SYSTEME DU DEUXIEME ORDRE RESOLUTION D’EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU DEUXIEME ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS APPLICATION EN SCIENCES PHYSIQUES VERSION 1.0.8 I- Equations différentielles du second ordre à coefficients constants On s’intéresse aux équations différentielles du 2ème ordre du type : 1 d 2 g ( t ) 2m dg ( t ) ⋅ ⋅ + + g( t ) = g ∞ ω 2 dt 2 ω dt 0 0 On suppose le système initialement au repos : g ( t = 0) = 0 dg ( t = 0) =0 dt g(t) est une fonction d’une variable t En pratique, g représente une grandeur physique (tension électrique, vitesse, température …). t désigne le temps (en seconde). dg(t) ou g' (t) ou g& est la dérivée de la fonction g par rapport à la variable t dt d 2 g(t) ou g' ' (t) ou &g& est la dérivée deuxième de la fonction g par rapport à la variable t dt 2 m est le coefficient d’amortissement du système (sans unité) ; m > 0 pour un système stable ω0 est la pulsation propre du système (en radians par seconde) ω f 0 = 0 est la fréquence propre du système (en hertz) 2π g∞ est une constante : elle correspond à la valeur finale g(t → ∞) Ce type d’équation est très courant en sciences physiques : il caractérise les « systèmes du 2ème ordre ». Fabrice Sincère http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 1/10 I-1- Résolution Equation caractéristique : 1 r ² + 2m r + 1 = 0 2 ω ω0 0 Discriminant : 2m 4 4(m 2 − 1) − 2 = ∆ = ω0 2 ω0 ω 0 2 I-1-1- Premier cas : ∆ > 0 m > 1 ou bien m < -1 Racines de l’équation caractéristique : 2m 2m 2 m 2 − 1 − + ∆ − + ω0 ω0 r = ω 0 = = ω0 − m + m 2 − 1 1 2 2 2 2 ω0 ω0 r2 = ω0 − m − m 2 − 1 ( ( ) ) Solution générale de l’équation différentielle : g(t) = A ⋅ e r1⋅t + B ⋅ e r2 ⋅t + g ∞ m > 1 ⇒ r1 < 0 et r2 < 0 ⇒ système stable (régime apériodique) m < -1 ⇒ r1 > 0 et r2 > 0 ⇒ système instable A et B sont deux constantes qui dépendent des conditions initiales : r A = −g ∞ 2 g ( t = 0) = 0 r2 − r1 A + B + g ∞ = 0 ⇒ ⇒ dg ( t = 0) r = 0 A ⋅ r1 + B ⋅ r2 = 0 dt B = g∞ 1 r2 − r1 En définitive : g(t) = −g ∞ r2 r ⋅ e r1⋅t + g ∞ 1 ⋅ e r2 ⋅t + g ∞ r2 − r1 r2 − r1 r ⋅ e r1⋅t − r1 ⋅ e r2 ⋅t g ( t ) = g ∞ 1 − 2 r2 − r1 (− m − m 2 − 1) ⋅ e ω0 ( − m + g ( t ) = g ∞ 1 + m 2 −1 )⋅t − (− m + m 2 − 1) ⋅ e ω0 ( − m− 2 m2 −1 m 2 −1 )⋅t (valable pour m > 1 ou bien m < -1) Fabrice Sincère http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 2/10 Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre Régime apériodique (m > 1) 1,2 1 m= 2 m = 1,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,001 0,002 0,003 0,004 temps (s) (ω0 = 2π × 1000 rad/s) N.B. On parle de « réponse indicielle » ou « réponse unitaire » quand la valeur finale est 1. Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre Régime instable (m < -1) 1000 900 800 m = -1,1 700 600 500 400 300 200 100 0 0 0,001 0,002 0,003 0,004 temps (s) (ω0 = 2π × 1000 rad/s) Fabrice Sincère http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 3/10 I-1-2- Deuxième cas : ∆ < 0 -1 < m < 1 L’équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées : r1, 2 = α ± βj 2m ω α = − 0 = −m ⋅ ω0 2 2 ω0 avec : 2 1− m2 ω0 = 1 − m 2 ⋅ ω0 β = 2 2 ω0 Solution générale de l’équation différentielle : g(t) = e α⋅t ⋅ [A ⋅ cos(β ⋅ t ) + B ⋅ sin(β ⋅ t )] + g ∞ 0 < m < 1 ⇒ α < 0 ⇒ système stable (régime pseudo-périodique de pulsation : 1 − m 2 ⋅ ω0 ) m = 0 ⇒ α = 0 ⇒ système oscillant (pulsation ω0) -1 < m < 0 ⇒ α > 0 ⇒ système instable A et B sont deux constantes qui dépendent des conditions initiales : A = − g ∞ g ( t = 0) = 0 A + g ∞ = 0 ⇒ ⇒ α dg ( t = 0) = 0 αA + β B = 0 B = g ∞ dt β En définitive : g(t) = e α⋅t ⋅ [A ⋅ cos(β ⋅ t ) + B ⋅ sin(β ⋅ t )] + g ∞ α = g ∞ 1 − e α⋅t cos(β ⋅ t ) − sin(β ⋅ t ) β ( ) ( m g(t) = g ∞ 1 − e −m⋅ω0 ⋅t cos 1 − m 2 ⋅ ω0 ⋅ t + sin 1 − m 2 ⋅ ω0 ⋅ t 2 1− m ) (valable pour -1 < m < 1) Fabrice Sincère http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 4/10 Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre Régime pseudo périodique ( 0 < m < 1 ) 2 1,8 m = 0,1 m = 0,4 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,001 0,002 0,003 0,004 temps (s) (ω0 = 2π × 1000 rad/s) m = 0 : système oscillant de pulsation ω0 g(t) = g ∞ (1 − cos(ω0 ⋅ t ) ) Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre Régime oscillant ( m = 0 ) 2,5 m= 0 2 1,5 1 0,5 0 0 0,001 0,002 0,003 0,004 -0,5 temps (s) (ω0 = 2π × 1000 rad/s) Fabrice Sincère http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 5/10 Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre Régime instable ( -1 < m < 0 ) 5 m = -0,05 4 3 2 1 0 0 0,001 0,002 0,003 0,004 -1 -2 -3 temps (s) (ω0 = 2π × 1000 rad/s) I-1-3- Troisième cas : ∆ = 0 m = 1 ou m = -1 L’équation caractéristique a une racine double réelle r : − r= 2m ω0 = − m ⋅ ω0 2 ω0 2 La solution générale est : g(t) = (A ⋅ t + B) ⋅ e r ⋅t + g∞ m = 1 ⇒ r < 0 ⇒ système stable (régime « critique ») m = -1 ⇒ r > 0 ⇒ système instable A et B sont deux constantes qui dépendent des conditions initiales : g ( t = 0) = 0 B = − g ∞ B + g ∞ = 0 ⇒ ⇒ dg ( t = 0) = 0 A + B ⋅ r = 0 A = g ∞ ⋅ r dt Fabrice Sincère http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 6/10 En définitive : g(t) = ( A ⋅ t + B) ⋅ e ( r ⋅t = g ∞ 1 − (1 − r ⋅ t ) ⋅ e r ⋅t + g∞ ) ( 0 g(t) = g ∞ 1 − (1 + m ⋅ ω0 ⋅ t ) ⋅ e (valable pour m = 1 ou -1) − m ⋅ω ⋅ t ) ( m = 1 (régime critique) : g(t) = g ∞ 1 − (1 + ω0 ⋅ t ) ⋅ e − ω0 ⋅t ) Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre Régime critique (m = 1) 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,001 0,002 0,003 0,004 temps (s) (ω0 = 2π × 1000 rad/s) Fabrice Sincère http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 7/10 Le régime critique fait la transition entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique : Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre 1,8 1,6 m = 0,2 m = 1,5 m= 1 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,001 0,002 0,003 0,004 temps (s) (ω0 = 2π × 1000 rad/s) I-2- En résumé Coefficient d’amortissement m 0<m<1 Pseudo-périodique m=1 m>1 m=0 m<0 (pulsation : 1 − m 2 ⋅ ω0 ) Critique Apériodique Régime oscillant (pulsation ω0) Instable Fabrice Sincère Régime http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 8/10 II - Exemple d’application : circuit électrique RLC u(t) est la tension électrique aux bornes d’un condensateur C = 100 nF alimenté à travers une résistance R = 100 Ω et une bobine d’inductance L = 100 mH par une source de tension constante E = 10 V : R L E C u(t) Les lois de l’Electricité donnent : d 2 u(t) du(t) LC + RC + u(t) = E 2 dt dt On suppose le condensateur initialement déchargé et le courant nul : u ( t = 0) = 0 du ( t = 0) =0 dt Cherchons la loi d’évolution de la tension électrique u(t) : L’équation est du type : 1 d 2 g ( t ) 2m dg ( t ) ⋅ ⋅ + + g( t ) = g ∞ ω 2 dt 2 ω0 dt 0 Les coefficients de l’équation différentielle donnent directement : La pulsation propre du circuit : Le coefficient d’amortissement : La valeur finale de la tension : ω0 = 1 LC = 10 000 rad / s R C = 0,05 2 L u(t → ∞) = E = 10 volts m= 0 < m < 1 donc nous sommes en régime pseudo-périodique. La pseudo-période est : T= 2π 1 − m ⋅ ω0 2 Fabrice Sincère ≈ 2π ≈ 628 µs ω0 http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 9/10 Graphiquement : u(t) 20 m = 0,05 18 16 14 tension (V) 12 10 8 6 4 2 0 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 0,0045 0,005 0,0055 0,006 temps (s) (C) Fabrice Sincère Fabrice Sincère http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 10/10