10 - Oscillations él..

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Cours n°10 : Oscillations électriques – Le circuit RLC
1) Oscillateur harmonique : le circuit LC
1.1) Equation différentielle
Un condensateur de capacité  est initialement chargé sous une tension  Il est connecté en série
avec une bobine d’inductance  et de résistance interne nulle et un interrupteur .
L’orientation du circuit est totalement arbitraire mais
On choisira de travailler en convention récepteur.
La loi des mailles nous donne :
En convention récepteur, on a :
- aux bornes du condensateur 
- aux bornes de la bobine
D’où 
Soit en posant 
On retrouve l’équation de l’oscillateur harmonique.

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1.2) Solution de l’équation différentielle
On a l’équation qui nous décrit l’oscillation de la charge :
La solution générale de cette équation est de la forme :
Détermination des constantes  et 
Les conditions initiales du problème sont :
- 
-  car le circuit est fermé à  et il y a continuité du courant.
donc 
Les conditions initiales nous donnent : 
car 
La solution de l’équation est donc :
Tension aux bornes du condensateur : 
Tension aux bornes de la bobine : 
Intensité électrique dans le circuit 
soit

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La charge, la tension et l’intensité sont des fonctions sinusoïdales qui oscillent autour d’une valeur
moyenne nulle avec les caractéristiques suivantes :
- Pulsation propre en  : 
- Période propre des oscillations en  :
1.3) Dimension de la période propre des oscillations
Ainsi,  est bien homogène à un temps.
1.4) Etude énergétique
L’énergie totale se répartit sous deux formes :
- Energie potentielle électrostatique emmagasinée dans le condensateur :
- Energie électromagnétique stockée dans la bobine :
Calcul de l’énergie totale dans le circuit :

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L’énergie totale dans le circuit se conserve et correspond à l’énergie initialement stockée dans le
condensateur.
Effectivement, le circuit ne présente aucune résistance au passage du courant et donc il n’y a pas de
dissipation d’énergie par effet Joule.
Le système est donc conservatif et il y a échange mutuel, entre le condensateur et la bobine, de
l’énergie de départ.
1.5) Tracé des oscillations
Courant et intensité
On a montré que : 
et
 et  sont des fonctions sinusoïdales. Le système est le siège d’oscillations libres non
amorties. On est alors en régime périodique de période la période propre des
oscillations .

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On peut remarquer que tension et intensité sont en quadrature de phase (déphasage d’un quart de
période). Cela signifie que, lorsque  est nulle,  est maximale ou minimale et inversement, lorsque
 est maximale ou minimale,  est nulle.
Energie
Il faut bien noter que ,  et  sont des fonctions positives
On a communiqué initialement une certaine quantité d’énergie  au système sous forme d’énergie
potentielle électrostatique stockée dans le condensateur.
Cette énergie est ensuite échangée alternativement entre le condensateur et la bobine à la
période 
Condensateur et bobine jouent alternativement le rôle de générateur et de récepteur du fait de
l’oscillation du courant électrique.
1.6) Description d’une oscillation
-  : Le condensateur est chargé sous une charge maximale
- 
 :  , il y a décharge du condensateur dans la bobine
- 
 : Le condensateur est déchargé. L’énergie est entièrement stockée dans la bobine.
- 
 : L’inertie de la bobine entraîne la création d’un courant de charge du
condensateur. Celui-ci se recharge dans l’autre sens et donc la tension à ses bornes change
de signe.
- 
 : Le condensateur est chargé donc  et toute l’énergie du circuit se retrouve à
nouveau dans le condensateur.
!