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Option Informatique
Classes de MP et MP∗
Auteur : Marc Lorenzi
Mis à jour le 10 décembre 2016
Lycée Camille Guérin
Année 2015-2016

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Table des matières
1 Étude des algorithmes 7
I Notiondecomplexité................................... 8
I.1 Quest-ce qu’un algorithme ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2 Correction et Terminaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.3 Complexité .................................... 8
I.4 Complexité en moyenne, en pire cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II Deuxexemplessimples.................................. 9
II.1 Concaténation de deux listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.2 Renversement d’une liste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III Exponentiationrapide .................................. 10
III.1 Algorithme fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III.2 Terminaisonetpreuve.............................. 11
III.3 Complexité .................................... 11
III.4 Algorithmeimpératif............................... 11
III.5 Terminaison, complexité, correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IV Trirapide ......................................... 12
IV.1 Algorithme .................................... 12
IV.2 Analyse de la fonction de partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
IV.3 Analyse en moyenne du tri rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
IV.4 Analyse en pire cas du tri rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
V Multiplication rapide de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
VI Unerécurrenceclassique................................. 16
VI.1 Le cas a= 2α................................... 16
VI.2 Le cas a6= 2α................................... 16
VI.3 Exemples ..................................... 16
2 Arbres 17
I Dequoiallons-nousparler? ............................... 18
II Généralités ........................................ 18
II.1 Notiond’arbre .................................. 18
II.2 Mesures de la taille d’un arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.3 Lectureunique .................................. 19
II.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.5 Retoursurlahauteur .............................. 20
II.6 Fonctions Caml élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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4TABLE DES MATIÈRES
II.7 Démontrer des propriétés des arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.8 Définir des fonctions sur l’ensemble des arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.9 Parcourirlesarbres ............................... 23
III Arbres binaires de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III.1 Structured’ABR................................. 24
III.2 Recherche,insertion ............................... 25
III.3 Minimum,suppression.............................. 25
III.4 Équilibrage .................................... 27
IV Tasetfilesdepriorité .................................. 28
IV.1 Structuredetas ................................. 28
IV.2 Tasimpératifs .................................. 28
IV.3 Tasfonctionnels ................................. 31
IV.4 Annexe:letripartas .............................. 35
3 Langages 37
I Dequoiallons-nousparler? ............................... 38
II Alphabet,Mot,Langage................................. 38
II.1 Lesbases ..................................... 38
II.2 LeMonoïdelibre................................. 39
II.3 Factorisations d’un mot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III Opérations sur les langages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III.1 Union, intersection, différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III.2 Produit ...................................... 40
III.3 Étoiled’unlangage................................ 41
III.4 Etoilestricte ................................... 41
III.5 Propriétésutiles ................................. 41
4 Logique des propositions 43
I Aproposdelogique ................................... 44
II Syntaxe .......................................... 44
II.1 Variables,connecteurs .............................. 44
II.2 Formules ..................................... 45
II.3 Démontrer des propriétés des formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
II.4 Définir des fonctions sur l’ensemble des formules . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.5 Formules, arbres et Caml . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.6 Conventions de suppression de parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II.7 Remplacement d’une ou plusieurs variables par des formules . . . . . . . . . 49
III Sémantique ........................................ 49
III.1 Distributions de valeurs de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.2 Fonctionsbooléennes............................... 49
III.3 Évaluations d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.4 Tablesdevérité.................................. 50
III.5 Satisfiabilité, tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
III.6 Équivalence.................................... 52
III.7 Quelquestautologies............................... 52
IV Annexe : le théorème de lecture unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

TABLE DES MATIÈRES 5
5 Graphes 55
I Levocabulairedesgraphes ............................... 56
I.1 Notiondegraphe................................. 56
I.2 Quelques exemples de graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
I.3 Chemins et cycles dans un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
I.4 Sous-graphes. Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
I.5 Graphespondérés ................................ 58
I.6 Graphesorientés ................................. 58
II Représentationdesgraphes ............................... 59
II.1 Représentation par listes d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
II.2 Représentation par matrices d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
III Parcoursd’ungraphe................................... 61
III.1 Arbres....................................... 61
III.2 Notiondeparcours................................ 63
III.3 Parcours en largeur - Plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.4 Parcours en profondeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
IV Plus courts chemins dans un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
IV.1 Notion de plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
IV.2 Plus court chemins dans les graphes non pondérés . . . . . . . . . . . . . . 69
IV.3 L’algorithme de Floyd-Warshall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
IV.4 L’algorithme de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Langages et expressions Rationnels 77
I Motifs ........................................... 78
I.1 Quest-cequ’unmotif?.............................. 78
I.2 Quelques exemples naïfs de recherche de motifs . . . . . . . . . . . . . . . . 78
I.3 Bilan........................................ 79
II Expressionsrationnelles ................................. 79
II.1 Le langage des expressions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
II.2 Expressions rationnelles généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
III Langagesrationnels.................................... 80
III.1 Notion de langage rationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
III.2 Une construction par le bas des langages rationnels . . . . . . . . . . . . . . 80
III.3 Langages rationnels et expressions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 81
IV Bilan............................................ 81
7 Automates 83
I Généralités ........................................ 84
I.1 Notiond’automatefini.............................. 84
I.2 Représentation par un graphe étiqueté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
I.3 Exemples ..................................... 84
I.4 Calculs dans un automate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
II Propriétés de fermeture des langages reconnaissables . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
II.1 Réunion de langages reconnaissables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
II.2 Langagesfinis................................... 86
II.3 Automatesstandard ............................... 87
II.4 Stabilité des langages reconnaissables par concaténation . . . . . . . . . . . 88
II.5 Stabilité des langages reconnaissables par fermeture de Kleene (étoile) . . . 88
III Automatesdéterministes................................. 89
III.1 Inconvénient des automates « généraux » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89