MODÈLE DE DRUDE – LOI D`OHM LOCALE EFFET HALL

MODÈLE DE DRUDE – LOI D’OHM LOCALE
EFFET HALL
I. ÉTUDE D’UN MILIEU CONDUCTEUR OHMIQUE
I.1 Loi d’Ohm locale
G
La loi d’Ohm locale relie la densité volumique de courant j ( M , t ) en un point M à l’intérieur du conducteur
G
au champ électrique E ( M , t ) en ce point.
G
G
Loi d’Ohm locale : j ( M , t ) = γ E ( M , t )
La loi d’Ohm s’applique dans le référentiel où le conducteur est au repos.
G
G
γ est appelé conductivité électrique du conducteur. γ est toujours positif. j ( M , t ) et E ( M , t ) sont dans
le même sens.
Dans certains exercices, on peut la noter σ mais il faut faire attention à ne pas la confondre avec la densité
surfacique de charge.
C’est une loi phénoménologique basée sur l’observation expérimentale. Elle est vérifiée par certains
conducteurs, dans certaines situations. Un conducteur suivant la loi d’Ohm est dit ohmique.
I.2 Modèle de Drude – modèle classique de la conduction dans les métaux
Le modèle suivant permet de retrouver la loi d’Ohm et d’en préciser la validité.
Un métal est modélisé par un réseau cristallin d’ions positifs fixes dans lequel des électrons de conduction se
déplacent librement. La densité d’électrons de conduction dans le métal est n.
L’agitation thermique des électrons et leurs collisions incessantes sur les ions du réseau et entre eux sont un
frein à l’établissement d’un mouvement d’ensemble des électrons. Nous modélisons cela en introduisant une
G
mG
force de frottement égale à − v où τ est une constante de temps1 et v la vitesse moyenne des électrons.
τ
G
Nous supposerons pour simplifier que chaque électron à la vitesse v .
G
• Système = électron de masse m et de vitesse v
• Référentiel terrestre galiléen.
G
G
mG
• Bilan des forces : force électrique qE = −eE et la force de frottement − v . On néglige le poids
τ
•
devant ces forces.
G
G
G mG
dv
dv 1 G
e G
PFD : m
= −eE − v , d’où
+ v =− E.
m
τ
dt
dt τ
G −eτ G G −τt
E + Ae .
Si le champ électrique ne dépend pas du temps, la solution est : v =
m
Le deuxième terme correspond au régime libre qui tend vers 0 au bout de quelques τ . Nous verrons
que l’ordre de grandeur de τ est 10-14 s.
G
G
G −eτ G
Pour t τ , c'est-à-dire en régime forcé : v =
E . On définit u la mobilité : v = u E .
m
Le mouvement d’ensemble des électrons donne une densité volumique de courant :
2
G
G
 −eτ G  ne τ G
j = nqv = n ( −e ) 
E =
E
m
 m 
ne 2τ
.
m
Application numérique : La conductivité électrique du cuivre est γ = 5,9×107 S.m-1, sa masse
volumique est µ = 8,96×103 kg.m-3. La masse molaire du cuivre est M = 63,5×10-3 kg.mol-1 (attention :
M doit être en kg.mol-1 et non en g.mol-1 comme c’est souvent donné dans les tables).
La masse d’un électron est m = 9,1×10-31 kg et le nombre d’Avogadro NA = 6,02×1023 mol-1. On admet
qu’un atome de cuivre libère en moyenne un électron de conduction.
Le conducteur ainsi modélisé vérifie la loi d’Ohm et sa conductivité est γ =
1
On peut montrer que τ est la durée moyenne entre deux collisions.
Q Modèle de Drude – Loi d’Ohm locale (33-302)
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La masse volumique vaut : µ =
µNA
M
= 8,4×1029 m-3. La constante de temps est
n , d’où n =
M
NA
mγ
= 2,5×10-14 s. La constante de temps a le même ordre de grandeur pour tous les métaux.
ne 2
La loi d’Ohm est applicable dans les métaux si la durée caractéristique d’évolution du champ
électromagnétique est très supérieure à 10-14 s. Voir TD avec un champ électrique sinusoïdal.
Retenir l’ordre de grandeur de la conductivité électrique du cuivre : γ = 107 S.m-1.
τ=
I.3 Résistance d’un conducteur
a) Cas particulier d’un conducteur homogène parcouru par un courant
On considère un tronçon conducteur.
G
G
G
G
On suppose que le champ électrique est uniforme dans le conducteur : E = E u x et j = j u x
JJG
G
G
On considère un déplacement dl = dl u x colinéaire au champ électrique E du point 1 au point 2.
conducteur orienté
arbitrairement
G
n
1
vecteur orienté
dans le même sens
que le conducteur
S
G
E
2
G
j
G
L
G JJG
2
jL
j JJG
j
.
On a : dV = − E ⋅ dl = − ⋅ dl = − dl . On intègre entre le point 1 et 2 : ∫ dV = V2 − V1 = −
γ
γ
γ
1
JJG
G JJG
G
dq
Le conducteur est orienté vers la droite. On a donc dS = dS u x . Or I =
= ∫∫ j ⋅ dS = jS On a donc :
dt
S
L
.
γS
Cette relation est à connaître par cœur. Ne pas confondre la résistivité avec la densité volumique de
charges. De même, la résistivité ne désigne pas une résistance volumique…
1
Ne pas confondre résistance linéïque et résistivité ρ =
La loi d’Ohm pour un conducteur de longueur L, de section S est : U = R I avec R =
γ
Cette relation servira très souvent : Voir cours sur la diffusion thermique…
1 I = I1→ 2
2
U=U12=V1-V2
On retrouve bien la convention récepteur pour l’orientation de la tension et de l’intensité.
1
On définit parfois la résistivité ρ = . ATTENTION : ne pas confondre la résistivité et la densité
γ
volumique de charge !!! On a alors : R =
ρL
S
. La conductance G vaut : G =
1 γS
=
.
R
L
b) Association série, association parallèle, unités
En série, les résistances s’ajoutent : R = ∑ Rk
k
Q Modèle de Drude – Loi d’Ohm locale (33-302)
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En parallèle, les conductances s’ajoutent : G = ∑ Gk
k
Unités : R s’exprime en ohm ( Ω ), G en Siemens (S), Comme R =
On a donc ρ en Ω.m et γ en S.m-1.
ρl
S
avec ρ = résistivité.
I.4 Loi de Joule
a) Puissance cédée par le champ électrique à la matière
a1) Bilan sur une charge
On reprend le modèle de Drude étudié précédemment.
G
G mG
En régime permanent, le PFD pour un électron de charge q = –e s’écrit : 0 = qE − v .
τ
G
Pour faire un bilan de puissance, il faut multiplier scalairement par v .
G G mG G
On a donc : 0 = qE ⋅ v − v ⋅ v = puissance reçue par la force électrique + puissance reçue de la force
τ
de frottement. On a Pfrott = −
m
τ
G G
v 2 < 0 et Pelec = qE ⋅ v > 0 .
La charge mobile reçoit donc de la puissance du champ électrique qu’elle perd aussitôt pour
fournir de la puissance à la matière.
Le champ électrique fournit donc effectivement de la puissance à la matière : c’est l’effet Joule.
Il se manifeste souvent par un échauffement de la matière mais pas nécessairement.
a2) Bilan sur un volume élémentaire
On considère maintenant un volume dτ . Il contient n dτ charges mobiles.
G G
m
On a vu qu’une charge fournit à la matière une puissance : v 2 = qE ⋅ v .
τ
L’ensemble des charges contenu dans le volume dτ fournit donc à la matière une puissance
G G
G
G G
G
qE ⋅ v ( n dτ ) . Or j = nqv . On a donc dP = j ⋅ E dτ
(
)
La densité volumique de puissance cédée par le champ électromagnétique2 à la matière est :
dP G G
= j ⋅ E = γ E2
dτ
C’est la loi de Joule écrite sous forme locale.
G G
La puissance totale dissipée par effet Joule dans un volume V est : P = ∫∫∫ j ⋅ E dτ . Unités : W
V
C’est bien une puissance qui est fournie à la matière, c’est équivalent de dire que la matière
reçoit effectivement une puissance P
On admet la généralisation pour tout conducteur.
b) Cas particulier d’un tronçon conducteur
Soit un tronçon conducteur de longueur L parcouru par un courant I. On se
place en régime permanent.
On suppose que le champ électrique est uniforme dans le conducteur :
G
G
G G
G
G
j2
E = E u x et j = j u x ; P = ∫∫∫ j ⋅ E dτ = ( SL ) . Or I = j S .
V
G
E
S
G
j
γ
La puissance dissipée par effet Joule vaut : P =
I2
L
( SL ) = I 2 = RI 2
2
Sγ
γS
L
G
n
conducteur orienté
La puissance dissipée par effet Joule est P = RI 2
En régime sinusoïdal forcé, la puissance moyenne dissipée par effet Joule est arbitrairement
Pmoy = RI eff2 (Voir cours sur la puissance en régime sinusoïdal forcé).
vecteur orienté
dans le même sens
que le conducteur
Cette puissance est récupérée sous forme de chaleur : elle se traduit parfois par une augmentation de
température mais pas nécessairement.
2
Le champ magnétique ne fournit pas de puissance à la matière.
Q Modèle de Drude – Loi d’Ohm locale (33-302)
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II. EFFET HALL
G
ux
sens du courant
G
B
G
E0
O
V1
G
v
G
FB
G
FH
G
uy
1
G
EH
G
uz
b
2
a
V2
II.1 Modèle classique de l’effet Hall
L
a) Régime transitoire
On considère un ruban conducteur parcouru par un courant I dont les lignes de courant sont dans le sens
G
G
G G
u z . Le champ électrique responsable du courant électrique est noté E0 = E0 u z . E0 est supposé constant.
G
G
On note v = v u z la vitesse moyenne d’un électron.
a1) En l’absence de champ magnétostatique
On peut rappeler le modèle de Drude. Le système étudié est l’électron de charge q = – e dans le
G G G
référentiel du conducteur immobile R = ( O; u x , u y , u z ) galiléen.
G
G
Bilan des forces : force électrique qE0 et force de frottement −λ v qui tient compte des interactions
entre l’électron et le réseau.
G
G G
En régime permanent, on a : qE0 − λ v = 0
G
Le conducteur est orienté arbitrairement dans le sens u z . Le vecteur élément de surface est donc
JJG
G
G JJG
G
G
dS = dS u z . L’intensité du courant électrique est : I = ∫∫ j ⋅ dS = jS . Or j = nqv . On en déduit
S
I = nqvab avec n densité particulaire.
Il est important de bien interpréter les signes : I > 0. C’est cohérent puisque v < 0 et q < 0.
a2) On applique un champ magnétostatique
G
G G
Il apparaît donc sur l’électron une force supplémentaire : la force magnétique : FB = qv ^ B . Les
électrons vont donc être déviés sur la face n°2 et il y a donc un défaut d’électrons sur la face 1. Il
apparaît donc une différence de potentiel entre la face n°1 et n°2 et donc apparition d’un champ
G
électrique EH appelé champ de Hall. Le champ de Hall est dirigé dans le sens des potentiels
décroissants et donc dirigé de la face n°1 vers la face n°2.
G
Sur l’électron, il apparaît donc une 4ème force : qEH . Au début du régime transitoire,
G
G G
qEH < qv ^ B . Cette 4ème force est de plus en plus importante. Il y a donc de moins en moins de
G
G
G
G
G G
particules déviées et à un moment, on est en régime permanent avec qE0 − λ v + qEH + qv ^ B = 0 .
G
G
G
G G
Les deux premières forces sont suivant u z et les deux dernières suivant u y . On a donc qE0 − λ v = 0
G
G G G
et qEH + qv ^ B = 0
G
G G G
La formule fondamentale de l’effet Hall est donc : EH + v ^ B = 0 .
(
) (
)
On a donc une relation entre le champ de Hall et le champ magnétique :
G
G G
G
G
G
EH = −v ^ B = −vu z ^ B u x = −vBu y
b) Calcul de la différence de potentiel en régime permanent
Le calcul de la différence de potentiel entre deux points M1 et M2 bien placés permet d’avoir accès au
champ magnétique.
Soient deux points M1 et M2 tels que z1 = z2. Si M1 n’est pas en face de M2, alors la différence de potentiel
n’est pas proportionnelle au champ magnétique.
G G
G
G
G
Le champ électrique résultant est : E = E0 + EH = E0 u z + EH u y .
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face n°1
M1
G
uz
G
uy
b
face n°2
M2
G JJG
Pour calculer V1 – V2, la méthode est d’écrire dV = − E ⋅ dl et d’intégrer entre M1 et M2.
G JJG
G
G
G
dV = − E ⋅ dl = − ( E0 u z + EH u y ) ⋅ dy u y = − EH dy .
On intègre entre M1 et M2 :
∫
2
1
2
dV = V2 − V1 = − ∫ EH dy = − EH b .
1
La tension de Hall est : U H = V1 − V2 = EH b = −vBb . Il reste à exprimer v en fonction de I (voir paragraphe
a1)). D’où : U H = −
I
1 IB
Bb = −
.
nq a
nqa b
On a donc : U H = − RH
IB
1
= tension de Hall avec RH =
= constante de Hall.
a
nq
c) Limites du modèle
Application numérique : I = 10 A ; B = 1 T ; a = 0,1 mm. On trouve UH = 10 µV.
Remarque : On trouve des valeurs négatives pour RH pour l’argent, le cuivre, le sodium mais on trouve des
valeurs positives avec le fer et le plomb. Seule la mécanique quantique est susceptible de rendre compte
complètement des propriétés électriques des solides.
d) Utilisation de l’effet Hall
La tension de Hall est très faible. L’effet est beaucoup plus intense dans les semi-conducteurs. Ce sont
des milieux où la densité particulaire est 106 fois plus faible.
On utilise en TP des sondes à effet Hall pour mesurer des champs magnétiques.
II.2 Justification de la loi de Laplace
• La force magnétique qui s’exerce sur un porteur de charges (électron)
G
G
G G
G
G
G
G
G
I
I
FB = qv ^ B = qv u z ^ Bu x = qvBu y . Or I = nqvab , on en déduit que FB = q
Bu y =
Bu y .
nab
n q ab
G
G
• Chaque porteur subit de la part du réseau une force due au champ de Hall : FH = − FB .
est
•
D’après le principe des actions réciproques, chaque porteur exerce sur le réseau une force égal à
G
G
− FH = FB .
G
G
G
I
Bu y = IBlu y
• L’ensemble des porteurs exerce donc sur le réseau une force ( nabl ) − FH = ( nabl )
nab
puisqu’il y a n porteurs de charge par unité de volume.
On obtient donc la force de Laplace qui est la force subie par tout tronçon conducteur caractérisé par un
G
vecteur l (dans le même sens que I) et parcouru par un courant I.
C’est donc le champ de Hall qui transmet les forces de Lorentz au réseau.
(
)
JJG
La force de Laplace subie par un tronçon conducteur caractérisé par un vecteur dl
JJG G
G
(dans le même sens que I) et parcouru par un courant I est : dF = I dl ^ B .
G G
G
Pour des courants volumiques : dF = jdτ ^ B
G G
G
Pour des courants surfaciques : dF = jS dS ^ B
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