5 Groupe et semigroupe d`opérateurs

5 Groupe et semigroupe d’op´erateurs
5.1 Th´eor`eme de Stone
Soit Hun espace de Hilbert et {U(t),t∈R}une famille d’op´erateurs born´es.
D´efinition 5.1. On dit que U(t) est un groupe unitaire fortement continu si
les deux propri´et´es suivantes sont satisfaites :
(i) U(t) est un op´erateur unitaire pour tout t∈Ret
U(t+s)=U(t)U(s) pour tous t, s ∈R.
(ii) Si ϕ∈H, alors U(t)ϕ→U(t0)ϕquand t→t0.
Pour tout groupe unitaire, on d´efinit son g´en´erateur par
D(A)=ψ∈H:∃lim
t→0t−1(U(t)ψ−ψ), Aψ=−ilim t→0t−1(U(t)ψ−ψ).
Exercice 5.2.Montrer que, pour tout t∈Ret ψ∈D(A), on a U(t)ψ∈D(A)
et d
dt U(t)ψ=iAU(t)ψ=iU (t)Aψ.
Th´eor`eme 5.3. Soit Aun op´erateur auto-adjoint dans un espace de Hilbert H.
Alors il existe un unique groupe unitaire U(t)dont le g´en´erateur est ´egal `a A.
R´eciproquement, si U(t)est un groupe unitaire fortement continu, alors son
g´en´erateur est un op´erateur auto-adjoint.
D´emonstration. Soit Aun op´erateur auto-adjoint. Alors, d’apr`es le th´eor`eme
spectral (voir §4), on peut supposer que H=L2(M,µ), o`u (M,B,µ)estun
espace mesur´e, et que Aest l’op´erateur de multiplication par une fonction r´eelle
mesurable a(m). Dans ce cas, on d´efinit U(t)=eitA comme l’op´erateur de
multiplication par eita(m).Ils’ensuitque
eitA−1=e−itA =eitA∗,e
itAeisA =ei(t+s)A.
De plus, si ϕ∈L2(M, µ), alors en utilisant le th´eor`eme de Lebesgue, on obtient
eitAϕ−ϕ2=M
eita(m)−1
2|ϕ(m)|2dµ →0 quand t→0.
Montrons que le g´en´erateur Bdu groupe U(t) est ´egal `a A. En effet, main-
tenant ψ∈D(A), c’est-`a-dire, ψ, aψ∈L2(M,µ). Alors
t−1(eitAψ−ψ)−iAψ2=M
t−1(eita(m)−1)−ia(m)
2|ψ(m)|2dµ →0t→0,
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o`u on a utilis´e encore le th´eor`eme de Lebesgue. On voit que A⊂B. D’autre
part, pour tous ψ1,ψ
2∈D(B), on a
(Bψ1,ψ
2)=lim
t→0−it−1(eitA −I)ψ1,ψ
2
=lim
t→0ψ1,it
−1(e−itA −I)ψ2=(ψ1,Bψ
2).
Donc, B⊂B∗et A=A∗⊂B, d’o`u on conclut que B=A. Nous avons
montr´e que pour chaque op´erateur auto-adjoint il existe un groupe unitaire
dont le g´en´erateur est confondu avec A. Montrons que ce groupe unitaire est
unique. Soit V(t) un autre groupe unitaire avec le g´en´erateur A. Alors pour
tout ψ∈D(A) la fonction f(t)=V(−t)U(t)ψv´erifie l’´equation
f�(t)=iV (−t)(−A+A)U(t)u=0,t∈R,
o`u on a utilis´e l’exercice 5.2. On conclut que g(t)=g(0) = ψ, et donc U(t)ψ=
V(t)ψpour tout t∈R. Comme le domaine de Aest dense, on voit que V≡U.
Montrons maintenant que le g´en´erateur Ad’un groupe unitaire U(t)estun
op´erateur auto-adjoint. On prouve d’abord la densit´e de D(A). Soit ψ∈Het
{ωε,ε>0}une approximation d’identit´e. On pose
ψε=R ωε(s)U(s)ψds, ε>0.
Alors ψε→ψquand ε→0+.Deplus,
t−1U(t)ψε−ψε=R t−1ωε(s−t)−ωε(s)U(s)ψds
→R ω�
ε(s)U(s)ψds as ε→0+,
d’o`u on voit que ψε∈D(A).
Le fait que le g´en´erateur est un op´erateur sym´etrique a ´et´e ´etablit ci-dessus.
Montrons que Aest essentiellement auto-adjoint. D’apr`es le corollaire 2.13,il
suffit de v´erifier que Ker(A∗±iI)={0}.
Soit v∈D(A∗)telque(A∗+i)v= 0. Alors ((A−i)u, v) = 0 pour tout
u∈D(A). Il s’ensuit que la fonction f(t)=(U(t)u, v) v´erifie l’´equation
f�(t)=(U�(t)u, v)=(iAU (t)u, v)=−(U(t)u, v)=−f(t),t∈R,
d’o`u on conclut que f(t)=ce−t. D’autre part, fest born´e sur Ret donc c= 0.
On voit que (u, v) = 0 pour tout u∈D(A). Comme D(A) est dense, on obtient
que v= 0. Un argument similaire montre que si (A−i)v= 0, alors v= 0.
Soit ¯ Ala fermeture (auto-adjointe) de Aet U(t) le groupe unitaire correspon-
dant. Montrons que U(t)=U(t) pour tout t∈R. On pose f(t)=U(−t)U(t)u,
o`u u∈D(A). Alors
f�(t)=U(−t)(−¯ A+A)U(t)u=0,t∈R,
d’o`u on conclut, en utilisant l’argument ci-dessus, que les groupes Uet Usont
confondus. Donc Aet ¯ Asont aussi confondus et A=A∗.
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5.2 Th´eor`eme de Hille–Yosida
Soit Xun espace de Banach et {S(t),t ∈R}une famille d’op´erateurs born´es
dans X.
D´efinition 5.4. On dit que {S(t),t∈R}est un semigroupe d’op´erateurs forte-
ment continu si
S(0) = I, S(t1+t2)=S(t1)S(t2) pour tous t1,t
2≥0,
et la fonction S(t)xest continue par rapport `a t≥0 pour tout x∈X.
Pour h>0 on d´efinit l’op´erateur Ah=h−1(S(h)−I). Soit D(A)l’ensemble
des vecteurs x∈Xpour lesquels la limite limh→0+Ahxexiste et A:D(A)→X
l’op´erateur d´efini par
Ax =lim
h→0+
S(h)x−x
h,x∈D(A).
On appelle Al’op´erateur infinit´esimal ou le g´en´erateur du semigroupe S(t).
Proposition 5.5. Soit S(t)un semigroupe d’op´erateurs fortement continu et
A:D(A)→Xson op´erateur infinit´esimal. Alors :
(i) Il existe des constantes positives Cet σtelles que
S(t)L(X)≤Ce
σt,t≥0.(5.1)
(ii) D(A)est dense dans Xet l’op´erateur Aest ferm´e.1
(iii) Le demi-plan {λ∈C:Reλ>σ}est inclut dans ρ(A),etlar´esolvanteest
donn´ee par
Rλ(A)=∞
0
S(t)e−λtdt pour Re λ>σ.(5.2)
D´emonstration. (i) Comme S(t) est fortement continu, pour tout x∈Xil existe
Cx>0telqueS(t)x≤Cxpour 0 ≤t≤1. Le th´eor`eme de Banach–Steinhaus
implique qu’il existe C>0telque
S(t)L(X)≤C, t ∈[0,1].(5.3)
Si t=k+r,o`ukest un entier et 0 ≤r<1, alors S(t)=S(r)S(1) ···S(1).
L’in´egalit´e (5.3)entraˆıneque
S(t)L(X)≤S(1)k
L(X)S(r)L(X)≤Ck+1 ≤Ce
σ(k+r),
o`u σ=lnC.
1Rappelons qu’un op´erateur Aest dit ferm´e si son graphe Γ(A)estferm´edansl’espace
X×X.
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(ii) Montrons que D(A) est dense. Soit x∈Xet xr=1
rr
0S(t)xdt. Alors
xr→xquand r→0+et xr∈D(A) pour tout r>0:
xr−x=
1
rr
0
S(t)xdt−x
≤1
rr
0
S(t)x−xdt →0,
S(h)xr−xr
h=1 rhr+h
r
S(t)xdt−h
0
S(t)xdt
→1
r(S(r)x−x)
quand r→0+. Le fait que Aest ferm´e est une cons´equence du point (iii) et de
l’exercice suivant.
Exercice 5.6.Soit A:D(A)→Xun op´erateur. Supposons qu’il existe un
op´erateur born´e B:X→Xtel que
ABx =xpour tout x∈X, BAx =xpour tout x∈D(A).
Montrer que Aest ferm´e.
(iii) L’in´egalit´e (5.1) implique que l’op´erateur (5.2) est bien d´efini. Pour
x∈D(A), on a
Rλ(A)(λ−A)x=∞
0
S(t)e−λt(λ−A)xdt
=λRλ(A)x−lim
h→0+∞
0
S(t)e−λtS(h)x−x
hdt
=λRλ(A)x−lim
h→0+eλh−1
h∞
h
S(t)e−λtxdt−h−1h
0
S(t)e−λtxdt
=λRλ(A)x−(λRλ(A)x−x)=x.
Un calcul similaire montre que (λ−A)Rλ(A)x=xpour x∈X.
Le th´eor`eme suivant donne une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’un
op´erateur ferm´e soit le g´en´erateur d’un semigroupe fortement continu.
Th´eor`eme 5.7. Soit Aun op´erateur ferm´e avec un domaine D(A)dense dans X.
Alors Aest l’op´erateur infinit´esimal d’un semigroupe fortement continu si et
seulement si il existe des r´eels Met ωtels que λ∈ρ(A)pour tout λ>ωet
Rλ(A)nL(X)≤M(λ−ω)−n,n=1,2,.... (5.4)
De plus, le semigroupe est uniquement d´efini par son op´erateur infinit´esimal.
D´emonstration. Etape 1. Montrons d’abord que la condition (5.1) est suffisante
pour que Asoit l’op´erateur infinit´esimal d’un semigroupe fortement continu.
Consid´erons l’op´erateur suivant (appel´e la r´egularisation de Yosida ):
Aλ=λ(λRλ(A)−I)=λ2(λI−A)−1−λI.
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Lemme 5.8. Pour tout x∈D(A),ona
Aλx→Ax quand λ→∞.
Etape 2. Nous allons construire S(t) comme la limite du semigroupe etAλ
quand λ→∞. Remarquons d’abord que
etAλ=e−λt
∞
k=0
(λ2t)kRλ(A)k
k!,λ>ω,
d’o`u on obtient l’estimation
etAλL(X)≤Me
−λt
∞
k=0
(λ2t)k
k!(λ−ω)k≤Mexp(ωt),λ1.(5.5)
Montrons que le semigroupe Sλ(t)=etAλconverge pour la topologie forte uni-
form´ement sur tout intervalle born´e [0,T]. En effet, pour x∈D(A), on a
Sλ(t)x−Sµ(t)x=1
0
d
ds Sµ(t−s)Sλ(s)xds
=1
0
Sµ(t−s)Sλ(s)Aλx−Aµxds.
En utilisant l’in´egalit´e (5.5)etlelemme5.8, on obtient pour x∈D(A)
sup
t∈[0,T ]
Sλ(t)x−Sµ(t)xX≤MT eCT Aλx−AµxX→0 quand λ, µ →∞.
Comme D(A) est dense dans X, on conclut qu’il existe un semigroupe fortement
continu S(t)telque
sup
t∈[0,T ]
Sλ(t)x−S(t)xX→0 quand λ→∞.
Etape 3. Montrons que Aest l’op´erateur infinit´esimal du semigroupe S(t).
Soit x∈D(A). En passant `a la limite quand λ→∞dans l’´egalit´e
Sλ(t)x−x=t
0
Sλ(s)Aλxds,
on obtient
S(t)x−x=t
0
S(s)Ax ds.
Donc, la limite
lim
t→0+t−1(S(t)x−x) (5.6)
existe et est ´egale `a Ax. Il nous reste `a montrer que si la limite (5.6)existe,
alors x∈D(A).
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