TD d`Éléments d`Algorithmique n 1

Université Paris Diderot - L2 informatique Année 2015–2016
TD d’Éléments d’Algorithmique n◦1
(Correction)
Exercice 1. Trouver l’erreur.
L’algorithme suivant, censé trouver le deuxième plus grand élément d’un tableau d’entiers,
n’est pas correct. Montrez-le sur un exemple et corrigez l’erreur.
Max2(T)
entree: un tableau d’entiers T de taille n > 1
sortie: le deuxieme plus grand element de T
variables: max, max2: entier
1 si T[0]>T[1] alors max <- T[0], max2 <- T[1]
2 sinon max <- T[1], max2 <- T[0]
3 fin si
4 pour i allant de 2 a n-1 faire
5 si T[i] > max alors max <- T[i]
6 sinon si T[i]> max2 alors max2 <- T[i]
7 fin si
8 fin si
9 fin faire
10 renvoyer max2
Exercice 2. Min et max.
On souhaite trouver le plus petit et le plus grand élément d’un tableau d’entiers donné.
1. Écrivez l’algorithme simple qui résout le problème en effectuant, pour un tableau de n
éléments, 2(n−1) comparaisons. Exécutez à la main votre algorithme sur le tableau
T=2 1 -3 5 4 8
2. Un algorithme plus efficace est celui qui, itérativament :
•compare entre eux deux éléments consecutifs du tableau.
•compare le plus petit des deux au min courant, et met éventuellement à jour le min
courant.
•compare le plus grand des deux au max courant, et met éventuellement à jour le max
courant.
Écrivez cet algorithme. Exécutez à la main votre algorithme sur le tableau Tci-dessus.
Combien de comparaisons sont effectuées cette fois, en fonction de la longueur du tableau ?
3. Peut on faire mieux ? Que se passe-t-il, par exemple, si on applique la méthode du point
précédent à des paquets de trois, au lieu de deux, éléments consecutifs du tableau ?
Correction :
1

MinEtMax(T)
entree: un tableau d’entiers T de taille n> 0
sortie: le min et le max de T
variables: min, max: entier
1 min <- T[0], max<- T[0]
2 pour i allant de 1 a n-1 faire
3 si T[i]< min alors min <- T[i] fin si
4 si T[i]> max alors max <- T[i] fin si
5 fin faire
6 renvoie min,max
MinEtMaxOpt(T)
entree: un tableau d’entiers T de taille n > 0
sortie: le min et le max de T
variables: min, max, d=0:entier
1 si n mod 2 = 1 alors min <- T[0], max<-T[0], d=1
2 sinon si T[0]<T[1] alors min <- T[0], max<-T[1]
3 sinon min <- T[1], max<-T[0]
4 fin si
5 fin si
6 pour i allant de 1 a (n-1)/2 faire
7 si T[2i-d]< T[2i+1-d] alors
8 si T[2i-d] < min alors min <- T[2i-d] fin si
9 si T[2i+1-d] > max alors max <- T[2i+1-d] fin si
10 sinon
11 si T[2i+1-d] < min alors min <- T[2i+1-d] fin si
12 si T[2i-d] > max alors max <- T[2i-d] fin si
13 fin si
14 fin faire
15 renvoie min,max
Il vaut sans doute mieux traiter uniquement le cas longueur(T) mod 2 = 0, et laisser tomber le décalage
d, à moins qu’il y ait une façon plus rusée de s’y prendre.
Exercice 3. Intervalles d’entiers.
On dispose des fonctions min et max qui renvoient respectivement le plus petit et le plus
grand élément d’un tableau d’entiers donné.
1. Écrivez une fonction contientUnique qui prend en argument un tableau d’entiers Tet un
entier x, et qui retourne 1 si Tcontient xune unique fois, et qui retourne 0 sinon.
2. Écrivez une fonction verifieIntervalle qui prend en argument un tableau d’entiers Tet deux
entiers aet b(avec a≤b) et qui retourne 1 si Tcontient chaque entier entre aet b(aet
bcompris) une unique fois, et que Tne contient aucun autre entier, et qui vaut 0 sinon.
Autrement dit, cette fonction vérifie que Tcorrespond à l’intervalle [a,b]. Cette fonction
utilisera contientUnique.
3. Écrivez une fonction verifieIntervalle2 qui prend en argument un tableau d’entiers Tet
qui retourne 1 si Tcorrespond à un intervalle (c’est-à-dire s’il existe aet btels quel T
contient chaque entier entre aet b, une unique fois, mais aucun autre) et qui retourne 0
sinon. Cette fonction utilisera verifieIntervalle,min et max.
Correction :
2

1. trivial
2. trivial
3. boucle qui compte le nombre d’occurrences de xdans T. Retourne 1 si le nombre d’occurrences
est exactement 1.
4. boucle de i=aàb, vérifie contientUnique(T,x)=1
5. verifieIntervalle(T,min(T),max(T)).
Exercice 4. Ordre alphabétique.
Dans cet exercice, on considère qu’un mot (français) est un tableau de caractères, et que l’on
peut connaître l’ordre (alphabétique) de deux caractères (en utilisant les opérateurs <,<=,=,
>=et >). Par exemple, on a ‘a’<‘b’, ‘b’=‘b’, ‘c’>‘b’. En revanche, on ne peut pas comparer
directement deux mots.
1. Écrivez une fonction inf qui prend en argument deux mots et qui retourne -1 si le premier
mot est avant le second dans l’ordre alphabétique (ou lexicographique, c’est-à-dire l’ordre
du dictionnaire), 0 si les deux mots sont les mêmes, et +1 sinon. Exécutez à la main cette
fonction suir les tableaux de caractères t a b l e et t a b l e a u .
2. Écrivez une fonction min (utilisant inf) qui prend en argument un tableau de mots et qui
retourne le plus petit mot pour l’ordre alphabétique.
Correction :
1. trivial
2. trivial
Exercice 5. Médiane.
La médiane d’un tableau Tànéléments distincts avec nimpair, est l’élément xde Ttel que
exactement (n−1)/2éléments de Tsont <x.
1. Écrivez une fonction compteInf qui prend en argument un tableau d’entiers Tet un entier
x, et qui retourne le nombre d’éléments de Tqui sont <x.
2. Écrivez un algorithme (utilisant cette fonction) qui trouve la médiane d’un tableau Tàn
éléments distincts avec nimpair.
3. Quelle est la complexité de cet algorithme en termes du nombre de comparaisons effec-
tuées, dans le pire des cas, en fonction de n?
4. Donnez un exemple de tableau où la borne trouvée au point précédent est atteinte, et
dérouler l’algorithme du point 2 de cet exercice sur le tableau donné.
Correction :
1. trivial
2. boucle sur les éléments de Tjusqu’à trouver la médiane.
3. Θ(n2)
3