ph én om èn es de réso nan ce – circu it s sélectifs

Si nous consultons un dictionnaire, la résonance est définie de la façon suivante :
« Augmentation de l’amplitude d’une oscillation, sous l’influence d’impulsions périodiques de fréquence
voisine »
Le phénomène est décrit dans le domaine de l’acoustique, de l’électricité, de la mécanique, de l’optique et
même de la chimie ; on parle également de résonance en imagerie médicale (RMN, pour Résonance
Magnétique Nucléaire) . En fait, c’est un phénomène très général en Physique.
Nous nous limiterons ici à l’approche des phénomènes de résonance liés à l’Electricité.
La résonance peut apparaître dans les circuits électriques où cohabitent bobines et condensateurs, ou des
éléments modélisables par des inductances ou des capacités.
Elle se traduit, en régime sinusoïdal, par des amplitudes de courants et de tensions passant par des valeurs
élevées, au voisinage de certaines conditions de fonctionnement.
4.1 Rappel : Bobines et Condensateurs en régime sinusoïdal .
Ces dipôles sont également qualifiés de réactifs, c’est à dire qui réagissent à la variation d’une grandeur
électrique.
4.1.1 Bobines.
Elles sont constituées d’un enroulement de N spires de fil de
cuivre, autour d’un noyau ferromagnétique formant un circuit
magnétique.
Traversé par un courant i(t), l’enroulement embrasse un flux
Φ(t), proportionnel à l’intensité i(t) : Φ(t) = Li(t) (L en henry).
Si i(t) (et donc Φ(t)) varie, le circuit réagit en s’opposant à la
cause qui donne naissance à la variation (loi de Lenz).
Le résultat est une fém induite
dt
di
L
dt
d
)t(e −=
Φ
−= .
D’autre part, le passage du courant s’accompagne de pertes :
- Dans l’enroulement (pertes Joule ou pertes cuivre) ; ce sont des pertes liées à la résistance ohmique
du fil conducteur.
- Dans le noyau ferromagnétique (pertes fer) ; ce sont les pertes par courants de Foucault et par
hystérésis.
Les pertes fer augmentent avec la fréquence de travail : En 1
ère
approximation, les pertes par courants
de Foucault sont proportionnelles au carré de la fréquence, alors que les pertes par hystérésis sont
proportionnelles à la fréquence (et à la surface du cycle d’hystérésis du matériau constitutif du noyau.
En toute rigueur, l’inductance propre L d’une bobine dépend de l’amplitude du courant i(t) qui y circule.
Notamment, si la saturation magnétique du noyau est atteinte, la valeur de l’inductance s’effondre !
La conséquence est la modélisation d’une bobine par un dipôle RL :
R regroupe l’ensemble des pertes énergétiques, et L traduit les effets
de la variation temporelle du courant.
En régime quelconque,
dt
di
L)t(Ri)t(u +=
ce qui devient, pour le régime sinusoïdal établi : U = Z×I = (R + jLω)×I
L
R
i(t)
u(t)

Le déphasage ϕ de u(t) par rapport i(t) est défini par
R
L
Zargtan
ω
==ϕ
Une bobine parfaite n’a pas de pertes ; elle se modélise par une
inductance pure (R = 0) ; il vient alors ϕ = + 90° et tanϕ → +∝ .
Ça n’est bien sur plus le cas pour une bobine réelle : R ≠ 0 donc ϕ < 90° ;
on appelle facteur de qualité d’une bobine, la quantité R
L
q
ω
= soit q = tanϕ .
Une bobine est de « bonne qualité » si l’effet inductif (Lω) l’emporte largement sur l’effet résistif (R) ; on
admet généralement une valeur minimale de 10 pour q afin de pouvoir parler de bonne qualité d’une bobine.
(Pour q ≈ 10, on obtient ϕ ≈ 84°)
A priori, nous serions tentés de dire que le facteur de qualité q augmente avec la fréquence ; c’est sans
compter avec l’évolution de la résistance (les pertes) avec la fréquence. Une bonne approximation consiste à
prendre une loi du type R ≈ R
O
+ aω + bω
2
; la fonction
2
o
baR L
qω+ω+
ω
= passe alors par un maximum, ce
qui conditionne la gamme de fréquences de travail du composant.
Exemple : Soit une bobine pour laquelle L = 0,15H et R = 10 + 5×10
-3
ω + 2×10
-6
ω
2
.
Le facteur de qualité de cette bobine évolue avec la fréquence comme le montre la figure ci-dessous.
On peut constater que le
facteur de qualité passe
par un maximum de 10,7
pour une pulsation voisine
de 2200rad/s.
Considérations énergétiques :
Traversée par un courant i(t), une bobine, fléchée en convention
récepteur (cf. ci-contre) reçoit, pendant une durée infinitésimale dt
l’énergie dW = u(t)×i(t)×dt.
Compte tenu de
dt
di
L)t(Ri)t(u += , dW peut s’écrire :
dW = Ri
2
(t)×dt + Li(t)×di
- dW
1
= Ri
2
(t)×dt correspond à une dissipation d’énergie de type Joule : Ce sont les pertes d’énergie.
- dW
2
= Li(t)×di correspond à une variation d’énergie stockée (due à la magnétisation du circuit magnétique)
dW
2
peut encore s’écrire
(
)
2
Li
2
1
d
La quantité W = ½×Li
2
(t) représente l’énergie stockée par un bobinage traversé par un courant dont l’intensité
passe de 0 à i(t) ; cette énergie sera libérée quand l’intensité passera de i(t) à 0.
Conséquences importantes :
L’énergie ne pouvant pas subir de discontinuité, le courant dans une bobine ne peut pas être discontinu.
De même, en régime périodique, il ne peut y avoir d’accumulation d’aimantation. La bobine se démagnétise
autant qu’elle ne se magnétise au cours du temps ; la croissance du flux est analogue à sa décroissance ;
En régime périodique, la variation moyenne du flux dans un bobinage est nulle. 0=
moyen
dt
d
ϕ
On en conclut que la tension moyenne aux bornes de l’inductance L est nulle :
(
)
(
)
0==
moy
moy
L
dt
di
Lu
U
I
ϕ
ϕϕ
ϕ
L
R
i(t)
u(t)

4.1.2 Condensateurs.
Un condensateur est formé de 2 électrodes conductrices de surface S,
séparées par un isolant (ou
diélectrique ) d’épaisseur e.
Sous l’action d’une tension u(t), le condensateur stocke une charge q(t),
liée à u(t) par q(t) = Cu(t). (C, capacité en farad)
Pour un condensateur plan (modèle de condensateur à armatures planes),
la capacité C s’exprime par e
S
Cε= , avec
ε : Constante diélectrique de l’isolant
(Pour le vide, ou l’air, ε = ε
0
≈ 8,84×10
-12
F/m)
e : Epaisseur de l’isolant
S : Surface d’armatures en regard.
Si la tension u(t) appliquée varie, le dipôle réagit par l’existence d’un courant i(t), correspondant à la variation
de charge stockée :
dt
du
C
dt
dq
)t(i ==
(avec un fléchage en convention récepteur)
Pertes énergétiques :
Dans un condensateur, on ne parle pas exactement de pertes, mais plutôt de fuites ; le diélectrique ne peut être
un isolant parfait ; la conséquence est qu’un condensateur chargé s’auto-décharge partiellement au travers de
« l’isolant ».
On modélise ainsi souvent un condensateur par l’association d’une capacité
et d’une résistance R
F
placée en parallèle. (Résistance de fuites)
Pour un condensateur parfait, il ne subsiste que la capacité (R
F
→ ∝)
Dans ces conditions et en régime sinusoïdal, u(t) et i(t) sont en quadrature
pour un condensateur sans fuites.
Pour un condensateur réel, en régime sinusoïdal :
ω+= jC
R
1
Y
F
et tanϕ = -R
F
×C×ω (ϕ est le déphasage courant-tension conventionnel)
ϕ est légèrement inférieur à 90° ; on appelle angle de pertes l’angle δ
complémentaire de ϕ (cf. ci-contre)
ω
=
ϕ
=δ CRtan tan
F
11
Habituellement, δ est donné à 50Hz et est de l’ordre de 10
-3
rad environ,
pour la plupart des condensateurs non polarisés.
(Pour les condensateurs polarisés, 0,1rad ≤ δ ≤ 1rad !!)
Energie stockée :
D’après le modèle du condensateur réel,
dt
du
C
R)t(u
)t(i
F
+=
D’où l’énergie mise en jeu pendant la durée infinitésimale dt :
du)t(Cudt
R
u
dt)t(i)t(udW
F
2
+==
- dt
R
u
dW
F
2
1
=correspond à une énergie de type joule ; ce sont les pertes dans le diélectrique.
- dW
2
= Cu(t)du correspond à une variation d’énergie stockée :
(
)
2
2
Cu
2
1
ddW = . L’énergie
2
Cu
2
1
W=
représente l’énergie stockée par un condensateur pour lequel la tension aux bornes est passée de 0 à u(t).
Cette énergie sera libérée lors de la décharge du condensateur.
Conséquences :
L’énergie ne pouvant subir de discontinuités, la tension aux bornes d’un condensateur doit être continue.
De même, en régime périodique, un condensateur retrouve la même charge au bout d’une période : La
variation moyenne de charge est nulle, soit 0
dt
dq
moy
=
On en conclut que l’intensité moyenne dans un condensateur est nulle :
( )
0= =
moy
moy
C
dt
dq
i
u(t)
i(t)
C
RF
i(t)
u(t)
I
U
ϕ
ϕϕ
ϕ
δ
δδ
δ

4.2 Modélisation des Dipôles Réactifs.
La plupart des dipôles linéaires sont partiellement réactifs, soit à tendance inductive (dipôle RL), soit
à tendance capacitive (dipôle RC).
4.2.1 Modèle Série et Modèle Parallèle d’un Dipôle Réactif.
Soit un dipôle linéaire D , fonctionnant en régime sinusoïdal
établi. Soient : i(t) = I
2 sinωt
u(t) = U 2sin(ωt + ϕ)
L’impédance complexe Z de
D peut s’écrire :
Z = [ Z ; ϕ ] = Zcosϕ + jZsinϕ = R
S
+ jX
S
D peut être ainsi décrit par l’association série d’une résistance R
S
et d’une réactance X
S
Cependant, l’admittance complexe Y de D peut s’écrire :
Y = [ Y ; -ϕ ] = Ycosϕ - jYsinϕ = 1 / R
P
+ 1 / jX
P
Dans ces conditions, D peut être également décrit par l’association
en parallèle d’une résistance R
P
et d’une réactance X
P
.
Les deux descriptions { R
S
, X
S
série } et {R
P
, X
P
parallèle} doivent
être équivalentes ; il va de soi qu’à priori, R
S
≠ R
P
et X
S
≠ X
P
.
4.2.2. Facteur de Qualité d’un Dipôle Réactif.
On attend avant tout d’un dipôle réactif que son influence réactive soit largement prépondérante
devant sa tendance résistive. Ce rapport de forces est mesuré par le
facteur de qualité d’un tel dipôle.
Si P
ACT
et Q
REAC
désignent respectivement les puissances actives et réactives mises en jeu dans un dipôle,
nous définissons le facteur de qualité du dipôle par le nombre q, sans dimension comme suit :
ACT
REAC
P
Q
q=
(La valeur absolue est imposée par Q
REAC
qui est négative pour un dipôle capacitif)
• A partir du modèle série : (Cf. schéma ci-dessus)
P
ACT
= R
S
×I
2
et Q
REAC
= X
S
×I
2
d’où
S
S
R
X
q=
Exemples :
• A partir du modèle parallèle : (Cf. schéma ci-dessus)
P
P
P
2
REAC
P
2
ACT
X
R
qoù'd
X
U
Qet
R
U
P===
Exemples :
(On remarque, pour le dipôle { R
P
; C
P
}, que le facteur de qualité s’identifie à l’inverse de l’angle de pertes δ)
i
u
D
RP
XP
i
u
RS
i
u
XS
LS
RS
S
S
R
L
q
ω
=
CS
RS
ω
=
SS
CR 1
q
LP
RP
ω
=
P
P
L
R
q
CP
RP
ω
=
PP
CRq

4.2.3 Transformation Série ⇔
⇔⇔
⇔ Parallèle.
Nous cherchons maintenant à passer de la description série à la description parallèle, et vice-versa ; le
facteur de qualité q va nous y aider.
L’impédance complexe Z d’un dipôle doit rester la même, que son schéma soit de type série ou parallèle :
PP
PP
P
SS
S
jXR jXR
ZjXRZZ +
×
==+==
Le facteur de qualité est le même, que la description soit série ou parallèle :
P
P
S
S
X
R
R
X
q==
Développons, puis identifions les 2 expressions de l’impédance complexe :
2
P
2
P
P
2
P
2
P
2
P
2
P
P
2
P
2
P
PPPP
SS
XR
XR
j
XR
XR
XR
)jXR(jXR
jXRZ + +
+
=
+
−××
=+=
En introduisant
2
P
2
P
22
P
2
P
2
R
X
q
1
ou
X
R
q==
, il vient :
2
P
2P
SS
q
1
1
X
j
1qR
jXRZ + +
+
=+=
L’identification des parties réelles et imaginaires amène enfin à :
( )
+×=+×=
2
SP
2
SP
q
1
1XXetq1RR
• Pour un dipôle inductif, L
P
= L
S
×(1 + 1/q
2
) ; pour un dipôle capacitif,
+×=
2
PS
q
1
1CC
• Cas de dipôles de « grande qualité » : Si q > 10, alors q
2
> 100 ; ainsi 1 + q
2
≈ q
2
et 1 + 1/q
2
≈ 1.
Si q > 10 R
P
≈ R
S
×q
2
et X
P
≈ X
S
• Attention : Dans les formules de transformations ci-dessus, ne pas oublier que le facteur de qualité q dépend
généralement de la fréquence.
En conséquence, les applications numériques ne seront définies que pour une fréquence donnée !!
Exemple pratique :Les 2 dipôles ci-dessous ont la même impédance complexe à 1kHz : Z = [1kΩ ; - 80°]
Nous en concluons qu’ils ont même facteur de qualité à 1kHz :
67,5
)80cos(1000
)80sin(1000
q≈
−
−
=
, et qu’ils sont
équivalents série – parallèle à cette fréquence.
Si on se place maintenant à une fréquence de 2kHz, il n’en est plus du tout de même :
Pour le dipôle de gauche, le facteur de qualité s’écrit q
1
= R
1
C
1
ω ; q
1
vaudra 2×5,67 ≈ 11,34 à 2kHz.
Pour le dipôle de droite,
ω
=
22
2
CR 1
q
; q
2
décroît avec f et vaudra 5,67 / 2 ≈ 2,88 à 2kHz.
A 2kHz, il n’y a plus du tout équivalence série – parallèle entre ces 2 dipôles !!
R1
C1
C2
R2