Cours Info - 11 - mpsi-lycee-saint

Cours Info - 11
Algorithmes de recherche
D.Malka
MPSI 2016-2017
D.Malka
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Sommaire
Sommaire
1
Les tableaux
2
Recherche d’un nombre dans une liste
Liste quelconque : recherche séquentielle
Liste triée : recherche dichotomique
3
Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
4
Recherche du zéro d’une fonction continue monotone
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Les tableaux
Sommaire
1
Les tableaux
2
Recherche d’un nombre dans une liste
Liste quelconque : recherche séquentielle
Liste triée : recherche dichotomique
3
Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
4
Recherche du zéro d’une fonction continue monotone
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Les tableaux
Exemple
La structure de Tableau
Définition
Tableau
Un tableau est une suite de valeurs stockées dans des cases mémoires contigües.
En Python, la structure de données correspondant aux tableaux est le type list. Python
autorise les listes stockant des variables de types différents.
Nous nous restreindrons à des tableaux dont les éléments sont tous de même type.
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Les tableaux
Exemples
La structure de Tableau
Exemples
Tableau d’entiers
indice
elt
0
4
1
75
2
6
3
93
4
101
5
3
6
12
Tableau de caractères
indice
elt
0
’a’
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1
’e
2
’i’
3
’o’
4
’u
5
’y’
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Les tableaux
Quelques rappels
La structure de Tableau
Création, manipulation
Quelques rappels en Python
I
Création T=[1,2,3,....]
I
Lecture de l’élément d’indice i : T[i]
I
Modification de l’élément d’indice i : T[i]=3
I
Insertion en queue : T.append(elt)
I
Insertion : T.insert(indice,elt)
I
Suppression : del(T[indice]) ou T.remove(elt)
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Les tableaux
Quelques rappels
La structure de Tableau
Création, manipulation
Quelques rappels en Python
I
Slicing : T[i:j] renvoie un sous-tableau contenant les éléments d’indice
i(inclus) à j(exclu) de T
I
Concaténation : [1,2,3]+[3,2,1] → [1,2,3,3,2,1]
I
Revoir le chapitre 5 ...
I
et la documentation Python
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Les tableaux
Quelques rappels
La structure de Tableau
Parcours des éléments d’un tableau
On considère le tableau (ou la liste) T. Comment le parcourir en Python ?
Méthode 1 :
1
2
for i in range(len(T)):
T[i]
Méthode 2 :
1
2
for elt in T:
elt
Méthode 3 :
1
2
for indice, elt in enumerate(T):
elt,indice
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Recherche d’un nombre dans une liste
Sommaire
1
Les tableaux
2
Recherche d’un nombre dans une liste
Liste quelconque : recherche séquentielle
Liste triée : recherche dichotomique
3
Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
4
Recherche du zéro d’une fonction continue monotone
D.Malka
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste quelconque : recherche séquentielle
Recherche séquentielle d’un nombre dans une liste
Principe
Recherche séquentielle : principe
I
Parcourir le tableau
I
Comparer chaque élément parcouru à l’élément recherché
I
Si l’élément est trouvé, quitter la boucle et renvoyer l’indice de l’élément
(plus précisément de la 1ère occurrence)
I
Arrivé au dernier élément du tableau, quitter la boucle et renvoyer NULL
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste quelconque : recherche séquentielle
Recherche séquentielle d’un nombre dans une liste
Algorithme
Algorithme 1 : Recherche séquentielle d’une valeur
1
fonction Recherche_sequentielle(T,x)
2
4
pour i de 0 à longueur(T)-1 faire
si T[i]==x alors
retourner i
5
retourner NULL
3
Complexité : O(n) où n est la longueur du tableau T.
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste quelconque : recherche séquentielle
Recherche séquentielle d’un nombre dans une liste
Algorithme
Implémentation en Python :
1
2
3
4
5
6
def recherche_seq(T,x):
n=len(T)
for i in range(n)
if T[i]==x:
return i
return None
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique
Principe
Existe-t-il un algorithme plus efficace que la recherche naïve ?
OUI si la liste est triée.
C’est la recherche dichotomique.
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique
Principe
Paradigme : « diviser pour régner »
Recherchons 15 dans le tableau d’entier croissant suivant :
1
0
2
1
8
2
15 425 532 648 771 881 999
3
32 > 15
0
1
2
1
8
2
15 425
3
8 < 15
15 425
3
15=15
ALGORITHME
TERMINE
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique d’un nombre dans une liste triée
Algorithme
Algorithme 2 : Recherche dichotomique d’une valeur
Entrées : Entier x, tableau trié par ordre croissant T
Sorties : Indice de x dans T
1
fonction Recherche_dichotomique(T,x)
2
g=0
3
d=longueur(T)-1
4
tant que g<=d faire
m=(g+d)/2
5
6
7
8
9
10
11
12
si T[m]<x alors
g=m+1
sinon si T[m]>x alors
d=m-1
sinon
/*T[m]==x*/
retourner m
retourner NULL
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique d’un nombre dans une liste triée
Implémentation en Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
def rech_dicho(x,T):
g=0
d=len(T)-1
while g<=d:
m=(d+g)//2
if x>T[m]:
g=m+1
elif x<T[m]:
d=m-1
else :#x==T[m]:
return m
12
13
return None
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique d’un nombre dans une liste triée
Terminaison
Terminaison
Montrons que l’algorithme de recherche dichotomique termine.
On considère la suite {uk = dk − gk }.
Dans la boucle, {uk } est une suite :
I
Entière
I
Positive car gk ≤ mk ≤ dk
I
Strictement décroissante (uk +1 < uk ) car ∀ k , dk +1 < dk ou gk +1 > gk
Donc l’algorithme termine.
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique d’un nombre dans une liste triée
Exactitude
Montrons que si x est dans T alors l’algorithme renvoie i l’indice de x dans le tableau.
Pour cela, montrons que Pk : x ∈ [T [gk ], T [dk ]] ou x = T [mk ] est un invariant de boucle.
Initialisation
Pour k = 0 :
I
d0 = n − 1, g0 = 0
I
Par hypothèse x ∈ T donc x ∈ [T [g0 ], T [d0 ]]
I
P0 est vraie
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique d’un nombre dans une liste triée
Exactitude
Montrons que Pk ⇒ Pk +1
Hérédité – Cas 1 : x = T [mk +1 ]
Cas trivial : Pk +1 est vraie.
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique d’un nombre dans une liste triée
Exactitude
Montrons que Pk ⇒ Pk +1 .
Hérédité – Cas 2 : x < T [mk +1 ]
Si x < T [mk +1 ] alors :
I
mk +1 =
dk + gk
I
2
gk +1 = gk or par hypothèse Pk est vrai donc x ≥ T [gk ] donc x ≥ T [gk +1 ]
I
dk +1 = mk +1 − 1 or x < T [mk +1 ] donc x ≤ T [mk +1 − 1] soit x ≤ T [dk +1 ]
I
Les deux dernières assertions sont équivalentes à x ∈ [T [gk +1 ], T [dk +1 ]] soit à
Pk +1
I
Donc Pk ⇒ Pk +1
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique d’un nombre dans une liste triée
Exactitude
Montrons que Pk ⇒ Pk +1 .
Hérédité – Cas 3 : x > T [mk +1 ]
Si x > T [mk +1 ] alors :
I
mk +1 =
dk + gk
I
2
dk +1 = dk or par hypothèse Pk est vrai donc x ≤ T [dk ] donc x ≤ T [dk +1 ]
I
gk +1 = mk +1 + 1 or x > T [mk +1 ] donc x ≥ T [mk +1 + 1] soit x ≥ T [gk +1 ]
I
Les deux dernières assertions sont équivalentes à x ∈ [T [gk +1 ], T [dk +1 ]] soit à
Pk +1
I
Donc Pk ⇒ Pk +1
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique d’un nombre dans une liste triée
Exactitude
Finalement :
I
Soit x a été trouvé avant la dernière itération.
I
Soit à la dernière itération d = g = m et donc d’après l’invariant de boucle
x = T [m] donc x est trouvé.
I
La démonstration est complète si l’algorithme retourne NULL si x n’est pas
dans le tableau ce qui assuré par la négation de la condition x == T [m] et par
la terminaison de l’algorithme.
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique d’un nombre dans une liste triée
Complexité
La complexité de la recherche dichotomique est O(log2 (n)) où n est la taille du tableau.
Démonstration par récurrence sur la diapo suivante.
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Recherche d’un nombre dans une liste
Liste triée : recherche dichotomique
Recherche dichotomique d’un nombre dans une liste triée
Complexité
Preuve
n
2k
Montrons par récurrence qu’à l’itération k , lk = dk − gk ≤
où n est la longueur du tableau.
I Initialisation : pour k = 0, l0 = n − 1 − 0 + 1 = n cqfd
I Hérédité :
Pk : lk <
n
2k
vraie
montrons Pk +1 : lk +1 <
n
2k +1
à la (k + 1)ieme itération :
mk +1 =
•
•
dk +gk
2
et :
soit dk +1 = mk +1 − 1 et gk +1 = gk ,
soit ou gk +1 = mk +1 + 1 et dk +1 = dk .
cas où gk +1 = mk +1 + 1 et dk +1 = dk : lk +1 = dk +1 − (mk +1 + 1) + 1 = dk −
donc lk +1 =
lk
2
≤
n
2k +1
dk +gk
2
+1 =
dk −gk
2
or
lk
2
=
(dk −gk )+1
2
: cqfd.
cas où dk +1 = mk +1 − 1 et gk = gk +1 : même raisonnement.
I donc ∀k , lk <
n
2k
.
A la sortie de la boucle k = N, et au pire, l = 1 tableau à un élément. Donc 1 ≤
n
2N
⇔ N ≤ log2 (n). La complexité au pire de
l’algorithme est donc O(log2 (n)).
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Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
Sommaire
1
Les tableaux
2
Recherche d’un nombre dans une liste
Liste quelconque : recherche séquentielle
Liste triée : recherche dichotomique
3
Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
4
Recherche du zéro d’une fonction continue monotone
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25 / 31
Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
Le problème
Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
Le problème
Recherche d’un motif dans un texte
On souhaite rechercher toutes les occurrences d’une chaine de caractère motif de
longueur m dans une chaine de caractères texte de longueur n.
On supposera m ≤ n.
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Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
Algorithme naïf
Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
Algorithme naïf
Algorithme 3 : Recherche d’une chaîne de caractère
Entrées : String motif, string texte
Sorties : Liste des positions du motif (premier caractère)
1
fonction Recherche_motif(motif,texte)
2
position_motif=[]
3
n=longueur(texte)
4
m=longueur(motif)
5
pour i allant de 0 à n-m-1 faire
j=0
6
8
tant que j<m et texte[i+j]==motif[j] faire
j=j+1
9
si j==m alors
7
10
11
/*Alors texte[i+j]==motif[j] a toujours été vraie*/
Ajouter i à position_motif
retourner position_motif
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Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
Implémentation en Python
Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
Algorithme naïf – Implémentation en Python
1
def rech_motif(mot,t):
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
liste_pos=[]
n=len(t)
m=len(mot)
for i in range(n-m):
j=0
while(j<m and t[i+j]==mot[j]):
j+=1
if j==m:
liste_pos.append(i)
return liste_pos
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Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
Complexité
Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
Algorithme naïf – Complexité
Complexité
I
Unité de mesure : les comparaisons
I
Boucle for : une boucle while n − m fois et n − m comparaisons
(embranchement)
I
Boucle while : au pire on trouve à chaque fois le motif ⇒ 2m comparaisons
I
Boucle while : au mieux on ne trouve jamais le motif ⇒ 2 comparaisons
I
Complexité au pire : O(m(n − m)).
I
Complexité au mieux : O(n − m).
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Recherche du zéro d’une fonction continue monotone
Sommaire
1
Les tableaux
2
Recherche d’un nombre dans une liste
Liste quelconque : recherche séquentielle
Liste triée : recherche dichotomique
3
Recherche d’un mot dans une chaîne de caractères
4
Recherche du zéro d’une fonction continue monotone
D.Malka
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Recherche du zéro d’une fonction continue monotone
Recherche du zéro d’une fonction continue monotone
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