Modélisation à l'aide d'une "boule à électrons" d'un accélérateur ou d'un détecteur de particules ; mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique en fonction de sa quantité de mouvement Quelles lois régissent la formation d’un anneau d’électrons? H.I.G.G.S. Harworking International Group of Grenoble Students Lycée Europole, Cité Scolaire Internationale de Grenoble Nous avons utilisé une boule à électrons, un modèle expérimental permettant la visualisation de la trajectoire d'un faisceau d'électrons dans une boule contenant un gaz raréfié. La vitesse des électrons est contrôlée par la tension d'accélération. La trajectoire est courbée par un champ magnétique supposé uniforme (bobines de Helmholtz). L'impulsion de la particule en sortie de l'étage d'accélération est mesurée à travers du rayon de la trajectoire circulaire dans le champ magnétique. L'accord entre modèles (non-relativistes) et résultats expérimentaux est discutée, compte-tenu de l'uniformité du champ, à l'aide d'une sonde teslamètre. Un tel dispositif permet d'expliquer d'une part le principe d'un accélérateur linéaire couplé à un anneau de stockage (LINAC + PS) ou la mesure de la charge et l'impulsion d'une particule soumise à un champ magnétique dans un détecteur de particules, la relativité devant être prise en compte pour de telles particules. I. Le modèle théorique : mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique D e nombreuses lois mécaniques s’appliquent aux objets en mouvement, et dans notre cas aux électrons : mouvement dans un champ magnétique, selon l’expression: Où q est la charge de la particule (en coulomb) et B le champ magnétique (en tesla) SI l’on intègre les premières formules à celle de Laplace, on obtient : -la loi de Newton : (où a est l’accélération et m la masse de l’objet) -l'expression de l'accélération d'un objet en rotation : (où R est le rayon correspondant à la trajectoire circulaire de l’objet et v sa vitesse. De ces premières formules, on ne déduit que la force F, qui s’applique à des objets en rotation est donnée par : A ces lois, vient s’ajouter une nouvelle: la « force de Laplace » qui dévie une charge en Anneau d’électrons pour U=200V et I=0,52A Il est alors possible d’exprimer le champ magnétique B qui dévie des particules chargées en mouvement et suivant une trajectoire circulaire de rayon R : Dans notre cas, la particule considérée est un électron, dont la masse (m) et la charge (q) sont constantes et valent respectivement 9,109 x 10-31 kg et -1,602 x 10-19 C. Par souci de simplification, on peut donc écrire : valeur du champ varie en fonction de la position du capteur au voisinage des bobines. Ainsi, la formule précédente ne permet de définir que le champ qui règne au centre de la sphère. Or il s’avère que le barycentre de l’anneau formé ne coïncide pas avec celui de ce-dernier… Aussi, afin de définir le champ qui règne en un point voisin du centre de la sphère, on effectue un nouveau relevé de mesures en déplaçant le capteur le long d’un axe: Pour une intensité de I=0,960 A : bobine Où k est une constante: = 5,686.10-12 kg.C-1 II. Etude expérimentale : a. Le champ magnétique D e manière générale, un courant électrique parcourant un conducteur (ici, une bobine) génère un champ magnétique, par le déplacement de particules chargées (électrons). Des expériences, menées en parallèle sur l’étude d’un champ magnétique (voir l’article « … ») permettent de calculer de façon indépendante la valeur de B au centre de la bobine : Où B est exprimé en Tesla a est une constante : a =2,3.10-3 T/A I l’intensité du courant parcourant la bobine Cependant, toutes ces belles formules sont encore inexploitables… En effet, bien que réguliers, les champs magnétiques ne sont pas homogènes : une expérience complémentaires montrent que la O 4,6 mT 5,24 mT O 5,24 mT anneau d’électrons Au terme de cette expérience, il est possible d’affirmer que le champ magnétique défini par la formule présente une marge d’erreur de plus ou moins 0,64 mT (5,24 - 4 ,6). A ce stade, la valeur de R (rayon de l’anneau d’électrons) est mesurable directement, et il est possible de calculer le champ magnétique à partir de I avec une marge d’erreur définie. Seule la vitesse des électrons demeure inconnue… b. Rayon de la trajectoire On mesure le rayon de la trajectoire à l'aide d'une photographie et d'une référence étalon. III. Discussion : confronter mesures et théorie a. Vitesse de la particule en sortie du canon à électrons L ’Energie cinétique Ec des électrons en sortie de canon est égale au potentiel électrostatique Epe acquis par cesderniers, et est donné par la relation suivante : (où U est la tension, en V) Sachant que la tension du circuit est de 120 V, on a : Ec = 120 eV = 1.92 x 10-17 J Ec est donné par la relation : Ec = 1/2m.v2 Où R est le rayon de l’anneau d’électrons U la tension du circuit I l’intensité du courant k = 5,686.10-12 kg.C-1 a=2,3.10-3 T/A D’où : On calcule ainsi le rayon R de l’anneau : Ces électrons ne sont pas relativistes, car leur vitesse ne représente que 2,2% de celle de la lumière. Il est également possible de connaître leur quantité de mouvement p : b. Comparaison avec la vitesse déduite du rayon de courbure des éléectrons dans le champ magnétique G La valeur de R mesurée se trouve donc dans l’intervalle de la valeur théorique. râce à une série d’observables, il est possible de confronter la théorie aux mesures réalisées : U = 120 V I = 0,52 A R = 4.8 cm En intégrant chaque calcul, on obtient : Stéphane JEDELE Sonya KLEIN Audrey ROCABOIS Bibliographie : Manuel Terminale S, Hachette 2012 Notice boule à électrons JEULIN Mélissa AMROUN, Mélodie CHABRE, Mesure et étalonnage du champ magnétique dans une bobine de Helmholtz.