f`(x)

Exercices produits dérivés
Exercice 1
f est une fonction définie et dérivable sur [-2 ;5]. La courbe représentative
de f passe par les points A (-1 ;3), B (1 ;-1) C (3 ;1) et D (4 ;3).
Voici la courbe Cf ′ représentant la fonction dérivée f ′ de la fonction f.
1.
Donner l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au
point C.
2.
Dresser le tableau de variations de la fonction f.
3.
Tracer une courbe possible pour la fonction f.
Exercice 2
f est la fonction définie sur −{-1} par f(x)=Error!.
1.
Soit f ′ la fonction dérivée de f , montrer que f ′( x)=Error!.
2.
a.
Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de
variations.
b. Préciser les éventuels extremums locaux de la fonction f .
Exercice 3
f est la fonction définie sur Ë par f( x)=x 3−6x+1.
1. Soit f ′ la fonction dérivée de f , montrer que f ′( x)=3(x 2−2).
2.
3.
Dresser le tableau de variation de la fonction f.
Démontrer que 7 est un majorant de f sur ]-õ ;0].
Exercice 4
f est la fonction définie sur [1 ;2] par f( x)= 4x+1 .
On admet que f est dérivable sur [1 ;2].
1.
Pour tout réel x de [1 ;2], montrer que f ′( x)=Error!.
2.
3.
Dresser le tableau de variation de la fonction f.
En déduire que pour tout réel x de [1 ;2], 2Âf( x) Â3
Correction
Exercice 1
1.
La tangente T à la courbe représentative de f au point C a pour
équation y= f ′(3)( x−3)+f(3)
Or f(3)=1 et f ′(3)=2 donc T a pour équation y=2( x−3)+1 ou
encore y=2x−5.
2.
On lit graphiquement le signe de f ′( x) et on en déduit les variations de la
fonction f :
x
-2
f'x
-1
1
4
0
0
0
3
3
fx
-1
3.
La courbe représentative de la fonction f doit « monter » sur [-2 ;-1]
et sur [4 ;5], « descendre » sur [-1 ;1] et sur [1 ;4] et passer par les
points A (-1 ;3), B (1 ;-1), C (3 ;1) et D (4 ;3).
Exercice 2
1.
f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur ]-õ ;-1[
et sur ]1 ;+õ[.
f=Error!avec u( x)=Error!−3x et v( x)=x+1 donc f ′=Error!
avec u′( x)=2x−3 et v′( x)=1
Ainsi pour tout réel xý-1, f ′( x)=Error!=Error!=Error!.
2.
a.
On étudie le signe de f ′( x). Pour cela, on essaie de factoriser
x +2x−3 :
2
Δ=22−4×1×(-3)=16>0 donc x 2+2x−3 admet deux racines x1=
Error!=-3 et Error!=Error!=1.
Ainsi pour tout xý-1, x 2+2x−3=( x+3)( x−1).
5
On en déduit le signe de f ′( x) :
x
-3
-
-1
1
+
0
x
0
x
x2
0
f ′( x )
0
0
On en déduit les variations de la fonction f :
x
-3
-
-1
1
0
f'x
+
0
-9
fx
-1
b. Par lecture du tableau de variation, f admet un maximum local
-9 en x=-3 et un minimum local -1 en x=1.
Exercice 3
1.
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur  et pour
tout réel x, f ′( x)=2×3x 2−3=6x 2−3=6Error!.
2.
On étudie le signe de f ′( x) : f ′( x)=6Error!=6Error!Error!=6Error!Error!
.
x
-
-
+
0
(x√2/2
(x√2/2
0
f'x
0
On en déduit les variations de la fonction f :
0
x
-
-
+
0
f'x
0
√2+1
fx
- √2+1
3.
D’après le tableau de variation, pour tout xÂ0, f( x) Â 2 +1 or 2
+1ó2,414 donc f( x) Â3.
On en déduit que 3 est un majorant de f sur ]-õ ;0].
Exercice 4
1.
Pour tout réel x de [1 ;2], f( x)=u( ax+b) avec u( x)= x , a=4 et
b=1.
Alors f ′( x)=au′( ax+b) avec u′( x)=Error!donc f ′( x)=4×
Error!=Error!.
2.
On étudie le signe de f ′( x) : pour tout réel x de [1 ;2],
4x+1 >0
donc f ′( x)>0.
On en déduit les variations de la fonction f :
x
1
2
f'x
3
fx
5
3.
D’après le tableau de variation, pour tout réel x de [1 ;2], 5
Âf( x) Â3 or 5 ó2,236 donc 2Âf( x) Â3.