article « Electron Ring

Modélisation à l'aide d'une "boule à électrons" d'un accélérateur ou
d'un détecteur de particules ; mouvement d'une particule chargée dans un
champ magnétique en fonction de sa quantité de mouvement
Quelles lois régissent la formation d’un anneau d’électrons?
H.I.G.G.S. Harworking International Group of Grenoble Students
Lycée Europole, Cité Scolaire Internationale de Grenoble
Nous avons utilisé une boule à électrons, un modèle expérimental permettant la visualisation de la trajectoire
d'un faisceau d'électrons dans une boule contenant un gaz raréfié. La vitesse des électrons est contrôlée par la
tension d'accélération. La trajectoire est courbée par un champ magnétique supposé uniforme (bobines de
Helmholtz). L'impulsion de la particule en sortie de l'étage d'accélération est mesurée à travers du rayon de la
trajectoire circulaire dans le champ magnétique. L'accord entre modèles (non-relativistes) et résultats
expérimentaux est discutée, compte-tenu de l'uniformité du champ, à l'aide d'une sonde teslamètre. Un tel
dispositif permet d'expliquer d'une part le principe d'un accélérateur linéaire couplé à un anneau de stockage
(LINAC + PS) ou la mesure de la charge et l'impulsion d'une particule soumise à un champ magnétique dans un
détecteur de particules, la relativité devant être prise en compte pour de telles particules.
I. Le modèle théorique : mouvement
d'une particule chargée dans un
champ magnétique
e nombreuses lois mécaniques
s’appliquent aux objets en
mouvement, et dans notre cas aux
électrons :
-la loi de Newton :  (où a est
l’accélération et m la masse de l’objet)
-l'expression de l'accélération d'un objet en
rotation :  (où R est le rayon
correspondant à la trajectoire circulaire de
l’objet et v sa vitesse.
De ces premières formules, on ne déduit que la
force F , qui s’applique à des objets en rotation
est donnée par : 
A ces lois, vient s’ajouter une nouvelle: la
« force de Laplace » qui dévie une charge en
mouvement dans un champ magnétique, selon
l’expression: 
Où q est la charge de la particule (en coulomb)
et B le champ magnétique (en tesla)
SI l’on intègre les premières formules à celle de
Laplace, on obtient :
D
Anneau d’électrons pour U=200V et I=0,52A

Il est alors possible d’exprimer le champ
magnétique B qui dévie des particules
chargées en mouvement et suivant une
trajectoire circulaire de rayon R :
Dans notre cas, la particule considérée est un
électron, dont la masse (m) et la charge (q)
sont constantes et valent respectivement 9,109
x 10-31 kg et -1,602 x 10-19 C.
Par souci de simplification, on peut donc
écrire :
Où k est une constante:= 5,686.10-12
kg.C-1
II. Etude expérimentale :
a. Le champ magnétique
e manière générale, un courant
électrique parcourant un conducteur
(ici, une bobine) génère un champ
magnétique, par le déplacement de particules
chargées (électrons).
Des expériences, menées en parallèle sur
l’étude d’un champ magnétique (voir l’article
« … ») permettent de calculer de façon
indépendante la valeur de B au centre de la
bobine :
Où B est exprimé en Tesla
a est une constante : a =2,3.10-3 T/A
I l’intensité du courant parcourant la bobine
Cependant, toutes ces belles formules sont
encore inexploitables…
En effet, bien que réguliers, les champs
magnétiques ne sont pas homogènes : une
expérience complémentaires montrent que la
valeur du champ varie en fonction de la
position du capteur au voisinage des bobines.
Ainsi, la formule précédente ne permet de
définir que le champ qui règne au centre de la
sphère. Or il s’avère que le barycentre de
l’anneau formé ne coïncide pas avec celui de
ce-dernier…
Aussi, afin de définir le champ qui règne en un
point voisin du centre de la sphère, on effectue
un nouveau relevé de mesures en déplaçant le
capteur le long d’un axe:
Pour une intensité de I=0,960 A :
Au terme de cette expérience, il est possible
d’affirmer que le champ magnétique défini par
la formule présente une marge d’erreur de plus
ou moins 0,64 mT (5,24 - 4 ,6).
A ce stade, la valeur de R (rayon de l’anneau
d’électrons) est mesurable directement, et il
est possible de calculer le champ magnétique à
partir de I avec une marge d’erreur définie.
Seule la vitesse des électrons demeure
inconnue…
b. Rayon de la trajectoire
On mesure le rayon de la trajectoire à l'aide
d'une photographie et d'une référence étalon.
III. Discussion : confronter mesures
et théorie
a. Vitesse de la particule en sortie du
canon à électrons
D
4,6 mT
5,24 mT
5,24 mT
O
anneau
d’électrons
bobine
O

’Energie cinétique Ec des électrons en
sortie de canon est égale au potentiel
électrostatique Epe acquis par ces-
derniers, et est donné par la relation suivante :
(où U est la tension, en V)
Sachant que la tension du circuit est de 120 V,
on a :
Ec = 120 eV = 1.92 x 10-17 J
Ec est donné par la relation :
Ec = 1/2m.v2
D’où : 
Ces électrons ne sont pas relativistes, car leur
vitesse ne représente que 2,2% de celle de la
lumière.
Il est également possible de connaître leur
quantité de mouvement p :
b. Comparaison avec la vitesse déduite du
rayon de courbure des éléectrons dans le
champ magnétique
râce à une série d’observables, il est
possible de confronter la théorie aux
mesures réalisées :
U = 120 V 
I = 0,52 A 
R = 4.8 cm 
En intégrant chaque calcul, on obtient :
Où R est le rayon de l’anneau d’électrons
U la tension du circuit
I l’intensité du courant
k = 5,686.10-12 kg.C-1
a =2,3.10-3 T/A
On calcule ainsi le rayon R de l’anneau :
La valeur de R mesurée se trouve donc dans
l’intervalle de la valeur théorique.
Stéphane JEDELE
Sonya KLEIN
Audrey ROCABOIS
Bibliographie :
 Manuel Terminale S, Hachette 2012
 Notice boule à électrons JEULIN
 Mélissa AMROUN, Mélodie CHABRE,
Mesure et étalonnage du champ
magnétique dans une bobine de Helmholtz.
L
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