Arbres binaires, arbres non-croisés, quadrangulations

Arbres binaires, arbres non-crois´es,
quadrangulations
Fr´ed´eric Chapoton
janvier 2010

Plan
1Les arbres binaires
2Les arbres non-crois´es
3La relation entre les deux
4Dualit´e et rotation
5Les intervalles
6Le contexte alg´ebrique

D´efinition des arbres binaires
On commence avec les arbres binaires (plans), dont on peut
donner une d´efinition r´ecursive.
Un arbre binaire Test soit l’arbre binaire trivial |soit une paire
(T1,T2) d’arbres binaires. Symboliquement
T=|+ (T1,T2).
Les premiers arbres binaires sont
{ | } { } { ,} { ,,,,}.
Voici un exemple d’arbre binaire plus grand :
.

´
Enum´eration par les nombres de Catalan
On note Ynl’ensemble des arbres binaires `a n+ 1 feuilles. Ces
arbres binaires ont nsommets internes.
Y0={ | } Y1={ } Y2={,}
Y3={,,,,}
Le cardinal de l’ensemble Ynest
#Yn=1
n+ 12n n,
qui sont les nombres de Catalan : 1,1,2,5,14,42,132,429, . . .
Bijection avec les parenth´esages, les mots de Dyck, etc, etc.

Le graphe orient´e des arbres binaires
Les arbres binaires ne forment pas seulement un ensemble, mais
aussi un graphe orient´e.
On a une arˆete orient´ee T→T0si on passe de T`a T0par un
changement local de la forme
−→ .
On a ainsi dans le cas de Y3le graphe suivant :