LES QUADRIPOLES PASSIFS LINEAIRES

Quadripôles passifs linéaires : corrigé des exercices
Exercice 1 : diviseur de tension
On considère le dispositif ci­contre :
1. Étude du circuit vu de l'entrée
a. Exprimer l’impédance d’entrée du quadripôle en
fonction de R1, R2 et Ru.
Les résistances R2 et Ru sont en parallèle et
leur association est en série avec R1 d'où
l'impédance d'entrée Z e =Re =R1 +
R2. Ru
R2 + Ru
b. En déduire la valeur efficace de ie(t) si R1 = 1 kW et R2 =2 kW forment le diviseur de tension.
ve(t) = 5.sin(1000.t) et Ru = 500 W.
Ru est la résistance de charge. L’impédance interne
Les valeurs des résistances permettent de calculer
du générateur imposant ve(t) est supposée nulle.
2000×500
=1400 Ω et comme
2000+500
v e (t)=R e i e (t ) (d'après la loi d'Ohm) alors
v ( t) 5.sin (1000.t) 5
i e (t )= e =
= sin(1000.t ) .
Re
Re
Re
La valeur maximale de i e (t ) est de
5
=3,57 mA soit une valeur efficace
1400
3,57
=2,52 mA
√2
Re =1000+
2. Exprimer l’impédance de sortie du quadripôle en fonction de R1 et R2.
Pour déterminer l'impédance de sortie, il faut débrancher la charge (ici Ru) et remplacer le générateur placé
en entrée par son impédance interne ce qui revient ici à placer en entrée un court­circuit car cette impédance
interne est nulle.
Le circuit à étudier se réduit aux résistances R1 et R2 en parallèle soit Z s=R s=
R 1 . R2
R 1+ R 2
Vs
à vide (Ru est débranchée). Ve et Vs sont les nombres complexes
Ve
associés respectivement à ve(t) et vs(t).
3. Calculer la fonction de transfert T =
On applique la loi du diviseur de tension V s=
Vs
R2
R2
V e ce qui donne T = =
V e R 1+ R 2
R1 + R 2
4. Le schéma ci­contre représente le quadripôle avec une résistance Ru en sortie. Indiquer les valeurs
littérales des résistances et de la source de tension.
D'après ce qui précède Re =R1 +
R2 . R u
R 1 . R2
R2
; Rs=
et T =
R 2+ R u
R 1 + R2
R 1+ R 2
Exprimer Vs en fonction de Ve et des résistances R1, R2 et Ru.
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On applique la loi du diviseur de tension sur la maille de sortie : V s=
Ru
T V e puis on remplace la
Ru + R s
fonction de transfert et la résistance de sortie par les expressions trouvées précédemment
V s=
Ru
R2
R u R2
V e=
V
R1 R 2 R 1+ R 2
R u ( R1 +R2 )+R 1 R2 e
Ru +
R1 + R2
Exercice 2 : détermination d'impédances d'entrée et de sortie
Les quadripôles représentés ci­dessous sont « attaqués » par un générateur dont l'impédance interne est une
résistance notée Rg. La charge est représentée par une impédance Zu.
Déterminer pour chacun d'eux les impédances complexes d'entrée et de sortie lorsque Zu est résistive (Zu = Ru) puis lorsque Zu est constituée d'une capacité Cu en parallèle avec une résistance Ru.
Pour chaque situation, il est conseillé de dessiner le schéma...
➢ Pour le quadripôle de gauche sur charge résistive Ru
• Impédance d'entrée : la capacité C est en parallèle avec la résistance Ru et leur association est en série avec
1
Ru
jC ω
la résistance R soit Z e =
+ R=
+ R (multiplication par j C ω au numérateur
1
1+ j Ru C ω
Ru +
jCω
Ru
et dénominateur).
• Impédance de sortie : l'impédance interne du générateur est placée en entrée du quadripôle, elle en série
avec la résistance R et leur association est en parallèle avec la capacité C soit
1
Rg+ R
jCω
(multiplication par j C ω au numérateur et
Z s=
=
1
1+ j(Rg + R) C ω
Rg + R+
jC ω
(Rg + R)
dénominateur).
➢ Pour le quadripôle de gauche sur charge résistive Ru et capacitive Cu.
• Impédance d'entrée : les deux capacités C et Cu sont en parallèle (elles s'additionnent) avec la résistance Ru
et leur association est en série avec la résistance
R soit
1
j(C+C u ) ω
Ru
Z e=
+ R=
+ R (multiplication par j C ω au numérateur et
1
1+ j Ru (C+C u ) ω
Ru +
j (C +C u )ω
Ru
dénominateur).
• Impédance de sortie : elle est identique à celle de la situation précédente (le schéma est inchangé).
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➢ Pour le quadripôle du milieu sur charge résistive Ru
• Impédance d'entrée : l'inductance L est en parallèle avec la résistance Ru et leur association est en série
avec la résistance R soit Z e =
R u j Lω
+ R (multiplication par j C ω au numérateur et
Ru + j L ω
dénominateur).
• Impédance de sortie : l'impédance interne du générateur est placée en entrée du quadripôle, elle en série
avec la résistance R et leur association est en parallèle avec l'inductance L soit Z s=
(multiplication par j C ω au numérateur et dénominateur).
(Rg +R) j L ω
Rg + R+ j L ω
➢ Pour le quadripôle du milieu sur charge résistive Ru et capacitive Cu.
• Impédance d'entrée : l'inductance L et la capacité Cu sont en parallèle avec la résistance Ru et leur
association est en série avec la résistance
R soit
Z e=
j Ru L ω
1
+R=
+R
2
(multiplication par Ru j L ω au
1
1
j
L
ω+
R
+R
LC
(
j
ω)
u
u
+
+ jCω
Ru j L ω
numérateur et dénominateur).
• Impédance de sortie : elle est identique à celle de la situation précédente (le schéma est inchangé).
➢ Pour le quadripôle de droite sur charge résistive Ru
• Impédance d'entrée : la capacité est en parallèle avec les résistances R2 et Ru et leur association est en série
avec la résistance R1 soit Z e=
R2 R u
1
+ R 1=
+R
1 1
Ru +R 2+ j R u R2 C ω 1 (multiplication par
+ +jCω
R2 Ru
Ru R2 au numérateur et dénominateur).
• Impédance de sortie : l'impédance interne du générateur est placée en entrée du quadripôle, elle en série
avec la résistance R1 et leur association est en parallèle avec la résistance R2 et la capacité C soit
Z s=
(R1 + Rg )R 2
1
=
1
1
R2 + R1 + Rg + j R 2( R 1+ R g) C ω (multiplication par R1 + Rg R2 au
+ +jCω
R1 + Rg R2
numérateur et dénominateur).
➢ Pour le quadripôle de droite sur charge résistive Ru et capacitive Cu.
• Impédance d'entrée : les deux capacités C et Cu sont en parallèle (les capacités en parallèle s'ajoutent, il
faut remplacer « C » par « C + Cu » dans les équations) avec les résistances R2 et Ru et leur association est
en série avec la résistance R1 soit Z e=
1
1 1
+ + j(C +C u )ω
R2 Ru
+ R 1=
R2 Ru
+ R1
R u+ R 2+ j R u R2 (C+ C u)ω
(multiplication par Ru R2 au numérateur et dénominateur).
• Impédance de sortie : elle est identique à celle de la situation précédente (le schéma est inchangé).
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Exercice 3 : mesures d'impédances d'entrée et de sortie
On considère un quadripôle dont les bornes d'entrée sont reliées à un générateur de résistance interne égale à
75 W. La charge du quadripôle est égale à 150 W. Pour déterminer les impédances d'entrée et de sortie du
quadripôle, on utilise les montages ci­dessous :
Indications des appareils : 8,4 V et 67 mA
Indications des appareils : 7,5 V et 33 mA
1. Le GBF délivre une tension sinusoïdale, indiquer le type des appareils de mesure utilisés (RMS ou
« classiques ») ainsi que leur position (AC, DC, AC + DC).
Toutes les grandeurs étant sinusoïdales, des multimètres « classiques » en position AC sont suffisants.
2. Impédance d'entrée
a. Indiquer le montage utilisé pour sa détermination.
C'est le montage de gauche : la résistance de charge est branchée en sortie et les mesures sont faites sur les
courant et tension en entrée.
b. Quelle est la valeur de la résistance R ?
D'après l'énoncé, la charge du quadripôle est égale à 150 W, c'est donc la valeur de la résistance R.
c. Calculer le module de cette impédance d'entrée à partir des indications des appareils de mesure.
Z e=
Ve
8,4
=125 Ω
avec V e =8,4 V et I e=67 mA soit Z e =
Ie
67.10−3
3. Impédance de sortie
a. Quelle est la valeur de la résistance R ?
D'après l'énoncé, la résistance interne du générateur placé én entrée du quadripôle est égale à 75 W, c'est
donc la valeur de la résistance R.
b. Calculer le module de cette impédance d'entrée à partir des indications des appareils de mesure.
Z s=
Vs
7,5
=227 Ω
avec V s=7,5 V et I s=33 mA soit Z s=
Is
33.10−3
c. Proposer une méthode pour la détermination expérimentale de l'argument de l'impédance de sortie.
On complète le montage de droite en rajoutant une entrée d'oscilloscope pour visualiser la tension entre les
points S1 et S2 ; une résistance en série avec le GBF aux bornes de laquelle est placée une entrée
d'oscilloscope pour visualiser l'image du courant.
La détermination de l'argument de l'impédance de sortie se fait en mesurant le déphasage entre les deux
traces affichées à l'oscilloscope.
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Exercice 4 : Étude d'un quadripôle
On étudie le quadripôle représenté ci­contre. La résistance Ru
placée entre ses bornes de sortie représente sa charge.
1. Détermination de l'impédance d'entrée
a. Exprimer l'impédance d'entrée Ze du quadripôle en fonction
de C, R, Ru et de la pulsation w des grandeurs d'entrée.
Les résistances R et Ru sont en parallèle et leur association est
en série avec la capacité C.
R = 1 kW, C = 470 nF, Ru = 470 W
R R
1
Z e= u +
Ru + R j C ω
b. Mettre l'impédance d'entrée sous la forme Ze = Re + j Xe et donner les expressions de Re et Xe en fonction
des éléments du montage.
R R
1
1
=− j , la relation précédente devient Z e = u − j
et en identifiant avec la forme
j
Ru + R
Cω
Ru R
−1
proposée dans l'énoncé Re =
et X e =
Cω
Ru+ R
Comme c. Vers quelle valeur tend le module de l'impédance d'entrée si les grandeurs d'entrée sont continues ?
Raisonnement « physique » : si les grandeurs sont continues alors la capacité se comporte comme un circuit
ouvert et l'impédance d'entrée tend vers l'infini.
√
Raisonnement « mathématique » : le module de l'impédance d'entrée s'écrit Z e = (
la pulsation w tend vers zéro (continu) alors Ze tend vers l'infini.
Ru R 2
1 2 , si
) +(
)
R u+ R
Cω
2. Étude pour une fréquence de 1000 Hz
La tension d'entrée du quadripôle est sinusoïdale, de fréquence 1 kHz et de valeur efficace 8 V.
a. Calculer le module de l'impédance d'entrée pour 1 kHz.
√
Le module de l'impédance d'entrée s'écrit Z e = (
√
Z e= (
2
2
Ru R 2
1 2 soit pour 1 kHz
) +(
)
R u+ R
Cω
470×1000
1
) +(
) =466 Ω
−9
470+1000
470.10 ×2 π×1000
b. En déduire la valeur efficace de l'intensité en entrée du quadripôle.
Puisque Z e =
Ve
Ve
8
alors I e= =
=17,2 mA
Ie
Z e 466
c. Calculer l'argument de l'impédance d'entrée pour 1 kHz.
La partie imaginaire étant négative, l'argument sera négatif. Expression du cosinus :
Ru R
Ru+ R
470×1000
470+1000
cos ( Arg ( Z e ))=
=
=0,686 qui donne
2
466
2
R R
1
( u ) +(
)
Ru+ R
Cω
√
Arg (Z e )=arccos (0,686)=−47 °
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d. En déduire le déphasage de la tension par rapport à l'intensité en entrée du quadripôle.
Ve
alors Arg (Z e )= Arg(V e )− Arg (I e ) soit Arg (V e )= Arg(Z e )+ Arg(I e ) , la
Ie
tension est déphasée de Arg ( Z e )=−47 ° par rapport à l'intensité : la tension est en retard de 47° sur
Puisque Z e =
l'intensité.
e. Parmi les graphes ci­dessous et ceux de la page suivante, lequel (ou lesquels) peut (peuvent) correspondre
au cas étudié ?
Échelle verticale : une division pour 5 mA ou une division pour 2 V.
Le courant est en retard
L'amplitude de l'intensité ne correspond pas
L'amplitude de l'intensité ne correspond pas
L'amplitude de l'intensité ne correspond pas
L'amplitude de l'intensité ne correspond pas
L'amplitude de l'intensité correspond et le déphasage
est proche de 50°.
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Exercice 5 : répartiteur d'antenne
Une antenne de télévision se comporte comme un dipôle d'impédance de sortie égale à 75 W. Elle est reliée
au téléviseur par un câble d'impédance caractéristique Z0, supposée résistive et égale à 75 W.
1. Exprimer la puissance Pa transmise par l'antenne en fonction de la puissance Pr qu'elle reçoit.
L'adaptation d'impédance étant réalisée, la puissance Pa est égale à la moitié de Pr
Démonstration :
Valeur efficace de la tension aux bornes du téléviseur (circuit de réception) : V t =
Rt
V avec V a
R a+ R t a
la valeur efficace de la tension aux bornes de l'antenne, Ra =R0 la résistance de sortie de l'antenne et
Rt la résistance d'entrée du téléviseur Rt =R0 .
2
2
2
Va
V
Rt
1
Les impédances étant supposées résistives : Pr =
et Pa = t = (
V )
Rt + R a
Rt R t R t + Ra a
Rt
V 2a
Rt
1
Pa =
=
Pr et comme Rt =Ra =R0 alors Pa = Pr
2
R t + R a Rt + R a R t + Ra
ce qui donne
On souhaite relier quatre téléviseurs à cette antenne.
2. Premier montage : le raccordement réalisé est schématisé
ci­contre.
a. Calculer l'impédance vue par l'antenne. Comparer la puissance
Pa4 transmise par l'antenne dans cette situation avec la puissance
Pa.
Les impédances des quatre téléviseurs sont en parallèle, l'antenne « voit » donc une impédance
R4t =
R4t
75
18,75
=18,75 Ω . On a maintenant Pa4 =
P=
P =0,2 P r 4
R 4t + R a r 18,75+75 r
b. Calculer la puissance reçue par chaque téléviseur.
Les téléviseurs étant identiques, ils reçoivent le quart de la puissance calculée précédemment soit
Pt4 =
0,2
P =0,05 P r ce qui correspond à un dixième de ce que recevait un téléviseur seul.
4 r
3. Deuxième montage : pour améliorer le
fonctionnement, le montage ci­contre est proposé (les
résistances sont notée R).
a. Exprimer l'impédance équivalente vue par l'antenne en
fonction de R et R0.
Il y a quatre associations série de R et R0 ( R+ R0 ) qui sont connectées en parallèle (
l'ensemble est en série avec une résistance R.
D'où l'impédance équivalente (résistive puisque toutes les autres impédances le sont) : Re =
R+ R 0
) et
4
R+ R 0
+R
4
b. Calculer R pour que la charge branchée sur l'antenne soit égale à son impédance caractéristique.
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On doit obtenir Re =
3
5
R+ R 0
+ R=R0 soit R+R0 =4 ( R0−R) qui donne R+4 R=4 R0−R 0 soit
4
finalement R= R 0
c. Calculer la puissance reçue par chaque récepteur et la comparer avec celle de la situation précédente.
1
2
L'adaptation d'impédance étant réalisée, Pt4adapt = Pr ; es téléviseurs étant identiques, ils reçoivent le
quart de cette puissance soit Pt4adapt =
11
P =0,125 Pr ce qui correspond à un quart de ce que recevait
42 r
un téléviseur seul mais à deux fois et demi ce que recevait chaque téléviseur sans le répartiteur.
Exercice 6 : adaptation d'impédance et rendement
Un générateur sinusoïdal est représenté par une fém de valeur efficace Eg en série avec une résistance Rg et
une réactance Xg (constituant l'impédance du générateur). La fréquence est notée f.
Une impédance Zu, constituée d'une résistance Ru en série avec une réactance Xu, est placée aux bornes du
générateur (charge).
1. Dessiner le schéma de l'association.
2. Expression de l'intensité dans le circuit
a. Exprimer le nombre complexe I associé à l'intensité à travers le générateur en fonction des éléments du
montage.
Les 4 impédances sont en série et soumise à la tension Eg d'où le nombre complexe associé au courant
I=
Eg
Rg+ j Xg+ Ru+ j X u
b. Exprimer la valeur efficace de l'intensité à travers le générateur.
On prend le module du nombre complexe précédent : I =
Eg
√(R + R ) +(X
2
g
u
g
+ X u )2
3. L'adaptation d'impédance est réalisée.
a. Écrire la nouvelle expression de la valeur efficace de l'intensité à travers le générateur.
D'après le cours, on a alors Rg=R u et X g =−X u ce qui donne I =
Eg
2 Ru
b. Exprimer le puissance fournie par le générateur et celle reçue par la charge. Calculer le rendement. Cette
situation est­elle souhaitable dans le cas de la distribution d'énergie électrique.
E2g
Le générateur « fournit » sa puissance à l'association série des résistances soit Pg=2 R u I =
.
2 Ru
2
2
1 Eg
La charge « reçoit » Pu =Ru I =
2 2 Ru
2
Le rendement η=
Quadripôles
Pu
=0,5 , cette situation n'est pas souhaitable dans le cas de la distribution électrique.
Pg
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Exercice 7 : adaptation en tension
Un capteur de masse délivre à vide une tension Vp0 évoluant entre 0 et 10 V lorsque la masse M qu'il mesure
évolue de 0 à 5000 kg. Le facteur de proportionnalité entre Vp0 et M est noté K : Vp0 = K.M.
1. Calculer K.
Pour M =5000 kg , on a V p0=10 V ce qui donne K=
10
=2.10−3 V/kg
5000
La résistance de sortie du capteur est notée Rp et vaut 1 kW. Le capteur peut donc être représenté par une fém
(notée Ep) en série avec la résistance Rp.
Le capteur est raccordé à une entrée d'automate dont la résistance d'entrée est notée Rau.
2. Tensions en entrée de l'automate
a. Exprimer Vp (tension de sortie du capteur) en fonction de Ep, Rp et Rau (il peut être judicieux de représenter
le schéma équivalent).
La loi du diviseur de tension permet d'écrire : V p=E p
Rau
R p+ R au
b. Calculer Vp si Rau = 5 kW lorsque M = 2500 kg.
Si M = 2500 kg alors Ep =K M =2.10−3×2500=5V ce qui donne V p=5
5000
=4,17 V
1000+5000
c. Quelle valeur de Rau donnerait Vp = 5 V lorsque M = 2500 kg ?
Il faudrait que Rau tende vers l'infini.
Exercice 8: démonstration de la condition d'adaptation d'impédance
Le schéma ci­contre représente la liaison entre deux
quadripôles, l'un est représenté par Es1 et Zs1 (fém et impédance
de sortie), l'autre est représenté par son impédance d'entrée Ze2.
1. Expression de la puissance transmise à Ze2
a. Exprimer I en fonction des éléments du montage
D'après la loi d'Ohm :
Z s1= R s1 j X s1 et Z e2 =Re2  j X e2
I=
E s1
E s1
=
Z s1 + Z e2 R s1+ R e2+ j(X s1 + X e2 )
b. Exprimer la puissance P transmise au second quadripôle en
fonction de Re2, Xe2, Rs1, Xs1 et Es1.
Le second quadripôle reçoit une puissance P=Re2 I 2 et I=
2
E s1
√(R
s1
+R e2)2 +( X s1 + X e2 )2
ce qui donne
E s1
P=Re2
2
2
( R s1+ Re2 ) +( X s1+ X e2)
2. L'objectif est de montrer que la puissance transmise est maximale si les impédances Ze2 et Zs1 ont des
parties réelles égales et des parties imaginaires de même valeur absolue mais de signes contraires.
a. La puissance est maximale si le dénominateur est minimal, en déduire la condition sur les parties
imaginaires des impédances de sortie et d'entrée. Écrire l'expression de P lorsque cette condition est
vérifiée.
Pour que le dénominateur soit minimal, il faut que la partie imaginaire de l'impédance Z s1 +Z e2 soit nulle
ce qui donne X s1 + X e2 =0 d'où X s1=−X e2
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L'expression de la puissance devient P=Re2
E 2s1
(R s1+ Re2 )2
b. Déterminer l'expression de la dérivée de P (question 2.a) par rapport à Re2 et montrer qu'elle s'annule
lorsque Re2 = Rs1.
u
avec u=R e2 E 2s1 et v =( Rs1 + Re2 )2 , la dérivée de de P par rapport à Re2 peut
v
dP
v u ' −u v '
=
s'écrire avec u '=E 2s1 et v ' =2(Rs1 +Re2 )
2
d Re2
v
On peut écrire P=
2 2
2
dP (R s1+ R e2) Es1 −Re2 Es1 2( R s1 + R e2)
=
d Re2
[( R s1+ Re2 )2 ]2
Cette dérivée s'annule si son numérateur est nul : (Rs1 + R e2 )2 E2s1−R e2 E 2s1 2(Rs1 + R e2 )=0
en simplifiant par E2s1 puis en développant, on obtient R2s1+ 2 R s1 R e2 + R2e2 −2 R s1 Re2−2 R2e2 =0
Les termes 2 R s1 Re2 se simplifient, il en est de même pour R2e2 et 2 R 2e2 d'où R2s1−R2e2 =0 qui
peut s'écrire (Rs1 −Re2 )( Rs1 + Re2 )=0
La dérivée s'annule pour Rs1=−R e2 ce qui n'est physiquement pas possible et Rs1=Re2
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