Conférence De Mr Fayol Apprendre l`arithmétique à la
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Conférence De Mr Fayol Apprendre l’arithmétique à la maternelle et au cycle deux Introduction Dans une société il faut être capable de savoir ce qui est acquis spontanément du fait des interactions de la vie courante même chez les enfants de familles défavorisées et ce qui doit faire l’objet d’ un enseignement spécifique. Il faut faire la part des choses entre ce que les enfants apprennent seuls et ce qui doit être enseigné à l’école. Les deux dernières décennies ont fait apparaître que les êtres humains sont dotés de capacités extrêmement importantes en arithmétique, qui constituent une base. Sur cette base, l’école doit construire quelque chose de différent, qui est la capacité à traiter des problèmes de manière formelle, ce que la vie n’apprend pas spontanément. Qu’est ce que l’arithmétique (diapo 2) ? L’arithmétique traite des quantités : dans la vie courant, on traite des objets, des événements, des relations entre les gens. Mais on peut aussi traiter des quantités, c’est un sous domaine de nos activités mentales et de nos activités sociales. • Il y a des quantités de deux types : Les quantités continues : surfaces, longueurs, volumes, intensités Les quantités discontinues : les étoiles, les billes, les bonbons, les voitures, tout ce que l’on peut dénombrer. L’arithmétique va s ‘intéresser à ces deux catégories de quantités. • Qu’est ce qu’il faut savoir faire sur les Quantités ? D’abord il faut savoir les discriminer c'est-à-dire percevoir qu’elles ne sont pas équivalentes. Il faut aussi pouvoir les comparer : déterminer s’il y en a qui sont plus longues, plus grandes plus importantes, plus intenses ou au contraire moins intenses, moins grandes que d’autres… Ce sont des acquis extrêmement élémentaires. On doit aussi pouvoir percevoir leur transformation. Il ne s’agit pas encore d’opérations arithmétiques mais d’opérations beaucoup plus simples. Percevoir qu’on a ajouté quelque chose, enlevé, réuni, dissocié, partagé, répété et que quand on a une première quantité et une deuxième, ce à quoi on aboutit selon que l’on ait ajouté ou enlevé fait que cela donne une quantité résultante différente des deux précédentes. • La perception analogique Tout cela ce sont des transformations analogiques. Elles peuvent se percevoir sans qu’on soit obligé de les quantifier. 1 Cette capacité de comparaison, de discrimination et de perception des transformations est fondamentale pour que l’arithmétique puisse se greffer sur elle. Une question qu’on s’est posée au cours des vingt dernières années : • Est ce que les êtres humains sont d’emblée dotés de capacités leur permettant de discriminer, de comparer de percevoir les transformations ou est ce que ces habiletés sont acquises et est ce que l’école doit y prendre sa part ? Est-ce qu’on doit scolariser ce genre de capacités d’habiletés ou peut on considérer que ces capacités sont disponibles chez tous les enfants ayant des dispositions normales ? Pour ça on est allé travailler chez des nouveaux-nés. L’arithmétique ce n’est pas seulement cela, c’est traiter ces quantités en utilisant des codes symboliques. • Les codes symboliques (diapo 3) : Au lieu de travailler sur des vraies quantités on va travailler sur ce qui les représente. On a une foule de moyens différents pour cela : les mots, les chiffres arabes, les encoches, les bûchettes, les bouliers et les doigts. Ce sont tous des codes. Ces codes n’ont pas tout à fait les mêmes propriétés. Ex : On symbolisera le « 1 » par un jeton ; le « 2 » par un chiffre arabe, le « 3 » par les chiffres romains. Ce qui va faire la différence entre ces codes, c’est la pertinence de leur emploi par rapport à ce qu’on veut faire. Ex : Si on devait faire une multiplication avec des chiffres romains, nous éprouverions de grandes difficultés alors qu’avec les chiffres arabes, c’est très facile même s’il y a des choses à apprendre. On ne peut pas faire n’importe quoi avec n’importe quel code. Certains codes sont plus pertinents pour l’apprentissage. Tous ces systèmes symboliques permettent de représenter des quantités : les cardinalités. (diapo 4) 2 Ce qui est merveilleux mais pas spontanée c’est que les codes symboliques nous permettent de nous dispenser de manipuler les quantités en vrai, en nous contentant de travailler sur les codes (diapo 5). Ex des codes bancaires ; aucun d’entre vous ne va vérifier à la banque s’il a exactement le nombre de billets qu’il a sur son relevé. L’équivalent en vrai argent de ce qui est inscrit sur nos relevés de comptes existe puisque le travail sur le code nous suffit à savoir combien d’argent on a sur nos comptes. Ceci est totalement différent des quantités représentées perceptivement. Ceci doit faire l’objet d’un apprentissage. La difficulté la plus forte à laquelle sont confrontés les élèves, c’est celle qui consiste à comprendre et accepter que manipuler les symboles nous permet de faire l’économie de manipuler des quantités en vrai. On va pouvoir en travaillant sur les symboles calculer, les distances… C’est ce qui nous permet d’aller sur la lune, de fabriquer L’ensemble de nos sociétés technologiques repose sur cette capacité là. C’est cette capacité que l’école élémentaire va devoir mettre en place. des véhicules nouveaux. Les problèmes qui vont se poser : Faire de l’arithmétique cela suppose avoir la notion de quantités, apprendre à associer ces quantités à des codes très précis, très divers et qui n’ont pas besoin d’être les mêmes à toutes les étapes de la scolarité ou de la vie. Il faut apprendre à opérer sur des codes et on n’opère pas n’importe comment sur les codes ; Quand on fait une soustraction ce n’est pas la même chose que quand on fait une division ou une multiplication.… Il faut comprendre, accepter que les résultats obtenus en opérant sur le code sont équivalents aux résultats qu’on aurait obtenus en travaillant directement sur les quantités ou les objets réels (diapo 6). 3 • La quantité est-elle une notion qui a besoin d’être enseignée ou est-ce une notion très tôt ou très facilement acquise (diapo 7)? 1. La notion de quantité 1.1 Discriminer entre quantités (diapos 8, 9,10) Des expériences avec des nouveau-nés ont été faites depuis 20 ans. A cet âge, ils ont un contact avec la culture restreint. - Sont ils capables de discriminer des quantités, de percevoir la différence entre 1 et 2, 2 et 3, 8 et 12 jetons, fleurs… 8et 10, 8 et 16, 8 et 24 ? - Sont ils capables de comprendre qu’avoir 8 c’est plus qu’avoir 4, que 12 c’est plus que d’avoir 10 ? - Sont-ils capables de comprendre que si j’en rajoute j’en ai plus ?ou si j’en enlève j’en ai moins ? Il ne s’agit pas de quantifier précisément mais de s’interroger sur ces notions. A ces trois questions la réponse est oui. 4 Expériences sur les petites quantités (diapos 11 à 14) Les tout petits enfants ne peuvent pas répondre alors on leur présente des collections de deux. Au bout d’un moment leur durée d’attention baisse progressivement. A ce moment là, on leur présente p ex 3 et leur attention remonte. Ils perçoivent donc la différence. Les nouveau-nés peuvent discriminer 1 de 2, 1 de 3, 2 de 3 mais pas 3de 4 ni 2 de 4 Tout se passe comme si leurs capacités initiales se font sur de toutes petites quantités. Ils font la différence entre 8 et 16, entre 16 et 32, 12 de 24. Ils ne font pas la différence entre 8 et 12. Pour qu’ils discriminent deux quantités, il faut que le rapport soit très élevé (de 1 à 2). La capacité de discrimination des quantités est une capacité innée que nous partageons tous. Elle est comme inscrite dans les capacités des êtres humains. 5 1.2. Plus grand, plus petit Est-ce la même chose pour la question de plus grand et plus petit ? Est-ce qu’ils sont capables de comprendre que certaines quantités sont plus importantes que d’autres ? Dispositif pour des bébés à partir de douze mois (diapos 15 à 18): Verres opaques Deux gâteaux dans un verre, trois gâteaux dans le 2ème verre, Le bébé va choisir le verre avec les trois gâteaux. Donc cette capacité s’installe spontanément, on n’a pas besoin d’intervenir. 1.3. Comprendre les transformations : ajouter et soustraire Dernière capacité qu’on va étudier : Les très jeunes enfants sont ils capables de comprendre que si on ajoute quelque chose à une quantité il y en aura plus ou si on enlève quelque chose il y a en aura moins (diapos 19, 20,21) ? Dispositif (bébés à partir de 6, 8 mois) : Petits points bleus sur un ordinateur. Dissimulation de points bleus et ajout de points rouges. Puis ajout de points bleus… 6 Le bébé est capable de réagir différemment entre une collection d’objets à laquelle on a ajouté ou enlevé des points et une collection d’objets que l’on n’a pas modifiée. On peut en déduire que vers 18 mois, les enfants sont capables de discriminer les quantités ; de voir s’il y en a plus que dans d’autres ; de se rendre compte que si on ajoute ça fait plus et si on enlève ça fait moins. On pense même qu’ils sont capables de comprendre quelques éléments des fractions élémentaires. Conclusion : le problème principal ne sera ni sur la notion de quantité, ni sur les opérations sur les quantités, ni sur la notion de plus grand ou plus petit, ni sur la notion d’ajouter et d’enlever. Le problème va être celui du passage à la symbolique et de la manipulation du symbolique. 2. Le passage au symbolique (diapo 22) : 7 2.1. Subitizing et comptage Ex des jetons qui s’affichent (diapos 23 à 27) La courbe montre que sur les toutes petites quantités on ne commet jamais d’erreur (1, 2,3). Le nombre 4 est tout seul car certains d’entre nous traitent le 4 comme le 3 et le 2, pour d’autres, c’est déjà une opération de comptage. Vers 5, il faut dénombrer. Plus il y en a et plus il faudra de temps. Probablement vers la PS ou MS pour 4 ou 5 il faut un certain apprentissage. Le dénombrement est nécessaire à un certain moment pour déterminer les quantités. Nous avons encore la capacité de base des nouveaunés ! 8 2.2. Le dénombrement (diapo 28) : Pour 1, 2,3 c’est très facile. Quand on est obligé de dénombrer, on passe à quelque chose de beaucoup plus sophistiqué. Dénombrer c’est passer à un code symbolique c'est-à-dire partir d’une quantité d’éléments et essayer d’associer à cette quantité une forme symbolique. C’est cela qui va demander du temps. C’est cette étape difficile qu’on a négligée pendant des années en étant persuadé que ça allait vite. En fait il faut disposer d’éléments symboliques isolés : les noms des nombres. Il faut appliquer les noms de nombres aux éléments de la collection. 2.2.1 Le code verbal (diapo 29) Epreuve toute simple qui est difficilement résolue (diapos 30,31) : ex de jeux en MS avec des paires de jetons. Lorsque les paires sont associées à un élément, c’est très facile. La construction des toutes petites associations entre des quantités symboliques est lente et difficile. C’est le travail qui doit être fait à l’école maternelle dès la PS. C’est difficile car le code verbal que nous utilisons couramment n’est pas naturel. Nous pensons que tout le monde compte. En fait, on a découvert en Amazonie des peuplades sans système verbal. Ils ont un, deux et à partir de trois c’est « beaucoup ». Seules certaines cultures disposent d’un système numérique verbal. 9 On est passé de quelque chose de biologiquement déterminé c’est çà dire la perception des quantités, la discrimination des quantités, la capacité à percevoir qu’il y en a plus ou moins, à quelque chose qui est culturel et qui passe par un système symbolique. Le système verbal que nous utilisons dans la vie courante est difficile car rien ne se voit dans le mot cinq par rapport au mot quatre. Ce n’est pas la longueur des deux mots qui nous donne des indices mais parce que 5 vient après 4 dans la liste .C’est un codage verbal de la quantité par l’ordre. Les enfants doivent comprendre qu’à chaque pas (dans le comptage), il y a une augmentation de un. Ce pas traduit une augmentation ou une diminution de quantité. Ceci a pour conséquence la Catégorisation. Ce qui pour nous est naturel, va prendre du temps aux enfants : des mois, des années de construction. Il va donc falloir souvent fréquenter des situations de ce type pour que la construction se fasse. A cela s’ajoute quelque chose qu’on ne soupçonne qu’en faisant des comparaisons internationales. On apprend à dénombrer en mettant en correspondance des noms de nombres et des quantités (diapo 32). Les noms de nombres en français : il y en a un certain nombre qu’il faut apprendre par cœur. Il n’y a pas d’autre solution. Au fil de l’histoire les hommes ont bricolé des systèmes avec les « bases » (10,15, 18). (Diapo 33) Les bases ont fluctué. Aujourd’hui, la base dominante c’est la base 10. Mais on a utilisé la base 20 (d’où 80 : 4X20). On a aussi utilisé la base 60 (sexagésimale nous aurions du nous en débarrasser mais nous l’avons conservée). C’est une difficulté supplémentaire. On utilise également la Combinatoire (36 : deux mots une addition ; 80 : deux mots mais une multiplication 4X20). Tout ceci nous paraît naturel, simple mais ce sont des difficultés supplémentaires pour les enfants. 10 Comparaison entre le système français et le chinois : le système chinois est extrêmement simple. Comparaison ente les USA et la Chine (diapos 34 ,35): À trois ans il n’y a aucune différence. A 4 ans les américains (ou les français) travaillent encore 10, 11, 12,13 alors que les enfants chinois sont déjà à 30,40. A 5 ans le petit américain est à 40 alors que le chinois est à 100 ! Cette différence ne sera jamais gommée ! Le niveau de manipulation des chiffres et des nombres sera toujours plus élevé en Chine que dans nos sociétés occidentales. Il y a un impact important de la dimension verbale. En français il y a des moments critiques : 20, 30,…60, 70, 80,90. Tout ceci ralentit et fragilise les apprentissages (diapo 36). En Chine la scolarisation du système numérique ne se pose pas comme un problème. Mais en France le niveau de difficulté est plus élevé d’où une scolarisation nécessaire (diapos 37,38). 11 2.2.2. La complexité du dénombrement (diapos 39, 40) : C’est l’association d’une collection à un nombre d’éléments. Les enfants vont chercher le cardinal de ce nombre en faisant du pointage avec leurs doigts. Est-ce lié à un apprentissage explicite ou est-ce qu’ils le trouvent tout seuls ? Depuis les années 1980 on a trouvé que l’activité de dénombrement repose sur 5 étapes : 1. Il faut établir une correspondance terme à terme stricte entre les noms des nombres et les objets à dénombrer. 2. Les noms doivent être donnés dans un ordre stable. 3. Le dernier élément évoqué est celui qui représente la cardinalité de la collection. 4. L’objet lui-même n’a pas d’importance. 5. Le sens du comptage de la quantité est identique si on dénombre dans un ordre différent : 12 Les enfants qui dénombrent en utilisant le comptage ont-ils un niveau de conceptualisation plus élevé que les autres ? Ex avec les marionnettes (diapos 41 à 45) : Une enseignante va dénombrer des collections en se trompant de temps en temps. Les enfants doivent dire quand elle se trompe et dire ce qu’elle aurait du faire. Les enfants rejettent très tôt quand les mots sont oubliés, quand il y a un mot en trop, quand il y a un double comptage. La comparaison entre les enfants de trois et cinq ans nous montre qu’il s’agit néanmoins d’un apprentissage. 13 Dénombrer en direction inverse, utiliser le dénombrement d’éléments non adjacents donne le même résultat, commencer par le milieu également. A quatre ans, les enfants commencent à refuser la direction inverse et les non adjacents (diapo 46). Chez les enfants de CP et de CE1, les enfants qui restent sur ce rejet de compter en commençant par une autre extrémité ou en utilisant les éléments non adjacents n’arrivent pas à une maturité suffisante sur le dénombrement. Pour ces enfants là, il faut très tôt (vers 5ans) faire des activités spécifiques sur le dénombrement. 2.2.3. Le rôle des doigts (diapos 47à 49) Les doigts : outil, code symbolique ayant l’avantage d’être analogique. Quand on lève deux ou trois doigts, cela se voit, d’où un rôle analogique. Quand les quantités augmentent, le nombre de doigts augmente aussi. Les doigts sont aussi un outil d’abstraction. Pour les enfants il est très difficile de comprendre que « 4 » c’est une abstraction. Pour nous ça peut être quatre automobiles, fourmis, étoiles…c’est toujours Quatre. Il n’y a que quelques siècles que nous sommes capables de cette abstraction et pour les enfants ce caractère abstrait de la cardinalité c’est une question difficile et les doigts constituent un outil précieux (associer un doigt à un objet quel que soit l’objet). Les doigts sont donc un outil qui permet l’abstraction et énorme avantage, on peut enlever ajouter… Outil acceptable pour des enfants de 3, 4, 5,6 ans. On peut montrer que les performances dans la reconnaissance des doigts sont prédictives dans les performances arithmétiques chez les enfants de CP et CE2. C’est un outil intéressant mais ce n’est ni le meilleur ni le seul code pour faire la transition entre le tout début du traitement des quantités et l’arrivée du système symbolique. 14 2.2.4. L’écriture en chiffres arabes (diapos 50,51) Il y a 50 ans, ce code était peu présent. Aujourd’hui, les chiffres romains ont disparu mais les chiffres arabes sont très fréquents. Les enfants sont familiarisés très tôt à ce code. Nous pensons que tout le monde compte avec les chiffres arabes. Mais comment passer du code verbal aux chiffres arabes ? C’est le problème du transcodage. Au CP, CE on demande aux enfants d’écrire sous dictée ou de lire des nombres et les enfants se trompent. On a comparé les performances d’enfants wallons et bourguignons (60, 70,80) (diapo 52) Les bourguignons font plus d’erreurs avec les nombres au-delà de 70, 80 et écrivent soit 420.42016 (96), 6010 (70). Ces erreurs sont très irrégulières. Elles n’apparaissent pas tout le temps. On a donc regardé de manière plus précise pourquoi les enfants bourguignons de CE1 commettaient ce genre d’erreurs. On a donné des noms de nombres (17,48, 77,98) On a calculé la longueur audible des syllabes de ces nombres. Lorsqu’on fabrique des nombres de 4 syllabes (3029) ou 5 syllabes (9401, 6057) avec des sonorités qui ne se ressemblent pas on s’aperçoit qu’avec 4 syllabes de sonorités qui se ressemblent (1117) il n’y a pas de différence mais qu’à partir de 5 ou 6 syllabes, les erreurs sont plus élevées lorsque les configurations sonores sont très proches. Ce n’est plus un problème de compréhension du transcodage mais un problème de maintient dans leur mémoire de configurations sonores sophistiquées. L’une des taches du CP, CE1, CE2 va être d’aider ces enfants à conserver dans leur mémoire les configurations sonores des nombres pour pouvoir les transcoder. Le problème est moins sur le transcodage lui-même qu’il n’est sur le maintien en mémoire des configurations sonores des noms de nombres qui sont longs à prononcer. 15 Pour résumer : L’apprentissage des codes eux-mêmes, le code verbal d’une part et le code arabe d’autre part, posent des problèmes spécifiques et demandent donc des activités spécifiques sur le code verbal français, sur le code arabe et sur le passage du code arabe au code français. 3. Les opérations (diapo 55) : 3.1 Les tout débuts (diapos 56, 57,58) Les enfants comprennent dès les premiers mois après leur naissance que quand on ajoute quelque chose à une quantité cette quantité augmente et quand on enlève quelque chose celle-ci diminue ; Quand on partage une quantité, il y en a moins… Ces connaissances spontanées n’ont pas besoin d’être enseignées, elles sont disponibles. En revanche c’est la compréhension du codage précis de la manipulation du système symbolique qui pose problème. Travail fait par un anglais en 1981 : Utilisation d’une boîte opaque dans laquelle on met des pingouins. L’enfant voit qu’il y avait un pingouin. On ajoute un pingouin. L’enfant doit refaire la même chose. Expérience identique avec des cubes. Première expérience : utilisation de boites réelles. Deuxième expérience : plus de boites mais l’enfant doit imaginer une boite. Troisième expérience : présentation formelle sans boîte. Les enfants de trois à cinq ans réussissent presque toujours quand on est sur des petites quantités (1, 2,3). 16 Lorsqu’on demande d’évoquer, les performances chutent et lorsqu’on leur fait de manière formelle, les résultats sont encore plus faibles. Lorsque les nombres sont plus grands que trois, les performances sont plus faibles d’où besoin de manipulations pour passer de 3 à 4 et de 4 à 5. Autre exemple : Situations avec additions pour nous mais transformations pour les enfants (diapos 60, 61, 63,64) 2 bonbons plus trois bonbons : comptages des deux collections puis réunion physique des deux collections pour les dénombrer. Plus tard, ils comptent la première collection et ajoutent la deuxième. Plus tard, fin GS, ils sont capables de commencer par la plus grande collection et ajoutent la plus petite. Là on est presque à l’abstraction qu’est l’opération. Différence entre la transformation et l’opération : La transformation suit la manière dont vous avez présenté le problème, l’opération manipule des symboles pour obtenir le même résultat. Evolution d’un traitement perceptif, moteur à un traitement abstrait. On a montré que le dénombrement puis l’utilisation des doigts deviendra une opération quand on pourra passer de 2+4 à 4+2. Ensuite, on aura le comptage mental qui dépendra beaucoup de la connaissance verbale des enfants, de la manipulation du code verbal. L’étape la plus sophistiquée c’est le fait qu’on sache directement que 4+2 font 6 sans avoir besoin de dénombrer. 17 Comparaison (diapo64) internationale Chinois /USA Les enfants chinois retrouvent directement en mémoire tous les résultats de ces opérations. Le niveau de performance des américains est très en retard par rapport à celui des chinois. Tout ceci car le code verbal chinois se prête bien à la mémorisation. Le système linguistique chinois favorise cela alors que les systèmes occidentaux ne le favorisent pas. Il faut donc « pédagogiser » cela dans nos écoles (diapo 65) ! Pour conclure (diapo 66): Il faut : - Manipuler de manière de plus en plus précise pour faire des comparaisons : les enfants sont capables de comparer des collections qui sont perceptives en revanche il faut travailler la comparaison des quantités lorsqu’elles sont présentées verbalement ou avec des chiffres arabes. - Mettre en relation les codes avec les quantités : c’est le rôle de l’école maternelle. - Mettre en relation les actions sur le réel avec le symbolique (ajouter, enlever…). - Manipuler les symboles. - Créer des situations d’arithmétisation pour amener l’enfant à des manipulations formelles. 18 Questions réponses - Utilise-t-on aussi les chiffres arabes en Chine ? - Oui, on utilise également les chiffres arabes en Chine. C’est un système international. est un problème verbal. Le problème - Situations de ses travaux par rapport à Piaget : Epreuves de conservation très spécifiques. Pour Piaget, le code verbal n’avait pas d’importance. Aujourd’hui on peut considérer que les points sur lesquels il est intervenu est un sous problème par rapport aux problèmes que l’on repère de nos jours. - Manipulation au CP avec des billes, faut il les amener à quitter ces manipulations ? Il faut créer des situations pour les amener à quitter progressivement la manipulation, pour que les enfants ne puissent plus recourir à ces manipulations. Ne rien interdire mais trouver les outils pour faire évoluer les enfants. Les différences interindividuelles sont plus fortes chez les enfants. Accompagner en obligeant à bouger. 19
