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ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Le champ électromagnétique agit sur les charges mobiles et peut leur transférer de l’énergie (ex : mise en mouvement des
charges de l’antenne réceptrice d’un récepteur radio, effet joule dans un c.o., échauffement des aliments dans un four
micro ondes).
Inversement nous verrons que dans un émetteur radio par exemple, le mouvement des charges dans l’antenne engendre un
champ électromagnétique : il y a conversion d’énergie cinétique en énergie électromagnétique.
Enfin, le champ électromagnétique transporte lui-même de l’énergie (même sans support matériel, à travers le vide).
Considérons par exemple un laser émettant une impulsion très brève en direction de la lune. Il existe un laps de temps
pendant lequel l’énergie a déjà quitté le laser et n’est pas encore absorbée par le détecteur. Le principe général de
conservation de l’énergie exige que cette énergie soit quelque part : elle est localisée dans la région de l’espace où règne le
champ électromagnétique, entre la source et le récepteur, dans le champ lui-même.
L’objet de ce chapitre est l’expression de tous ces transferts d’énergie.
I.
Echange d’énergie entre la matière et le champ
1.
Puissance volumique cédée à la matière par le champ
Le champ électromagnétique peut céder de l’énergie à la matière par le travail des forces de Lorentz sur les particules
chargées de la matière
•
r r
r
Soit une particule chargée, de charge q, de vitesse v dans un champ électromagnétique ( E , B ); elle subit la force
de Lorentz :
r
r r r
f1 = q(E + v ∧ B)
de travail élémentaire:
r r
r r
rr
δW1 = f1.d l = qE.d l = qE.vdt
et de puissance (travail par unité de temps) :
P1 =
rr
δW1
= qE.v
dt
remarque une particule chargée ne reçoit de l’énergie de la part du champ électromagnétique que si elle est en
r r
mouvement (i.e. si v ≠ 0 )
•
Soit maintenant un milieu où la charge se distribue en volume. Les particules chargées sont éventuellement de
plusieurs types, le type (k) étant caractérisé par une charge qk, une densité particulaire νk et une vitesse moyenne
r
en M à l’instant t, v k.
La puissance reçue par les νkdτ particules chargées de type (k) d’un volume élémentaire dτ, (c’est-à-dire la puissance
cédée par le champ électromagnétique) est :
r r
r
r r
r
dPk = ν k dτP1 = ν k q k v k .Edτ = jk .Edτ avec jk = ν k q k v k
Energie électromagnétique (elm 6)
1
La puissance reçue par les particules chargées du volume dτ est donc :
rr
r
= j.Edτ avec j =
∑ dP
dP =
k
types k
r
∑j
k
types k
=
r
∑νqv
k k k
types k
Remarque : un volume de matière contenant des particules chargées ne reçoit de l’énergie de la part du champ
r r
électromagnétique que s’il est le siège de courant ( j ≠ 0 ). En revanche, il peut être électriquement neutre.
•
La puissance reçue par la matière de la part du champ, par unité de volume (ou encore cédée à la matière par le
champ) est :
rr
 dP 
= j.E en W.m-3.
puissance volumique cédée à la matière par le champ  
 dτ cédée
Remarque :
* La puissance totale cédée à la matière d’un volume V par le champ est P =
∫∫∫
V
dP =
∫∫∫
rr
j.Edτ
V
* Il s’agit d’une énergie qui change de forme : elle passe de la forme « électromagnétique » à une autre forme (énergie
cinétique macroscopique ou microscopique… cf ci-dessous).
2.
Cas particuliers
a)
Faisceau de particules
r
r
Un faisceau de particules est caractérisée par une densité de courant j =ρ v colinéaire à sa vitesse. L’expression ci-dessus
montre que la puissance volumique cédée par le champ à la matière est maximale quand le faisceau est soumis à un champ
r
r
électrique extérieur colinéaire à sa propre direction (de même sens que j , i.e. de même sens que v pour des particules
r
chargées positivement, de sens opposé à v pour des particules chargées négativement. L’énergie fournie par le champ est
convertie en énergie cinétique macroscopique. C’est ce qui se passe dans les accélérateurs de particules.
b)
Conducteurs ohmiques
Dans un milieu conducteur, il ne peut pas y avoir d’augmentation de l’énergie cinétique macroscopique : l’énergie cédée
par le champ est convertie en énergie microscopique d’agitation thermique du milieu, c’est-à-dire qu’elle augmente
l’énergie interne du conducteur (cette augmentation se traduit en général par une élévation de température) et, si le
conducteur n’est pas isolé, elle est en partie transférée vers le milieu extérieur sous forme de chaleur. En régime
stationnaire, l’énergie interne du conducteur est constante, sa température aussi : l’énergie cédée par le champ est
intégralement transférée vers le milieu extérieur sous forme de chaleur.
L’effet thermique du courant électrique dans un conducteur est connu sous le nom d’effet Joule (défini en 1841 par Joule)
et conduit à de nombreuses applications (résistances chauffantes, radiateurs électriques, fusibles…).
Précisons l’expression de la puissance cédée par le champ à la matière (puis à l’extérieur sous forme de chaleur) dans le
cas d’un conducteur ohmique (métal ou électrolyte). Un conducteur ohmique est caractérisé par la loi d’ohm locale :
r
r
Loi d’Ohm locale : j =γ E
(γ : conductivité du matériau γ=1/ρ où ρ est la résistivité)
la puissance volumique cédée par le champ à la matière est
dP r r
j2
= j.E = γE 2 =
dτ
γ
La puissance cédée à un tronçon cylindrique de longueur l, de section s parcouru par une intensité i=js vaut donc :
P=
∫∫∫
dP =
∫∫∫
j2
dτ =
γ
i2
∫∫∫ γs
dτ =
2
Energie électromagnétique (elm 6)
i2
γs
2
.sl =
l 2
i :
γs
2
On voit apparaître l’expression de la résistance R du tronçon et on retrouve la forme usuelle de la loi de Joule :
Pcédée = Ri 2
II.
avec R =
l
γs
Bilan d’énergie électromagnétique
Soit un volume V de l’espace (contenant éventuellement de la matière), délimité par une surface fermée (fictive) Σ fixe
(rappel : surface fermée = enveloppe délimitant un volume donné).
Soit la grandeur extensive, fonction d’état W(t) : « énergie électromagnétique contenue dans V à l’instant t ».
On pose W( t ) =
r
r
∫∫∫ w ( r , t)dτ où w est la densité volumique d’énergie électromagnétique en M( r ) à l’instant t (énergie
V
électromagnétique par unité de volume).
(analogue de Q( t ) =
r
∫∫∫ρ( r , t)dτ où ρ est la densité volumique de charges pour la charge contenue dans un volume V en
V
fonction de la densité volumique de charge ρ)
Le bilan d’énergie électromagnétique s’écrit entre les instants t et t+dt :
dW=δWentrante+ δWproduite
soit
variation d’énergie électromagnétique de V
=
énergie électromagnétique algébriquement reçue de la part de l’extérieur (entrant par l’enveloppe Σ)
+ énergie électromagnétique algébriquement produite dans V (par la matière)
Ce dernier terme est en fait la plupart de temps, dans les matériaux conducteurs, négatif ou nul, c’est l’opposé de
l’énergie électromagnétique cédée par le champ à la matière contenue dans V.
δWproduite=-δWcédée à la matière où δWcédée à la matière est l’énergie électromagnétique cédée par le champ électromagnétique à
la matière contenue dans le volume V entre t et t+dt.
D’après le I, δWcédée à
rr
∫∫∫( j.E)dτ
= Pdt = dt.
la matière
V
L’énergie entrante dans V est due à un courant d’énergie traversant la surface Σ. On introduit un vecteur courant
r r
d’énergie R ( r , t ) dont le flux à travers une surface Σ0 orientée représente la puissance électromagnétique qui s’écoule
algébriquement à travers Σ dans le sens +, aussi appelée puissance rayonnée à travers Σ orientée, Pray:
Pray =
δWtraversant Σ
dt
=
∫∫
r r
R .dS
r
R en W.m − 2 avec
r
R
vecteur de Poynting (vecteur courant d’énergie
Σ
électromagnétique)
On notera l’analogie avec l’intensité du courant électrique I à travers une surface Σ : c’est par définition la charge
r
traversant Σ par unité de temps; et on l’écrire comme le flux à travers Σ de j , vecteur densité volumique de courant
r r
r
δQ traversant Σ
électrique. I =
=
j.dS
j en A.m − 2 .
dt
∫∫
Σ
Energie électromagnétique (elm 6)
3
Dans le bilan que nous sommes en train de faire, Σ est une surface fermée et par convention, elle est orientée vers
r r δWsor tan te
l’extérieur, donc :
, et
R.dS =
dt
∫∫
δWentrant = −δWsor tan t = −dt
r r
∫∫ R.dS
Σ
 dW 
dW = W ( t + dt ) − W ( t ) = 
dt , variation élémentaire de la fonction d’état W « énergie elm ».
 dt 
Or W ( t ) =
r
∫∫∫ w ( r , t )dτ
V
dW s’écrit donc, en permutant les opérateurs dérivation par rapport au temps et intégrale de volume :
 ∂w 
dW = dt.∫∫∫
dτ
 ∂t 
Le bilan d’énergie électromagnétique s’écrit finalement, en multipliant membre à membre par (-1) :
−
∫∫∫
V
∂w
dτ =
∂t
∫∫
Σ
r r
R .dS +
∫∫∫
rr
j.Edτ
V
Ceci est l’expression intégrale du bilan d’énergie électromagnétique : par unité de temps, la diminution d’énergie elm
dans V est égale à la somme de l’énergie électromagnétique sortant (par l’enveloppe Σ) et de l’énergie électromagnétique
cédée à la matière contenue dans V .
On utilise le théorème d’Ostrogradsky. L’égalité précédente étant réalisée pour un volume V
faisant tendre la taille de V vers 0 autour d’un point M :
−
quelconque, on obtient en
r rr
∂w
= divR + j.E équation locale de Poynting
∂t
Ceci constitue une expression locale du bilan d’énergie électromagnétique : la diminution d’énergie électromagnétique est
la somme de ce qui sort et de ce qui est cédée à la matière.
Remarque : L’analogue pour la charge de l’équation locale de Poynting est l’équation locale de conservation de la charge :
r
∂ρ
−
= div j
∂t
On note une différence importante entre la charge et l’énergie électromagnétique : la charge est une grandeur conservative,
l’énergie électromagnétique ne l’est pas; le terme de production est non nul. L’énergie électromagnétique ne se conserve
pas « telle quelle ». Elle peut en effet être convertie en une autre forme d’énergie (en énergie cinétique dans les
accélérateurs, en énergie thermique dans les conducteurs ohmiques (effet Joule)).
III.
Exploitation des équations de Maxwell (MA et MF)
Le bilan précédent a été réalisé indépendamment des équations de Maxwell. Or ces équations sont le fondement de la
théorie électromagnétique; elles doivent donc « contenir » également ce bilan. Exploitons-les, cela va nous permettre d’en
r
tirer les expressions de R et w en fonction des champs.
Energie électromagnétique (elm 6)
4
r
r
Multiplions MA par E /µ 0 et MF par B /µ 0. On obtient, en retranchant membre à membre :
)
(
r r r r r ∂  ε E ² B² 
1 r

E.rotB − B.rotE = j.E +  0 +
∂t  2
µ0
2µ 0 
(
)
r r r r ∂  ε E ² B² 
1

div(B ∧ E = j.E +  0 +
∂t  2
µ0
2µ 0 
r r
r r r
r r r
r r r
r
r r
r
car div(B ∧ E) = ∇.(B ∧ E ) = B.(E ∧ ∇) + E.(∇ ∧ B) = E.rotB − B.rotE
identité de Poynting −
r r
∂  ε 0 E ² B² 
E∧B r r

 = div(
+
) + j.E
∂t  2
2µ 0 
µ0
r
En identifiant avec le bilan local d’énergie électromagnétique, on obtient les expressions de R et w :
r r
r r
r r
E ( r , t ) ∧ B( r , t )
R ( r , t) =
µ0
r
r
r
ε
1
w ( r , t ) = 0 E ²( r , t ) +
B²( r , t )
24243 2µ 0
1
14243
wE
wB
Remarque :
il ne s’agit pas d’une démo. Il y aurait d’autres solutions mathématiques mais c’est celle-ci qui est retenue.
Dans w, le premier terme est la contribution électrique wE, le second wB la contribution magnétique.
r r
r E∧B
La puissance électromagnétique rayonnée à travers une surface orientée Σ est égale au flux du vecteur R =
à
µ0
travers Σ. Ce résultat porte le nom de
théorème de Poynting Pray Σ =
∫∫
Σ
r r
r r
r E∧B
R.dS avec R =
µ0
Si Σ est une surface fermée, il s’agit de la puissance sortante.
IV.
Cas d’une OEMPP
Soit une OEMPP se propageant dans la direction Oz, dans le sens +.
1.
densité volumique d’énergie
Puisque E=cB (en tout point de l’espace et à chaque instant) et que ε0µ 0c2=1, on a
w = w E + w B = 2 w E = 2 w B = ε0 E ² =
B2
1
1
= ε 0 c 2 B2 = ε 0 E 2
2µ 0 2
2
B²
µ0
Il y a équipartition des contributions électrique et magnétique à l’énergie de l’onde.
r
r
r
w, comme E et B est fonction de r et t.
Energie électromagnétique (elm 6)
5
2.
Vecteur de Poynting
r
r ur z ∧ E
D’après la relation de structure B =
:
c
r r
r E∧B
r
r
E² r
R=
=
u z = cε 0 E ² u z = cwu z
µ0
cµ 0
Remarque :
r
r
r
R est colinéaire à u z : R est le vecteur courant d’énergie, il a pour direction et sens ceux de la propagation de
l’onde.
l’OEMPP transporte l’énergie dans sa propre direction et avec une vitesse égale à la célérité c : R=cw.
r
les lignes de champ de R sont les lignes de courant d’énergie, elles sont parallèles à la direction de propagation. Dans
le domaine du visible, ce sont ce qu’on appelle les rayons lumineux.
r
r
r
En dehors des ondes radio, les périodes (temporelles) des champs E et B , donc de w et R , sont très petites devant les
temps de réponse des détecteurs d’onde (tel que l’œil, les cellules photoélectriques…). C’est pourquoi on utilise
couramment des moyennes temporelles plutôt que des valeurs instantanées. On définit ainsi :
3.
Intensité énergétique d’une OEMPP en un point M
définition : L’intensité énergétique d’une OEMPP en un point M est la moyenne temporelle en M de la puissance rayonnée
à travers l’unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation. Elle représente l’énergie électromagnétique
moyenne qui serait reçue, par unité de temps, par l’unité de surface d’un détecteur plan normal à la direction de
propagation.
I(M ) =<
dP
>
dS⊥
r
r
r
dP(M,t)= R (M,t).d S = ± R dS⊥
Or
r
I(M ) =< R (M, t ) >= c < w (M ) > en W.m −2
Cela donne la signification concrète du vecteur de Poynting : sa direction et son sens sont ceux de la propagation de
l’énergie électromagnétique, la moyenne temporelle de sa norme en un point M représente l’énergie
électromagnétique moyenne qui serait reçue par unité de temps, par l’unité de surface d’un détecteur plan normal
à la direction de propagation.
E cos(ωt − kz )
r 0
cas particulier de l’OEMPPM (de polarisation rectiligne par exemple) : E 0
:
0
w = ε0 E 2 = ε0 E 2x
; < w >=
1
ε0 E 02
2
;
I = c < w >=
1
cε 0 E 02 où E0 est l’amplitude du champ électrique
2
L’intensité énergétique et la densité volumique moyenne d’énergie sont réparties dans l’espace de façon uniforme (elles
sont indépendantes de M).
Energie électromagnétique (elm 6)
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