LES QUADRIPOLES PASSIFS LINEAIRES

Quadripôles passifs linéaires : corrigé des exercices
Exercice 1 : diviseur de tension
On considère le dispositif ci-contre :
1. Étude du circuit vu de l'entrée
a. Exprimer l’impédance d’entrée du quadripôle en
fonction de R1, R2 et Ru.
Les résistances
R2
et
Ru
sont en parallèle et
leur association est en série avec
R1
d'où
l'impédance d'entrée
Ze=Re=R1+R2.Ru
R2+Ru
b. En déduire la valeur efficace de ie(t) si
ve(t) = 5.sin(1000.t) et Ru = 500 W.
Les valeurs des résistances permettent de calculer
Re=1000+2000×500
2000+500 =1400 Ω
et comme
ve(t)=Reie(t)
(d'après la loi d'Ohm) alors
ie(t)= ve(t)
Re
=5.sin (1000.t)
Re
=5
Re
sin(1000.t )
.
La valeur maximale de
ie(t)
est de
5
1400 =3,57 mA
soit une valeur efficace
3,57
√
2=2,52 mA
R1 = 1 kW et R2 =2 kW forment le diviseur de tension.
Ru est la résistance de charge. L’impédance interne
du générateur imposant ve(t) est supposée nulle.
2. Exprimer l’impédance de sortie du quadripôle en fonction de R1 et R2.
Pour déterminer l'impédance de sortie, il faut débrancher la charge (ici Ru) et remplacer le générateur placé
en entrée par son impédance interne ce qui revient ici à placer en entrée un court-circuit car cette impédance
interne est nulle.
Le circuit à étudier se réduit aux résistances
R1
et
R2
en parallèle soit
Zs=Rs=R1.R2
R1+R2
3. Calculer la fonction de transfert
T=Vs
Ve
à vide (Ru est débranchée). Ve et Vs sont les nombres complexes
associés respectivement à ve(t) et vs(t).
On applique la loi du diviseur de tension
Vs=R2
R1+R2
Ve
ce qui donne
T=Vs
Ve
=R2
R1+R2
4. Le schéma ci-contre représente le quadripôle avec une résistance Ru en sortie. Indiquer les valeurs
littérales des résistances et de la source de tension.
D'après ce qui précède
Re=R1+R2.Ru
R2+Ru
;
Rs=R1.R2
R1+R2
et
T=R2
R1+R2
Exprimer Vs en fonction de Ve et des résistances R1, R2 et Ru.
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On applique la loi du diviseur de tension sur la maille de sortie :
Vs=Ru
Ru+Rs
T V e
puis on remplace la
fonction de transfert et la résistance de sortie par les expressions trouvées précédemment
Vs=Ru
Ru+R1R2
R1+R2
R2
R1+R2
Ve=RuR2
Ru(R1+R2)+R1R2
Ve
Exercice 2 : détermination d'impédances d'entrée et de sortie
Les quadripôles représentés ci-dessous sont « attaqués » par un générateur dont l'impédance interne est une
résistance notée Rg. La charge est représentée par une impédance Zu.
Déterminer pour chacun d'eux les impédances complexes d'entrée et de sortie lorsque Zu est résistive
(Zu = Ru) puis lorsque Zu est constituée d'une capacité Cu en parallèle avec une résistance Ru.
Pour chaque situation, il est conseillé de dessiner le schéma...
➢Pour le quadripôle de gauche sur charge résistive Ru
•Impédance d'entrée : la capacité C est en parallèle avec la résistance Ru et leur association est en série avec
la résistance R soit
Ze=
Ru
1
jC ω
Ru+1
j C ω
+R=Ru
1+j RuCω+R
(multiplication par
j C ω
au numérateur
et dénominateur).
•Impédance de sortie : l'impédance interne du générateur est placée en entrée du quadripôle, elle en série
avec la résistance R et leur association est en parallèle avec la capacité C soit
Zs=
(Rg+R)1
j C ω
Rg+R+1
jC ω
=Rg+R
1+j(Rg+R)Cω
(multiplication par
j C ω
au numérateur et
dénominateur).
➢Pour le quadripôle de gauche sur charge résistive Ru et capacitive Cu.
•Impédance d'entrée : les deux capacités C et Cu sont en parallèle (elles s'additionnent) avec la résistance Ru
et leur association est en série avec la résistance R soit
Ze=
Ru
1
j(C+Cu)ω
Ru+1
j(C+Cu)ω
+R=Ru
1+j Ru(C+Cu)ω+R
(multiplication par
j C ω
au numérateur et
dénominateur).
•Impédance de sortie : elle est identique à celle de la situation précédente (le schéma est inchangé).
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➢Pour le quadripôle du milieu sur charge résistive Ru
•Impédance d'entrée : l'inductance L est en parallèle avec la résistance Ru et leur association est en série
avec la résistance R soit
Ze=Ruj Lω
Ru+j L ω+R
(multiplication par
j C ω
au numérateur et
dénominateur).
•Impédance de sortie : l'impédance interne du générateur est placée en entrée du quadripôle, elle en série
avec la résistance R et leur association est en parallèle avec l'inductance L soit
Zs=(Rg+R)j L ω
Rg+R+j L ω
(multiplication par
j C ω
au numérateur et dénominateur).
➢Pour le quadripôle du milieu sur charge résistive Ru et capacitive Cu.
•Impédance d'entrée : l'inductance L et la capacité Cu sont en parallèle avec la résistance Ru et leur
association est en série avec la résistance R soit
Ze=1
1
Ru
+1
j L ω+j C ω
+R=j RuLω
j L ω+Ru+RuLC (jω)2+R
(multiplication par
Ruj L ω
au
numérateur et dénominateur).
•Impédance de sortie : elle est identique à celle de la situation précédente (le schéma est inchangé).
➢Pour le quadripôle de droite sur charge résistive Ru
•Impédance d'entrée : la capacité est en parallèle avec les résistances R2 et Ru et leur association est en série
avec la résistance R1 soit
Ze=1
1
R2
+1
Ru
+j C ω
+R1=R2Ru
Ru+R2+j RuR2Cω+R1
(multiplication par
RuR2
au numérateur et dénominateur).
•Impédance de sortie : l'impédance interne du générateur est placée en entrée du quadripôle, elle en série
avec la résistance R1 et leur association est en parallèle avec la résistance R2 et la capacité C soit
Zs=1
1
R1+Rg
+1
R2
+j C ω
=(R1+Rg)R2
R2+R1+Rg+j R2(R1+Rg)Cω
(multiplication par
R1+RgR2
au
numérateur et dénominateur).
➢Pour le quadripôle de droite sur charge résistive Ru et capacitive Cu.
•Impédance d'entrée : les deux capacités C et Cu sont en parallèle (les capacités en parallèle s'ajoutent, il
faut remplacer « C » par « C + Cu » dans les équations) avec les résistances R2 et Ru et leur association est
en série avec la résistance R1 soit
Ze=1
1
R2
+1
Ru
+j(C+Cu)ω
+R1=R2Ru
Ru+R2+j RuR2(C+Cu)ω +R1
(multiplication par
RuR2
au numérateur et dénominateur).
•Impédance de sortie : elle est identique à celle de la situation précédente (le schéma est inchangé).
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Exercice 3 : mesures d'impédances d'entrée et de sortie
On considère un quadripôle dont les bornes d'entrée sont reliées à un générateur de résistance interne égale à
75 W. La charge du quadripôle est égale à 150 W. Pour déterminer les impédances d'entrée et de sortie du
quadripôle, on utilise les montages ci-dessous :
Indications des appareils : 8,4 V et 67 mA Indications des appareils : 7,5 V et 33 mA
1. Le GBF délivre une tension sinusoïdale, indiquer le type des appareils de mesure utilisés (RMS ou
« classiques ») ainsi que leur position (AC, DC, AC + DC).
Toutes les grandeurs étant sinusoïdales, des multimètres « classiques » en position AC sont suffisants.
2. Impédance d'entrée
a. Indiquer le montage utilisé pour sa détermination.
C'est le montage de gauche : la résistance de charge est branchée en sortie et les mesures sont faites sur les
courant et tension en entrée.
b. Quelle est la valeur de la résistance R ?
D'après l'énoncé, la charge du quadripôle est égale à 150 W, c'est donc la valeur de la résistance R.
c. Calculer le module de cette impédance d'entrée à partir des indications des appareils de mesure.
Ze=Ve
Ie
avec
Ve=8,4 V
et
Ie=67 mA
soit
Ze=8,4
67.10−3=125 Ω
3. Impédance de sortie
a. Quelle est la valeur de la résistance R ?
D'après l'énoncé, la résistance interne du générateur placé én entrée du quadripôle est égale à 75 W, c'est
donc la valeur de la résistance R.
b. Calculer le module de cette impédance d'entrée à partir des indications des appareils de mesure.
Zs=Vs
Is
avec
Vs=7,5 V
et
Is=33 mA
soit
Zs=7,5
33.10−3=227 Ω
c. Proposer une méthode pour la détermination expérimentale de l'argument de l'impédance de sortie.
On complète le montage de droite en rajoutant une entrée d'oscilloscope pour visualiser la tension entre les
points S1 et S2 ; une résistance en série avec le GBF aux bornes de laquelle est placée une entrée
d'oscilloscope pour visualiser l'image du courant.
La détermination de l'argument de l'impédance de sortie se fait en mesurant le déphasage entre les deux
traces affichées à l'oscilloscope.
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Exercice 4 : Étude d'un quadripôle
On étudie le quadripôle représenté ci-contre. La résistance Ru
placée entre ses bornes de sortie représente sa charge.
1. Détermination de l'impédance d'entrée
a. Exprimer l'impédance d'entrée Ze du quadripôle en fonction
de C, R, Ru et de la pulsation w des grandeurs d'entrée.
Les résistances R et Ru sont en parallèle et leur association est
en série avec la capacité C.
Ze=RuR
Ru+R+1 j C ω
R = 1 kW, C = 470 nF, Ru = 470 W
b. Mettre l'impédance d'entrée sous la forme Ze = Re + j Xe et donner les expressions de Re et Xe en fonction
des éléments du montage.
Comme
1
j=− j
, la relation précédente devient
Ze=RuR
Ru+R−j1 Cω
et en identifiant avec la forme
proposée dans l'énoncé
Re=RuR
Ru+R
et
Xe=−1
Cω
c. Vers quelle valeur tend le module de l'impédance d'entrée si les grandeurs d'entrée sont continues ?
Raisonnement « physique » : si les grandeurs sont continues alors la capacité se comporte comme un circuit
ouvert et l'impédance d'entrée tend vers l'infini.
Raisonnement « mathématique » : le module de l'impédance d'entrée s'écrit
Ze=
√
(RuR
Ru+R)
2
+( 1
Cω)
2
, si
la pulsation w tend vers zéro (continu) alors Ze tend vers l'infini.
2. Étude pour une fréquence de 1000 Hz
La tension d'entrée du quadripôle est sinusoïdale, de fréquence 1 kHz et de valeur efficace 8 V.
a. Calculer le module de l'impédance d'entrée pour 1 kHz.
Le module de l'impédance d'entrée s'écrit
Ze=
√
(RuR
Ru+R)
2
+( 1
Cω)
2
soit pour 1 kHz
Ze=
√
(470×1000
470+1000 )
2
+( 1
470.10−9×2π×1000 )
2
=466 Ω
b. En déduire la valeur efficace de l'intensité en entrée du quadripôle.
Puisque
Ze=Ve
Ie
alors
Ie=Ve
Ze
=8
466 =17,2 mA
c. Calculer l'argument de l'impédance d'entrée pour 1 kHz.
La partie imaginaire étant négative, l'argument sera négatif. Expression du cosinus :
cos(Arg (Ze))=
RuR
Ru+R
√
(RuR
Ru+R)
2
+( 1
Cω)
2
=
470×1000
470+1000
466 =0,686
qui donne
Arg (Ze)=arccos (0,686)=−47 °
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