Du tableau aux arbres

Du tableau aux arbres
On effectue un sondage sur la vente des produits issus du commerce équitable en demandant aux clients
d'un hypermarché s'ils ont acheté dans le mois au moins un produit issu du commerce équitable.
• 9% des personnes interrogées sont des hommes qui ont acheté dans le mois au moins un produit
issu du commerce équitable.
• 16% des personnes interrogées sont des hommes qui n'ont pas acheté dans le mois au moins un
produit du commerce équitable.
• 27% des personnes interrogées sont des femmes qui ont acheté dans le mois au moins un produit
issu du commerce équitable.
On souhaite savoir si les hommes et les femmes ont le même comportement d'achat en ce qui concerne les
produits issus du commerce équitable.
1) Compléter le tableau à double entrée permettant de traduire les données fournies.
Homme
Femme
Total
Equitable
Non Equitable
Total
2) Quels sont les pourcentages respectifs d'hommes et de femmes dans l'échantillon interrogé ?
3) Quel est le pourcentage de personnes interrogées ayant acheté dans le mois au moins un produit issu du
commerce équitable ?
4) Montrer que le pourcentage d'hommes ayant acheté dans le mois au moins un produit issu du
commerce équitable est le même que le pourcentage de femmes ayant acheté dans le mois au moins un
produit issu du commerce équitable. Pouvait-on arriver à cette conclusion sans calculer les pourcentages,
en observant le tableau ?
5) On prélève au hasard un individu de la population étudiée.
Représenter la situation en complétant l'arbre de probabilité ci-dessous. La conclusion du 4) est-elle
clairement visible sur l'arbre ?
E
H
non E
E
F
non E
L'arbre est un outil graphique qui permet de trier et d'organiser les données. Il constituera au lycée une
aide à la mémorisation des formules (définition des probabilités conditionnelles et la formule des
probabilités totales) et le programme précise que, bien construit, il constitue une preuve acceptable.
Dans le cas générique d'une population triée suivant deux critères A et B, on obtient l'arbre suivant :
PA(B)
P(A)
B
P(A et B)
A
−
PA(B)
−
B
B
PA−(B)
−
P(A)
−
P(A et B)
−
P(A et B)
−
A
−
PA−(B)
−
B
− −
P(A et B)
Règle 1 : La somme des probabilités situées sur les branches issues d'un même nœud est 1 et se traduit par
−
−
: P(A) + P(A) = 1, PA(B) + PA(B) = 1, etc …
Règle 2 : L'événement terminal (A et B) a une probabilité qui s'obtient en faisant le produit des
probabilités sur les branches qui y mènent : P(A et B) = P(A) × PA(B).
Règle 3 : La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des branches aboutissant à cet
−
événement : P(B) = P(A et B) + P(A et B).
Dans la même situation, un tableau à double entrée nous donne :
A
−
A
B
P(A et B)
−
P(A et B)
P(B)
−
B
−
P(A et B)
− −
P(A et B)
−
P(B)
P(A)
−
P(A)
La construction de la ligne ou de la colonne en marge (par superposition du tableau à double entrée de
−
l'exercice précédent) permet d'illustrer la règle 3 : P(B) = P(A et B) + P(A et B).
La politique de contrôle des naissances en République populaire de Chine
Afin de limiter les naissances, les autorités chinoises ont décidé de pratiquer la politique de l'enfant
unique. Dans les zones rurales, si le premier enfant est une fille, les familles peuvent avoir un second
enfant. Par contre, si le premier enfant est un garçon, les couples ne doivent pas tenter d'avoir un autre
enfant.
Cette activité permet d'étudier les compositions de telles familles.
On a donc l'une des trois situations suivantes :
Situation A : le premier et seul enfant est un garçon.
Situation B : les deux enfants sont des filles.
Situation C : le premier enfant est une fille et le deuxième est un garçon.
On cherche à simuler ces situations conformément à ce qui se déroule dans les campagnes chinoises.
L’expérience aléatoire étudiée consiste donc à choisir au hasard une famille d'au maximum deux enfants
et à noter sa situation A, B ou C. Mais ici, on préfère procéder à une simulation de l’expérience aléatoire à
l’aide de chiffres au hasard entre 0 et 9.
Simulation de l’expérience aléatoire
Dans une suite de chiffres au hasard, on regroupe les chiffres deux par deux en convenant que le premier
chiffre correspond au premier enfant et que le deuxième chiffre correspond au deuxième enfant quand il y
a lieu.
On admet que pour chaque naissance, il y a égalité de chances pour que l’enfant soit un garçon ou une
fille. On choisit d’associer à chacun des chiffres 0, 1, 2, 3, 4 une fille et à chacun des chiffres 5, 6, 7, 8, 9
un garçon.
Exemple :
7
2
A
4
3
B
3
8
2
C
1
B
…
…
1) Avec la fonction Random de la calculatrice, produire une suite de 200 chiffres au hasard en recopiant
ces chiffres au fur et à mesure.
2) Déterminer la situation des 100 familles qui correspondent à la suite des 200 chiffres obtenus.
Calculer la fréquence de chacune des situations A, B et C.
3) Pour disposer d’un plus grand nombre de familles, regrouper les résultats obtenus dans la classe ;
Calculer, pour cet échantillon, la fréquence de chacune des situations A, B et C.
4) On choisit au hasard une famille dans l’une des trois situations. En observant les fréquences calculées
précédemment, peut-on évaluer les chances que cette famille se trouve dans la situation A, B ou C ?
5) Vers une explication
On distingue l’aîné des deux enfants et le deuxième
enfant éventuel. On note F la présence d’une fille et
G celle d’un garçon. On représente les différents cas
par le diagramme ci-contre.
Un tel diagramme est appelé un arbre de probabilité.
Déterminer les probabilités des branches de l’arbre
qui correspondent aux situations A, B et C.
Les résultats trouvés dans la classe semblent-ils en
accord avec cette explication ?
Reprendre les calculs de probabilité en prenant les
données de naissance pour la France (en réalité, en
France, il nait en moyenne environ 105 garçons pour
100 filles).
2ème
enfant
1er
enfant
G
G
F
F
Quel Modèle Choisir ?
Dans l’article Croix et Pile de l’Encyclopédie, Jean le Rond d’Alembert (17171783) présente deux raisonnements différents pour calculer les chances de
gagner à ce jeu, c’est-à-dire d’obtenir Croix (on dirait aujourd’hui Face) en
lançant une pièce deux fois.
1) Lire le texte ci-contre de Jean le Rond
d'Alembert expliquant le jeu ayant pour
but d'obtenir Croix en lançant deux fois
une pièce.
2) Expliquer les parties de phrase :
- " 3 contre 1 à parier en faveur du joueur " ;
- " 2 contre 1 à parier" .
3) Simulation de l’expérience
On simule l’expérience à l’aide d’une suite de chiffres au hasard.
a) Proposer une méthode de simulation d'un lancer de pièce
(Croix et Pile) à partir d'une suite de chiffres aléatoires entre 0 et 9.
b) Réaliser 5 simulations à l'aide du tableur du jeu ayant pour but
d'obtenir Croix en lançant deux fois une pièce.
Peut-on répondre à la question sur les chances de gagner à ce
jeu, c'est-à-dire d'obtenir Croix ?
c) Construire un plus grand nombre de simulations et calculer le
pourcentage de parties gagnées.
Peut-on maintenant répondre à la question sur les chances de
gagner à ce jeu ?
4) Modélisation
Lequel des deux modèles énoncés par Jean le Rond d’Alembert semble le plus approprié ?
Proposer une explication à partir des arbres ci-dessous qui envisagent les différents cas possibles.
Modélisation 1
2ème
2ème
Modélisation 2
1er
F
1er
F
F
P
F
F
P
P
P
ou bien
P
5) Une réponse de Laplace (1749-1827)
Laplace commence par démontrer que la probabilité d'amener Croix au moins une fois en deux coups est
3
de 4. Puis il conteste le raisonnement de d'Alembert :
On ne peut compter à ce jeu que trois cas différents, savoir : croix au premier
coup, ce qui dispense d'en jouer au second ; Pile au premier coup et croix au
second ; enfin Pile au premier et au second coup. Cela réduirait la probabilité à
2/3 si l'on considérait avec d'Alembert ces trois cas comme également possibles.
Mais il est visible que la probabilité d'amener Croix au premier coup est 1/2,
tandis que celle des deux autres cas est 1/4 …
Maintenant, si on ajoute la possibilité 1/2 d'amener Croix au premier coup à la
possibilité 1/4 de Pile arrivant au premier coup et Croix au second, on aura 3/4
pour la probabilité cherchée.
Leçon donnée à l'Ecole Normale en 1795.
Illustrer les remarques concernant les probabilités d'apparition de chacune des faces de la pièce sur les
deux arbres de la première page.
Expliquez alors les raisons de l'incertitude de Jean le Ron d'Alembert.
L'arbre que vous avez construit augmenté des probabilités de réalisation est appelé arbre pondéré.
Du temps des premiers rois de France, les pièces de monnaie portaient d'un côté une croix, de
l'autre des piliers. Les deux faces d'une pièce étaient alors désignées par "croix" et "pile". Par
la suite, les rois ont remplacé la croix par leur effigie (leur face) et les piliers par la valeur de
la pièce. Un des côtés de la pièce a dès lors été désigné par le mot "face" et l'autre a continué
de s'appeler "pile".