Le Grand Théor`eme de Fermat Livre 02

Le Grand Th´eor`eme de Fermat
Livre 02 - Groupes
Version 2.0
Pascal Picard∗
18 janvier 2010
∗Je suis grand amateur de Math´ematiques et de Physique Th´eorique, convaincu que ces sciences sont accessibles `a tous, `a
condition de les expliquer progressivement et m´ethodiquement, et de les introduire par les pr´erequis n´ecessaires. Depuis quelques
ann´ees, je m’att`ele `a ´ecrire des textes th´eoriques sous forme de pi`eces de th´eˆatre. Trois personnages y bavardent : B´eatrix est
la Candide, c’est elle qui pose les questions ; Euristide est un peu philosophe, un peu physicien, il est l’intuitif du groupe ;
Mathine est notre math´ematicienne, c’est elle qui pr´esente les calculs et les d´emonstrations. Ces textes sont mis `a disposition
gratuitement sur Internet, parce que j’aime ¸ca. Le pr´erequis pour la lecture des documents, quelque complexes qu’ils soient, est
le programme de Terminale S en France.
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`a Pascale, Marine et Morgane
Remerciements... Ce document est en phase de relecture. Les relecteurs motiv´es recevront mes remercie-
ments chaleureux.
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TABLE DES MATI` ERES 3
Table des mati`eres
1 Acte - Introduction 7
2 Acte - Relations d’´equivalence 8
2.1 Sc`ene - Relations d’´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Sc`ene I.2 - Ensemble quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Acte II - Ensembles ordonn´es 17
3.1 Sc`ene II.1 - Ensembles ordonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Sc`ene II.2 - Lemme de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Acte III - Groupes 26
4.1 Sc`ene III.1 - Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Sc`ene III.2 - Sous-groupe d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Sc`ene III.3 - Homomorphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Sc`ene III.4 - Notions suppl´ementaires sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Acte IV - Groupes quotients 55
5.1 Sc`ene IV.1 - Construction d’un groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Sc`ene IV.2 - Structure de l’ensemble quotient d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 Sc`ene IV.3 - Th´eor`emes d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Sc`ene IV.4 - Autres d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Acte V - Action de groupe 88
6.1 Sc`ene V.1 - D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Sc`ene V.2 - Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Acte VI - Les groupes et les nombres premiers 108
7.1 Sc`ene VI.1 - Th´eor`eme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2 Sc`ene VI.2 - Th´eor`emes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8 Acte VII - Autres d´efinitions 125
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TABLE DES FIGURES 4
Table des figures
Fig. 1 - Relation r´eflexive 9
Fig. 2 - Relation sym´etrique 10
Fig. 3 - Relation transitive 11
Fig. 4 - Partition d’un ensemble 15
Fig. 5 - Relation antisym´etrique 18
Fig. 6 - Ordre partiel 20
Fig. 7 - Minorant externe au sous-ensemble 23
Fig. 8 - Chaˆınes et maillons 25
Fig. 9 - Application non injective 39
Fig. 10 - Application bijective 41
Fig. 11 - Noyau d’un homomorphisme 44
Fig. 12 - Image d’un homomorphisme 45
Fig. 13 - Transport du groupe dans l’image 48
Fig. 14 - Transport retour dans le noyau 48
Fig. 15 - Noyau, sous-groupe distingu´e 64
Fig. 16 - Classe neutre du groupe quotient 70
Fig. 17 - Premier th´eor`eme d’isomorphisme 72
Fig. 18 - Deuxi`eme th´eor`eme d’isomorphisme 75
Fig. 19 - Homomorphisme du deuxi`eme th´eor`eme d’isomorphisme 77
Fig. 20 - Troisi`eme th´eor`eme d’isomorphisme 79
Fig. 21 - Action de groupe 90
Fig. 22 - Action par rotation 91
Fig. 23 - Action transitive 92
Fig. 24 - Stabilisateur 93
Fig. 25 - Orbite 94
Fig. 26 - Fixateur 95
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TABLE DES FIGURES 5
Fig. 27 - Stabilisateur 99
Fig. 28 - Stabilisateurs d’une mˆeme orbite conjugu´es 100
Fig. 29 - Orbite et quotient 102
Fig. 30 - Partitionnement orbites ponctuelles 113
Fig. 31 - Intersection p-Sylow 115
Fig. 32 - Action sur quotient d’un p-Sylow 116
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