f`(x)

Exercices produits dérivés
Exercice 1
f est une fonction définie et dérivable sur [-2 ;5]. La courbe représentative
de f passe par les points A (-1 ;3), B (1 ;-1) C (3 ;1) et D (4 ;3).
Voici la courbe Cf ′ représentant la fonction dérivée f ′ de la fonction f.
1. Donner l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au
point C.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
3. Tracer une courbe possible pour la fonction f.
Exercice 2
f est la fonction définie sur −{-1} par f(x)=
Error!
.
1. Soit f ′ la fonction dérivée de f , montrer que f ′(x)=
Error!
.
2. a. Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de
variations.
b. Préciser les éventuels extremums locaux de la fonction f .
Exercice 3
f est la fonction définie sur
Ë
par f(x)=x3−6x+1.
1. Soit f ′ la fonction dérivée de f , montrer que f ′(x)=3( ) x2−2 .
2. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
3. Démontrer que 7 est un majorant de f sur ]-õ ;0].
Exercice 4
f est la fonction définie sur [1 ;2] par f(x)=4x+1 .
On admet que f est dérivable sur [1 ;2].
1. Pour tout réel x de [1 ;2], montrer que f ′(x)=
Error!
.
2. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
3. En déduire que pour tout réel x de [1 ;2], 2Âf(x)Â3

Correction
Exercice 1
1. La tangente T à la courbe représentative de f au point C a pour
équation y=f ′(3)(x−3)+f(3)
Or f(3)=1 et f ′(3)=2 donc T a pour équation y=2(x−3)+1 ou
encore y=2x−5.
2. On lit graphiquement le signe de f ′(x) et on en déduit les variations de la
fonction f :
3. La courbe représentative de la fonction f doit « monter » sur [-2 ;-1]
et sur [4 ;5], « descendre » sur [-1 ;1] et sur [1 ;4] et passer par les
points A (-1 ;3), B (1 ;-1), C (3 ;1) et D (4 ;3).
Exercice 2
1. f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur ]-õ ;-1[
et sur ]1 ;+ õ[.
f=
Error!
avec u(x)=
Error!
−3x et v(x)=x+1 donc f ′=
Error!
avec u′(x)=2x−3 et v′(x)=1
Ainsi pour tout réel xý-1, f ′(x)=
Error!
=
Error!
=
Error!
.
2. a. On étudie le signe de f ′(x). Pour cela, on essaie de factoriser
x2+2x−3 :
Δ=22−4×1×(-3)=16>0 donc x2+2x−3 admet deux racines x1=
Error!
=-3 et
Error!
=
Error!
=1.
Ainsi pour tout xý-1, x2+2x−3=(x+3)(x−1).
x
f'x
fx
-2
-1
3
0
1
-1
0
4
3
0
5

On en déduit le signe de f ′(x) :
On en déduit les variations de la fonction f :
b. Par lecture du tableau de variation, f admet un maximum local
-9 en x=-3 et un minimum local -1 en x=1.
Exercice 3
1. f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur  et pour
tout réel x, f ′(x)=2×3x2−3=6x2−3=6
Error!
.
2. On étudie le signe de f ′(x) : f ′(x)=6
Error!
=6
Error!Error!
=6
Error!Error!
.
On en déduit les variations de la fonction f :
x
-
-3
-1
1
+
x
0
x
0
x2
0
f ′(x)
0
0
x
f'x
fx
-
-3
-9
0
-1
1
-1
0
+
x
-
-
+
(x√2/2
0
(x√2/2
0
f'x
0
0

3. D’après le tableau de variation, pour tout xÂ0, f(x)Â2 +1 or 2
+1ó2,414 donc f(x)Â3.
On en déduit que 3 est un majorant de f sur ]-õ ;0].
Exercice 4
1. Pour tout réel x de [1 ;2], f(x)=u(ax+b) avec u(x)=x , a=4 et
b=1.
Alors f ′(x)=au′(ax+b) avec u′(x)=
Error!
donc f ′(x)=4×
Error!
=
Error!
.
2. On étudie le signe de f ′(x) : pour tout réel x de [1 ;2], 4x+1 >0
donc f ′(x)>0.
On en déduit les variations de la fonction f :
3. D’après le tableau de variation, pour tout réel x de [1 ;2], 5
Âf(x)Â3 or 5 ó2,236 donc 2Âf(x)Â3.
x
f'x
fx
-
-
√2+1
0
- √2+1
0
+
x
f'x
fx
1
5
2
3