TRAITEMENT DU SIGNAL

Spé ψ
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ψ 2014-2015 page 1/ Devoir n°2
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TRAITEMENT DU SIGNAL
Les cardiofréquencemètres, appareils destinés à mesurer le rythme cardiaque, ne sont plus
réservés au secteur médical et sont très utilisés dans le domaine de l’entraînement sportif. Le rythme
cardiaque varie d’environ 60 battements par minute pour un sujet au repos jusqu’à 200 battements
lors d’un effort physique intense ou d’une forte émotion. La contraction d’un muscle, le cœur en
particulier, crée un signal électrique. La détermination du rythme cardiaque passe par la mesure de
la différence de potentiel électrique entre les deux mains du sujet à l’aide d’électrode. La différence
de potentiel est de l’ordre de quelques dizaines de mV.
1) On peut obtenir ainsi la valeur instantanée de la fréquence f puis sa valeur moyenne f
MOY
.
On cherche à transmettre ces informations à un ordinateur par une liaison série.
a) Les valeurs étant codées en binaire sur un octet, quels sont les codes représentant
la fréquence cardiaque (exprimée en battements par minute) la plus basse et la plus élevée ?
b) Dans une liaison série, les données sont transmises en étant codées dans la base
hexadécimal. Chaque paire de valeurs utiles (f, f
MOY
) est transmise encadrées par des caractères dé-
limiteurs de trames. On choisit par exemple 00 au début et FF à la fin, les données transmises ne
devant pas utiliser ces deux codes. Quelles sont les codes hexadécimaux utilisables pour les don-
nées ? Sont-ils compatibles avec les valeurs à transmettre.
2) Revenons à la chaîne de traitement du signal. Le rapport signal sur bruit est en général
plutôt faible. Il est donc nécessaire de mettre en forme le signal avant de pouvoir extraire la fré-
quence cardiaque. Ce problème se propose d’étudier les différentes étapes de mise en forme du si-
gnal. Après amplification (non étudiée), le signal est soumis à deux opérations de filtrage.
Pour tout signal sinusoïdal u(t), la grandeur complexe
associée sera notée u. Tous les ALI sont supposés idéaux.
Le signal amplifié est appliqué en entrée d’un filtre dont
la structure est donnée figure 1.
On donne les valeurs des composants : R = R
1
=
R
2
/2 = 16 kΩ et C = C
1
= C
2
/2 = 0,1 µF. On pose ω
0
= 1/(2RC).
Ce filtre est un filtre réjecteur : il ne transmet pas les si-
gnaux dont la pulsation est voisine d’une pulsation ω
C
.
a) En étudiant de façon qualitative le comporte-
ment du filtre en sortie ouverte aux basses et aux hautes fré-
quences, justifier qu’il est légitime de dire que ce filtre est un
filtre réjecteur.
b) On note v
A
(t) la tension entre le point A et la
masse. Exprimer v
A
en fonction de e
1
, s
1
, ω
0
et ω. Exprimer v
B
en fonction de e
1
, s
1
, ω
0
et ω. (si l’on note v
B
(t) est la tension entre le point B la masse). La suite du
calcul, non demandé, permet d’obtenir la fonction de transfert s
1
/e
1
et montre que ω
C
= ω
0
.
c) Calculer la valeur de la fréquence f
0
associée à ω
0
. Pourquoi ce filtre est-il impor-
tant dans le cas présent ?
3) La fréquence des battements cardia-
ques étant comprise dans un intervalle relati-
vement restreint et de façon à s’affranchir au
maximum de parasites hautes et très basses
fréquences, on applique un filtre passe-bande
au signal obtenu en sortie du filtre précédent.
La structure du circuit utilisé est donnée figure
2. Il fonctionne en sortie ouverte.
figure 2
s
2
(t)
e
2
(t)
R
3
R
6
R
5
C
3
C
4
+
–
R
4
DE
figure 1
s
1
(t)
e
1
(t)
R
2
R
2
R
1
C
2
C
1
C
1
A
B

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a) Exprimer l’impédance d’entrée de ce circuit.
b) Peut-on relier directement le circuit précédemment étudié et le circuit de la figure
2 sans perturber le signal s
1
(t) obtenu en sortie du filtre réjecteur ? Dans le cas d’une réponse néga-
tive, existe-t-il un montage (dont on précisera la structure) à placer entre les deux circuits pour ob-
tenir un signal s
1
(t) non perturbé ?
c) Montrer de façon qualitative que le circuit de la figure 2 présente bien un caractère
passe-bande.
d) On souhaite que la fréquence de coupure basse soit égale à 0,5 Hz et la haute égale
à 150 Hz. Ces valeurs sont-elles compatibles avec les fréquences cardiaques humaines ?
e) En évaluant successivement les quotients v
D
/e
2
, v
E
/v
D
et s
2
/v
E
, montrer que la
fonction de transfert H
2
= s
2
/e
2
s’exprime comme le produit de trois fonctions de transfert très sim-
ples. On précisera le rôle de chacune d’entre elles.
f) Proposer pour R
3
, R
4
, C
3
et C
4
des valeurs permettant de réaliser le filtrage souhai-
té. Les valeurs proposées devront être compatibles avec les composants couramment utilisés en tra-
vaux pratiques.
g) En plus de la fonction filtrage, le filtre proposé possède un deuxième avantage.
Lequel ?
4) Après amplification et filtrages, l’allure du signal obtenu est donnée figure 3.
Le signal électrique e
C
(t) émis au cours d’un battement cardiaque est complexe. En effet, la
figure 3 montre trois phases distinctes : la première (O
1
) correspond à l’action des oreillettes, alors
que les deux autres phases (V
2
et V
3
) correspondent à l’action des ventricules. Pour rendre la mesure
de la fréquence cardiaque possible à l’aide d’un compteur numérique (non étudié), le signal électri-
que du cœur est transformé en un signal créneau d’amplitude donnée, où seul le signal de la phase
V
2
est sélectionné. Cependant, malgré les opérations de mise en forme, le signal de la phase V
2
reste
complexe, comme le met en évidence la figure 4 qui représente le détail d’un battement cardiaque.
a) Le signal électrique e
3
(t) correspondant aux battements cardiaques est appliqué sur
l’entrée + de l’ALI du montage de la figure 5. La tension V
0
est
une tension continue et positive.
Expliquer le fonctionnement de ce dispositif. Que va
être la réponse de ce circuit à un signal du type de celui de la
figure 4 ? Ce circuit est-il adapté à la détermination de la fré-
figure 4
figure 5
Un battement cardiaque
figure 3
Echelle en abscisse : 0,2 s par division

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quence cardiaque ? Justifier la réponse (on pourra s’aider d’un schéma).
b) En réalité, le circuit utilisé est donné figure 6. La tension V
0
est une tension conti-
nue et positive. On considère dans un premier temps un signal d’entrée e
4
(t) = E
0
cos(ωt). On sou-
haite que s
4
(t) = V
SAT
, V
SAT
étant la tension de saturation de
l’ALI. Montrer que e
4
(t) doit être supérieure à une tension U
1
dont on donnera l’expression en fonction de V
0
, V
SAT
et des ré-
sistances du circuit.
On souhaite maintenant que s
4
(t) = –V
SAT
. Montrer que
e
4
(t) doit être inférieure à une tension U
2
dont on donnera
l’expression en fonction de V
0
, V
SAT
et des résistances du circuit.
Pour quelle valeur de e
4
(t) se fait le basculement de
s
4
(t) = +V
SAT
à s
4
(t) = –V
SAT
? Même question pour le bascule-
ment de s
4
(t) = –V
SAT
à s
4
(t) = +V
SAT
.
Donner la condition pour que U
1
soit positive.
Dans ce cas et en supposant que E
0
> U
2
, représenter sur un même graphe les fonctions
e
4
(t) et s
4
(t) en fonction du temps, en faisant apparaître les tensions E
0
, U
1
, U
2
et V
SAT
. Comment
s’appelle un tel montage ?
c) Le signal d’entrée e
4
(t) est à présent le signal cardiaque e
C
(t) représenté sur les fi-
gures 3 et 4. Représenter sur une même figure l’allure du signal cardiaque et celle du signal
s
4
(t) que l’on souhaite obtenir par le filtre. À quelles conditions sur U
1
et U
2
la fréquence du signal
s
4
(t) obtenu correspond-elle effectivement à la fréquence du rythme cardiaque ? Quel est l’intérêt du
circuit effectivement utilisé par rapport à celui de la figure 5 ?
5) On considère maintenant le montage de la figure 7, V
SAT
étant la tension de saturation de
l’ALI. On suppose le condensateur C
5
déchargé et e
5
nul pour t < 0. On note τ
1
= R
9
C
5
et
τ
2
= (R
10
+ R
11
)C
6
a) e
5
devient positif en t = 0 et prend la valeur
V
E
. Exprimer la tension v
–
(t) de la borne – de l’ALI pour
t > 0.
b) e
5
devient nulle à l’instant t
1
>> τ
1
. Expri-
mer la tension v
–
(t) pour t > t
1
.
c) Quel est le rôle de l’association C
5
R
9
?
d) Que vaut la charge q du condensateur C
6
pour t < 0 ?
e) La courbe v
–
(t) présente une succession de
brèves impulsions dont on suppose que l’amplitude est, en valeur absolue, supérieure à E. Montrer
qu’à partir de certains instants, la charge du condensateur C
6
varie avec le temps. Quels évènements
déclenchent cette variation ?
f) En déduire que le circuit de la figure 7 engendre une tension s
5
(t) formée de cré-
neaux de durée constante θ que l’on déterminera en fonction de R
10
, R
11
, C
6
, E et V
SAT
.
g) Le signal d’entrée e
5
(t) est à présent le signal s
4
(t) obtenu à la question précédente
mais redressé par une diode de façon à ne conserver que les valeurs positives. On note e
5
’(t) ce
nouveau signal. Tracer sur les mêmes axes les courbes de e
5
’(t) et s
5
(t) dans l’hypothèse où τ
1
et τ
2
sont très faibles devant les durées caractéristiques de e
5
’(t).
h) On applique s
5
(t) à un circuit permettant d’obtenir sa valeur moyenne. Préciser la
nature précise de ce circuit. Que représente cette valeur moyenne <s
5
> ?
6) Une autre option fréquemment utilisée consiste à numériser le signal après amélioration
du rapport signal/bruit puis faire tout le traitement de manière numérique. Cela nécessite un proces-
seur à l’intérieur de l’appareil mais une fois les filtrages faits, il pourra faire les calculs de fréquence
instantanée ou moyenne sans recourir à des opérations analogiques.
figure 7
+
–
R
11
R
10
R
9
C
6
C
5
E
e
5
(t)s
5
(t)
figure 6

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a) Relever la fréquence du signal de la figure 3. Exprimer cette valeur en battements
par minutes.
b) Le signal e
C
(t) n’est pas sinusoïdal et son spectre s’étale jusqu’à 100 Hz. À partir
de quelle fréquence minimale f
EM
est-il possible de l’échantillonner sans l’altérer ?
Pour des raisons technologiques, la fréquence d’échantillonnage retenue est 448 Hz.
c) Interpréter le spectre du signal échantillonné qui est donné figure 8.
d) Quelle doit être la valeur maximale de la fréquence de coupure du filtre anti-
repliement que l’on doit placer avant l’échantillonnage.
e) On admet qu’une composante d’un signal est éliminée par filtrage si son amplitude
est atténuée dans un rapport 100. La figure 9 donne les courbes de gain en décibel pour trois filtres
analogiques passe-bas de fréquence de coupure égale à 100 Hz. Quel(s) filtre(s) peut-on utiliser
pour éviter tout repliement ? Élimine-t-on aussi la composante parasite à 150 Hz ?
f) Pour enlever des signaux parasites non éliminés par le filtre anti-repliement, on
peut utiliser un filtrage numérique du signal échantillonné. La figure 10 propose les courbes de gain
de deux filtres. Le(s)quel(s) choisir pour éliminer la raie parasite à 150 Hz ?
figure 8
figure 9
figure
10