Propriétés des angles dans les polygones

2.4
MATÉRIEL NÉCESSAIRE
• un logiciel de géométrie
dynamique, ou un rapporteur
d’angle et une règle
EXPLORATION
• Le pentagone ci-dessous
possède trois angles droits et quatre côtés d’égale longueur. Quelle est la
somme des mesures des angles intérieurs du pentagone ?
Propriétés des angles dans
les polygones
BUT
Déterminer les propriétés des angles dans les polygones et
résoudre des problèmes à l’aide de ces propriétés.
ANALYSE d’un problème
À la leçon 2.3, tu as fait la preuve de diverses propriétés relatives aux angles
intérieurs et extérieurs des triangles. Tu peux utiliser ces propriétés pour
dégager des relations générales relatives aux angles intérieurs et extérieurs
des polygones.
?
Quel lien le nombre de côtés d’un polygone a-t-il avec la somme
de ses angles intérieurs et la somme de ses angles extérieurs ?
1re partie : Angles intérieurs
A. Giuseppe dit qu’il peut déterminer la somme
des mesures des angles intérieurs de ce
quadrilatère en traçant des diagonales dans
le schéma. A-t-il raison ? Explique ta réponse.
B. Détermine la somme des mesures des angles
intérieurs de tout quadrilatère.
C. Trace chacun des polygones énumérés dans le tableau ci-dessous.
Forme des triangles pour mieux déterminer la somme des mesures
des angles intérieurs des polygones. Inscris tes résultats dans un
tableau comme le suivant.
Nombre
de côtés
Nombre
de triangles
Somme des mesures
des angles
triangle
3
1
180°
quadrilatère
4
pentagone
5
hexagone
6
heptagone
7
octogone
8
Polygone
D. Formule une conjecture au sujet de la relation entre la somme (S )
des mesures des angles intérieurs d’un polygone et le nombre (n)
de ses côtés.
E. Sers-toi de ta conjecture pour prédire la somme des mesures des angles
intérieurs d’un dodécagone (12 côtés). Vérifie ta prédiction à l’aide de
triangles.
94
Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles
2e partie : Angles extérieurs
F.
Conseil de communication
Trace un rectangle. Prolonge
chaque côté du rectangle de
manière à avoir un angle
extérieur pour chaque angle
intérieur. Calcule la somme des
mesures des angles extérieurs.
Le prolongement d’un côté
d’un polygone entraîne la
création de deux angles.
L’angle qui est considéré
comme l’angle extérieur est
adjacent à l’angle intérieur au sommet.
angle
intérieur
adjacent
angle
extérieur
G. Qu’observes-tu à propos de
la somme des mesures de
chaque angle extérieur de
ton rectangle et de son angle
intérieur adjacent ? Cette
relation s’appliquerait-elle
aussi aux angles extérieurs
et intérieurs du quadrilatère
irrégulier ci-contre ? Explique
ta réponse.
w a
z
d
c
y
b
x
H. Formule une conjecture à propos de la somme des mesures des angles
I.
J.
extérieurs de tout quadrilatère. Vérifie ta conjecture.
Trace un pentagone. Prolonge chaque côté du pentagone de manière
que le pentagone ait un angle extérieur pour chaque angle intérieur.
D’après ton schéma, révise ta conjecture de manière à inclure les
pentagones. Vérifie ta conjecture révisée.
À ton avis, ta conjecture révisée vaudra-t-elle pour des polygones
de plus de cinq côtés ? Explique ta réponse et trouve des exemples
à l’appui de ta conjecture ou un contre-exemple qui la réfute.
Réflexion
K. Compare les sommes des mesures des angles intérieurs des polygones
que tu as obtenues avec celles de tes camarades de classe. Crois-tu
que ta conjecture pour la question D sera vraie pour tout polygone ?
Explique ta réponse.
L. Compare les sommes des mesures des angles extérieurs des polygones
que tu as obtenues avec celles de tes camarades de classe. Crois-tu que
ta conjecture pour la question I s’appliquera à tout polygone ? Explique
ta réponse.
2.4 Propriétés des angles dans les polygones
95
APPLICATION des calculs
exemple
polygone convexe
Polygone dont chaque angle
intérieur mesure moins de 180°.
1
Raisonner au sujet de la somme des angles
intérieurs d’un polygone
Prouve que la somme des mesures des angles intérieurs de tout
polygone convexe à n côtés est égale à 180° 1n 2 22 .
La solution de Viktor
C4
C3
convexe
non convexe
(concave)
C5
C6
C2
A
C7
C1
C8
Cn
La somme des mesures des angles
intérieurs dans n triangles égale n(180°).
C4
C3
C5
C6
C2
A
C7
C1
Cn
polygone concave
Polygone dont au moins un
angle intérieur mesure plus de 180°.
concave
96
non concave
(convexe)
C8
Je trace un polygone à n côtés.
Je représente le énième (ne)
côté par une ligne pointillée.
Je choisis un point à l’intérieur
du polygone, puis je trace des
segments de droite à partir de ce
point jusqu’à chaque sommet du
polygone. Le polygone est donc
maintenant divisé en n triangles.
La somme des mesures des
angles intérieurs de chaque
triangle égale 180°.
Deux angles de chaque triangle
s’additionnent aux angles des
triangles adjacents pour former
deux angles intérieurs du
polygone.
Chaque triangle comporte aussi
un angle au sommet A. La
somme des mesures des angles
au sommet A est 360° parce
que ces angles font une rotation
complète. Ces angles ne font
pas partie de la somme des
angles intérieurs du polygone.
La somme des mesures des angles
intérieurs du polygone, S(n), pour
laquelle n est le nombre de côtés du
polygone, peut s’exprimer sous la forme :
S 1n2 5 180°n 2 360°
S 1n2 5 180° 1n 2 22
La somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone convexe
peut s’exprimer sous la forme suivante : 180° 1n 2 22 .
À toi de jouer !
Explique pourquoi on ne peut pas utiliser la solution de Viktor pour
montrer que l’expression 180° 1n 2 22 s’applique aux polygones
concaves (non convexes).
Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles
exemple
2
Raisonner au sujet des angles intérieurs
d’un polygone régulier
Les plans des meubles d’extérieur et des structures comme les gloriettes
comportent parfois un hexagone régulier. Détermine la mesure de
chaque angle intérieur d’un hexagone régulier.
La solution de Nazra
Soit S(n) représentant la somme des mesures des angles intérieurs
du polygone, où n est le nombre de côtés du polygone.
S 1n2 5 180° 1n 2 22
S 162 5 180° 3 162 2 2 4
S 162 5 720°
720°
5 120°
6
Chaque angle intérieur d’un
hexagone régulier mesure 120°.
Comme un hexagone a six côtés, n 5 6.
Puisque les mesures des angles
intérieurs d’un hexagone régulier
sont égales, chaque angle doit
1
mesurer de la somme des
6
angles.
À toi de jouer !
Détermine la mesure de chaque angle intérieur d’un pentadécagone
(15 côtés) régulier.
2.4 Propriétés des angles dans les polygones
97
exemple
3
Visualiser des dallages
Un carreleur couvre des planchers sur mesure en se servant de carreaux
de forme polygonale régulière. Le carreleur peut-il utiliser des octogones
réguliers congruents et des carrés congruents pour couvrir un plancher
si leurs côtés ont la même longueur ?
La solution de Vanessa
S 1n2 5 180° 1n 2 22
S 182 5 180° 3 182 2 2 4
S 182 5 1 080°
1 080°
5 135°
8
Chaque angle intérieur d’un octogone
régulier mesure 135°.
Chaque angle intérieur d’un carré
mesure 90°.
Deux octogones s’assemblent bien
en formant un angle de 270°.
2 1135°2 5 270°
Il reste un intervalle de 90°.
2 1135°2 1 90° 5 360°
Un carré peut remplir cet intervalle
si les côtés du carré sont de la même
longueur que les côtés de l’octogone.
Puisqu’un octogone a huit côtés, n 5 8.
Je commence par déterminer
la somme des mesures des
angles intérieurs d’un octogone.
Ensuite, je calcule la mesure de
chaque angle intérieur dans un
octogone régulier.
Je sais que trois octogones ne
s’assembleraient pas puisque
la somme de leurs angles serait
supérieure à 360°.
2(135) 90 360
Je dessine ce que j’ai visualisé à
l’aide d’un logiciel de géométrie
dynamique.
Le carreleur peut couvrir un plancher à l’aide d’octogones réguliers
et de carrés si la longueur des côtés des polygones est la même.
À toi de jouer !
Peut-on former un motif de carreaux avec des hexagones réguliers et des
triangles équilatéraux qui ont des côtés de la même longueur ? Explique
ta réponse.
98
Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles
En résumé
Idée principale
• Tu peux faire la preuve des propriétés des angles dans les polygones à l’aide d’autres propriétés des angles dont l’existence a été prouvée
précédemment.
Ce qu’il faut savoir
• La somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone convexe à n côtés peut s’écrire ainsi : 180°(n 2 2).
• La mesure de chaque angle intérieur d’un polygone régulier est
180° 1n 2 22
.
n
• La somme des mesures des angles extérieurs de tout polygone convexe égale 360°.
VÉRIFIE ta compréhension
1. a) Calcule la somme des mesures
des angles intérieurs d’un dodécagone
régulier.
L
b) Calcule la mesure de chaque angle
intérieur d’un dodécagone régulier. W
N
M
O
P
Q
R
V
S
U
T
2. Calcule la somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone
convexe à 20 côtés.
3. La somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone inconnu
égale 3 060°. Détermine le nombre de côtés de ce polygone.
Mise en APPLICATION
4. Les abeilles construisent des
alvéoles pour emmagasiner
leur miel. La forme de chaque
alvéole est grossièrement
hexagonale. Explique pourquoi
un hexagone régulier peut
servir à carreler une surface.
2.4 Propriétés des angles dans les polygones
99
5. Est-il possible de former un motif de carreaux avec des
parallélogrammes ? Explique ta réponse.
6. Calcule la mesure de chaque angle intérieur
d’une pièce d’un dollar.
7. Chaque angle intérieur d’un polygone convexe régulier mesure 140°.
a) Prouve que le polygone a neuf côtés.
b) Vérifie que la somme des mesures des angles extérieurs égale 360°.
8. a) Calcule la mesure de chaque angle extérieur d’un octogone régulier.
b) Sers-toi de ta réponse à la question a) pour déterminer la mesure
de chaque angle intérieur d’un octogone régulier.
c) À l’aide de ta réponse à la question b), calcule la somme des angles
intérieurs d’un octogone régulier.
d) À l’aide de la fonction
S 1n2 5 180° 1n 2 22 ,
calcule la somme des angles intérieurs d’un octogone régulier.
Compare ta réponse avec la somme que tu as déterminée à la
question c).
9. a) Wallace affirme que les côtés opposés de tout hexagone régulier
sont parallèles. Es-tu d’accord ? Justifie ta réponse.
b) Formule une conjecture à propos des côtés parallèles dans les
polygones réguliers.
À l’œuvre et à l’épreuve !
Des maisons « circulaires »
La surface des murs extérieurs d’un bâtiment construit
selon un plan circulaire est inférieure de 11% à celle
d’un bâtiment de même aire construit selon un plan
carré. Comme les pertes de chaleur en hiver sont
moindres, cela permet de réduire les frais de chauffage.
En réalité, le plan de base des bâtiments « circulaires » est généralement un polygone régulier.
• Détermine les mesures des angles extérieurs d’un plan
en forme de polygone régulier à 12, à 18 et à 24 côtés.
Explique pour quelle raison un bâtiment sera de plus
en plus circulaire à mesure que le nombre de ses côtés
augmentera.
• Énumère certaines limites pratiques au nombre de côtés qu’un bâtiment peut avoir.
• En tenant compte de ces limites pratiques, propose un nombre optimal de côtés pour une maison. Esquisse le plan de cette maison selon ce nombre de côtés.
100
Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles
10. LMNOP est un pentagone régulier.
a) Détermine la mesure de /OLN.
b) Quelle sorte de triangle est le ^LON ?
Explique comment tu le sais.
L
M
P
O
N
11. Sandrine a conçu ce logo pour les chandails
que portent les joueuses de son équipe de
balle molle. Elle a dit à l’infographiste
que, d’après ses calculs, chaque angle
intérieur du décagone régulier est censé
mesurer 162° :
180° 110 2 12
S 1102 5
10
1 620°
S 1102 5
10
S 1102 5 162°
Trouve l’erreur qu’elle a faite et détermine l’angle juste.
12. Astrid affirme qu’on
peut tracer des segments
de droite à travers un
convexe
polygone pour déterminer
s’il est convexe ou
concave.
a) Décris un test
comportant le tracé d’un seul segment de droite.
b) Décris un test comportant le tracé de diagonales.
13. Martin a l’intention de
construire une table de piquenique hexagonale comme
celle ci-contre.
a) Calcule les angles aux
extrémités de chaque
morceau de bois que
Martin devra couper pour
faire les bancs.
b) Dans quelle mesure les
angles changeraient-ils si
Martin choisissait plutôt de
fabriquer une table octogonale ?
concave
2.4 Propriétés des angles dans les polygones
101
14. Trois angles extérieurs d’un pentagone convexe mesurent 70°, 60° et
90°. Les deux autres angles extérieurs sont congruents. Détermine les
mesures des angles intérieurs du pentagone.
15. Calcule la somme des mesures
des angles indiqués.
16. Les côtés congruents de chaque figure forment un polygone régulier.
Détermine les valeurs de a, b, c et d.
a)
b)
a
a
d
c
c
b
d
b
17. Détermine la somme des mesures
des angles indiqués.
h
a
g
f
b
d
c
18. Donné :ABCDE est un pentagone
régulier de centre O.
Le ^EOD est isocèle et
EO 5 DO.
DO 5 CO
Prouve que le ^EFD est rectangle.
A
E
F
D
102
Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles
e
B
O
C
Conclusion
19. La fonction représentant la somme des mesures des angles intérieurs
d’un polygone à n côtés est :
S 1n2 5 180° 1n 2 22 .
Explique comment on peut déduire l’expression 180°(n 2 2) étant
donné un polygone à n côtés.
Prolongement
a
20. Un carreau pentagonal a deux angles de 90°. Les trois autres angles
sont égaux. Est-il possible de former un motif de carreaux qui
comprendrait uniquement ce carreau ? Justifie ta réponse.
21. Chaque angle intérieur d’un polygone régulier est cinq fois plus
grand que son angle extérieur correspondant. Quel est le nom usuel
de ce polygone ?
a
a
Les mathématiques dans l’histoire
Les icosaèdres tronqués, des polygones à trois dimensions
L’architecte et inventeur américain Richard Buckminster « Bucky » Fuller (1895-1983) a travaillé occasionnellement au Canada. C’est lui qui a imaginé le dôme géodésique de l’Exposition universelle de 1967, qu’on appelle aujourd’hui la Biosphère de Montréal. Plus tard, une application secondaire de la forme du dôme, un icosaèdre tronqué, est devenue le modèle officiel du ballon de soccer de la Coupe du monde de 1970.
En 1985, des scientifiques ont découvert des molécules qui ressemblaient à la sphère géodésique de Fuller. Elles ont reçu le nom de fullérènes, en l’honneur de Fuller.
La Biosphère de Montréal et son architecte
Un ballon de soccer de la FIFA, 1970
Une molécule de carbone, C60
A. Identifie les polygones qui servent à la création d’un icosaèdre tronqué.
B. Prédis la somme des trois angles intérieurs à chaque sommet d’un icosaèdre tronqué.
Vérifie ta prédiction.
C. Explique pour quelle raison la valeur obtenue en B a du sens.
2.4 Propriétés des angles dans les polygones
103