Egalisation et Synchronisation en Communications
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P. Bianchi, Supélec Egalisation et Synchronisation en Communications Numériques Pascal Bianchi [email protected] ESIEE, 2005-2006 ESIEE-2005 1/57 P. Bianchi, Supélec Cours en trois parties 1. Rappels : la chaı̂ne de transmission • Signal émis perturbé par le canal de propagation • Le récepteur doit successivement . se synchroniser sur le signal reçu . compenser les distortions dues au canal (= égaliser) . détecter les symboles d’info 2. Compensation du canal de propagation et détection des symboles 3. Techniques de synchronisation ESIEE-2005 2/57 P. Bianchi, Supélec Références • J-M. Brossier, Signal et communications numériques : égalisation et synchronisation, Ed. Hermès, 1997 • J.G. Proakis, Digital Communications, Mac Graw-Hill • Page web de J-F. Bercher http://www.esiee.fr/∼bercherj/New/polys/ • U. Mengali, A.N. D’Andrea, Synchronization Techniques for Digital Receivers, Plenum Press. • F.M. Gardner, Phaselock Techniques, Wiley. ESIEE-2005 3/57 P. Bianchi, Supélec Partie 1 Rappels : La chaı̂ne de transmission ESIEE-2005 4/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Signal émis • Symboles d’information {an }n – an ∈ alphabet V complexe – Exemples : ∗ ∗ ∗ ∗ Constellation BPSK : an = ±1 Constellation QPSK : an ∈ {1, i, −1, −i} k Constellation M-PSK : an ∈ {e2iπ M , k = 0, . . . , M − 1} Constellations 16-QAM, 64-QAM, etc. – {an }n∈Z suite iid centrée ESIEE-2005 5/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Signal émis • Mise en forme – Signal émis en bande de base : s(t) = X an g(t − nT ) n∈Z g(t) = filtre de mise en forme T = période symbole = temps consacré à la transmission d’un symbole 1/T = débit ou rythme symbole . g(t) t 0 T . – Allure de la Densité Spectrale de Puissance de s(t) . 1 − 2T ESIEE-2005 1 2T f0 . 6/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Signal émis • Modulation à la fréquence porteuse f0 – Modulation : le signal s(t) en bande de base est “transposé” à la fréquence f0 – Signal modulé (aussi appelé signal en bande étroite) : £ ¤ sbe (t) = Re s(t) e2iπf0 t = Re [s(t)] cos(2πf0 t) − Im [s(t)] sin(2πf0 t) – Allure de la DSP de sbe (t) . −f0 ESIEE-2005 f0 . 7/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Signal émis sbe (t) = Re [s(t)] cos(2πf0 t) − Im [s(t)] sin(2πf0 t) • Modulation à la fréquence porteuse f0 : Réalisation pratique . Re[ . ] cos(2πf0t) s(t) VCO f0 sbe(t) π/2 − sin(2πf0t) Im[ . ] . VCO = Voltage Controlled Oscillator (oscillateur commandé en tension) ESIEE-2005 8/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Signal émis • En résumé, à l’émission . BdB an g(t) T ESIEE-2005 BE sbe (t) s(t) MOD f0 . 9/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Canal de propagation • Sources de perturbations – Bruit thermique → bruit blanc additif gaussien (BBAG) – Trajets multiples → interférences FIGURE • Signal reçu rbe (t) rbe (t) = λ1 sbe (t − τ1 ) + λ2 sbe (t − τ2 ) + · · · + b(t) Ntraj X λk δ(t − τk ) ? sbe (t) + b(t) = k=1 avec . τk = retards . λk = coefficients d’atténuation . b(t) = BBAG ESIEE-2005 10/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Canal de propagation • Modèle général utilisé dans ce cours Canal = action d’un filtre de reponse impulsionnelle hbe (t) + BBAG Signal reçu : rbe (t) = hbe (t) ? sbe (t) + b(t) → Sélectivité en fréquence = fading • Autres modèles de canauxa – Canaux invariants / canaux variants dans le temps – Canaux déterministes / canaux aléatoires (Rayleigh, Rice,. . . ) a Pour plus d’infos, chap. 2 de D. Tse and P. Viswanath, Fundamentals of Wireless Communication, Cambridge University Press, May 2005 Consulter http://www.eecs.berkeley.edu/∼dtse/book.html ESIEE-2005 11/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Récepteur • Objectif Estimer “intelligemment” les symboles an à partir du signal reçu rbe (t) ESIEE-2005 12/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Récepteur • Difficultés. Il va falloir : 1. Ramener le signal en bande de base Oui mais f0 n’est pas parfaitement connu Raison : VCO émission 6= VCO réception, effet Doppler ⇒ Problème de la récupération de porteuse (synchro frequence) 2. Echantillonner à la période symbole T Oui mais T n’est pas parfaitement connu Raison : Horloge émission 6= Horloge réception ⇒ Problème de la récupération de rythme (synchro temps) 3. Détecter enfin les symboles Oui mais le canal a causé de l’interférence entre symboles (IES) ⇒ Problème de la compensation du canal (égalisation) ESIEE-2005 13/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Récepteur • Chaı̂ne de transmission . an sbe (t) s(t) g(t) MOD T f0 hbe (t) b(t) ân ? xn x(t) FA DMOD fˆ0 T̂ ? ESIEE-2005 rbe(t) r(t) . 14/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Récepteur • Etape 1 : démodulation = retour en bande de base – Objectif : récupérer l’enveloppe complexe r(t) du signal reçu rbe (t) . cos(2πf0t) rbe(t) VCO π/2 f0 ? r(t) − sin(2πf0t) i . – Nécessite d’estimer f0 (synchro frequence) – Exercice : montrer que la démodulation ci-dessus est bien l’opération inverse de la modulation effectuée à l’émission. ESIEE-2005 15/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Récepteur • Etape 2 : filtrage adapté (FA) au canal – Soit xn la sortie du filtre adapté échantillonnée à l’instant nT – {xn }n est une statistique suffisante (cf. Thie réception) ⇔ la vraisemblance est une fonction des xn seulement ⇔ on ne perd pas d’info sur les an en échantillonnant ⇔ FA + échantillonnage à T permet toujours de minimiser la proba d’erreur – Nécessite de connaı̂tre le canal ESIEE-2005 16/57 Rappels et problématique P. Bianchi, Supélec Récepteur • Etape 3 : Échantillonnage à la période symbole T – Nécessite d’estimer T (synchro temps) • Etape 4 : Égalisation du canal et détection des symboles 1. Approche “optimale” : Algorithme de Viterbi → Estimation des an par le critère du maximum de vraisemblance (MV) → Souvent trop lourde en complexité 2. Approche sous-optimale : Égalisation → Appliquer un filtre égaliseur à xn → Idée générale : choisir l’égaliseur de telle que sa sortie soit ' an . ESIEE-2005 17/57 P. Bianchi, Supélec Partie 2 Égalisation et détection des symboles ESIEE-2005 18/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Plan de la deuxième partie • Hypothèses simplificatrices et chaı̂ne de transmission simplifiée • Détection optimale : l’algorithme de Viterbi • Egaliseurs linéaires • Égaliseurs à retour de décision (DFE) • Egalisation adaptative • Egalisation aveugle ESIEE-2005 19/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Canal à temps discret équivalent • Objectif Détecter les an à partir de la sortie du filtre adapté xn • Il nous faut donc une expression simple des xn ⇒ simplifions la chaı̂ne de transmission • Hypothèses simplicatrices – Le récepteur connait parfaitement f0 et T ⇔ la synchronisation a déjà été effectuée – Le récepteur connait parfaitement la réponse du canal hbe (t) ⇔ l’étape d’estimation du canal a déjà été effectuée (par émission préalable d’une séquence d’apprentissage) Nous verrons plus tard comment effectuer la synchro et l’estimation de canal ESIEE-2005 20/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Canal à temps discret équivalent • Modèle équivalent en bande de base – Rappels : . sbe (t) = Re "à X # ! an g(t − nT ) e2iπf0 t n . rbe (t) = hbe (t) ? sbe (t) + b(t) – Exercice : montrer que l’enveloppe complexe r(t) de rbe (t) peut s’écrire X an p(t − nT ) + b̃(t) r(t) = n où . p(t) = g(t) ? h(t) est la mise en cascade du formant et du canal . b̃(t) BBAG ESIEE-2005 21/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Canal à temps discret équivalent • Modèle équivalent en bande de base : schéma . an p(t) b̃(t) r(t) p(t) = formant + canal ESIEE-2005 p(−t) FA ∗ x(t) xn T ? ân . 22/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Canal à temps discret équivalent • Simplifions encore : Modèle numérique équivalent – Soit c(t) = p(t) ? p(−t)∗ = formant + canal + FA X x(t) = ak c(t − kT ) + v(t) k où v(t) = p(−t)∗ ? b̃(t) est un bruit gaussien coloré. Après échantillonnage, X xn = x(nT ) = ak c(nT − kT ) + v(nT ). k En posant cn = c(nT ) et vn = v(nT ), on obtient le modèle X xn = ak cn−k + vn k . vn an C(z) = ESIEE-2005 P −k k ck z xn ? ân . 23/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Énoncé final du problème de la détection • Soit la suite observée xn = [C(z)]an + vn = X ck an−k + vn k . Les ck sont connus (= le canal a été préalablement estimé) . vn est un bruit gaussien coloré • Objectif : estimer le symbole an , pour n donné • Remarque – En général, les méthodes connues fonctionnent lorsque le bruit additif est blanc. – Or ici, vn est un bruit coloré ⇒ Utilisation préalable d’un filtre de blanchiment B(z) qui décorrèle le bruit. ESIEE-2005 24/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Filtre de blanchiment • Idée – On applique le filtre B(z) = P k bk z −k à la suite xn [B(z)]xn = [B(z)C(z)]an + [B(z)]vn – On choisit B(z) pour que la suite wn = [B(z)]vn soit blanche. • Choix de B(z) – On factorise C(z) sous la formea C(z) = F (z)F ( z1∗ )∗ – On pose B(z) = 1 F ( z1∗ )∗ ∗ – Exercice : montrer que l’on a bien E[wn wn−k ] = 0 pour k 6= 0. a Preuve (cf. Thie de la réception) : Supposons que C(z) est de degré fini. Soit ρ racine de C(z). Comme ∀k, ck = c∗−k , 1/ρ∗ est aussi racine de C(z). On peut donc écrire C(z) = F (z)F ( z1∗ )∗ . ESIEE-2005 25/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Filtre de blanchiment • Sortie yn du filtre de blanchiement Comme B(z)C(z) = F (z), on a finalement yn = [B(z)]xn = [F (z)]an + wn X = fk an−k + wn k où . Le filtre F (z) est connu . Le bruit wn est blanc gaussien • Dans la suite, par abus de langage, on appellera F (z) le “canal” ESIEE-2005 26/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Le critère du MV et l’algorithme de Viterbi • Critère du MV – Supposons un canal F (z) à L coefficients : yn = L−1 X fk an−k + wn k=0 – On observe N échantillons y0 , . . . , yN −1 – Soit ã = [ã−L+1 , ã−L+2 , . . . , ãN −1 ]T le vecteur des paramètres inconnus âMV = arg max p (y0 , . . . , yN −1 /ã) ã∈VN +L ESIEE-2005 27/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Le critère du MV et l’algorithme de Viterbi • Calcul du log-vraisemblance – Soit σ 2 la variance du bruit wn . Alors ∀ã ∈ VN +L , ¯2 ¯ N −1 L−1 ¯ X ¯¯ X 1 1 ¯ p (y0 , . . . , yN −1 /ã) = √ fk ãn−k ¯ exp − 2 ¯yn − ¯ ¯ σ ( 2πσ 2 )N n=0 k=0 On préfère donc maximiser le log-vraisemblance qui s’écrit plus simplement : ¯ ¯2 L−1 N −1 ¯ ¯ X X 1 ¯ ¯ fk ãn−k ¯ + Cte log p (y0 , . . . , yN −1 /ã) = − 2 ¯y n − ¯ ¯ σ n=0 k=0 – Par conséquent, âMV = arg min ã ESIEE-2005 ¯ ¯2 L−1 ¯ X ¯ ¯ fk ãn−k ¯ ¯yn − ¯ ¯ N −1 ¯ X n=0 k=0 28/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Le critère du MV et l’algorithme de Viterbi Pour simplifier, supposons que an = ±1 (modulation BPSK) • Problème Il faut trouver la valeur de ã qui minimise le critère ¯ ¯2 N −1 L−1 ¯ ¯ X¯ X ¯ JN (ã) = fk ãn−k ¯ ¯yn − ¯ ¯ n=0 k=0 . La méthode débile : Tester la valeur de JN (ã) pour les 2N +L chemins possibles → Complexité exponentielle en N ! . La ruse : Algorithme de Viterbi ESIEE-2005 29/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Le critère du MV et l’algorithme de Viterbi • Notion d’état – Un état = une combinaison possible de (L − 1) symboles – On numérote les états de 0 à 2L−1 − 1 l=0 → (1, 1, . . . , 1) l=1 → (−1, 1, . . . , 1) .. . l = 2L−1 − 1 → (−1, −1, . . . , −1) Dire que la séquence de (L − 1) symboles ãK−L+2 . . . ãK est dans l’état l = 0 ⇔ (ãK−L+2 . . . ãK ) = (1, 1, . . . , 1) ESIEE-2005 30/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Le critère du MV et l’algorithme de Viterbi • Notion de métrique cumulée – On appelle métrique cumulée à l’étape K : ¯ ¯2 K ¯ L−1 ¯ X X ¯ ¯ JK = fk ãn−k ¯ ¯yn − ¯ ¯ n=0 k=0 – Propriétés : . JK ne dépend que des K + L premiers symboles ã−L+1 , . . . , ãK ¯ ¯2 L−1 ¯ ¯ X ¯ ¯ . JK+1 = JK + ¯yK+1 − fk ãK+1−k ¯ ¯ ¯ k=0 ESIEE-2005 31/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Le critère du MV et l’algorithme de Viterbi • Notion de survivants – A l’étape K : les bits ãK−L+2 . . . ãK sont susceptibles d’être dans chacun des 2L−1 états – Pour chaque état l fixé, le Viterbi fournit LA séquence ã−L+1 . . . ãK−L+1 qui minimise JK (l) (l) (l) ⇒ Une seule séquence survivante ãK = [ã−L+1 . . . ãK−L+1 ]T par état l (l) ãK = arg min ã−L+1 ...ãK−L+1 ESIEE-2005 ½ Á ¾ JK ãK−L+2 . . . ãK dans l’état l 32/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Le critère du MV et l’algorithme de Viterbi . (ãK−L+2, . . . , ãK−1, ãK ) (l) Un seul chemin survivant ãK aboutissant à l’état l l=0 l=1 l = 2L −1 (1, 1, . . . , 1) (−1, 1, . . . , 1) (−1, −1 . . . − 1) . • Viterbi Construit les 2L−1 survivants de l’étape K + 1 à partir des 2L−1 survivants de l’étape K ESIEE-2005 33/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Le critère du MV et l’algorithme de Viterbi • Étape K + 1 – Soit l ∈ {0 . . . 2L−1 − 1} un état fixé. Supposons que l’état présent (ãK−L+3 . . . ãK+1 ) soit égal à l. – Il n’y a que deux valeurs possibles l1 , l2 de l’état précédent (ãK−L+2 . . . ãK ) : . Le cas où ãK−L+2 = 1 ⇒ état précédent = l1 . Le cas où ãK−L+2 = −1 ⇒ état précédent = l2 . l = 0 = l1 l = 1 = l2 l = 2L −1 ESIEE-2005 (1, 1, . . . , 1) (−1, 1, . . . , 1) (−1, −1 . . . − 1) (−1, −1 . . . . − 1) (ãK−L+2, . . . , ãK−1, ãK ) (1, 1, . . . , 1) (−1, 1, . . . , 1) (ãK−L+3, . . . , ãK , ãK+1) 34/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Le critère du MV et l’algorithme de Viterbi – On cherche ã−L+1 . . . ãK−L+2 qui minimise la métrique cumulée JK+1 – Deux possibilités : . Si ãK−L+2 = 1, la plus petite métrique cumulée à l’étape K + 1 est ¯ ¯2 L−1 ¯ ¯ X ¯ ¯ (l) (l1 ) fk ãK+1−k ¯ JK+1 = JK + ¯yK+1 − ¯ ¯ k=0 ãK−L+2 =1 . Si ãK−L+2 = −1, la plus petite métrique cumulée à l’étape K + 1 est ¯ ¯2 L−1 ¯ ¯ X ¯ ¯ (l) (l2 ) fk ãK+1−k ¯ JK+1 = JK + ¯yK+1 − ¯ ¯ k=0 ãK−L+2 =−1 – On retient le minimum de ces deux valeurs. Selon le cas, le survivant est (l) (l ) ãK+1 = [ãK1 , 1] ou (l) (l ) ãK+1 = [ãK2 , −1] ESIEE-2005 35/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Le critère du MV et l’algorithme de Viterbi • Étape N − 1 – Il ne reste que 2L−1 valeurs possibles pour ã – âMV est celle qui minimise JN (ã) ESIEE-2005 36/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Le critère du MV et l’algorithme de Viterbi • Complexité du Viterbi = O(N × 2L ) ⊕ linéaire en N ª augmente exponentiellement en fonction du degré L du canal ⇒ Utilisable seulement pour des canaux suffisamment courts ⇒ Nécessité des méthodes sous-optimales (égalisation) ESIEE-2005 37/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égaliseurs linéaires • Rappel: Échantillons reçus yn = [F (z)]an + wn X fk an−k + wn = k∈Z où wn = BBAG de variance E|wn |2 = σ 2 • Idée générale Appliquer un filtre égaliseur G(z) à yn pour compenser le canal F (z) . an wn F (z) yn G(z) zn ân Décision . Sur quel critère choisir G(z) ? ESIEE-2005 38/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égaliseurs linéaires • Egaliseur Zero Forcing (ZF) – On choisit tout simplement G(z) = 1 F (z) – Échantillons zn en sortie d’égaliseur zn = [G(z)]yn = [G(z)F (z)]an + [G(z)]wn ¸ · 1 wn zn = an + F (z) ZF ⇒ Annule l’IES – Cas sans bruit : On retrouve exactement les symboles d’info zn = an ESIEE-2005 39/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égaliseurs linéaires . • Inconvénient du ZF : possible amplification du bruit À ces fréquences le bruit est amplifié ů ÿ 1 zn = an + wn F (z) |F (e2iπf )| 1 |F (e2iπf )| . Fading à certaines fréquences ⇒ le ZF amplifie ces fréquences . Dégradation du SNR de sortie . Nécessité d’un compromis entre IES / Variance du bruit en sortie -1/2 1/2 f . ESIEE-2005 40/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égaliseurs linéaires • Egaliseur de Wiener (ou égaliseur MMSE)a – Choisir G(z) qui minimise l’Erreur Quadratique Moyenne (EQM ou MSE) ·¯ ¯2 ¸ ¯ ¯ GMMSE (z) = arg min E ¯zn − an ¯ G(z) où zn = [G(z)]yn est la sortie de l’égaliseur – Résultat : F ( z1∗ )∗ GMMSE (z) = F (z)F ( z1∗ )∗ + σ 2 a MMSE ESIEE-2005 = Minimum Mean Square Error 41/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égaliseurs linéaires . ZF WIENER Canal |F (e2iπf )| -1/2 1/2 f . ESIEE-2005 42/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égaliseurs linéaires • Mise en œuvre : égaliseur transverse – En pratique ∞ X G(z) = gk z −k impossible à réaliser (∞té de coefs) k=−∞ – Utilisation d’un égaliseur transversea On impose que l’égaliseur G(z) ait un nombre fini de coefficients non nuls ⇔ On cherche G(z) de la forme G(z) = M X gk z −k k=−M a Citons ESIEE-2005 aussi les structures récursives G(z)= PM 1 −k b z −M k PM et les structures ARMA G(z)= −M PM 0 −M 0 gk z −k bk z −k 43/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égaliseurs linéaires • Égaliseur de Wiener transverse – Problème : déterminer le vecteur g = [g−M , . . . , gM ]T minimisant l’EQM : h i 2 J(g) = E |zn (g) − an | où zn (g) = P k gk yn−k . – Solution ĝMMSE = Γ−1 y ξ où ξ = ∗ fM .. . ∗ f−M Γy = (γy (i − j))i,j = matrice de covariance (2M + 1) × (2M + 1) de yn ESIEE-2005 44/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Decision Feedback Equalizers (DFE) • Principe . an wn F (z) yn G(z) zn Feedforward filter M1 coefs ân K(z) Feedback filter M2 coefs . – Rôle du retour de décision → éliminer l’IES résiduelle – Détermination des coefs de G(z) et K(z) de façon à minimiser l’EQM ·¯ ¯2 ¸ ¯ ¯ (G(z), K(z)) = arg min E ¯zn − an ¯ – Élimination de l’IES si les décisions sont correctes Éventuelle propagation d’erreur dans le cas contraire ESIEE-2005 45/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation bloc vs Égalisation adaptative • L’approche “bloc” . TRAINING 1) Estimation canal → F̂ (z) DATA 3) Détection des données en utilisant le même égaliseur G(z) à chaque instant 2) Calcul de G(z) en supposant F̂ (z) ' F (z) . • Quelques inconvénients . Nécessite une étape d’estimation précise du canal et de Γy . Le calcul de G(z) est coûteux (Calcul de l’inverse de la matrice Γy ) . Cas où le canal varie dans le temps → pas d’ajustement de G(z) ESIEE-2005 46/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation bloc vs Égalisation adaptative • L’approche adaptative . TRAINING DATA • À l’instant n, on utilise l’égaliseur G(n) (z) : zn = [G(n) (z)]yn • Ajustement “au fil de l’eau” de G(n) (z) → G(n+1) (z) . . On peut se passer de l’étape d’estimation du canal (cf. algorithme LMS) . Simplicité de mise en œuvre . Poursuite des variations temporelles du canal ESIEE-2005 47/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation adaptative : l’algorithme LMS • Rappels. – L’égaliseur transverse MMSE minimise le critère i h 2 J(g) = E |zn (g) − an | – Autrement dit, ĝMMSE est la valeur de g annulant le gradient de J .. . ∂J(g) ∂J(g) ∇J(ĝMMSE ) := ∂gr + i ∂gi =0 k k .. . g=ĝMMSE – L’approche bloc (rappels) . Résoudre directement ∇J(g) = 0 . Calcul du gradient : ∇J(g) = 2 (Γy g − ξ) = 0 . Solution analytique : ĝMMSE = Γ−1 y ξ → calcul coûteux ESIEE-2005 48/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation adaptative : l’algorithme LMS • Algorithme du gradient (déterministe) – Alternative pour minimiser J(g) : ĝ(n+1) ←− ĝ(n) − µ ∇J(ĝ(n) ) – Quand n → ∞, converge vers ĝMMSE ⊕ Avantage par rapport à l’approche bloc : Évite d’inverser Γy ª Reste encore un inconvénient : Le calcul de ∇J(ĝ(n) ) nécessite toujours de connaı̂tre Γy et ξ. ESIEE-2005 49/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation adaptative : l’algorithme LMS • Modifions l’algorithme du gradient précédent : Algorithme LMSa – Observation ∇J(g) = E [(zn (g) − an )yn∗ ] où yn = [yn+M . . . yn−M ]T . – Algorithme LMS Consiste à remplacer le gradient ∇J(g) par son estiméeb à l’instant n c n (g) = (zn (g) − an )y∗ ∇J n ĝ(n+1) ←− ĝ(n) − µ (zn (ĝ(n) ) − an )yn∗ a Least b Le ESIEE-2005 Mean Square algorithm LMS est un algorithme du gradient dit stochastique 50/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation adaptative : l’algorithme LMS . Phase d’apprentissage → les an sont connus : ĝ(n+1) = ĝ(n) − µ(zn − an )yn∗ . an wn yn F (z) G(n) (z) Actualisation de G(n) (z) zn an . . Phase de données → on remplace an par ân : ĝ(n+1) = ĝ(n) − µ(zn − ân )yn∗ . an wn F (z) yn G(n) (z) Actualisation de G(n) (z) ESIEE-2005 zn ân . 51/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation adaptative : l’algorithme LMS • Conclusion . Pas d’étape d’estimation de canal → les coefs de l’égaliseur sont ajustés grâce à la phase d’apprentissage . Ajustement de l’égaliseur y compris en phase de données → permet la poursuite du canal . Simplicité ESIEE-2005 52/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation adaptative : l’algorithme LMS • Conclusion . Pas d’étape d’estimation de canal → les coefs de l’égaliseur sont ajustés grâce à la phase d’apprentissage . Ajustement de l’égaliseur y compris en phase de données → permet la poursuite du canal . Simplicité • L’algorithme RLS (Recursive Least Square) . Algo du gradient −→ Algo de Newton . ĝ(n+1) = ĝ(n) + µĤ(n) yn (zn − an ) où Ĥ(n) est une estimée du Hessien de J(g) . Amélioration de la vitesse de convergence au prix d’une complexité plus élevée ESIEE-2005 53/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation aveugle (ou autodidacte) • Les méthodes précédentes exigent la transmission d’une séquence pilote . Soit pour estimer le canal . Soit, de manière équivalente, pour adapter les coefs de l’égaliseur (LMS) • Dans certains cas, on souhaite se passer de phase d’apprentissage . Cas des communications non coopératives (écoute passive) . Cas où l’on veut éviter de consacrer des ressources à la transmission de pilotes • Problème de l’égalisation aveugle . Canal F (z) inconnu . Symboles an tous inconnus . Il faut trouver G(z) qui compense l’effet du canal F (z) ESIEE-2005 54/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation aveugle • Une première idée (Supposons wn = 0) – Observation Les symboles an sont iid. Le canal F (z) introduit de la corrélation dans yn . – Résultat Soit G(z) tel que zn = [G(z)]yn est iid. Alors zn = an p.s. – Conclusion Chercher G(z) minimisant un critère d’indépendance (ex: info mutuelle) – Inconvénient Ces critères sont difficilement implémentables ESIEE-2005 55/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation aveugle : le CMA • Constant Modulus criterion Soit {an } iid centrée, circulaire E(a2n ) = 0, de Kurtosis E(|an |4 ) − 2E(|an |2 )2 < 0. Soit le critère du module constant h¡ ¢2 i 2 I(g) = E |zn | − 1 Dans le cas non bruité wn = 0, on a le résultat [Godard, 80] I(g) est minimum ⇔ ∀n, zn = λ an−K p.s. où K est un retard (inconnu) et λ un coefficient complexe (inconnu) • Interprétation Minimiser I(g) permet de retrouver la suite an à un filtre trivial λz −K près. ESIEE-2005 56/57 Égalisation et détection des symboles P. Bianchi, Supélec Égalisation aveugle : le CMA • Constant Modulus Algorithm (CMA) On minimise le critère du module constant grâce à un algo du gradient : g(n+1) = g(n) − µ ∇I(g(n) ) Autre résultat de Godard : pas de minima locaux ⇒ le gradient converge bien vers la solution zn = λan−K , quel que soit g(0) • Autres critères d’égalisation aveugle : Sato, Kurtosis, . . . ESIEE-2005 57/57
