Structures de données 3

Département Informatique
Programmation objet
Cours n°8
Structures de données – partie 3
Arbres binaires de calcul
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Arbre binaire de calcul
Nous avons vu l'utilisation des arbres binaires en tant que structure de données
optimisée pour la recherche par valeur sur un critère "binaire".
La même structure peut également être utilisée dans un autre cas :
Un calcul d'expression mathématiques
On parle dans ce cas d'arbre binaire de calcul.
La structure est identique, mais son fonctionnement est différent.
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Principe
Lorsqu'on effectue un calcul, on effectue en fait une suite d'opérations
Chaque opération utilise deux opérandes
Chaque opération fournit un résultat qui peut être utilisé pour une
autre opération.
On remarque donc que l'ensemble de l'expression de calcul peut
se modéliser dans un arbre binaire où les feuilles seront les
opérandes et les racines les opérations...
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Exemple
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Soit le calcul : 6 * 3 + 4 * 2 - 2
Le calcul peut se modéliser par l'arbre binaire suivant :
+
2
*
6
*
3
4
2
4
Exemple d'implémentation C++
class arbre_calcul
{
enum type_operation
{aucun=0,plus='+', moins='-', mult='*',
div='/'};
struct feuille
{
type_operation Operateur;
double Operande;
feuille* f_gauche;
feuille* f_droite;
double Valeur() const;
};
typedef feuille* pfeuille;
pfeuille racine;
double Valeur() const;
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Effectuer le calcul
En utilisant un algorithme récursif, effectuer le calcul est simple.
En effet, la valeur d'une racine (d'un sous-arbre) se déduit directement :
• De l'opérateur contenu dans la racine
• De la valeur de l'opérande gauche
• De la valeur de l'opérande droite
On voit bien que l'on a besoin d'une méthode Valeur() qui va renvoyer :
• Soit la valeur contenue dans la feuille si c'est un nombre
• Soit le résultat d'un calcul si c'est un opérateur
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double arbre_calcul::Valeur() const
{
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double val=0;
if(racine)
val = racine->Valeur();
return val;
}
La récursivité nous permet
le parcours simple
double feuille::Valeur() const
de l'arborescence
{
double val=0;
switch(Operateur)
{
case aucun: val=Operande; break;
case plus: val=gauche->Valeur() +
droite->Valeur();break;
//...
return val;
}
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Le "lancement" du calcul est donc extrêmement simple,
du fait de la structure de l'arbre binaire et de l'utilisation d'un
algorithme récursif pour Valeur()
La création de l'arbre est un peu plus complexe, il faut bien évidemment
gérer les priorités relatives des 4 opérateurs.
Si l'on souhaite gérer des parenthèses, la création de l'arbre se complexifie
d'avantage, mais pas le calcul. En effet, une expression entre parenthèses
est un sous-arbre.
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Algorithmes d'ajout (sans parenthèses)
Une expression commence obligatoirement par une opérande.
Se trouve ensuite un enchaînement opérateur-opérande
L'opérateur joue un rôle de "pivot" dans l'analyse de l'expression
Suivant celui-ci, sa priorité par rapport au précédent, l'ajout dans l'arbre
ne se fera pas de la même manière.
Priorité
+
*
/
+
=
=
>
>
=
=
>
>
*
<
<
=
=
/
<
<
=
=
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Cas n°1 : ajout à priorité inférieure
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10*3 - 2
On ajoute le nouvel opérateur comme
une racine et on prend l'ancien à gauche
et l'opérande à droite
*
10
-
3
*
2
10
3
10
Cas n°2 : ajout à priorité supérieure
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10 + 4*3
On remplace la feuille de droite
par le nouvel opérateur, qui prendra
à gauche l'ancienne opérande et à droite
la nouvelle opérande
+
10
4
+
*
10
4
3
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Cas 3 : ajout à priorité égale
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3+4-2
La cas est identique au cas n°1
+
-
3
4
+
2
3
4
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Gestion des parenthèses
3*(4+2*(1-14*2))
Le principal problème avec les parenthèses est la détection des
sous-expressions complètes.
On remarque que l'ouverture d'une parenthèse démarre une expression
(donc un sous-arbre) et que la fermeture la termine.
La première parenthèse fermante correspond à la dernière
parenthèse ouvrante : on remarque que l'utilisation d'une pile peut
simplifier la gestion des parenthèses pour la construction de l'arbre...
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3*(4+2*(1-14*2))
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*
On empile la suite de l'expression
+
3
4
*
-
2
1
Puis on dépile, et on
relie les feuilles droites.
*
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2
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Prochain cours :
Structures de données – partie 4
arbres non binaires
tables de hachage
Bonnes vacances !
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