sur les lois generales de l`algorithme des symboles de fonction et d

SUR LES LOIS GENERALES DE L'ALGORITHME DES
SYMBOLES DE FONCTION ET D'OPÉRATION
PAR C. BURALI-FORTI.
Les symboles de fonction et d'opération dont on fait usage dans l'Algèbre
générale, sont sujets à des lois fixes et logiquement coordonnées entre elles. A ce
fait on doit la puissance et la diffusion de l'algorithme algébrique.
La notation complète* des Quaternions, telle qu'elle est donnée par Hamilton,
est aussi admirable pour la précision des conceptions et de la forme, de sorte
que les Quaternions de Hamilton forment, dans leur petit domaine f, un système
parfait.
Les notations vectorielles des autres auteurs sont sujettes à des lois différentes
de celles de l'Algèbre ordinaire et de celles qui ont été établies par Hamilton, et elles
sont en outre contradictoires entre elles. Voilà la cause de la diffusion limitée du
calcul vectoriel et de son inapplicabilité à plusieurs questions de physique, de
mécanique et de géométrie.
Le sujet de cette communication a, donc, une réelle importance pratique et
théorique. M. Marcolongo et moij, suivant les lois que je vais exposer dans cette
communication, nous avons pu obtenir un calcul vectoriel intrinsèque^ qui est
supérieur pour la puissance, la simplicité, et la précision de conception et de forme,
à tous les calculs vectoriels ordinaires. Nous pouvons appliquer notre calcul
n'importe à quelle question physico-mécanico-géométrique||.
Mon exposition peut être aisément traduite avec les symboles de logique
mathématique de M. Peano ou de M. Russell. Pour l'étude de la question j'ai
fait usage de symboles logiques, mais je vais l'exposer en langage commun, pour
en rendre aisée la lecture à qui que ce soit. Les exemples sont relatifs au calcul
vectoriel; mais on pourrait facilement en choisir dans d'autres domaines de la
mathématique.
* C'est-à-dire avec les opérateurs I, I-1.
f C. Burali-Forti et R. Marcolongo, Eléments de calcul vectoriel (A. Hermann, Paris, 1910, Edit. ital.
Zanichelli, Bologna, 1909) ; Omografie vettoriali (G. B. Petrini, Torino, 1909) ; Analyse vectorielle générale
I. Transformations linéaires (Mattei, Pavia, 1912).
% Voir note (f).
§ C.-â-d. indépendant des coordonnées de quelque espèce que ce soit.
|| Voir note (f), Analyse vectorielle générale.

L'ALGORITHME DES SYMBOLES DE FONCTION ET D'OPERATION 481
Ma communication a un double but : d'abord de faire connaître que> s'il existait
une question relative aux notations vectorielles, cette question, aujourd'hui, est
déjà résolue ; en second lieu de démontrer d'une manière évidente que la logique
mathématique symbolique n'est point, comme erronément quelques-uns le pensent,
un tachygraphe des idées, mais bien un puissant instrument d'analyse des idées
mêmes.
1. Opérateurs. Les symboles de fonction monodrome
sin, cos, ..., log, ...
dont on fait usage dans l'Analyse, les symboles
I, V, D, K, C, R, -rp, div, rot, grad, Rot, A, A',
qui ont une très grande importance dans le Calcul Vectoriel, peuvent être appelés
opérateurs (à gauche, sous-entendu) et sont tous soumis à des propriétés formelles qui
sont suffisantes pour donner la définition formelle de la classe opérateur, sous la forme
logique suivante.
Si u, v sont des classes quelconques nous écrivons
(*u) v
au lieu de " opérateur (à gauche) entre les u et les v,"
et nous disons que "f est un élément de la classe (# u) v "
lorsque :
1° / est un symbole, simple ou composé, qui placé à gauche d'un élément
arbitraire x de la classe u, est tel que la notation
fx
indique un élément, et un seul, de la classe v, qu'on peut déduire de x suivant une loi
déterminée ;
2° x, x' étant des éléments de la classe u, la condition x = x' entraîne la condition
fx =fx'.
2. De la définition formelle d'opérateur que nous venons de donner, il résulte
qu'avec les symboles ordinaires d'opération (n. 9) on peut former des opérateurs.
Voici des exemples :
Si a est un nombre (en général complexe d'ordre n),
a + , a — , ax sont des (#nombre) nombre,
aj est un (# nombre non nul) nombre,
Si u est un vecteur,
u+, u—, uA, sont des (# vecteur) vecteur,
u x est un (# vecteur) nombre réel,
u + , u — sont des (* point) point.
3. Pour les notations générales nous faisons les remarques suivantes :
Comme Lagrange, Abel, Hamilton, ... nous écrivons simplement fx et non f(x) ;
les parenthèses étant inutiles, sauf dans le cas où x est exprimé par deux ou plusieurs
M. c. n. 31

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symboles. Si / est formé par deux ou plusieurs symboles, on peut écrire (/) x, les
parenthèses ayant aussi en ce cas le rôle ordinaire de grouper.
Les éléments de la classe u peuvent être des éléments simples (x, x, ...), ou des
couples ((x, y), (x', y), ...), ou des ternes ((x, y, z), (x\ y', z'), ...), etc. Nous écrivons
toujours fx,
f(x,y), f(x,y,z\ ...
et f peut être appelé respectivement, opérateur simple, binaire, ternaire, ...et corres-
pond à l'ordinaire symbole des fonctions d'une, deux, trois, ...variables.
Lorsqu'il n'est point nécessaire d'indiquer la classe v nous disons que "f est un
opérateur pour les u " et la classe " opérateur pour les u " peut être indiquée par la
notation (* u).
Si f est un (*u)v, alors (n. 1), x étant un élément arbitraire de la classe u,
il existe un et un seul élément y de la classe v tel que fx = y. Si, y étant un élément
arbitraire de la classe v, l'élément x de la classe v tel que fx = y existe, et s'il est
unique, alors l'opérateur f est appelé opérateur réversible. Si f est un (* u) v
réversible et si fx = y, alors l'(# v) u qui appliqué (à gauche) à y donne x, sera indiqué
(Hamilton) par la notation/-1. Il s'ensuit que les deux conditions
fx = y, x=f~ly
expriment, sous des formes différentes, une même propriété, et la transformation de
l'une dans l'autre est soumise aux règles algébriques ordinaires des puissances.
4. Domaines d'un Opérateur. Un symbole/peut être opérateur pour plusieurs
classes u, u', u", .... Ces classes sont appelées domaines de l'opérateur f
Si la classe u est un des domaines de l'opérateur/ alors toute classe u, contenue
dans la classe u, est encore un des domaines de l'opérateur/ (n. 1). C'est-à-dire que,
l'opérateur / étant défini dans le domaine u, nous pouvons rétrécir son domaine à une
classe u' quelconque contenue dans la classe u.
5. Mais nous pouvons encore étendre le domaine de l'opérateur / de la manière
logique suivante :
Soit u' une classe qui contient la classe u et telle qu'il existe des u qui ne sont
pas des u ; et soit v une classe qui contient la classe v, l'identité entre les classes v, v'
n'étant pas exclue. Cela posé, et y étant un élément de la classe u' qui n'appartient
pas à la classe u, nous définissons (n. 1) fy comme un élément bien déterminé de la
classe v'.
Il s'ensuit alors que la classe u' (plus étendue que la classe u) est un des domaines
de l'opérateur / L'élément fx, où x est un u\ est un des anciens éléments de la
classe v, si x est un u ; c'est un des nouveaux éléments de la classe v', si x est un u'
qui n'est pas un u.
Le procédé d'extension que nous venons d'indiquer a été souvent appliqué en
Mathématique. Voici des exemples :
Une fois définis les opérateurs sin, cos dans les domaines des nombres réels, on
étend le domaine aux nombres complexes, et sin, cos sont encore des opérateurs sujets
aux lois que nous venons d'établir au n. 1. Pour l'opérateur log on suit en Analyse

L'ALGORITHME DES SYMBOLES DE FONCTION ET D'OPERATION 483
un procédé bien différent; log est, dans le domaine des nombres complexes, un
opérateur polydrome, tandis que dans le domaine des nombres réels il est un opérateur
monodrome.
L'opérateur différentiel vectoriel grad a pour domaine ordinaire la classe nombre
réel. M. Marcolongo et moi, nous avons étendu le domaine de l'opérateur grad à la
classe homographie vectorielle, qui contient la classe nombre réel.
De même pour l'opérateur A dont le domaine ordinaire est la classe nombre réel.
6. Parmi les domaines de l'opérateur / existe-t-il un domaine maximum ?
Le procédé logique que nous venons de donner au n. 5 pour étendre à la classe u
le domaine de l'opérateur / ne limite pas l'extension de la classe u', et la classe u'
pourrait bien être la classe totale. Mais alors un seul symbole serait suffisant pour
indiquer plusieurs opérateurs avec des domaines différents entre eux.
Donc l'opérateur/ doit nécessairement avoir un domaine pratique maximum qui
évidemment dépend de l'état de nos connaissances, état effectif ou supposé. Nous
allons fixer bientôt (n. 8) un criterium général pour établir le domaine pratique maxi-
mum d'un opérateur. Avant tout nous devons examiner comment les propriétés d'un
opérateur dépendent du domaine dans lequel l'opérateur même est appliqué, c.-à-d.
dépendent du domaine maximum relatif que nous imposons à l'opérateur.
7. Soit / un (# u) v et xi une classe contenue dans la classe u. Nous indiquons
par la notation
/i«' w
l'opérateur $ tel que :
1° cj) est un (*u')v, tel que si x est un élément arbitraire de la classe u', on ait
toujours (fix —fx ;
2° la classe u est le domaine maximum relatif que nous imposons à l'opérateur <£.
Les propriétés de l'opérateur (1) dépendent de l'opérateur / et de la classe u.
Voici des exemples :
Exemple 1er. Des opérateurs
7T~7r .
sm i - 2 g
sm
i °
M ^
le premier est réversible, le second ne l'est pas.
Exemple 2ème. L'opérateur vectoriel différentiel du second ordre
rot grad
est toujours nul si son domaine maximum est formé par les nombres réels fonctions
d'un point. Au contraire il n'est pas nécessairement nul,
rot grad = grad Rot,
si son domaine maximum est formé par les homographies vectorielles fonctions d'un
point. C.-à-d.
grad rot \ nombre réel = 0
grad rot i homographie vectorielle ^ 0, en général.
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Exemple 3èrae. Si s est un nombre réel et u est un vecteur, posons
a = s+u A.
L'opérateur a \ vecteur normale au vecteur u
est un quaternion de Hamilton, et précisément le quaternion ß tel que
Sß = s, V/3 = u.
Au contraire l'opérateur a \ vecteur
n'est pas un quaternion mais une homographie dont la dilatation est le nombre 6* et
le vecteur est u ; c'est-à-dire l'homographie 7 telle que
J)y = s, VY = U.
On en tire aisément que l'homographie 7 n'est pas un quaternion en
observant que
72 =
{(s2 - u2) + (2su) A } + H (u, u)
n'est pas un quaternion dans le domaine maximum "vecteur," tandis que le carré
d'un quaternion est toujours un quaternion.
Exemple 4ème. Pour les opérateurs A, A' que M. Marcolongo et moi nous
avons introduits sous cette forme, on a la correspondance suivante avec la notation
complète de Hamilton :
A i nombre réel = — V2 \ nombre réel,
A' i vecteur = — (I V2I_1) j quaternion droit
(ce qui prouve que A et A" sont des opérateurs bien distincts !). L'opérateur
A j homographie
n'a pas de correspondant dans les notations quaternionnelles de Hamilton.
Les exemples que nous venons d'exposer prouvent que, pour établir quelles sont
les propriétés d'un opérateur en général, il est nécessaire de fixer le domaine dans
lequel nous voulons appliquer l'opérateur même.
Il n'est point nécessaire de faire un usage systématique de la notation (1); il
suffit d'en connaître l'existence et de l'employer dans les cas douteux.
8. Un même symbole ne doit jamais être employé pour indiquer deux ou plusieurs
opérateurs qui n'ont pas en commun l'algorithme formel. Voilà un criterium général
pour la formation du domaine maximum d'un opérateur. Voici des exemples.
Exemple 1er.—Soit ir un plan protectif et / l'opérateur réversible de la classe
(# point de ir) droite de ir
qu'on appelle habituellement polarité.
Dans la géométrie projective on indique par le même symbole/ la polarité inverse,
qui est un élément de la classe
(adroite de ir) point de ir.
Le domaine (maximum) de l'opérateur /est donc donné par la classe
"point de ir" vel "droite de ir" (1),