Ondes, antennes, guides.

Ondes électromagnétiques Antennes BR
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A. Mots clés
Dipôle rayonnant, champs émis, champs statiques, champ proche, champ lointain, puissance rayonnée, gain,
directivité, angle solide, densité de puissance, antenne isotrope, surface équivalente,
B. Biblio sommaire :
EM F Gardiol PPUR 96,
Micro ondes P Combes 2 tomes Dunod 97
Poly AEMC 93,
Ondes EM Faget Mazzaschi Vuibert université 83,
Hprépa Ondes,
Antennes, D J W SJOBEMA publications phillips
Réceptions de hautes fréquences Joseph J CARR Publitronic.
Cours de physique « électromagnétisme » Daniel Cordier.2007
C. Introduction, notion d’onde EM
L’onde plane est un modèle simple pour comprendre les ondes EM. Les scientifiques du 18 19
ème
siècle ont eu
du mal à accepter qu’elle se propage dans le vide. Mais la lumière, une onde comme les autres nous vient bien
du soleil à travers le vide intersidéral.
L’onde est composée de deux champs le champ magnétique, H et le champ électrique E. Les dépendances
temporelles et spatiales des champs sont les mêmes que celles des tensions et intensités dans la ligne
bifilaire.
Donc comme dans la ligne : le couple, tension courant, est remplacé par le couple champ E champ H
dans l’onde plane
0
( , ) cos( . . )
2
u t x U t k x
π
ω = − +
0
( , ) cos( . . )
i t x I t k x
ω
= −
0
( , ) .cos( . . )
E t x E t k x
ω = −
0
( , ) cos( . . )
H t x H t k x
ω = −
Ici les deux champs sont en phase. Le vecteur d’onde k est dans la direction de propagation et a pour
valeur algébrique k, on trouve aussi la lettre grecque béta, nombre d’onde. Un signe négatif montre que l’onde
est progressive.
1. Démonstration de l’onde progressive sur mathématica.
2. Construction des bulles de champ, explication de=u phénomène d’émission.
Direction des champs
Les champs de l’onde plane sont perpendiculaires, entre eux, et perpendiculaires à la direction de propagation,
de façon à former un trièdre direct dans l’ordre k, E, H. La puissance portée par l’onde est égale au produit
vectoriel
1
2
E H
ϕ
= ×
, le facteur vient des valeurs maximales.
Remarque : limites du modèle de l’onde plane.
L’hypothèse n’est pas réaliste car l’onde remplirait tout l’espace. Elle fonctionne pour un volume petit, une
pièce, un circuit loin de la source par exemple. On peut considérer l’onde plane comme une approximation
locale de l’onde sphérique.
Ondes sphériques, modèle plus délicat, plus performant.
On préfère définir alors des ondes sphériques de type
0
( , ) .cos( . . )
e
E t x E t k r
r
θ
ω = − ondes sphérique isotrope
0
( , ) sin .cos( . . )
e
E t x E t k r
r
θ
θ ω = − , Le sinus rend compte du caractère anisotrope de l’émission.
Les ondes sphériques sont à trois dimensions, leur norme décroît fortement quand on s’éloigne de la source,
c’est donc plus réaliste mais c’est plus chaud à manier. Pour faire simple, les antennes fouet doivent être
parallèles, les boucles doivent être dans le plan perpendiculaire aux antennes. On notera que l’énergie
transportée par l’onde décroît comme la distance au carré, voir exercice.
Le lien entre H et E est donné par l’impédance du vide
0
377
E
Z
H
= = Ω

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D. Prise de contact, bases
On rappelle la structure de l’équation d’onde pour les lignes.
² ²
² 0
² ²
u u
v
t x
∂ ∂
− =
∂ ∂
3. Ecrire l’équation d’onde, à l’imitation pour le champ E.
0
( , ) .cos( . . )
E t x E t k x
ω = −
4. En déduire la relation de dispersion en essayant la solution plane.
5. Etudier la dimension du seul coefficient, l’identifier avec c=3.10
8
m.s
-1
.
Longueur d’onde
6. Une onde de fréquence 1 GHz se propage à la vitesse de la lumière dans le vide, c=3.10
8
m.s
-1
, quelle est
sa longueur d’onde ?
7. Une grille de four à micro ondes a des trous de diamètre 3mm, ne passent que les longueurs d’onde
inférieures à ce diamètre, quel partie du spectre électromagnétique est arrêtée par cette grille ?
8. La fréquence des fours micro onde est 2,45 GHz. Calculer lambda.
E. Structure de l’onde
Structure de l’onde plane.
9. Dans l’expression du champ d’une onde
0
( , ) .cos( . . )
E t x E t k x
ω = − , quelle est la direction de
propagation ?
Si l’onde est dite transverse E est perpendiculaire à la direction de propagation.
10. Quel est le sens de propagation ?
11. Comment est orienté E
0
par rapport à la direction de propagation pour une onde plane tranverse?
12. Quelle relation lie la pulsation et k ?
13. Pourquoi l’hypothèse de l’onde plane n’est valable qu’au voisinage d’un point ?
Impédance du vide, puissance surfacique.
14. Le champ électrique d’une onde plane possède une amplitude de 100mV.m
-1
, calculer son champ H.
15. Représenter l’onde vue de face, le vecteur k dans l’œil.
16. Quelle direction a le vecteur puissance ?
1
2
E H
ϕ
= ×
*
1
2
E H
ϕ
= ×
, on parle de vecteur de Poynting.
17. Donner son unité, en déduire qu’il correspond à la notion ancienne de rayon lumineux.
18. Calculer la densité de puissance pour les données de l’énoncé.
19. Montrer que l’onde plane « remplit l’espace entier ».
Onde sphérique
On admet, pour le légitimer plus tard, qu’une onde sphérique a pour expression
( . . )
( , ) . .
j t k r
O
U
E r t e e
r
ω
θ
−
=
20. Commenter le choix de la notation U
0
.
21. Montrer que l’émission est isotrope, qu’est-ce que cela veut dire ?
22. Calculer le champ H, correspondant.
23. Calculer le vecteur puissance surfacique rayonnée, vecteur de Poynting, bien préciser les unités.
24. Calculer le flux de ce vecteur sur une sphère centrée sur la source.
25. En déduire que la puissance rayonnée est constante quand r augmente, ce qui est plus raisonnable.
26. Lier U
0
et la puissance transmisse par la source.
Le modèle de l’onde sphérique isotrope est intermédiaire, il est plus réaliste que l’onde plane, mais moins que
le dipôle. Nous avons là les trois niveaux de modélisation des ondes.
Attention le concept de puissance est glissant, pour s’y
retrouver parler de puissance surfacique, vecteur de
Poynting, puissance totale transmise, puissance
électrique.
Onde plane figée dans le temps
quelle est la direction de propagation ?
- 2
- 1
0
1
2
x
- 2
0
2
y
- 1
0
1
z

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F. Eléments sur la polarisation des ondes EM.
27. Qu’est-ce que la polarisation d’une onde ?
28. L’onde issue de la tour Eiffel qui porte le signal TV est-elle polarisée horizontalement ou verticalement ?
On additionne deux ondes planes, on ne regarde que les champs électriques des ondes. Les ondes ont même
direction de propagation Ox.
Le champ électrique de l’onde 1 a pour expression
1 1 1 1
( , ) .cos( . . ); .
y
E t x E t k x E E e
ω = + =
Le champ électrique de l’onde 2 a pour expression
2 2 2 2
( , ) .cos( . . ); .
z
E t x E t k x E E e
ω ϕ = + + =
On s’intéresse au trajet de la pointe du vecteur champ électrique en un point d’abscisse x=0 de l’axe de
propagation. On donne au déphasage les valeurs remarquables du tableau.
29. Former la somme Ez+ Ey vecteur champ électrique.
30. En additionnant les carrés des vecteurs Ez et Ey étudier comment évolue la norme du vecteur E.
31. Montrer que les figures décrites par le vecteurs sont : soit des segments, soit des ellipses, ou bien des
cercles si E1=E2.
32. Donne le sens dans lequel sont décrites les ellipses.
Valeur de
φ Forme décrite par le vecteur E Nom de la polarisation
2
π
2
π
−
k
π
hasard
Polarisation par traversée d’une herse conductrice.
Comment agit une série de conducteurs parallèles sur une onde qui les traverse ?
On étudie le passage d’une onde à travers des fils parallèle, le vecteur puissance, la propagation se fait dans la
direction perpendiculaire au plan de la grille.
33. Envisager deux cas : le champ E est parallèle aux conducteurs, le champ est perpendiculaire.
34. Envisager alors l’effet de cette grille sur une onde de polarisation quelconque : vous avez inventé le
polariseur.
G. Réception, antenne fouet, antenne boucle.
35. Rappeler le lien entre le champ électrique et la tension électrique.
36. En déduire une direction favorable pour l’antenne fouet.
37. En déduire qu’une antenne fouet reçoit bien quand elle est soumise à un champ dans sa direction.
38. Comment placer une antenne radio ? gag.
39. Pourquoi les dipôles des antennes de TV sont à plat ?
Une boucle de conducteur est le siège d’une fém d’induction. La fém est
d
e
dt
Φ
= − où
0
1
.
H S
µ
Φ =
40. Comment placer l’antenne boucle pour obtenir le signal maximal ?
41. Dans le cas où on souhaite obtenir une réception favorable, avec une boucle de courant, où et comment la
placer pour recevoir le signal émis.

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H. Glossaire, formulaire, notation
Les notations sont une piste pour s’y retrouver dans la longue liste des définitions.
Le choix d’une lettre comme phi pour les densités est une option intéressante. Les rapports entre grandeurs
de même nature, comme le gain et la directivité sont indépendants du choix du type de densité de puissance.
Phi majuscule
( , )
r
θ
Φ
pour la densité en watt par stéradian,
Phi minuscule
( , )
r
ϕ θ
pour la densité en watt par mètre².
Liste fourre-tout des notions :
 Gain
0 0
, lim
( , )
iso a
G D
θ ϕ
η
Φ
= = Φ où êta
η
est le rendement électrique, souvent unitaire.
 Directivité.
( , )
isotrope
D
θ ϕ
Φ
=Φ , capacité à concentrer le rayonnement dans une direction, comme des
jumelles
 Surface équivalente d’une antenne en fonction du gain
²
4
G
λ
π
Σ = surface couplant antenne et champ.
 Puissance stérique normalisée
0 0 0
( , )
( , )
( , )
normalisée
θ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
Φ
Φ = Φ sans dimension. On rapporte la densité
stérique à sa valeur maximale.
 Puissance rayonnée, par l’antenne, point de vue électrique
e
P watt
 Densité de puissance par unité de surface. ( , ) P
Surface
ϕ θ ϕ =
 Densité par unité d’angle solide.
1
.
dP
watt str
d
−
Φ =
Ω
 Angle solide.
[ ]
²
S
stéradian
R
Ω = « part de l’horizon ».
 Antenne isotrope.
( , ) ( , )
4 4 ² ²
e e
P W P W
stérad r m
θ ϕ φ θ ϕ
π π
Φ = =
 Décibel isotrope dB
isotrope
0 0
( , )
10log
é
dBi isotrope
G
θ ϕ Φ
=
Φ
 décibel de milliwatt dBm
0 0
( , )
10log ;
é
dBi isotrope
p
G puissances
p
θ ϕ
= 
 Formule de Friis
2
4
r e e r
P PG G
d
λπ
=
 Equation du radar
( )
3
2 2
1 2
²
4
r e e r
P PG G
d d
λ
π
Σ
=
 Lien champ puissance surfacique.
2
0
max
2 ²
vide
E W
valeur imale
Z m
ϕ = 
2
;
eff
vide
E
valeur efficace
Z
ϕ =
 Impédance du vide.
120 377
Z
π
= = Ω
, lien entre E et H dans le vide.
 Conditions de champ proche
2 ²
l
r
λ
> ,
1,6
r
λ
>

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I. Coordonnées sphériques
Les coordonnées sphériques sont plus adaptées à la description des champs rayonnés. La direction privilégiée
est l’axe du dipôle rayonnant, la distance r, l’angle thêta est la colatitude, à partir du haut. L’angle phi est l’angle
de la rotation autour du dipôle. Pour beaucoup d’antennes l’émission est indépendante de phi, on a donc une
émission en galette plate.
On essaye le schéma en perspective.
42. Placer les angles thêta, et phi ainsi que r, ce sont les trois coordonnées sphériques.
43. Placer les vecteurs unitaires correspondants autour du point M.
J. Champs rayonnés par une
antenne dipôle, dipôle de Hertz
Les formules donnent les dépendances des
champ magnétique et électrique ainsi que leur
vecteurs unitaires, elle ne sont en aucun cas à
connaître, le but est plutôt de les utiliser en les simplifiant par des approximations dont on connaît et maîtrise la
portée.
44. Entourer les termes de champ proche.
45. Entourer les termes de champ lointain.
46. Faire l’analyse dimensionnelle soignée de chacun des termes
47. Justifier, a posteriori, la définition de l’onde sphérique isotrope.
48. Quel progrès apporte le modèle du dipôle de Hertz ?
K. Emission des ondes électromagnétiques : composantes, dépendances
49. Sur le schéma où apparaissent les coordonnées placer le dipôle.
50. Quelle est la différence entre la direction du champ en un point et la direction de propagation d’une onde ?
51. Donner les directions des champs électrique et magnétique, on peut choisir E dans le plan de la feuille.
52. Dans le plan r, thêta, (de profil) représenter les champs électrique et magnétique de l’onde.
53. Faire de même dans le plan perpendiculaire à l’antenne.
E
0
E
ϕ
=
( ) ( )
2 3
1 1 1 1
. . ²sin .
4
jkr
V m
E Z I dl k e jkr
jkr jkr
θ
θ
π
−
=− ⋅ + +
( ) ( )
2 3
1 2 2
. . ²cos .
4
jkr
r V m
E Z I dl k e
jkr jkr
θ
π
−
= − ⋅ +
H
0
r
H
=
0
H
θ
=
( )
2
² 1 1
. .sin .
4
jkr
m
k
H I dl e jkr
jkr
ϕ
θ
π
−
=− ⋅ +