt
et
u = L . di/dt
en convention récepteur.
u=R.i
,
En régime sinusoïdal on peut aussi écrire les expressions en valeurs complexes, U = R . I ,
I = C . jw . U
et
U = L . jw . I .
Les composants sont alors caractérisés par le rapport U / I homogène à l’Ohm qui porte le
nom d’impédance. Cette impédance est ici exprimée en complexe : pour la résistance R ,
pour le condensateur 1/jCw et pour l’inductance jLw .
Quand un dipôle comporte des composants de différente nature il sera caractérisé par une
impédance complexe dotée d’une parte réelle et d’une partie imaginaire. Son argument
correspond au déphasage entre le courant et la tension aux bornes du dipôle.
Parfois la notion d’admitance est utilisée. Il s’agit du rapport Y = I / U, l’inverse de
l’impédance exprimée en Ω-1.
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