sur les lois generales de l`algorithme des symboles de fonction et d

SUR LES LOIS GENERALES DE L'ALGORITHME DES
SYMBOLES DE FONCTION ET D'OPÉRATION
PAR C.
BURALI-FORTI.
Les symboles de fonction et d'opération dont on fait usage dans l'Algèbre
générale, sont sujets à des lois fixes et logiquement coordonnées entre elles. A ce
fait on doit la puissance et la diffusion de l'algorithme algébrique.
La notation complète* des Quaternions, telle qu'elle est donnée par Hamilton,
est aussi admirable pour la précision des conceptions et de la forme, de sorte
que les Quaternions de Hamilton forment, dans leur petit domaine f, un système
parfait.
Les notations vectorielles des autres auteurs sont sujettes à des lois différentes
de celles de l'Algèbre ordinaire et de celles qui ont été établies par Hamilton, et elles
sont en outre contradictoires entre elles. Voilà la cause de la diffusion limitée du
calcul vectoriel et de son inapplicabilité à plusieurs questions de physique, de
mécanique et de géométrie.
Le sujet de cette communication a, donc, une réelle importance pratique et
théorique. M. Marcolongo et moij, suivant les lois que je vais exposer dans cette
communication, nous avons pu obtenir un calcul vectoriel intrinsèque^ qui est
supérieur pour la puissance, la simplicité, et la précision de conception et de forme,
à tous les calculs vectoriels ordinaires. Nous pouvons appliquer notre calcul
n'importe à quelle question physico-mécanico-géométrique||.
Mon exposition peut être aisément traduite avec les symboles de logique
mathématique de M. Peano ou de M. Russell. Pour l'étude de la question j'ai
fait usage de symboles logiques, mais je vais l'exposer en langage commun, pour
en rendre aisée la lecture à qui que ce soit. Les exemples sont relatifs au calcul
vectoriel; mais on pourrait facilement en choisir dans d'autres domaines de la
mathématique.
* C'est-à-dire avec les opérateurs I, I - 1 .
f C. Burali-Forti et R. Marcolongo, Eléments de calcul vectoriel (A. Hermann, Paris, 1910, Edit. ital.
Zanichelli, Bologna, 1909) ; Omografie vettoriali (G. B. Petrini, Torino, 1909) ; Analyse vectorielle générale
I. Transformations linéaires (Mattei, Pavia, 1912).
% Voir note (f).
§ C.-â-d. indépendant des coordonnées de quelque espèce que ce soit.
|| Voir note (f), Analyse vectorielle générale.
L'ALGORITHME DES SYMBOLES DE FONCTION ET D'OPERATION
481
Ma communication a un double but : d'abord de faire connaître que> s'il existait
une question relative aux notations vectorielles, cette question, aujourd'hui, est
déjà résolue ; en second lieu de démontrer d'une manière évidente que la logique
mathématique symbolique n'est point, comme erronément quelques-uns le pensent,
un tachygraphe des idées, mais bien un puissant instrument d'analyse des idées
mêmes.
1.
Opérateurs.
Les symboles de fonction monodrome
sin, cos, ..., log, ...
dont on fait usage dans l'Analyse, les symboles
I, V, D, K, C, R, -rp, div, rot, grad, Rot, A, A',
qui ont une très grande importance dans le Calcul Vectoriel, peuvent être appelés
opérateurs (à gauche, sous-entendu) et sont tous soumis à des propriétés formelles qui
sont suffisantes pour donner la définition formelle de la classe opérateur, sous la forme
logique suivante.
Si u, v sont des classes quelconques nous écrivons
(*u) v
au lieu de
et nous disons que
lorsque :
" opérateur (à gauche) entre les u et les v,"
"f est un élément de la classe (# u) v "
1° / est un symbole, simple ou composé, qui placé à gauche d'un élément
arbitraire x de la classe u, est tel que la notation
fx
indique un élément, et un seul, de la classe v, qu'on peut déduire de x suivant une loi
déterminée ;
fx
2° x, x' étant des éléments de la classe u, la condition x = x' entraîne la condition
=fx'.
2. De la définition formelle d'opérateur que nous venons de donner, il résulte
qu'avec les symboles ordinaires d'opération (n. 9) on peut former des opérateurs.
Voici des exemples :
Si a est un nombre (en général complexe d'ordre n),
a + , a — , ax sont des (#nombre) nombre,
aj est un (# nombre non nul) nombre,
Si u est un vecteur,
u + , u—, u A , sont des (# vecteur) vecteur,
u x est un (# vecteur) nombre réel,
u + , u — sont des (* point) point.
3.
Pour les notations générales nous faisons les remarques suivantes :
Comme Lagrange, Abel, Hamilton, ... nous écrivons simplement fx et non f(x) ;
les parenthèses étant inutiles, sauf dans le cas où x est exprimé par deux ou plusieurs
M. c. n.
31
482
C. BURALI-FORTI
symboles. Si / est formé par deux ou plusieurs symboles, on peut écrire ( / ) x, les
parenthèses ayant aussi en ce cas le rôle ordinaire de grouper.
Les éléments de la classe u peuvent être des éléments simples (x, x, ...), ou des
couples ((x, y), (x', y), ...), ou des ternes ((x, y, z), (x\ y', z'), ...), etc. Nous écrivons
toujours
fx, f(x,y),
f(x,y,z\
...
et f peut être appelé respectivement, opérateur simple, binaire, ternaire, ...et correspond à l'ordinaire symbole des fonctions d'une, deux, trois, ...variables.
Lorsqu'il n'est point nécessaire d'indiquer la classe v nous disons que "f est un
opérateur pour les u " et la classe " opérateur pour les u " peut être indiquée par la
notation (* u).
Si f est un (*u)v, alors (n. 1), x étant un élément arbitraire de la classe u,
il existe un et un seul élément y de la classe v tel que fx = y. Si, y étant un élément
arbitraire de la classe v, l'élément x de la classe v tel que fx = y existe, et s'il est
unique, alors l'opérateur f est appelé opérateur réversible. Si f est un (* u) v
réversible et si fx = y, alors l'(# v) u qui appliqué (à gauche) à y donne x, sera indiqué
(Hamilton) par la notation/ - 1 . Il s'ensuit que les deux conditions
fx = y,
x=f~ly
expriment, sous des formes différentes, une même propriété, et la transformation de
l'une dans l'autre est soumise aux règles algébriques ordinaires des puissances.
4. Domaines d'un Opérateur. Un symbole/peut être opérateur pour plusieurs
classes u, u', u", .... Ces classes sont appelées domaines de l'opérateur f
Si la classe u est un des domaines de l'opérateur/ alors toute classe u, contenue
dans la classe u, est encore un des domaines de l'opérateur/ (n. 1). C'est-à-dire que,
l'opérateur / étant défini dans le domaine u, nous pouvons rétrécir son domaine à une
classe u' quelconque contenue dans la classe u.
5. Mais nous pouvons encore étendre le domaine de l'opérateur / de la manière
logique suivante :
Soit u' une classe qui contient la classe u et telle qu'il existe des u qui ne sont
pas des u ; et soit v une classe qui contient la classe v, l'identité entre les classes v, v'
n'étant pas exclue. Cela posé, et y étant un élément de la classe u' qui n'appartient
pas à la classe u, nous définissons (n. 1) fy comme un élément bien déterminé de la
classe v'.
Il s'ensuit alors que la classe u' (plus étendue que la classe u) est un des domaines
de l'opérateur /
L'élément fx, où x est un u\ est un des anciens éléments de la
classe v, si x est un u ; c'est un des nouveaux éléments de la classe v', si x est un u'
qui n'est pas un u.
Le procédé d'extension que nous venons d'indiquer a été souvent appliqué en
Mathématique. Voici des exemples :
Une fois définis les opérateurs sin, cos dans les domaines des nombres réels, on
étend le domaine aux nombres complexes, et sin, cos sont encore des opérateurs sujets
aux lois que nous venons d'établir au n. 1. Pour l'opérateur log on suit en Analyse
L'ALGORITHME DES SYMBOLES DE FONCTION ET D'OPERATION
483
un procédé bien différent; log est, dans le domaine des nombres complexes, un
opérateur polydrome, tandis que dans le domaine des nombres réels il est un opérateur
monodrome.
L'opérateur différentiel vectoriel grad a pour domaine ordinaire la classe nombre
réel. M. Marcolongo et moi, nous avons étendu le domaine de l'opérateur grad à la
classe homographie vectorielle, qui contient la classe nombre réel.
De même pour l'opérateur A dont le domaine ordinaire est la classe nombre réel.
6.
Parmi les domaines de l'opérateur / existe-t-il un domaine maximum ?
Le procédé logique que nous venons de donner au n. 5 pour étendre à la classe u
le domaine de l'opérateur / ne limite pas l'extension de la classe u', et la classe u'
pourrait bien être la classe totale. Mais alors un seul symbole serait suffisant pour
indiquer plusieurs opérateurs avec des domaines différents entre eux.
Donc l'opérateur/ doit nécessairement avoir un domaine pratique maximum qui
évidemment dépend de l'état de nos connaissances, état effectif ou supposé. Nous
allons fixer bientôt (n. 8) un criterium général pour établir le domaine pratique maximum d'un opérateur. Avant tout nous devons examiner comment les propriétés d'un
opérateur dépendent du domaine dans lequel l'opérateur même est appliqué, c.-à-d.
dépendent du domaine maximum relatif que nous imposons à l'opérateur.
7. Soit / un (# u) v et xi une classe contenue dans la classe u.
par la notation
Nous indiquons
w
/i«'
l'opérateur $ tel que :
1° cj) est un (*u')v, tel que si x est un élément arbitraire de la classe u', on ait
toujours (fix —fx ;
2° la classe u est le domaine maximum relatif que nous imposons à l'opérateur <£.
Les propriétés de l'opérateur (1) dépendent de l'opérateur / et de la classe u.
Voici des exemples :
Exemple 1er. Des opérateurs
7T~7r
sm i - 2 g
.
sm
i °M ^
le premier est réversible, le second ne l'est pas.
Exemple 2ème.
L'opérateur vectoriel différentiel du second ordre
rot grad
est toujours nul si son domaine maximum est formé par les nombres réels fonctions
d'un point. Au contraire il n'est pas nécessairement nul,
rot grad = grad Rot,
si son domaine maximum est formé par les homographies vectorielles fonctions d'un
point. C.-à-d.
grad rot \ nombre réel = 0
grad rot i homographie vectorielle ^ 0, en général.
31—2
484
C. BURALI-FORTI
Exemple 3 èrae .
Si s est un nombre réel et u est un vecteur, posons
a = s + u A.
L'opérateur
a \ vecteur normale au vecteur u
est un quaternion de Hamilton, et précisément le quaternion ß tel que
Sß = s,
Au contraire l'opérateur
V/3 = u.
a \ vecteur
n'est pas un quaternion mais une homographie dont la dilatation est le nombre 6* et
le vecteur est u ; c'est-à-dire l'homographie 7 telle que
J)y = s,
V Y = U.
On en tire aisément que l'homographie 7 n'est pas un quaternion en
observant que
2
2
2
7 = {(s - u ) + (2su) A } + H (u, u)
n'est pas un quaternion dans le domaine maximum "vecteur," tandis que le carré
d'un quaternion est toujours un quaternion.
Exemple 4 ème . Pour les opérateurs A, A' que M. Marcolongo et moi nous
avons introduits sous cette forme, on a la correspondance suivante avec la notation
complète de Hamilton :
A i nombre réel = — V2 \ nombre réel,
A' i vecteur = — (I V 2 I _1 ) j quaternion droit
(ce qui prouve que A et A" sont des opérateurs bien distincts !).
L'opérateur
A j homographie
n'a pas de correspondant dans les notations quaternionnelles de Hamilton.
Les exemples que nous venons d'exposer prouvent que, pour établir quelles sont
les propriétés d'un opérateur en général, il est nécessaire de fixer le domaine dans
lequel nous voulons appliquer l'opérateur même.
Il n'est point nécessaire de faire un usage systématique de la notation (1); il
suffit d'en connaître l'existence et de l'employer dans les cas douteux.
8. Un même symbole ne doit jamais être employé pour indiquer deux ou plusieurs
opérateurs qui n'ont pas en commun l'algorithme formel. Voilà un criterium général
pour la formation du domaine maximum d'un opérateur. Voici des exemples.
Exemple 1er.—Soit ir un plan protectif et / l'opérateur réversible de la classe
(# point de ir) droite de ir
qu'on appelle habituellement polarité.
Dans la géométrie projective on indique par le même symbole/ la polarité inverse,
qui est un élément de la classe
(adroite de ir) point de ir.
Le domaine (maximum) de l'opérateur / e s t donc donné par la classe
"point de ir" vel "droite de ir"
(1),
L'ALGORITHME DES SYMBOLES DE FONCTION ET D'OPéRATION
485
et dans ce domaine l'opérateur / est réellement donné par deux opérateurs bien
distincts dont l'un est l'inverse de l'autre, car
f\ droite de ir = (f\ point de
TT)-1.
Toutefois, en vertu du principe de dualité, l'algorithme formel de l'opérateur
f\ point de TT
est identique à l'algorithme formel de l'opérateur inverse, et il n'y a pas d'inconvénients
à donner à l'opérateur / le domaine maximum (1).
Ce que nous venons de dire est applicable à la polarité dans une étoile (de
droites et de plans) et à l'opérateur index, de Grassmann.
Exemple 2ème.—Soient TT, TT des plans (classes de points), 0 un point qui
n'appartient pas à la classe
7T vel TT'
(1),
et / ^'opérateur {% TT) TT' qui, appliqué à un point x de TT, donne le point projection de
x fait du point 0 sur le plan TT' (prospectivité de centre 0).
Dans la Géométrie projective on indique par le même symbole / l'opérateur/ - 3 ;
c.-à-d. que / réprésente un opérateur dans le domaine (1) tel que
/iTT'= ( / » - > .
Dans ce cas, étendre le domaine de l'opérateur / à la classe TT' représente une
acception primitive et incomplète du concept de fonction, car par ex. les opérateurs
/ ; 7T,/î TT' ont, chacun, une droite limite, tandis que f\ (TT vel TT') a deux droites limites
qui ont des propriétés géométriques bien différentes.
Exemple 3ème.—Si dans l'exemple précédent nous considérons le cas limite
7T = 7T/, f\ (irvel TT'), identique à f\ TT, est une homologie et on a
/ìTT
= ( » ) - :
ce qui est absurde, c a r / n ' e s t pas, en général, une homologie harmonique.
Dans ce cas l'acception primitive et incomplète du concept de fonction conduit
à un absurde, ce qui n'empêche pas que cet absurde est habituel dans la Géométrie
projective.
Exemple 4ème.—On indique, d'ordinaire, avec un même symbole (A2, A2, ...)
l'opérateur qui a pour tachygraphe cartésien Y opérateur de Laplace.
M. Marcolongo et moi nous avons décomposé cet opérateur en deux opérateurs
distincts A et A' tels que
A est un (* homographie) homographie
A'
„
(& vecteur) vecteur,
car les propriétés formelles de A et A' sont bien différentes, comme il résulte des
formules suivantes
/A N
J (d(ax)
dx)
dx
(Aa) x = grad | - ^ - 2a ^
+ CL grad ^ ,
A' u = grad -jp = grad div u — rot2 u,
486
C. BURALI-FORTI
rot A7 = A' rot = - rot3
Rot A = A Rot = - Rot3
grad A = A'grad = grad i p g r a d
A/2 = grad A div - rot A' rot
A2 n'a pas de formule correspondante.
L'opérateur unique (A2, A2, ...) correspond aussi dans ce cas à une acception
primitive et incomplète du concept de fonction.
Nous croyons que les exemples que nous venons de donner sont suffisants et
qu'il n'est pas indispensable d'indiquer les aberrations formelles qui ont conduit des
auteurs à indiquer par les notations
v
sin (uv), cos (uv), le produit vectoriel et scalaire du vecteur u par le vecteur v, la dyade H (u, v), ou à
indiquer par
(u grad) v
le vecteur
-j^ u
dF
qui n'a pas de relation avec le gradient.
9. Symboles d'opération.
Si u, v, w sont des classes quelconques par la notation
(u*v)w
(1)
nous indiquons la classe " symbole d'opération entre les u et les v qui produit un tv."
La définition formelle de la classe (1) est la suivante ; La classe (u*v)w
formée par tout symbole o tel que :
est
1°. Quel que soit l'élément x de la classe u et l'élément y de la classe v, le
symbole o placé entre x et y donne un élément bien déterminé de la classe w, qui
reste indiqué par la notation
xoy
et qui dépend de x et y selon une loi déterminée.
2°. Si x, x' sont des éléments de la classe u et y, y' des éléments de la classe v
les conditions
x = x', y = y
entraînent la condition
x o y = x' O y'.
Par exemple:
+ , — , x sont des (nombre # nombre) nombre,
/ est un (nombre * nombre non nul) nombre,
+ , —, A sont des (vecteur * vecteur) vecteur,
x est un (vecteur * vecteur) nombre réel.
Lorsqu'il n'est point nécessaire d'indiquer explicitement la classe w nous disons
que o est un " symbole d'opération entre les u et les v " : la classe " symbole d'opération entre les u et les v " peut être indiquée par la notation (u # v).
L'ALGORITHME DES SYMBOLES DE FONCTION ET D'OPéRATION
10.
487
Pour abréger l'écriture, nous écrivons, avec M. Peano,
u'. v
au lieu de "classe des couples (x, y), x et y variant, respectivement, dans les
classes u, v."
Si / est un opérateur (binaire) de la classe
{*(u'.v)} w
(1)
alors il existe un élément o de la classe
(u*v)w
et un seul, tel que
(2)
xoy=f(x, y).
Réciproquement, si o est un élément de la classe (2) il existe un, et un seul,
élément / de la classe (1) tel que
f(x,y) = xoy.
On peut donc établir une correspondance réversible entre les éléments des deux
classes
{* (u \ v)} w,
(u*v)w:
c.-à-d. que dans un algorithme quelconque on peut, logiquement, substituer à un symbole
d'opération, un symbole de fonction binaire, et réciproquement.
11. De la remarque que nous venons de faire découle la question pratique
suivante :
Doit-on, dans un algorithme, donner la préférence aux symboles d'opération,
ou aux opérateurs binaires ?
Il n'est pas possible de donner une réponse générale.
particuliers qui se présentent pratiquement.
Il faut examiner les cas
(a) Au lieu des symboles d'opération + , x dont on fait usage en Algèbre,
mettons les opérateurs binaires a, TT, c.-à-d. écrivons, x, y étant des nombres,
a (x, y)=x + y, Tr(x,y) = xx y.
Les formules ordinaires et très simples de l'Algèbre, par ex.
(x -f y) -f z = x -f- (y + z),
(xx y) x z — x(y x z),
(x + y)xz — xxz + yxz
prennent la forme suivante :
a [a (x, y), z} = a {x, a (y, z)},
TT
TT {TT (X,
y), z} =
TT {X, TT
(y, z)},
{<r (x, y), z] = a [TT (X, Z), TT (y, z)},
qui est presque illisible.
On peut conclure: Si des symboles d'opération ont un algorithme identique ou
semblable à celui des symboles + , —, x , / , de l'Algèbre, la substitution des opérateurs
binaires aux symboles d'opération donne lieu à des formules presque illisibles ; cette
substitution n'est donc pas à faire.
Pour cette raison aussi, M. Marcolongo et moi nous avons refusé les notations
S (uv), V (uv) pour le produit intérieur et vectoriel, lorsqu'on ne fait pas usage des
488
C. BURALI-FORTI
quaternions. Il faut observer que, dans la théorie des quaternions, S et V sont des
opérateurs mais non des opérateurs binaires ; d'où l'absurdité de la notation usuelle.
De même pour les notations à système cellulaire
(uv),
[uv],
avec la circonstance agravante que le symbole de fonction binaire est formé par deux
parenthèses, contrairement à toutes les règles très répandues de l'algorithme*algébrique, qui donne aux parenthèses le seul rôle de grouper.
(b) Soit o un des symboles d'opération (u*v)w
de la classe u.
et soit a un élément arbitraire
Par la définition formelle (n. 1) d'opérateur il résulte que le symbole composé
ao
est un élément de la classe (* v) w. Le symbole o donne donc naissance a une infinité
d'opérateurs entre les v et les w ; un élément arbitraire a de la classe u détermine un
de ces opérateurs.
Au contraire, s i / e s t un opérateur de la classe {*(u '. v)} w et
f(a,y)
= aoy,
alors l'opérateur b i n a i r e / n e donne pas naissance à un opérateur explicite comme a o .
Par ex. M. Marcolongo et moi nous avons obtenu par les symboles d'opération
A, x les opérateurs
uA, u x ,
le premier desquels donne la forme générale de Y homographie axiale qui est d'un
usage continu dans les applications physico-mécaniques.
Voila une autre des
puissantes raisons pour lesquelles nous avons refusé les notations S (uv), V (uv),
(uv), [uv].
On peut conclure : Si le symbole d'opération o donne naissance à des opérateurs
a o qui ont une grande importance dans un algorithme, on doit donner la préférence au
symbole d'opération plutôt qu'au symbole de fonction binaire.
(c) Au contraire : si des symboles d'opération ont un algorithme très différent de
celui des symboles +, —, x, / de l'Algèbre, et s'ils ne donnent pas naissance à des
opérateurs importants, on aura, en général, avantage à remplacer de tels symboles par
des symboles de fonction binaire.
Par ex.
M. Marcolongo et moi nous avons indiqué par la notation
H(u,v),
avec le symbole de fonction binaire H, la dyade que Gibbs indique par la notation
vu
produit-dyadique de u par v, le symbole d'opération étant sous-entendu. Il est
facile de reconnaître que notre notation est plus avantageuse dans le calcul vectoriel
que celle de Gibbs.
12. En Analyse on sous-entend, presque toujours, le symbole x entre deux
nombres x, y et on écrit simplement xy au lieu de x x y.
L'ALGORITHME DES SYMBOLES DE FONCTION ET D'OPéRATION
489
En général : est-il possible logiquement, est-il avantageux pratiquement, de sousentendre le symbole générique o d'opération et d'écrire simplement xy au lieu de xoy?
Soit o un symbole de la classe
(u *v)w
et convenons d'écrire toujours xy au lieu de xoy.
De la définition formelle
d'opérateur (n. 1) il résulte alors que x, élément arbitraire de la classe u, est un
(*v)w, c.-à-d. que la classe u est contenue dans la classe (*v)w.
Donc : La définition formelle d'opérateur (n. 1) une fois admise, et u n'étant pas
contenue dans la classe (# v) w, il n'est pas logiquement possible d'indiquer, tout court,
avec la notation xy l'élément xoy de la classe w.
La condition " u n'est pas contenue dans la classe (# v) w " est nécessaire. Soit
par exemple / un (# v) w et pour le " produit fonctionnel, fx, de / par x," introduisons
le symbole O tel que
fox
Il s'ensuit que
=fx.
/o =/;
et comme / o et / sont des éléments de la classe (*v)w, l'égalité / o = / n'est pas
absurde ; bien plus, c'est une identité. En d'autres termes le symbole d'opération
pour le produit fonctionnel de / par x est inutile.
Soit à présent u une classe qui n'est pas contenue dans la classe (# v) w. Le
symbole o une fois donné nous pouvons convenir, pour abréger l'écriture, de sousentendre le symbole o; bien entendu sous-entendre et non supprimer d'une
manière absolue. Le symbole o doit être toujours à notre disposition pour l'écrire
dans tous les cas douteux ou toutes les fois qu'il se présentera comme formellement
nécessaire ainsi que dans les exemples du n. 2.
Il est évident qu'une fois que l'on aura fait la convention de sous-entendre un
symbole déterminé de la classe
(u * v) w
il ne sera plus possible de sous-entendre aucun autre symbole de la même classe ; ni
même de sous-entendre un des symboles quelconque de la classe (u # v) w'.
La possibilité logique, au moins formelle, étant admise, l'utilité pratique est
évidente pour un symbole o qui paraît continuellement dans les calculs.
En Algèbre les symboles + , x sont presque aussi souvent employés l'un que
l'autre. A quoi attribuer la suppression de x et non de H- ? Probablement au fait
que dans des expressions contenant + et x le symbole + est un séparateur et x un
agrégatif; par exemple
x + yxz
= x + (yxz)=f=(x +
y)xz
xx y + z xu = (xx y) + (zx u)=fcx x(y + z) x u.
Dans le calcul géométrique de Grassmann on peut sous-entendre le symbole du
produit alterné qui èst d'un usage continu. L'usage des parenthèses dans la notation
allemande est absolument inutile, tandis que quelquefois il est nécessaire d'avoir à sa
disposition le symbole du produit alterné (symbole d'opération).
490
C. BURALI-FORTI
De même suivant Hamilton on peut sous-entendre le symbole du produit
fonctionnel entre deux opérateurs (n. 13).
Les cas que nous venons de citer sont les seuls dans lesquels (à part la possibilité
logique) on puisse sous-entendre le symbole d'opération sans se heurter à de gros
obstacles formels.
13. Prodtdts des opérateurs. Soient u, v, w des classes, a un opérateur de la
classe (*• u) v et ß un opérateur de la classe (# v) îU.
On appelle produit (fonctionnel) de a par ß, l'opérateur 7 de la classe (*• u) iv tel
que, quel que soit l'élément x de la classe u, on ait
yx = ß (ax)
(1).
L'élément 7 de la classe (* u) w reste donc défini par la relation (1) comme une
fonction binaire des opérateurs ß, a. On peut donc définir un opérateur f tel que
Y =/(£,«),
ou bien définir un symbole d'opération o tel que
7 = ß o a.
Dans les deux cas la relation (1) donne
\f(ß,a))x
(ßoa)x
= ß(ax)
(2),
= ß(ax)
(3).
On voit aisément que les premiers membres des relations (2), (3) sont plus
compliqués que le deuxième ; le premier membre de la relation (3) est plus simple
que le premier membre de la relation (2).
Il vaut donc mieux donner la préférence au symbole d'opération. Mais le
produit fonctionnel est d'un usage si continu et si étendu qu'il semble préférable
de sous-entendre le symbole o et d'écrire simplement ßa, c.-à-d. de mettre
(/3a) x = ß (ax)
et, par conséquent, d'écrire
ßax
sans parenthèses, car les deux groupements (ßa) x, ß (ax) ont la même signification.
Nous convenons donc de sous-entendre toujours le symbole d'opération pour le
produit (fonctionnel) des opérateurs.
Cette convention faite, il résulte par ex. que ß est un élément des deux classes
(n. 12)
(# u) v, [* {(* u) v}] {(# u) v] ;
ce qui est absurde, en général.
14. La convention que nous venons de faire donne naissance à de nouveaux
opérateurs qui ont une grande importance formelle.
Soient u, v, w des classes quelconques; o un symbole d'opération de la classe
(u * v) w ; a un opérateur de la classe (*• u) v. Si a est un élément de la classe u,
alors a o (11 (b)) est un symbole d'opération de la classe (*v)w. Etant
a
ao
un élément de (* u) v
„
(#v)w
L'ALGORITHME DES SYMBOLES DE FONCTION ET D'OPéRATION
491
on peut considérer (n. 13) le produit (fonctionnel) de l'opérateur a par l'opérateur a o.
Un tel produit, en vertu de la convention que nous venons d'établir au n. 13, reste
indiqué par la notation
(ao)a
ou, plus simplement encore, par la notation
aoa,
car le groupement a (o a) n'a point de signification.
Si u est un vecteur et a est une homographie vectorielle, alors
u A a est une homographie vectorielle j
u x a est un (# vecteur) nombre réel j
L'homographie u A a est d'un usage continu dans les applications physicomécaniques.
Gibbs obtient les éléments (1), non comme produit (fonctionnel) de deux
opérateurs, mais par le moyen d'une définition directe du produit d'un vecteur
par une dyadique. Le calcul qui en résulte est bien compliqué, car il n'est pas sujet
aux lois formelles du produit des opérateurs établies d'une manière géniale, complète
et simple par Hamilton.