Conférence De Mr Fayol Apprendre l`arithmétique à la

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Conférence De Mr Fayol
Apprendre l’arithmétique à la maternelle et au cycle deux
Introduction
Dans une société il faut être capable de savoir ce qui est acquis spontanément du fait des interactions de la
vie courante même chez les enfants de familles défavorisées et ce qui doit faire l’objet d’ un enseignement
spécifique. Il faut faire la part des choses entre ce que les enfants apprennent seuls et ce qui doit être
enseigné à l’école.
Les deux dernières décennies ont fait apparaître que les êtres humains sont dotés de capacités extrêmement
importantes en arithmétique, qui constituent une base. Sur cette base, l’école doit construire quelque chose
de différent, qui est la capacité à traiter des problèmes de manière formelle, ce que la vie n’apprend pas
spontanément.
Qu’est ce que l’arithmétique (diapo 2) ?
L’arithmétique traite des quantités : dans la vie
courant, on traite des objets, des événements, des
relations entre les gens. Mais on peut aussi traiter
des quantités, c’est un sous domaine de nos
activités mentales et de nos activités sociales.
• Il y a des quantités de deux types :
Les quantités continues : surfaces, longueurs,
volumes, intensités
Les quantités discontinues : les étoiles, les billes,
les bonbons, les voitures, tout ce que l’on peut
dénombrer.
L’arithmétique va s ‘intéresser à ces deux
catégories de quantités.
• Qu’est ce qu’il faut savoir faire sur les Quantités ?
D’abord il faut savoir les discriminer c'est-à-dire percevoir qu’elles ne sont pas équivalentes.
Il faut aussi pouvoir les comparer : déterminer s’il y en a qui sont plus longues, plus grandes plus
importantes, plus intenses ou au contraire moins intenses, moins grandes que d’autres…
Ce sont des acquis extrêmement élémentaires.
On doit aussi pouvoir percevoir leur transformation. Il ne s’agit pas encore d’opérations arithmétiques mais
d’opérations beaucoup plus simples. Percevoir qu’on a ajouté quelque chose, enlevé, réuni, dissocié,
partagé, répété et que quand on a une première quantité et une deuxième, ce à quoi on aboutit selon que l’on
ait ajouté ou enlevé fait que cela donne une quantité résultante différente des deux précédentes.
• La perception analogique
Tout cela ce sont des transformations analogiques.
Elles peuvent se percevoir sans qu’on soit obligé de les quantifier.

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Cette capacité de comparaison, de discrimination et de perception des transformations est fondamentale pour
que l’arithmétique puisse se greffer sur elle.
Une question qu’on s’est posée au cours des vingt dernières années :
• Est ce que les êtres humains sont d’emblée dotés de capacités leur permettant de discriminer, de
comparer de percevoir les transformations ou est ce que ces habiletés sont acquises et est ce que
l’école doit y prendre sa part ?
Est-ce qu’on doit scolariser ce genre de capacités d’habiletés ou peut on considérer que ces capacités sont
disponibles chez tous les enfants ayant des dispositions normales ?
Pour ça on est allé travailler chez des nouveaux-nés.
L’arithmétique ce n’est pas seulement cela, c’est traiter ces quantités en utilisant des codes symboliques.
• Les codes symboliques (diapo 3) :
Au lieu de travailler sur des vraies quantités on va
travailler sur ce qui les représente.
On a une foule de moyens différents pour cela : les
mots, les chiffres arabes, les encoches, les
bûchettes, les bouliers et les doigts.
Ce sont tous des codes.
Ces codes n’ont pas tout à fait les mêmes
propriétés.
Ex :
On symbolisera le « 1 » par un jeton ; le « 2 » par
un chiffre arabe, le « 3 » par les chiffres romains.
Ce qui va faire la différence entre ces codes, c’est la
pertinence de leur emploi par rapport à ce qu’on
veut faire.
Ex : Si on devait faire une multiplication avec des chiffres romains, nous éprouverions de grandes difficultés
alors qu’avec les chiffres arabes, c’est très facile même s’il y a des choses à apprendre.
On ne peut pas faire n’importe quoi avec n’importe quel code. Certains codes sont plus pertinents pour
l’apprentissage.
Tous ces systèmes symboliques permettent de représenter des quantités : les cardinalités. (diapo 4)

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Ce qui est merveilleux mais pas spontanée c’est que les codes symboliques nous permettent de nous
dispenser de manipuler les quantités en vrai, en
nous contentant de travailler sur les codes (diapo
5).
Ex des codes bancaires ; aucun d’entre vous ne va
vérifier à la banque s’il a exactement le nombre de
billets qu’il a sur son relevé.
L’équivalent en vrai argent de ce qui est inscrit sur
nos relevés de comptes existe puisque le travail sur
le code nous suffit à savoir combien d’argent on a
sur nos comptes.
Ceci est totalement différent des quantités
représentées perceptivement.
Ceci doit faire l’objet d’un apprentissage.
La difficulté la plus forte à laquelle sont confrontés les élèves, c’est celle qui consiste à comprendre et
accepter que manipuler les symboles nous permet de faire l’économie de manipuler des quantités en
vrai.
On va pouvoir en travaillant sur les symboles calculer, les distances…
C’est ce qui nous permet d’aller sur la lune, de fabriquer des véhicules nouveaux.
L’ensemble de nos sociétés technologiques repose sur cette capacité là.
C’est cette capacité que l’école élémentaire va devoir mettre en place.
Les problèmes qui vont se poser :
Faire de l’arithmétique cela suppose avoir la
notion de quantités, apprendre à associer ces
quantités à des codes très précis, très divers et qui
n’ont pas besoin d’être les mêmes à toutes les
étapes de la scolarité ou de la vie.
Il faut apprendre à opérer sur des codes et on
n’opère pas n’importe comment sur les codes ;
Quand on fait une soustraction ce n’est pas la
même chose que quand on fait une division ou
une multiplication.…
Il faut comprendre, accepter que les résultats
obtenus en opérant sur le code sont équivalents
aux résultats qu’on aurait obtenus en travaillant
directement sur les quantités ou les objets réels
(diapo 6).

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• La quantité est-elle une notion qui a
besoin d’être enseignée ou est-ce une
notion très tôt ou très facilement
acquise (diapo 7)?
1. La notion de quantité
1.1 Discriminer entre quantités (diapos 8, 9,10)
Des expériences avec des nouveau-nés ont été faites
depuis 20 ans. A cet âge, ils ont un contact avec la
culture restreint.
- Sont ils capables de discriminer des
quantités, de percevoir la différence entre 1
et 2, 2 et 3, 8 et 12 jetons, fleurs… 8et 10, 8
et 16, 8 et 24 ?
- Sont ils capables de comprendre qu’avoir 8
c’est plus qu’avoir 4, que 12 c’est plus que
d’avoir 10 ?
- Sont-ils capables de comprendre que si j’en
rajoute j’en ai plus ?ou si j’en enlève j’en ai
moins ?
Il ne s’agit pas de quantifier précisément mais de
s’interroger sur ces notions.
A ces trois questions la réponse est oui.

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Expériences sur les petites quantités (diapos 11 à 14)
Les tout petits enfants ne peuvent pas répondre alors
on leur présente des collections de deux.
Au bout d’un moment leur durée d’attention baisse
progressivement. A ce moment là, on leur présente p
ex 3 et leur attention remonte. Ils perçoivent donc la
différence.
Les nouveau-nés peuvent discriminer 1 de 2, 1 de 3,
2 de 3 mais pas 3de 4 ni 2 de 4
Tout se passe comme si leurs capacités initiales se
font sur de toutes petites quantités.
Ils font la différence entre 8 et 16, entre 16 et 32,
12 de 24.
Ils ne font pas la différence entre 8 et 12.
Pour qu’ils discriminent deux quantités, il faut que le
rapport soit très élevé (de 1 à 2).
La capacité de discrimination des quantités est
une capacité innée que nous partageons tous. Elle
est comme inscrite dans les capacités des êtres
humains.