Propriétés des angles dans les polygones

94 Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles
Propriétés des angles dans
les polygones
Déterminer les propriétés des angles dans les polygones et
résoudre des problèmes à l’aide de ces propriétés.
ANALYSE d’un problème
À la leçon 2.3, tu as fait la preuve de diverses propriétés relatives aux angles
intérieurs et extérieurs des triangles. Tu peux utiliser ces propriétés pour
dégager des relations générales relatives aux angles intérieurs et extérieurs
des polygones.
Quel lien le nombre de côtés d’un polygone a-t-il avec la somme
de ses angles intérieurs et la somme de ses angles extérieurs?
1re partie : Angles intérieurs
A. Giuseppe dit qu’il peut déterminer la somme
des mesures des angles intérieurs de ce
quadrilatère en traçant des diagonales dans
le schéma. A-t-il raison? Explique ta réponse.
B. Détermine la somme des mesures des angles
intérieurs de tout quadrilatère.
C. Trace chacun des polygones énumérés dans le tableau ci-dessous.
Forme des triangles pour mieux déterminer la somme des mesures
des angles intérieurs des polygones. Inscris tes résultats dans un
tableau comme le suivant.
Polygone
Nombre
de côtés
Nombre
de triangles
Somme des mesures
des angles
triangle 3 1 180
°
quadrilatère 4
pentagone 5
hexagone 6
heptagone 7
octogone 8
D. Formule une conjecture au sujet de la relation entre la somme (S)
des mesures des angles intérieurs d’un polygone et le nombre (n)
de ses côtés.
E. Sers-toi de ta conjecture pour prédire la somme des mesures des angles
intérieurs d’un dodécagone (12 côtés). Vérifie ta prédiction à l’aide de
triangles.
?
BUT
MATÉRIEL NÉCESSAIRE
• un logiciel de géométrie
dynamique, ou un rapporteur
d’angle et une règle
2.4
EXPLORATION
• Le pentagone ci-dessous
possède trois angles droits
et quatre côtés d’égale
longueur. Quelle est la
somme des mesures
des angles intérieurs
du pentagone?

95
2.4 Propriétés des angles dans les polygones
2e partie : Angles extérieurs
F. Trace un rectangle. Prolonge
chaque côté du rectangle de
manière à avoir un angle
extérieur pour chaque angle
intérieur. Calcule la somme des
mesures des angles extérieurs.
G. Qu’observes-tu à propos de
la somme des mesures de
chaque angle extérieur de
ton rectangle et de son angle
intérieur adjacent? Cette
relation s’appliquerait-elle
aussi aux angles extérieurs
et intérieurs du quadrilatère
irrégulier ci-contre? Explique
ta réponse.
H. Formule une conjecture à propos de la somme des mesures des angles
extérieurs de tout quadrilatère. Vérifie ta conjecture.
I. Trace un pentagone. Prolonge chaque côté du pentagone de manière
que le pentagone ait un angle extérieur pour chaque angle intérieur.
D’après ton schéma, révise ta conjecture de manière à inclure les
pentagones. Vérifie ta conjecture révisée.
J. À ton avis, ta conjecture révisée vaudra-t-elle pour des polygones
de plus de cinq côtés? Explique ta réponse et trouve des exemples
à l’appui de ta conjecture ou un contre-exemple qui la réfute.
Réflexion
K. Compare les sommes des mesures des angles intérieurs des polygones
que tu as obtenues avec celles de tes camarades de classe. Crois-tu
que ta conjecture pour la question D sera vraie pour tout polygone?
Explique ta réponse.
L. Compare les sommes des mesures des angles extérieurs des polygones
que tu as obtenues avec celles de tes camarades de classe. Crois-tu que
ta conjecture pour la question I s’appliquera à tout polygone? Explique
ta réponse.
ad
wz
y
c
b
x
Le prolongement d’un côté
d’un polygone entraîne la
création de deux angles.
L’angle qui est considéré
comme l’angle extérieur est
adjacent à l’angle intérieur
au sommet.
angle
intérieur
adjacent
angle
extérieur
de communicationConseil

96 Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles
APPLICATION des calculs
exemple 1 Raisonner au sujet de la somme des angles
intérieurs d’un polygone
Prouve que la somme des mesures des angles intérieurs de tout
polygone convexe à n côtés est égale à
180°1n
2
22
.
La solution de Viktor
La somme des mesures des angles
intérieurs dans n triangles égale n(180
°
).
La somme des mesures des angles
intérieurs du polygone, S(n), pour
laquelle n est le nombre de côtés du
polygone, peut s’exprimer sous la forme:
S1n2
5
180°n
2
360°
S1n2
5
180°1n
2
22
La somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone convexe
peut s’exprimer sous la forme suivante:
180°1n
2
22
.
À toi de jouer!
Explique pourquoi on ne peut pas utiliser la solution de Viktor pour
montrer que l’expression
180°1n
2
22
s’applique aux polygones
concaves (non convexes).
C1
C8
C7
C6
C5
C
4
C3
C2
A
Cn
C1
C8
C7
C6
C5
C
4
C3
C2
A
Cn
Je trace un polygone à n côtés.
Je représente le énième (ne)
côté par une ligne pointillée.
Je choisis un point à l’intérieur
du polygone, puis je trace des
segments de droite à partir de ce
point jusqu’à chaque sommet du
polygone. Le polygone est donc
maintenant divisé en n triangles.
La somme des mesures des
angles intérieurs de chaque
triangle égale 180°.
polygone convexe
Polygone dont chaque angle
intérieur mesure moins de 180°.
non convexe
(concave)
convexe
Deux angles de chaque triangle
s’additionnent aux angles des
triangles adjacents pour former
deux angles intérieurs du
polygone.
Chaque triangle comporte aussi
un angle au sommet A. La
somme des mesures des angles
au sommet A est 360° parce
que ces angles font une rotation
complète. Ces angles ne font
pas partie de la somme des
angles intérieurs du polygone.
polygone concave
Polygone dont au moins un
angle intérieur mesure plus
de 180°.
concave non concave
(convexe)

97
2.4 Propriétés des angles dans les polygones
exemple 2 Raisonner au sujet des angles intérieurs
d’un polygone régulier
Les plans des meubles d’extérieur et des structures comme les gloriettes
comportent parfois un hexagone régulier. Détermine la mesure de
chaque angle intérieur d’un hexagone régulier.
La solution de Nazra
Soit S(n) représentant la somme des mesures des angles intérieurs
du polygone, où n est le nombre de côtés du polygone.
S1n25180°1n222
S162
5
180°3 162
2
24
S162
5
720°
720°
6
5120°
Chaque angle intérieur d’un
hexagone régulier mesure 120°.
À toi de jouer!
Détermine la mesure de chaque angle intérieur d’un pentadécagone
(15 côtés) régulier.
Comme un hexagone a six
côtés,
n56
.
Puisque les mesures des angles
intérieurs d’un hexagone régulier
sont égales, chaque angle doit
mesurer
1
6
de la somme des
angles.

98 Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles
exemple 3 Visualiser des dallages
Un carreleur couvre des planchers sur mesure en se servant de carreaux
de forme polygonale régulière. Le carreleur peut-il utiliser des octogones
réguliers congruents et des carrés congruents pour couvrir un plancher
si leurs côtés ont la même longueur?
La solution de Vanessa
S1n25180°1n222
S182
5
180°3 182
2
24
S182
5
1 080°
1 080°
8
5135°
Chaque angle intérieur d’un octogone
régulier mesure 135°.
Chaque angle intérieur d’un carré
mesure 90°.
Deux octogones s’assemblent bien
en formant un angle de 270°.
21135°2
5
270°
Il reste un intervalle de 90°.
21135°2
1
90°
5
360°
Un carré peut remplir cet intervalle
si les côtés du carré sont de la même
longueur que les côtés de l’octogone.
Le carreleur peut couvrir un plancher à l’aide d’octogones réguliers
et de carrés si la longueur des côtés des polygones est la même.
À toi de jouer!
Peut-on former un motif de carreaux avec des hexagones réguliers et des
triangles équilatéraux qui ont des côtés de la même longueur? Explique
ta réponse.
2(135)  90  360
Puisqu’un octogone a huit
côtés,
n58
.
Je commence par déterminer
la somme des mesures des
angles intérieurs d’un octogone.
Ensuite, je calcule la mesure de
chaque angle intérieur dans un
octogone régulier.
Je sais que trois octogones ne
s’assembleraient pas puisque
la somme de leurs angles serait
supérieure à 360°.
Je dessine ce que j’ai visualisé à
l’aide d’un logiciel de géométrie
dynamique.