1 Introduction à la Mécanique Quantique A) Rayonnement B

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Introduction à la Mécanique Quantique
A) Rayonnement
B) Aspects corpusculaires du rayonnement. La nécessité de quantifier l'énergie.
Onde électromagnétiques et photons.
1) Rayonnement du Corps Noir
2) Spectroscopie atomique.
3) Effet photoélectrique (1887-1905)
C) Equivalence Matière-Rayonnement.
1) Effet Compton (1923).
2) Diffraction des électrons Davisson et Germer (1925).
3) Les Fentes d'Young
D) La relation de Louis de Broglie pour le photon à partir de la théorie de la
relativité
E) Un nouvel outil mathématique: Fonctions d'onde et Opérateurs
F) Grandeurs physiques mesurables - Opérateurs associés - Principe de
correspondance
G) Equation de Schrödinger (1926)
H) Principe d'incertitude

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A) Rayonnement
Dans la théorie ondulatoire de la lumière, un rayonnement est caractérisé par
une onde. Cette onde se propage et est représentée par une fonction périodique Ψ(r,t)
où r est une longueur et t le temps.
Les fonctions périodiques sont des fonctions sinus ou cosinus. Grâce aux
formules d'Euler, on peut choisir à leur place des exponentielles imaginaires:
e
ix = cosx + i sinx → cosx = eix + e-ix
2
e
-ix = cosx - i sinx → sinx = eix - e-ix
2i
Ψ = A ei(kr-ωt) = A e2πi(r
λ - νt)
A est l'amplitude
L'intensité du faisceau est donné par Ψ*Ψ = A2;
elle ne dépend ni de k, ni de λ, ni de ν, ni de ω.
λ est la longueur d'onde (homogène à une longueur);
k =
2π
λ est le nombre d'onde (inverse d'une longueur)
ν est la fréquence; ω =2πν est la pulsation
(inverses d'un temps).
T= 1
ν est la période (homogène à un temps).
La fonction Ψ est une fonction périodique; ei2π = 1
Si l'on ajoute 2π à l'exposant (soit par accroissement de r, soit par accroissement de t),
l'onde est inchangée.
Deux ondes sont en phase au temps t=0
• si r2
λ2
- r1
λ1
= n
ou si k2r2-k1r1 = 2πn
Deux ondes sont en phase à l'origine (r=0)
• ν2t2 - ν1t1 = n
si t2
Τ2
- t1
Τ1
= n
ou si ω2t2 - ω1t1 = 2πn
avec n entier

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Une onde (de période Τ) est inchangée pour un intervalle de temps égal à la période:
t
2 - t1 = T
Au contraire, elles sont en opposition de phase si n est un demi-entier.
Pour n quelconque, nous avons un déphasage; Nous avons l'impression visuelle que
l'onde ne change pas quand l'exposant reste inchangé c'est-à-dire quand ω∆t=k∆x. Pour
un accroissement de temps, ∆t, on obtient un déphasage ω∆t, le même que l'on
obtiendrait (déphasage de k∆x) pour un déplacement, ∆x. On a l'impression que l'onde
est inchangée mais qu'elle s'est déplacée avec une vitesse, vϕ= ω
k .
La vitesse de phase, vϕ , correspond à la conservation visuelle de l'onde. C'est la
vitesse du front de l'onde; elle n'est pas forcément associée à un déplacement de
matière. Lorsqu'une onde se déplace sur l'eau, les gouttes d'eau ne se déplacent pas mais
bougent verticalement. Conserver la vision de l'onde, cela revient à garder l'exposant
fixe: (kr-ωt) = cte En effet si l'exposant est inchangé, nous aurons l'impression de
retrouver la même fonction pour les nouvelles valeurs (r2 et t2) que pour les valeurs (r1
et t1).
(kr2-ωt2) = (kr1-ωt1) → k(r2-r1) = ω(t2-t1)
d'où vϕ = r2-r1
t2-t1 = ω k = λν et ν = vϕ
λ
Attention, comme nous le justifierons plus tard
∆r
∆t n'est pas égal à dr
dt !
v
ϕ n'est pas égal à v= dr
dt
La vitesse, v, sera plus tard définie par une dérivée :
v = dr
dt = dω
dk . vϕ = ∆r
∆t (rapport des accroissements finis) ne serait égal à la dérivée v
= dr
dt = ω k que si k est une fonction linéaire de ω. Nous verrons plus tard que cela n'est
pas vrai.
Dans le cas du photon vϕ = c = λν et ν = c
λ
Si l'on admet comme un simple changement de variable p = h
λ et E = hν et si
l'on introduit la notation h/ = h
2π on peut pour l'instant compléter notre écriture de Ψ
sous la forme

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Ψ = A ei(kr-ωt) = A e2πi(r
λ - νt) = A e i
h/(pr-Et)
h est pour l'instant une constante. Nous donnerons plus tard une signification à ces
deux termes. h aura alors une dimension, p et E représenteront des grandeurs physiques:
l'impulsion et l'énergie.
On a les relations p = h/ k = h
λ ; E = h/ ω = hν= h
T et vϕ = E p
Si l'on admet E=mv2
2 et p=mv, ce qui définit une nouvelle variable (homogène à une
vitesse) v = 2E
p on trouve v = 2vϕ : la grandeur v n'est pas égale à vϕ .
B) Aspects corpusculaires du rayonnement. La nécessité de quantifier
l'énergie.
Ondes électromagnétiques et photons.
Newton considérait la lumière comme un jet de corpuscules. Lavoisier a
introduit la lumière et le calorique dans sa classification des éléments. Dans la
première moitié du XIXème siècle la théorie ondulatoire de la lumière a permis
d'interpréter de nombreux phénomènes d'optique. De nouvelles expériences ont permis
à Planck tout d'abord en 1900 puis à Einstein de montrer que la lumière est faite d'un jet
de photons dont chacun possède l'énergie définie hν. Cela implique la quantification de
l'énergie.
Nous verrons en conclusion qu'il faut que les deux théories cohabitent et que la
lumière est à la fois onde et flux continu de corpuscules (les photons).
1) Rayonnement du Corps Noir
Dans les années 1900 des expériences avaient montré que lorsqu'on chauffait un
solide, ce corps émettait des radiations. A mesure que la température s'élève, la
fréquence de la radiation augmente et l'on passe d'une radiation rouge à une radiation
jaune puis blanche. A une température donnée, l'intensité de la radiation dépend de la
fréquence; elle croît, passe par un optimum puis décroît. Cela était contradictoire avec
la théorie des ondes électromagnétiques selon laquelle l'intensité ne dépend que de
l'amplitude de la radiation et ne dépend pas de sa fréquence.

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Intensité
de la radiation
émise
théorie
classique
1500°K
2000°K
1500°K
grande fréquence
blanc
3 10 +14
petite fréquence
rouge
0.5 10 +14
(les fréquences sont en seconde-1)
L'adsorption de chaleur provoque des vibrations de liaisons. La fréquence de
vibration est caractéristique des liaisons ou des groupes de liaisons qui se mettent à
vibrer. L'intensité dépend du nombre de liaisons semblables. On peut montrer que ce
nombre croît avec la fréquence. Prenons un segment de longueur L. Il y a un mode de
vibration si λ = L. Si l'on divise notre segment en n segments plus petits, chacun peut
vibrer avec la longueur d'onde λ = L
n et il y a n modes de vibration. En tenant compte
de cela, l'intensité des radiations devrait croître avec la fréquence selon une loi en n2 ou
n3 selon que l'on que l'on considère la surface ou le solide en trois dimensions. Le
résultat inexplicable est donc la décroissance à haute fréquence.
Selon la théorie classique, il y a émission d'une radiation lorsque le solide après
avoir absorbé de l'énergie thermique reperd cette énergie en retombant à l'état de plus
basse énergie. Le solide est dans un état excité, il retombe dans l'état fondamental (l'état
de plus basse énergie) en émettant une radiation. L'énergie de la radiation est la
différence de l'énergie des deux états. Quand la température est élevée, le niveau excité
moyen est haut et donc l'émission doit devenir plus intense. Ce niveau est
E*Moyen_ E = kT. k est la constante de Boltzmann (k= 1.38 10-23 Joules K-1).
En 1900, Planck a résolu cette contradiction en supposant qu'un état excité ne
pouvait pas avoir n'importe quelle énergie, mais que cette énergie devait avoir des
valeurs déterminées en fonction de la fréquence émise. Cette fréquence est celle du
groupe d'atomes en oscillation:
E*-E = hν
Les états permis sont tous équidistants de hν. On peut assimiler cela à un escalier avec
des marches régulières. Lorsque l'on chauffe, il y a alors deux facteurs qui jouent en
sens inverse. La chaleur reçue permet d'occuper un état excité; mais au lieu de monter
"en pente douce", le système va monter en énergie plus ou moins facilement selon la