Ondes, antennes, guides.

Ondes électromagnétiques Antennes
BR
A. Mots clés
Dipôle rayonnant, champs émis, champs statiques, champ proche, champ lointain, puissance rayonnée, gain,
directivité, angle solide, densité de puissance, antenne isotrope, surface équivalente,
B. Biblio sommaire :
EM F Gardiol PPUR 96,
Micro ondes P Combes 2 tomes Dunod 97
Poly AEMC 93,
Ondes EM Faget Mazzaschi Vuibert université 83,
Hprépa Ondes,
Antennes, D J W SJOBEMA publications phillips
Réceptions de hautes fréquences Joseph J CARR Publitronic.
Cours de physique « électromagnétisme » Daniel Cordier.2007
C. Introduction, notion d’onde EM
ème
L’onde plane est un modèle simple pour comprendre les ondes EM. Les scientifiques du 18 19
siècle ont eu
du mal à accepter qu’elle se propage dans le vide. Mais la lumière, une onde comme les autres nous vient bien
du soleil à travers le vide intersidéral.
L’onde est composée de deux champs le champ magnétique, H et le champ électrique E. Les dépendances
temporelles et spatiales des champs sont les mêmes que celles des tensions et intensités dans la ligne
bifilaire.
Donc comme dans la ligne : le couple, tension courant, est remplacé par le couple champ E champ H
dans l’onde plane
u ( t , x ) = U 0 cos(ω .t − k . x +
π
2
E (t , x) = E0 .cos(ω .t − k .x)
)
i(t , x) = I 0 cos(ω .t − k.x)
H ( t , x ) = H 0 cos(ω .t − k . x )
Ici les deux champs sont en phase. Le vecteur d’onde k est dans la direction de propagation et a pour
valeur algébrique k, on trouve aussi la lettre grecque béta, nombre d’onde. Un signe négatif montre que l’onde
est progressive.
1. Démonstration de l’onde progressive sur mathématica.
2. Construction des bulles de champ, explication de=u phénomène d’émission.
Direction des champs
Les champs de l’onde plane sont perpendiculaires, entre eux, et perpendiculaires à la direction de propagation,
de façon à former un trièdre direct dans l’ordre k, E, H. La puissance portée par l’onde est égale au produit
vectoriel
1 2
ϕ = E × H , le facteur vient des valeurs maximales.
Remarque : limites du modèle de l’onde plane.
L’hypothèse n’est pas réaliste car l’onde remplirait tout l’espace. Elle fonctionne pour un volume petit, une
pièce, un circuit loin de la source par exemple. On peut considérer l’onde plane comme une approximation
locale de l’onde sphérique.
Ondes sphériques, modèle plus délicat, plus performant.
On préfère définir alors des ondes sphériques de type
eθ
E (t , x) = E0 .cos(ω .t − k .r ) ondes sphérique isotrope
r
e
E (t , x) = E0 θ sin θ .cos(ω .t − k .r ) , Le sinus rend compte du caractère anisotrope de l’émission.
r
Les ondes sphériques sont à trois dimensions, leur norme décroît fortement quand on s’éloigne de la source,
c’est donc plus réaliste mais c’est plus chaud à manier. Pour faire simple, les antennes fouet doivent être
parallèles, les boucles doivent être dans le plan perpendiculaire aux antennes. On notera que l’énergie
transportée par l’onde décroît comme la distance au carré, voir exercice.
Le lien entre H et E est donné par l’impédance du vide Z 0
=
E
= 377Ω
H
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D. Prise de contact, bases
∂ ²u
∂ ²u
− v²
=0
∂t ²
∂x ²
3. Ecrire l’équation d’onde, à l’imitation pour le champ E. E (t , x ) = E0 .cos(ω .t − k .x )
On rappelle la structure de l’équation d’onde pour les lignes.
4. En déduire la relation de dispersion en essayant la solution plane.
8
-1
5. Etudier la dimension du seul coefficient, l’identifier avec c=3.10 m.s .
Longueur d’onde
8
-1
6. Une onde de fréquence 1 GHz se propage à la vitesse de la lumière dans le vide, c=3.10 m.s , quelle est
sa longueur d’onde ?
7. Une grille de four à micro ondes a des trous de diamètre 3mm, ne passent que les longueurs d’onde
inférieures à ce diamètre, quel partie du spectre électromagnétique est arrêtée par cette grille ?
8. La fréquence des fours micro onde est 2,45 GHz. Calculer lambda.
E. Structure de l’onde
Structure de l’onde plane.
9. Dans l’expression du champ d’une onde
E (t , x) = E0 .cos(ω .t − k .x) , quelle est la direction de
propagation ?
Si l’onde est dite transverse E est perpendiculaire à la direction de propagation.
10. Quel est le sens de propagation ?
11. Comment est orienté E0 par rapport à la direction de propagation pour une onde plane tranverse?
12. Quelle relation lie la pulsation et k ?
13. Pourquoi l’hypothèse de l’onde plane n’est valable qu’au voisinage d’un point ?
Impédance du vide, puissance surfacique.
-1
14. Le champ électrique d’une onde plane possède une amplitude de 100mV.m , calculer son champ H.
15. Représenter l’onde vue de face, le vecteur k dans l’œil.
16. Quelle direction a le vecteur puissance ?
1 2
1 2
ϕ = E × H ϕ = E × H * , on parle de vecteur de Poynting.
17. Donner son unité, en déduire qu’il correspond à la notion ancienne de rayon lumineux.
18. Calculer la densité de puissance pour les données de l’énoncé.
19. Montrer que l’onde plane « remplit l’espace entier ».
Onde sphérique
U O j (ω .t −k .r )
.e
r
On admet, pour le légitimer plus tard, qu’une onde sphérique a pour expression E ( r , t ) = eθ .
20. Commenter le choix de la notation U0.
21. Montrer que l’émission est isotrope, qu’est-ce que cela veut dire ?
22. Calculer le champ H, correspondant.
23. Calculer le vecteur puissance surfacique rayonnée, vecteur de Poynting, bien préciser les unités.
24. Calculer le flux de ce vecteur sur une sphère centrée sur la source.
25. En déduire que la puissance rayonnée est constante quand r augmente, ce qui est plus raisonnable.
26. Lier U0 et la puissance transmisse par la source.
Le modèle de l’onde sphérique isotrope est intermédiaire, il est plus réaliste que l’onde plane, mais moins que
le dipôle. Nous avons là les trois niveaux de modélisation des ondes.
Attention le concept de puissance est glissant, pour s’y
2
retrouver parler de puissance surfacique, vecteur de
1
x
Poynting, puissance totale transmise, puissance
0
-1
électrique.
-2
Onde plane figée dans le temps
quelle est la direction de propagation ?
1
-2
0
z -1
0
y
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F. Eléments sur la polarisation des ondes EM.
27. Qu’est-ce que la polarisation d’une onde ?
28. L’onde issue de la tour Eiffel qui porte le signal TV est-elle polarisée horizontalement ou verticalement ?
On additionne deux ondes planes, on ne regarde que les champs électriques des ondes. Les ondes ont même
direction de propagation Ox.
E1 (t , x) = E1.cos(ω .t + k .x); E1 = E1.ey
Le champ électrique de l’onde 2 a pour expression E2 (t , x ) = E2 .cos(ω .t + k .x + ϕ ); E2 = E2 .ez
Le champ électrique de l’onde 1 a pour expression
On s’intéresse au trajet de la pointe du vecteur champ électrique en un point d’abscisse x=0 de l’axe de
propagation. On donne au déphasage les valeurs remarquables du tableau.
29. Former la somme Ez+ Ey vecteur champ électrique.
30. En additionnant les carrés des vecteurs Ez et Ey étudier comment évolue la norme du vecteur E.
31. Montrer que les figures décrites par le vecteurs sont : soit des segments, soit des ellipses, ou bien des
cercles si E1=E2.
32. Donne le sens dans lequel sont décrites les ellipses.
Valeur de Forme décrite par le vecteur E Nom de la polarisation
φ
π
2
−
π
2
kπ
hasard
Polarisation par traversée d’une herse conductrice.
Comment agit une série de conducteurs parallèles sur une onde qui les traverse ?
On étudie le passage d’une onde à travers des fils parallèle, le vecteur puissance, la propagation se fait dans la
direction perpendiculaire au plan de la grille.
33. Envisager deux cas : le champ E est parallèle aux conducteurs, le champ est perpendiculaire.
34. Envisager alors l’effet de cette grille sur une onde de polarisation quelconque : vous avez inventé le
polariseur.
G. Réception, antenne fouet, antenne boucle.
35.
36.
37.
38.
39.
Rappeler le lien entre le champ électrique et la tension électrique.
En déduire une direction favorable pour l’antenne fouet.
En déduire qu’une antenne fouet reçoit bien quand elle est soumise à un champ dans sa direction.
Comment placer une antenne radio ? gag.
Pourquoi les dipôles des antennes de TV sont à plat ?
Une boucle de conducteur est le siège d’une fém d’induction. La fém est e = −
dΦ
1 où Φ =
H .S
dt
µ0
40. Comment placer l’antenne boucle pour obtenir le signal maximal ?
41. Dans le cas où on souhaite obtenir une réception favorable, avec une boucle de courant, où et comment la
placer pour recevoir le signal émis.
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H. Glossaire, formulaire, notation
Les notations sont une piste pour s’y retrouver dans la longue liste des définitions.
Le choix d’une lettre comme phi pour les densités est une option intéressante. Les rapports entre grandeurs
de même nature, comme le gain et la directivité sont indépendants du choix du type de densité de puissance.
Phi majuscule Φ ( r ,θ ) pour la densité en watt par stéradian,
Phi minuscule ϕ ( r ,θ ) pour la densité en watt par mètre².
Liste fourre-tout des notions :
G = ηD =
Gain
Directivité.
D=
Φ(θ 0 ,ϕ 0 )
où êta η est le rendement électrique, souvent unitaire.
Φ iso ,a lim
Φ (θ ,ϕ )
, capacité à concentrer le rayonnement dans une direction, comme des
Φ isotrope
jumelles
Σ=
Surface équivalente d’une antenne en fonction du gain
Puissance stérique normalisée Φ normalisée (θ , ϕ ) =
stérique à sa valeur maximale.
Puissance rayonnée, par l’antenne, point de vue électrique
Densité de puissance par unité de surface.
λ ²G
4π
surface couplant antenne et champ.
Φ(θ , ϕ )
sans dimension. On rapporte la densité
Φ 0 (θ 0 , ϕ 0 )
ϕ (θ ,ϕ ) =
Pe
watt
P
Surface
dP
 watt.str −1 
dΩ
S
Angle solide.
Ω = [ stéradian ] « part de l’horizon ».
R²
Pe  W 
Pe  W 
Antenne isotrope. Φ (θ , ϕ ) =
φ
(
θ
,
ϕ
)
=
4π  stérad 
4π r ²  m ² 
 Φ (θ , ϕ ) 
Décibel isotrope dBisotrope
GdBi = 10log  é 0 0 
 Φ isotrope 
Densité par unité d’angle solide. Φ
décibel de milliwatt dBm
=
 p (θ , ϕ ) 
GdBi = 10log  é 0 0  ; puissances
 pisotrope 
 λ 
Formule de Friis Pr = PeGeGr 

 4π d 
Σλ ²
Equation du radar Pr = PeGeGr
3
( 4π ) d12d 22
2
E0 2  W 
Lien champ puissance surfacique. ϕ =
valeur max imale
2 Z vide  m² 
Eeff 2
ϕ=
; valeur efficace
Z vide
Impédance du vide. Z = 120π = 377Ω , lien entre E et H dans le vide.
2l ²
r>
, r > 1, 6λ
Conditions de champ proche
λ
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I. Coordonnées sphériques
Les coordonnées sphériques sont plus adaptées à la description des champs rayonnés. La direction privilégiée
est l’axe du dipôle rayonnant, la distance r, l’angle thêta est la colatitude, à partir du haut. L’angle phi est l’angle
de la rotation autour du dipôle. Pour beaucoup d’antennes l’émission est indépendante de phi, on a donc une
émission en galette plate.
On essaye le schéma en perspective.
42. Placer les angles thêta, et phi ainsi que r, ce sont les trois coordonnées sphériques.
43. Placer les vecteurs unitaires correspondants autour du point M.
J. Champs rayonnés par une
antenne dipôle, dipôle de Hertz
Er = −
E
 2
1
2 
⋅ ZV I m .dl.k ² cosθ .e − jkr 
+
2
3
4π
 ( jkr ) ( jkr ) 
Eϕ = 0
Eθ = −
 1
1
1
1 
⋅ ZV I m .dl.k ²sinθ .e− jkr 
+
+
2
3
4π
 jkr ( jkr ) ( jkr ) 
Hr = 0
H
Hθ = 0
Hϕ = −
 1
k²
1 
⋅ I m .dl.sinθ .e− jkr 
+
2
4π
 jkr ( jkr ) 
Les formules donnent les dépendances des
champ magnétique et électrique ainsi que leur
vecteurs unitaires, elle ne sont en aucun cas à
connaître, le but est plutôt de les utiliser en les simplifiant par des approximations dont on connaît et maîtrise la
portée.
44. Entourer les termes de champ proche.
45. Entourer les termes de champ lointain.
46. Faire l’analyse dimensionnelle soignée de chacun des termes
47. Justifier, a posteriori, la définition de l’onde sphérique isotrope.
48. Quel progrès apporte le modèle du dipôle de Hertz ?
K. Emission des ondes électromagnétiques : composantes, dépendances
49.
50.
51.
52.
53.
Sur le schéma où apparaissent les coordonnées placer le dipôle.
Quelle est la différence entre la direction du champ en un point et la direction de propagation d’une onde ?
Donner les directions des champs électrique et magnétique, on peut choisir E dans le plan de la feuille.
Dans le plan r, thêta, (de profil) représenter les champs électrique et magnétique de l’onde.
Faire de même dans le plan perpendiculaire à l’antenne.
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L. Champ proche, Champ lointain
On appelle champ lointain la zone de l’espace où
r>
2D²
λ
et / ou r > 10 D r > 1,6λ .
On choisit la condition la plus restrictive. Ici D est la dimension de l’antenne.
54. Dans le cas d’une onde de type radio AM émise par une antenne
H=
λ
4
= 90m donner une valeur du
rayon de champ lointain.
55. La cuve d’un micro ondes est-elle du domaine du champ proche, l’antenne émettrice fait 2 cm. ?
56. De même avec une onde de type visible vert de longueur d’onde 500nm, émise par une diode, la zone
émettrice peut faire 100µm.
57. Approximation de champ proche : simplifier l’expression du champ électrique dans le cas du champ
proche.
58. Faire de même avec le champ magnétique.
M. Puissance rayonnée, exemple du doublet (dipôle de hertz).
On admet que la puissance rayonnée est liée au produit des deux champs. Le parallèle avec les ondes
électriques continue. Un produit vectoriel permet de conserver la puissance sous la forme d’un vecteur. Ce
vecteur, pas nécessaire dans une première approche est appelé vecteur de Poynting. Il donne la direction de
propagation de l’énergie et nous ramène au modèle de l’optique géométrique, où les rayons sont des
trajectoires pour l’énergie.
59. Après avoir éliminé les composantes de champ proche des champs E et H, calculer le produit.
ZH ² E²
60. Montrer que l’on obtient l’expression ϕ ( r ,θ ) = v 0 = 0
2
2Z v
2
 kl 
ϕ ( r ,θ ) = Z v I ² 
 sin ²θ .
 4π r 
61. Quelle grandeur est représentée par la lettre I, quel rapport avec une antenne, une onde ?
. -2
62. Montrer que ϕ ( r ,θ ) est en W m . De quel type de grandeur s’agit-il ?
Etude de la fonction densité de puissance surfacique du dipôle de Hertz.
63. L’émission est-elle directive ? Dans quelle direction.
64. Donner l’allure de la fonction sin² en représentation polaire.
Puissance totale
Pour calculer la puissance totale, une intégrale de surface s’impose, wolola.
65. Donner l’expression de la puissance totale émise par le dipôle de Hertz.
Dans ce système de coordonnées l’élément de surface sur une sphère est dS = r.dθ .r sin θ .dϕ , l’intégration
peut tenir compte de la symétrie.
66. Donner l’expression de l’intégrale à calculer pour obtenir la puissance totale émise par le doublet. Coup de
pouce
∫
π
0
sin 3θ .dθ =
4
3
2
67. Montrer qu’on obtient l’expression
2
 kl  4
l 1
PT = 2π .Z .I ² 
 . = 2π .Z .I ²   .
 4π  3
λ 3
68. Le rapport longueur de l’antenne sur longueur d’onde est-il libre de varier ou bien a-t-il fait l’objet
d’hypothèses ?
69. Comment augmenter la puissance émise ?
N. Résistance de rayonnement
On fait un parallèle entre le transfert thermique par effet Joule dans une résistance le transfert
électromagnétique dans une antenne dipôle. L’antenne est le siège d’un transfert hors du circuit électrique, une
grandeur de même nature qu’une résistance quantifie ce transfert.
70. Rappeler la relation liant la résistance la puissance, et l’intensité.
71. Définir ainsi la résistance de rayonnement.
Application : calculs numériques
Une antenne de 10 mètres de long est parcourue par un courant d’amplitude 5A, à une fréquence de 6MHz.
72. Calculer la puissance totale émise.
73. Calculer la longueur d’onde, en déduire la limite du champ proche.
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74. Calculer alors l’amplitude des champs électrique et magnétique à 100 m du centre de l’antenne.
O. Retour sur l’antenne isotrope, angle solide.
Bien qu’elle n’existe pas, l’antenne isotrope permet de mettre en place les notions, elle fournit de plus des
valeurs pour former les rapports, bases des nombres sans dimension que sont le gain et la directivité.
Puissance surfacique, puissance stérique, angle solide.
75. Donner la puissance surfacique de l’antenne isotrope en fonction de la puissance totale transmise.
76. Faire de même en fonction de la puissance fournie, le rendement est noté η
Angle solide
77. Donner la définition d’un angle solide, dégager l’intérêt.
78. Quel angle solide correspond à un demi espace : toutes les direction au dessus du sol.
79. Une façade de 100 m² est vue à une distance de 2 km calculer l’angle solide sous lequel on la voit.
80. Un faisceau de lumière emplit angle solide
Ω=
π
8
stéradians , calculer la surface éclairée à 100m.
81. Donner alors la puissance stérique, ou densité de puissance par unité d’angle solide, pour une antenne
isotrope. La notation est Φ ou Φ Ω .
P. Caractéristique des antennes
Utilisation des caractéristiques : Gain d’une antenne
82. Rappeler l’intérêt du gain pour une antenne directive.
Une antenne a une directivité de 34 dB, un rendement de 0,85, la puissance fournie est 10 kW, f=2,45GHz.
83. Quelle est la puissance transmise ?
84. Quelles sont les causes de « pertes ».
85. Quelle est la puissance stérique isotrope équivalente de cette antenne.
86. Quelle est la puissance surfacique isotrope de cette antenne à 10 km.
87. Quelle est la puissance surfacique réellement reçue dans la direction privilégiée.
88. Même question pour la puissance stérique.
Surface équivalente
89. Rappeler la définition de la surface équivalente d’une antenne notée A, lier surface, et gain.
90. En utilisant la relation gain surface équivalente, calculer la surface équivalente de l’antenne de l’exercice.
Puissance émise, autre cas pratique.
L’émetteur du pic du midi de Bigorre (Pyrénées) a pour puissance 5kW pour la fréquence f=500MHz. Le gain
en puissance de son antenne dans la direction de Toulouse (d=130 km) est 6dB.
91. Schéma légendé svp.
92. Calculer la puissance d’alimentation de la source isotrope équivalente.
-2
93. En déduire à Toulouse la puissance rayonnée par unité de surface petit phi, en W.m .
Q. Le champ électrique rayonné. Observation d’une fonction caractéristique de
rayonnement
Les graphes 3D ci-dessous montrent la représentation de la fonction caractéristique de rayonnement.
Cette fonction est sans dimension, elle doit être représentée dans l’espace 3D. Elle répond à la question : « Où
-2
sont les points qui reçoivent une densité de puissance donnée ? » par exemple 1W.m .
94. Pourquoi n’y a-t-il aucun point dans l’axe de l’antenne ? Quelle est la signification.
95. Pourquoi est-on plus loin quand on est dans le plan
médiateur de l’antenne ?
96. Tracer une coupe, pour un plan contenant l’antenne,
de la fonction de r et thêta.
97. Faire de même dans le plan perpendiculaire à
l’antenne.
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R. Comparaison antenne dipôle vs antenne isotrope, notion de
directivité
On reprend la puissance de l’antenne dipôle et on la répartit (isotropiquement) sur une
sphère de rayon.
98. Exprimer le gain ou la directivité de l’antenne dipôle, dans la direction privilégiée.
99. Calculer le gain en dBi. Cette antenne est-elle directive ?
S. Diagramme de rayonnement
Le diagramme de rayonnement en champ d’une antenne est F (θ ) = cos (θ ) .
100.
Calculer la fonction pour la puissance.
101.
Donner l’allure du diagramme de rayonnement.
102.
Pour quels angles le champ a-t-il perdu -3dB ?
103.
En déduire l’angle d’ouverture.
104.
Définir et exprimer la fonction caractéristique de rayonnement FCR sur cet exemple.
8
T. Bilan de liaison
Deux antennes communiquent, la 1 est l’émettrice, la 2 réceptrice, mais cela n’a pas d’importance. Chaque
antenne est caractérisée par sa surface de captation, surface équivalente, A1, respectivement A2. r la distance
entre les antennes.
Pf
Soit
[W ] la puissance fournie à 1,
Pr
[W ] la puissance reçue par 2.
105.
Faire un schéma de la situation de communication.
106.
Exprimer la densité de puissance stérique de l’antenne isotrope équivalente pour l’antenne 1.
107.
Exprimer la densité surfacique de puissance équivalente à la distance r.
108.
Réception par 2: on se place du point de vue de l’antenne 2, exprimer la puissance « électrique » reçue
W.
Le rendement de la transmission ne peut dépendre du sens de transmission donc on égale les deux
rendements. Cela s’appelle la réciprocité, elle nous fait penser au retour inverse de la lumière.
109.
Exprimer la puissance reçue par 1 si 2 émet Pf.
G1 G2
=
= ????
A1 A2
110.
En déduire la relation
111.
En remplaçant la surface équivalente de l’une des antennes dans le bilan de liaison, en déduire la
 λ 
magnifique formule de FRIIS. Pr = Pf G1G2 

 4π r 
2
Un petit tour hors du système solaire
La sonde Voyager a transmis des images de NePtune à 4,5.10 9 km, la fréquence est 4GHz, la puissance
transmise 50W, le gain de l’antenne d’émission est 1000 en valeur naturelle, le gain de l’antenne de réception
est 60 dB.
112.
Exprimer, à l’aide de la formule de FRIIS la puissance reçue.
U. Antenne parabolique
La directivité d’une antenne parabolique est donné par la relation approchée
πd 
Dmax = g 

 λ 
2
g < 0,8 , où d est le diamètre de l’antenne. L’antenne de TP a
pour diamètre 35 cm, la fréquence est 10 GHz.
113.
Calculer la directivité, en valeur naturelle et en dB de l’antenne, on prend g
= 0,8.
114.
Retrouver alors sa surface (équivalente).
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V. Combinaisons de dipôles
L’antenne dipôle, la plus simple des antennes réalistes, est la structure élémentaire pour construire des
modèles d’antennes plus élaborés.
Soit on met bout à bout les antennes pour additionner les contributions dues aux courant d’une grande
antenne.
Soit les dipôles sont parallèles et on crée un réseau.
Dipôles, bout à bout le long d’une antenne fouet
On calcule le champ résultant de la somme de dipôles qui sont des parties d’un conducteur filiforme. On se
place résolument en champ lointain, les variations d’amplitude sont négligées au profit des variations de phase.
Les segments, qui font penser aux rayons lumineux issus d’un réseau, sont parallèles, la variation de
l’amplitude est faible devant la variation de la phase.
115.
Rappeler l’expression du champ électrique du dipôle.
On découpe l’antenne longue en morceaux de longueur dz, par courus par le courant I(z), il sont vus à la
distance r(z), sous l’angle thêta(z) par le point P.
116.
En déduire l’expression du champ résultant de l’addition des contributions.
Le calcul analytique s’arrête là sans l’expression de l’intensité le long de l’antenne. Une approximation consiste
à assimiler l’antenne à l’extrémité d’une ligne en circuit ouvert.
L’intensité prend la forme I ( z ) =
I max sin [ k (l − z )] , expression qui vérifie déjà la condition I (l ) = 0 , qui est
impaire, donc présente une opposition de phase entre deux points homologues.
Avec cet apport l’expression reste touffue, mathématica rend l’expression plus simple pour des longueurs
multiples d’un quart de longueur d’onde.
W. Association de dipôles en parallèle, réseau d’antennes.
La situation change : les antennes ne sont pas couplées, la phase d’une antenne à l’autre est connue, et
initialement nulle, l’amplitude du champ rayonné est indépendante de l’antenne, la distance entre deux
antennes est d,les antennes sont le long de Ox, quand on se place dans le plan médiateur des antennes
l’angle phi varie, il est nul dans le plan des antennes.
Chaque dipôle est alimenté par le courant I. Il y a N dipôles, de 1 à N.
On se relâche un peu du point de vue dimensionnel car le but est d’avoir le diagramme de rayonnement.
117.
Schéma avec notations please.
118.
Rappeler le champ émis par un dipôle.
119.
Montrer que, en l’absence d’autre cause, la différence de marche entre deux rayons parallèles issusde
sources voisines est
120.
121.
122.
123.
ri+1 − ri ≈ d cos ϕ sin θ .
En déduire le champ résultant de la somme des dipôles.
Calculer alors le vecteur de Poynting
Calculer la valeur du maximum dans la direction privilégiée.
Exprimer la FCR en normalisant la relation.
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Ondes électromagnétiques Antennes
ψ 

X. Antennes fixes, faisceau tournant
 sin( N 2 ) 
On admet pour l’exercice la fonction réseau qui Réseau (ϕ ) = 
ψ 
donne dans le plan médiateur du réseau d’antennes
 N sin 

2 
la variation de l’intensité du rayonnement. Où ψ est
BR
2
le déphasage entre une antenne et sa suivante.
124.
Exprimer le déphasage entre une antenne et sa suivante. k1
125.
En déduire l’angle d’émission maximale.
On ajoute un terme ψ '(t ) au déphasage du à l’espacement des sources, ce déphasage peut être issus d’un
circuit électrique.
126.
Quel est le nouvel angle d’émission maximale ?
127.
Montrer qu’il tourne à la vitesse angulaire ω si ψ '(t ) = ω t
128.
Quel application peut avoir ce type de dispositif ?
Un dispositif sans électronique a existé juste après la seconde guerre mondiale, le guide d’onde fendu qui sert
de réseau voit sa largeur varier autour d’une valeur moyenne.
On montrera plus tard que la largeur du guide joue sur la longueur d’onde.
129.
Quel lien entre la longueur d’onde et le déphasage ?
130.
Comment obtenir un balayage ?
Y. Propagation guidée
Système d’ondes planes équivalent à une onde guidée.
Soit une OPPPR sinusoïdale E1de longueur d’onde lambda polarisée suivant Ox qui se propage dans le vide,
dans le sens positif de l’axe D1, cet axe fait un angle θ avec l’axe Oz.
Le champ de l’onde en O s’écrit
E1 (t ,0,0,0) = E0e −iωt
131.
Donner la signification et les composantes du vecteur d’onde
132.
Quelle est l’expression du champ
k1 .
E1 (t , x, y, z ) ?
En l’absence de la première onde, une autre onde E2 se propage dans les mêmes conditions, la direction de
propagation de E2 est symétrique de celle de E1 par rapport à Oz.
133.
Quelles sont les composantes de k2 et l’expression de
E2 (t , x, y, z ) ?
Les deux ondes se propagent simultanément
134.
Quelle est l’expression du champ total en m(x,y,z) ?
135.
Quelles sont les caractéristiques de l’onde résultante, est-ce une onde plane, une onde progressive ?
136.
Quelle est sa polarisation ?
137.
Dans quelle direction se fait la propagation.
138.
Avec quelle vitesse de phase ?
139.
Quelle est la longueur d’onde ?
140.
Quelle est l’amplitude de l’onde résultante ?
141.
Montrer qu’il existe une infinité de plans suivant lesquels cette amplitude est nulle.
142.
Quelle est la distance entre deux plans successifs ?
143.
Cette onde peut-elle se glisser dans un guide d’onde aux parois parfaitement conductrices ?
144.
Comment dimensionner alors le guide ?
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Ondes électromagnétiques Antennes
BR
Z. Le guide d’onde rectangulaire
On considère un tube métallique de section rectangulaire, de côtés a et b. Le repère Oxyz a son axe Oz le long
du tuyau. Ox est parallèle au côté a, et Oy au b.
145.
Quelles propriétés doit posséder le champ E pour se propager dans le guide : direction, conditions aux
limites ?
Le champ électrique est de la
π
E = E0 cos 
b
forme

y  e − j (ω t −kz )i

polarisé suivant Ox.
146.
Ecrire l’équation de propagation. En déduire une relation entre
b oméga et k.
147.
On appelle fréquence de coupure la fréquence en dessous de
laquelle la propagation est impossible.
148.
Quelle signification physique donner à l’absence de définition
de k ?
149.
Quelle est l’expression du champ électrique pour k=0 ?
Vitesses…
La vitesse de phase est
supérieure à c.
vϕ =
ω
k
donner son expression. Montrer quelle est
Vf
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
w
0.5
1.0
1.5
2.0
wc
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Ondes électromagnétiques Antennes
BR
150.
Effet de peau
Le modèle du courant étudié en première année est efficace pour la seule BF. Dès que la fréquence augmente,
la résistance d’un fil augmente. Ce phénomène est à la base de couplages par impédance commune sur les
pistes de masse des cartes, pour les signaux HF.
En partant de l’équation différentielle du vecteur densité de courant, on calcule la répartition en profondeur de
ce vecteur, pour découvrir que le courant HF ne pénètre pas les conducteurs.FMEM1 P201.
Le but de cet exercice est d’étudier la répartition du courant HF dans un métal.
Le métal occupe le demi espace z>0. Le vecteur densité de courant est de la forme
j (t , z ) = j ( z ).cos(ω t ).ey
151.
Représenter le situation avec le métal, le vecteur j, donner la signification de j(z).
La partie équation de Maxwell est court circuitée.
Données numériques µ 0
5
-1
= 4π .10−7 SI ; ε 0 = 9.10−12 SI ; σ = 6.107 S .m −1.
7
-1
Cu σ= 5,88 10 S.cm =5,88.10 S.m .
On montre que dans un métal, le vecteur densité de courant j obéit à l’équation différentielle :
∂² j( z)
+ iωσ µ 0 . j ( z ) = 0 avec i²=-1.
∂x ²
152.
En déduire une équation différentielle vérifiée par j(z).
153.
Montrer quelle prend la forme
154.
155.
Donner les expressions de alpha.
Donner la forme des solutions générales de l’équation.
156.
z
−
z
δ
Montrer quelles prennent la forme j (t , z ) = j0 e .cos( + ω t ).e y
∂ ² j( z)
+ α ². j ( z ) = 0 où alpha au carré est imaginaire pur.
∂x ²
δ
157.
Tracer la fonction j(z).
158.
Exprimer la profondeur de peau comme l’équivalent de la constante de temps, pour la fonction j(z).
Dans le cas du cuivre, la plus grande partie du courant reste confinée dans l’épaisseur de peau δ.
159.
Calculer cette profondeur pour f = 50 Hz et f=30 GHZ.
160.
Tracer l’allure de δ(f) dans un diagramme log log, donner la pente.
La formule pratique numérique est δ
=
66
; f ( MHZ ); µ r ; σ r / cuivre où les valeurs de la perméabilité
σ r .µ r f
magnétique et de la conductivité sont relatives à celles du cuivre.
161.
Quelle est l’unité employée pour la profondeur de peau ?
Influence de l’effet de peau sur la résistance des conducteurs.
162.
Pourquoi utiliser des tubes au lieu de barres pour les équipements de courant forts en 50 Hz ?
163.
Conclure quant à l’épaisseur des blindages HF.
164.
Rappeler la formule donnant la résistance BF d’un conducteur.
165.
Un câble cylindrique de diamètre 0,1mm, est en cuivre, sa longueur=1m, calculer sa résistance à 50
Hz.
166.
Calculer la surface utile au passage du courant à 30 GHz, en déduire la résistance du même fil.
167.
Conclure : la résistance d’une piste de cuivre dépend elle de son épaisseur ?
168.
Proposer des solutions techniques pour diminuer R.
Résistance d’un carré
Un carré de cuivre a pour épaisseur 17µm, et pour côté L, non communiqué.
169.
Montrer qu’en BF la résistance du carré est indépendante de L ;
R=
17
; σ relative _ au _ Cu; e(mm)
σ r .e r
170.
On cherchera à montrer la formule numérique
171.
Pour le calcul HF on utilise la formule numérique (dont on justifie la variation)
Z = 370
172.
173.
fµ r
σr
Z en micro ohm, f en MHz, les perméabilités et conductivités relatives par rapport au cuivre.
Calculer la résistance du carré de cuivre.
La comparer en HF et BF, retenir un rapport typique.
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