Algorithmes et Structures de Données Chapitre 6 . Complexité

Université de Corse - IUP NTIC2 2005/2006 – Algorithmes et Structures de Données
Algorithmes et
Structures de Données
Chapitre 6 – Complexité
Capocchi Laurent
[e-mail]
http://spe.univ-corse.fr/capocchiweb
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Résumé
 Structures de données de bases
La représentation des données
Les fonctions et les procédures
La récursivité
Les variables dynamiques, les pointeurs
 Les listes
 Les piles et les files
Définition
Implémentation
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Objectifs
 La complexité
Définition
Utilisation
Notation asymptotiques
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Rappels
Définition d’un algorithme
Un algorithme est une séquence d’étapes de calcul qui
transforme l’entrée en sortie
Exemple : problème du tri
Entrée : suite de N nombres
Sortie : permutations de la suite donnée en entrée
Algorithme correct : pour chaque instance en entrée, il
se termine en produisant la bonne sortie
Un algorithme correct résout le problème donné
Algorithme incorrect : risque de ne pas se terminer pour
certaines instances en entrée, voir de se terminer sur
une réponse autre que celle désirée
Un algorithme incorrect peut être utile si son taux
d’erreur est contrôlé

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Rappels
Définition d’une structure de données
Moyen de stocker et organiser des données pour faciliter
l’accès à ces données
leur modification
Aucune structure de données répond à tous les besoins
Important de connaître les forces et les limitations de
plusieurs de ces structures
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Efficacité d'un algorithme
Pourquoi évaluer l’efficacité d’un algorithme ?
Le ordinateurs ne sont pas infiniment rapides
La mémoire n’est pas gratuite
Utiliser des algorithmes performants en terme
de durée : temps d’exécution
d’encombrement : mémoire
Évaluer l’efficacité d’un algorithme = Analyser
l’algorithme
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Efficacité d'un algorithme
Comment analyser un algorithme ?
Prévoir les ressources nécessaires à cet algorithme :
temps de calcul
En analysant plusieurs algorithmes résolvant le problème
on arrive à identifier le plus efficace
Pour analyser un algorithme il faut avoir un modèle
de technologie : une architecture
Modèle de Von Neuman : Modèle RAM
Un seul processeur
Une mémoire centrale : RAM
Une exécution séquentielle des instructions
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Efficacité d'un algorithme
Si on veut être strict, il faut définir précisément les
instructions du modèle RAM et leur coût
C’est possible mais ça n’apporterait pas grand chose en
matière de conception et d’analyse d’algorithme
Le modèle RAM contient les instructions suivantes
Instructions arithmétiques : + - * / % ..
Instructions de transfert de données : lecture, stockage,
copie ..
Instructions de contrôle
Chacune des instructions possède un temps d’exécution
constant

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Efficacité d'un algorithme
Analyser un algorithme = prévoir les ressources en
temps
On peut évaluer ce temps d’exécution en comptant le
nombre d’opérations élémentaires requises pour
l’exécution de l’algorithme analysé
Analyser un algorithme, même simple peut s’avérer
très complexes !
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Efficacité d'un algorithme
Conclusion
Le comportement d’un algorithme peut varier pour
chaque entrée possible
il faut trouver un moyen de résumer ce comportement
en quelques formules simples et faciles à comprendre
il faut être capable de récupérer les termes les plus
significatifs dans une formules
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Efficacité d'un algorithme
Exemple
Problème du calcul de la somme de N premiers entiers
présenter sous la forme d’une fonction appelée somme(n:
Entier)
La durée d’exécution de l’algorithme de la fonction
somme(n: Entier) dépend de l’entrée
La somme des 1000 premiers entiers prend plus de
temps que la somme des 3 premiers entiers
En général, le temps d’exécution d’un algorithme croit
avec la taille de l’entrée
Le temps d’exécution est exprimé en fonction de la taille
de son entrée
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Efficacité d'un algorithme
Définitions
Taille de l’entrée
Nombre d’éléments constituant l’entrée
Temps d’exécution
Le T(n) d’un l’algorithme pour une entrée particulière est
le nombre d’opérations élémentaires ou étapes
exécutées
Conventions
Chaque ligne de pseudo-code demande un temps
constant
Deux lignes différentes peuvent prendre des temps
différents mais chaque exécution de la i-ème ligne prend
un temps Ci où Ci est une constante

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Efficacité d'un algorithme
Fonction Somme (n : Entier):Entier
var locale temp, nb : Entier
temp <- 0
nb <- 1
tant que (nb<=n) faire
temp <- temp +nb
nb <- nb + 1
finTantQue
retourner temp
Fin fonction somme
nC5
nC4
n+1C3
1C2
1C1
Nb de foisCoût
T(n) = C1+C2+C3+(C3+C4+C5)*n
T(n) = a*n+b
C’est une fonction linéaire
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Efficacité d'un algorithme
Fonction somme (n : Entier): Entier
var locale accu : Entier
accu <- n*(n+1)/2
retourner accu
FinFonction somme 1C1
Nb de foisCoût
T(n) = C1
Le temps d’exécution est constante
Conclusion : à partir d’un « n » assez grand
on peut dire que l’algorithme 2 est plus
efficace que l’algorithme 1
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Conclusion
Le T(n) d’un algorithme = ordre de grandeur donnant une
caractérisation simple de l’efficacité d’un algorithme
Permet également de comparer les performances
d’algorithmes servant à faire le même travail
Il est possible de déterminer le T(n) exact d’ un algorithme
Précision généralement non nécessaire
Pour des entrée grandes, les constantes sont
négligeables
a*n3 +b*n2 +c*n + d ≤ e*n3
Étude asymptotique des algorithmes
Étude de la façon dont augmente T(n) quand n -> 
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Notations asymptotiques
En général, un algorithme plus efficace asymptotiquement
qu’un autre constitue le meilleur choix
Sauf pour les entrées trop petites
Notations asymptotiques
Notation grand teta : Θ
Si T(n) = a*n+b alors T(n) = Θ (n)
Sens de la notation
Θ(g(n)) = {f(n) tq  des constantes > 0 : c1,c2 et n0 tq :
0≤c1*g(n)≤f(n)≤c2*g(n), ∀n ≥ n0}
La notation Θ borne une fonction entre deux facteurs
constants

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Notations asymptotiques
Notation grand o : O
Sens de la notation
O(g(n)) = {f(n) tq  des constantes > 0 : c et n0 tq :
0≤f(n)≤c*g(n), ∀n ≥ n0}
La notation O sert à majorer une fonction à un facteur
constant près
Notation grand oméga : 
Sens de la notation
(g(n)) = {f(n) tq  des constantes > 0 : c et n0 tq :
0≤c*g(n) ≤f(n), ∀n ≥ n0}
La notation  sert à minorer une fonction à un facteur
constant près
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Conclusion
Notation asymptotiques
Quand on dit « le T(n) est en O(n²) », on signifie qu’il
existe une fonction f(n) qui est O(n²) et tq pour ‘n’ fixé, qq
soit l’entrée de taille n ,le T(n) est borné supérieurement
par f(n)
le T(n) le plus défavorable est O(n²)
Quand on dit « le T(n) est en (n²) », on signifie que
pour ‘n’ suffisamment grand, qq soit l’entrée de taille ‘n’
choisie pour une valeur qcq de ‘n’, le T(n) pour cette
entrée est au moins un multiple constant de n²
Les complexités sont fréquemment utilisées en
Informatique
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Quelques situations typiques
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Courbes de croissance des complexités