Chapitre IV Sismomètres
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22 mars 2013 Chapitre IV Sismomètres -------------- Nous avons vu aux chapitres précédents le fonctionnement de la partie mécanique des sismomètres. La mesure de la position de la masse par rapport au châssis a simplement été évoquée et nous allons voir dans ce chapitre les différentes méthodes qui sont (ou furent) employées par les sismologues. Ce très faible déplacement entre la masse d’inertie et le châssis doit être mesuré et amplifié et les méthodes ne manquent pas. La mesure de la position de la masse par rapport au châssis est réalisée par le transducteur qui va, en général, transformer ce déplacement en tension électrique. Dans ce chapitre, nous passerons en revue les méthodes les plus classiques. 4.1 transducteurs Un transducteur est un élément qui va transformer le mouvement de la masse d’inertie en une grandeur mesurable (tension électrique, en général) qui pourra être amplifiée, enregistrée et sur laquelle les sismologues pourrons travailler. Au début du siècle, les sismologues utilisent des tringles judicieusement installées qui permettent une amplification du déplacement de la masse d’inertie par rapport au châssis. L’enregistrement se fait avec un stylet sur un papier noirci au noir de fumée (figure 4.1). Le papier est fixé sur un cylindre en rotation (~1 tour par heure) qui se déplace latéralement d’environ 1 cm par tour, permettant ainsi l’écriture du signal sismique sur une hélice. Ce système permet généralement l’enregistrement continu pendant 24 heures et, après déroulage du papier, fixation du noir de fumée à l’aide de gomme arabique diluée dans du pétrole et séchage, le sismogramme est utilisable et permet la lecture des temps d’arrivée des différentes ondes sismique (figure 4.2). L’information de l’heure (top horaire ou minute) est inscrite sur le sismogramme par une marque appliquée au stylet. Le frottement engendré par les tringles est compensé par l’utilisation d’une masse très importante. Par exemple, les sismomètres horizontaux Mainka avaient une masse de plusieurs centaines de kg (http://eost.ustrasbg.fr/musee/sism/ mainka.html). R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 1 Figure 4.1. Exemple d’un enregistrement sur ‘noir de fumée’. Sismogramme du 24 décembre 1969 (12h00) au 26 décembre 1969 (12h00), emprunté aux archives de l’Observatoire Volcanologique et Sismologique de la Martinique. Figure 4.2 Reproduction (zoom) d’un sismogramme enregistré sur un tambour. Chaque minute est marquée par un créneau délivré par une horloge interne. Dans ce cas, il ne s’agit pas d’un stylet qui écrit sur du noir de fumée, mais d’un stylo qui écrit sur du papier. Les incidents d’écriture étaient fréquents avec un stylo à encre. 4.2 couple aimant/bobine Par la suite, les sismologues utilisent le courant électrique crée par un fil conducteur qui se déplace dans un champ magnétique. Une bobine est constituée d’un enroulement sur un cylindre de plusieurs centaines de tours d’un fil très fin isolé par un vernis. Elle se déplace sans frottement dans l’entrefer d’un aimant (figure 4.3) qui produit un champ magnétique radial, constant et homogène. Ce capteur est un capteur de vitesse car la tension électrique crée est de la forme : avec la tension V en volts, la vitesse de déplacement de la bobine en m/s et , coefficient du couple aimant/bobine en V/m/s. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 2 Figure 4.3. Schéma d’un couple aimant/bobine. La bobine se déplace dans le champ radial fourni par un aimant permanent. Une très petite partie du courant créée par le mouvement sismique est envoyée sur un galvanomètre à cadre mobile très sensible qui produit une déviation proportionnelle à cette intensité. Le galvanomètre porte un miroir qui renvoie un rayon lumineux sur une échelle graduée (méthode de Poggendorf). En sismologie, le rayon lumineux est renvoyé sur un papier photo attaché à un cylindre en rotation (~1 tour par heure) qui se déplace latéralement d’environ 1 cm par tour, permettant ainsi l’inscription lumineuse du signal sismique sur une hélice. Après développement du papier photographique et séchage, le sismogramme est utilisable. Un galvanomètre à cadre mobile est constitué d’une bobine plate de très faible impédance qui tourne proportionnellement à l’intensité du courant qui le traverse, dans le champ magnétique d’un aimant permanent. C’est donc le même principe de fonctionnement que le transducteur du sismomètre et la connexion de ces deux systèmes est délicate. Par contre l’utilisation d’un galvanomètre très longue période permet d’augmenter notablement les périodes enregistrées par le sismomètre, et d’élargir ainsi la bande passante (figure 4.4). Figure 4.4 Représentation de la bande passante d’un sismomètre longue période (Ts=15 s) couplé à un galvanomètre à cadre mobile de période propre Tg égale à 90 secondes. La bande passante s’en trouve élargie vers les longues périodes de la sismologie et permet de mieux voir les ondes de surface (Rayleigh et Love). Le papier photo coute très cher et l’avènement des magnétophones dédiés à l’enregistrement des fréquences vocales a permis de faire les premiers enregistrements sur bande magnétique. L’enregistrement du séisme devenait ainsi réutilisable. Une fréquence porteuse de la gamme R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 3 audio (20-20 000 Hz) de quelques kHz est modulée par le signal sismique qui modifie cette fréquence en fonction de sa tension. Le signal modulé est enregistré sur le magnétophone. A la relecture, le signal sismique est démodulé (modulateur et démodulateur de la marque Lennartz) et restitué au travers d’une tension électrique utilisable sur des traceurs à papier (type servotrace de chez Sefram, figure 4.5). Entre le démodulateur et le traceur, on peut mettre un filtre analogique qui va permettre de faire apparaître les différentes composantes fréquentielles du signal. L’autonomie des magnétophones à bandes (Revox ou Uher, le plus souvent, puis magnétophone à cassette par la suite) est de 4 heures au maximum et ne permet pas un enregistrement continu. Un détecteur de seuil compare les amplitudes du signal avec un seuil fixé par l’opérateur. Pour ne pas perdre le début du signal, il faut utiliser deux magnétophones qui enregistrent à tour de rôle des périodes d’environ ¼ d’heure. Si le détecteur indique un séisme, la bande n’est pas rembobinée. Figure 4.5 Photo d’un enregistreur analogique servotrace monotrace de chez Sefram. Le défilement du papier est réglable d’environ 1 mm/minute à 1 cm/seconde. Le papier sort au niveau de la barre centrale brillante, munie de trois galets noirs, et descend vers le bas de la photo. La plume, fixée à un chariot (situé en dessous de l’inscription ‘servotrace’) a une amplitude d’environ 20 cm. Les acquisitions MEQ-800 de Sprengnether de petite dimension, légère, de faible consommation, autonome, peuvent s’installer facilement dans des sites démunis d’infrastructure. Deux batteries d’automobile permettent une autonomie de plus d’une semaine. Il faut, malgré tout, aller chaque jour changer le tambour d’enregistrement. Ces caractéristiques ont permis l’essor des campagnes de micro-sismicité, c'est-à-dire l’étude de la sismicité d’une petite zone à partir d’un réseau très dense. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 4 Figure 4.6 Exemple d’enregistrements sismiques, enregistrés sur bandes magnétiques, ‘rejoués’ sur un traceur ‘Sefram’ à 12 voies. Figure 4.7 Enregistreur Belin 3 composantes (à gauche) était utilisé avec du papier photo et 3 galvanomètres à cadre mobile. Sur cette photo, on le voit modifié pour une écriture avec un stylo. A droite de la photo, un enregistreur MEQ-800. Le transducteur constitué d’un couple aimant/bobine est un système réversible et si l’on injecte un courant dans la bobine, une force proportionnelle à l’intensité du courant s’exerce entre l’aimant et la bobine. Le coefficient de proportionnalité est le même que précédemment i avec la force F exprimée en Newton, l’intensité électrique qui et l’on peut écrire : F parcours la bobine en Ampère et le coefficient du couple aimant/bobine en N/A. Ce coefficient de forceur a la même valeur numérique que le coefficient de capteur, car 1 joule = 1 N.m = 1 V.A.s. En sismologie, la constante s’échelonne de 30 à 500 V/m/s ou N/A. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 5 Figure 4.8 Photo d’un enregistreur analogique MEQ-800 de Sprengnether. Le signal issu du sismomètre est amplifié puis envoyé sur un galvanomètre qui porte une plume. Le tambour permet une autonomie de 24 heures et le papier est souvent enduit de noir de fumée. La plume est un simple stylet, pour avoir une très grande qualité du tracé. La photo montre en enregistrement avec une plume à encre. Microphone et haut-parleur font partis des rares utilisations, en tant que capteur et forceur, de ce système aimant/bobine. Le micro transforme en tension électrique le son qui a fait vibrer la membrane attachée à une bobine. La tension électrique issue du micro est amplifiée puis le courant électrique est envoyé sur le haut-parleur. La bobine du haut-parleur déplace une membrane qui fait vibrer l’air. 4.3 capteur capacitif La variation de la capacitance d’un condensateur variable est utilisée pour mesurer le très faible déplacement de la masse d’inertie par rapport au châssis. Une plaque de condensateur (mobile) est fixée à la masse d’inertie et deux plaques fixées au châssis l’encadrent. Pour une meilleure mesure, les deux plaques fixes sont alimentées par une tension alternative haute fréquence, en opposition de phase. Et c’est la phase du signal résultant sur la plaque mobile qui sert à la mesure. Un tel capteur permet d’atteindre des précisions de l’ordre de 10-9 mètre, inférieures à la dimension atomique, mais il s’agit ici d’une mesure moyennée sur une grande surface (quelques cm²). Le capteur capacitif est lui aussi réversible et peut être aussi employé comme forceur en appliquant de fortes tensions électriques basses fréquences sur les plaques du condensateur. Mais dans ce cas, les forces appliquées restent faibles. La tension électrique à la sortie du capteur de déplacement est simplement proportionnelle à la position de la masse sur une très large bande de fréquence. On écrit : , avec . Après amplification G peut atteindre des valeurs très fortes, jusqu’à 80 000 V/m pour les STS-1 de Wielandt-Streckeisen. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 6 Figure 4.9. Schéma d’un capteur capacitif constitué d’une plaque mobile et de deux plaques fixes. 4.4 capteur inductif (LVDT, Linear Variable Differential Transformer) Très semblable au capteur capacitif, le capteur inductif utilise deux bobines secondaires fixées au châssis et alimentées en courant haute fréquence. Un noyau de ferrite mobile, fixé à la masse d’inertie, canalise le champ magnétique qui induit un courant électrique dans une troisième bobine. La tension aux bornes de cette bobine primaire va varier en fonction de la position de la ferrite. Le capteur inductif (figure 4.10) présente sensiblement les mêmes caractéristiques que le capteur capacitif. (figure 4.9). Figure 4.10. Vues en coupe et schéma d’un capteur de déplacement inductif constitué de deux bobines secondaires soumises à une tension haute fréquence et d’une bobine primaire qui récupère une partie de cette énergie. Celle-ci est modulée par la position de la ferrite attachée à la masse d’inertie du pendule. La tension aux bornes de la bobine primaire est proportionnelle à la position de la ferrite. Evidemment en sismologie, il n’y a aucun frottement entre la ferrite et les bobines. Selon les transducteurs utilisés, nous aurons en sortie des tensions proportionnelles à la position de la masse (capteur capacitif ou inductif) ou proportionnelle à la vitesse de déplacement de la masse par rapport au châssis (couple aimant/bobine). A priori, les transducteurs ne doivent modifier en rien les caractéristiques des pendules. Le pendule conserve sa période propre et son amortissement. Ce n’est que pour mieux adapter le pendule R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 7 à la mesure en sismologie que shunt et contre-réaction sont utilisés et modifient les caractéristiques du pendule. La transformée de Fourier permet le passage entre deux représentations que nous avons d’une vibration. Soit cette vibration est représentée en fonction du temps (time domain), elle s’écrit f(t), soit cette vibration est appréhendée au travers de son contenu spectral (frequency domain). Il s’agit d’une amplitude et d’une phase qui dépendent de la fréquence : A( ) et ( ). Illustration de la transformée de Fourier. Un signal temporel f(t) se décompose en une amplitude et une phase dépendantes de la fréquence. Cette opération est réversible. Une fonction temporelle de Dirac (t) correspond à un pic d’énergie très localisé dans le temps. La vision fréquentielle de ce signal correspond à un signal contenant toutes les fréquences. Inversement, une sinusoïde qui dure indéfiniment dans le temps, n’a qu’une seule fréquence dans le domaine fréquentiel. Time versus frequency : Différences dans le domaine temporel (à gauche) puis dans le domaine fréquentiel (à droite) d’une fonction de Dirac (haut) et d’une sinusoïde (bas). R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 8 4.5 sismomètre passif Le sismomètre passif est constitué d’un pendule mécanique et d’un transducteur du type couple aimant/bobine. La tension de sortie est directement enregistrée avec un appareil adéquat de très forte impédance d’entrée pour ne pas perturber le capteur : oscilloscope, traceur, convertisseur analogique/numérique…etc. Si l’enregistreur n’a pas une très forte impédance d’entrée, un courant non négligeable circule dans la bobine et produit une force contre-électromotrice qui perturbe le pendule. Figure 4.11. Schéma hybride d’un pendule mécanique et d’un transducteur type aimant/bobine. La bobine fixée à la masse d’inertie, se déplace dans le champ magnétique d’un aimant fixé au châssis. L’appareil de mesure, aux bornes de la bobine, doit avoir une très forte impédance d’entrée (le courant qui circule dans la bobine doit être très faible) pour ne pas perturber le sismomètre. L’équation du pendule soumis à une accélération du sol s’écrit : . On pose : avec et . La fonction de transfert, rapport entre la mesure z(t) (sortie) et l’excitation x(t) (entrée) du sol s’écrit . Le transducteur constitué d’un couple aimant/bobine verra aux bornes de sa bobine, une tension proportionnelle à la vitesse de déplacement de la masse par rapport au châssis de la forme : . La combinaison du pendule et de ce transducteur nous permet d’écrire la nouvelle fonction de transfert entre la tension aux bornes de la bobine et la vitesse de déplacement du sol : , et finalement : Cette fonction de transfert FT(s), rapport de la sortie (en Volt) sur l’entrée (ici, exprimée en vitesse du sol) s’exprime en V/m/s, comme c’est très souvent le cas dans les notices des appareils. Un sismomètre de ce type a une fonction de transfert, équivalente à un filtre passehaut, proportionnelle à la vitesse de déplacement du sol (figure 4.12). Cette configuration nous permet d’enregistrer l’oscillation propre du pendule. La réaction d’un tel pendule à une force extérieure du type fonction de Dirac, est un signal oscillant amorti (figure 4.13). R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 9 Figure 4.12. Bande passante ou fonction de transfert d’un sismomètre passif de fréquence propre égale à 1 Hz. L’ordonnée est en V/m/s. Un sismomètre passif est un filtre passe haut de fréquence de coupure égale à sa fréquence propre. Figure 4.13. Un pendule équipé d’un transducteur du type aimant/bobine produit sous l’action d’une force extérieure, une tension électrique proportionnelle à la vitesse de déplacement de la masse par rapport au châssis. C’est un mouvement sinusoïdal amorti ou l’on voit clairement apparaître la période et la décroissance de l’amplitude qui caractérise l’amortissement du pendule. L’abscisse est en seconde et l’ordonnée proportionnelle à la vitesse de déplacement de la masse par rapport au châssis (ici en unité quelconque). R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 10 Fonctions de Dirac et d’Heaviside utilisées comme forces extérieures Nous avons vu au chapitre II, que le pendule réagit de la même manière à une force extérieure appliquée directement sur la masse et à la vibration du sol sur lequel il repose. Il n’est pas judicieux d’appliquer une force qui dure longtemps car on se retrouve dans le cas d’un pendule forcé. Il est préférable de lui appliqué une force très courte et de suivre la réaction du pendule à cette stimulation. La fonction de Dirac (t) décrit parfaitement une impulsion très brève. Physiquement, il n’est pas très facile de réaliser une force ressemblant à une fonction de Dirac. Par contre, la fonction d’Heaviside, qui est l’intégrale temporelle de la fonction de Dirac correspond mieux à une action physique facilement réalisable. Par exemple, une petite masse rajoutée ou ôtée à la masse d’inertie va créer une variation de force qui aura la forme d’une fonction d’Heaviside. L’action d’un interrupteur qui coupe le courant d’alimentation d’une bobine auxiliaire de calibration (à usage de forceur) produit un très bon signal parfaitement équivalent à un échelon d’Heaviside. Les fonctions de Dirac et d’Heaviside ont la particularité d’avoir un spectre blanc, c'est-à-dire que toutes les fréquences sont représentées dans le signal avec des amplitudes égales. Ceci nous permet d’exciter le pendule sur l’ensemble de la gamme de fréquences et de voir dans le détail la réponse du pendule. En fonction du temps, un Dirac (t) est un apport d’énergie très bref et la fonction d’Heaviside h(t) est l’intégrale temporelle de (t). 4.6 mesure des paramètres d’un sismomètre passif. La sinusoïde amortie figure 4.13, est caractérisée par deux paramètres : sa période et son amortissement. La mesure de la période est très simple, soit avec un chronomètre soit sur le tracé du sismogramme, on mesure le temps entre deux passages (dans le même sens, sinon on mesure la demi-période) de la masse au même point (figure 4.14). La période propre ainsi mesurée s’exprime en seconde. On peut aussi parler de fréquence propre exprimée en Hertz. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 11 Figure 4.14. Mesure de la période propre T0 et des amplitudes Ai de la réponse à une impulsion d’un sismomètre passif. Les amplitudes Ai peuvent être simplement mesurées en mm sur le graphe. Les exponentiels et encadrent la sinusoïde et permettent la mesure de l’amortissement . La solution générale s’écrit : La mesure de l’amortissement se fait à partir de la mesure des demi-amplitudes, du zéro au maximum positif et négatif, en alternance. (figure 4.14). Le décrément logarithmique (en logarithme Népérien) correspondant à cet amortissement s’écrit : Attention, une mesure pic à pic de l’amplitude (souvent plus facile à faire) n’est pas équivalente à une mesure partant de zéro jusqu’au pic. . On peut aussi écrire le rapport des amplitudes sous une forme plus générale : Le décrément logarithmique est relié à l’amortissement par la formule : finalement : , et . Dans les éditions anciennes de manuel de sismométrie, avant l’avènement des facilités de calcul actuelles, un tableau entre le rapport d’amplitude et R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 12 amortissement était fourni (Duclaux, 1960). Quand l’amortissement est fort, proche de l’unité, la période que l’on mesure, appelée période apparente, est très différente de la période propre. Ces deux périodes sont reliées par la formule : . Si l’amortissement est faible (grand facteur de qualité de la suspension) la moindre impulsion appliqué au pendule le fera osciller longtemps à sa période propre ce qui déforme le signal sismique d’entrée et nuit à la visualisation de la suite du signal noyé dans cette oscillation. C’est ce que l’on observe sur le premier enregistrement de téléséisme (figure 4.15) réaliser par Von Rebeur-Paschwitz à Postdam en 1889 (séisme Japonais). Sur cet enregistrement, on devine la prédominance d’une période unique qui est la période propre du pendule excité par les ondes sismiques. Figure 4.15. Enregistrement du premier téléséisme par l’appareil de Von RebeurPaschwitz à Postdam en 1889. Il s’agit d’un séisme de forte magnitude du Japon. A droite, photo d’un Rebeur-Elhert (EOST Strasbourg). C’est un petit pendule horizontal du type garden-gate : le bras mesure environ 10 cm, probablement non amorti, équipé d’un miroir et d’un enregistrement photographique. Comme nous le voyons sur cet exemple ancien, l’amortissement du pendule est insuffisant et la moindre impulsion sismique met en oscillation le pendule pendant plusieurs secondes. Il est nécessaire de réduire cet amortissement pour avoir des sismogrammes plus lisibles. Au début du siècle, les sismologues ont utilisés des amortisseurs à air ou à bain d’huile. Un piston attaché à la masse d’inertie du pendule est freiné dans son mouvement par la surpression crée par l’écoulement de l’air ou de l’huile. Ces réglages étaient difficiles et instables. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 13 Représentation de la fonction de transfert par des pôles et des zéros Nous venons d’écrire la fonction de transfert qui relie la tension électrique aux bornes de la bobine à la vitesse de déplacement de la masse par rapport au châssis : FT ( s ) V sx 0 s2 (s 2 2 0 s 2 0 .Cette fonction de transfert dépend des caractéristiques du ) pendule : période propre, amortissement et coefficient du couple aimant/bobine et aussi de la fréquence du phénomène étudié. Nous avons vu que les hautes fréquences seront restituées par le sismomètre alors que les basses fréquences seront filtrées et disparaissent. La fonction de transfert ci-dessus est très simple, mais pratiquement le numérateur et le dénominateur peuvent être beaucoup plus complexes. Pour permettre un emploi plus pratique de ces fonctions, même complexes, après une décomposition en polynômes du premier ordre, on utilise les valeurs de la variable ‘s’ qui annulent le numérateur, ce sont les zéros et les pôles annulent le dénominateur. Une constante permet une référence en amplitude. Le stockage de quelques valeurs judicieusement choisies (pôles, zéros et constante) et l’usage d’un programme de calcul adéquat, permet de restituer facilement la fonction de transfert même complexe en amplitude et en phase. On peut écrire : , avec i zéros et j pôles. Exemple de la fonction de transfert simplifiée du STS-2 de Streckeisen : ZEROS 2 0.0 0.0 0.0 0.0 POLES 2 -3.7024E-02 -3.7024E-02 -3.7024E-02 3.7024E-02 CONSTANT 3.1457E08 En général, les zéros, quand ils sont nuls, ne sont pas notés. Pôles et zéros sont bien évidemment des nombres complexes notés partie réelle puis partie imaginaire. Dans le cas cidessus, ce sont deux fois les mêmes pôles. On montre que pour cette fonction de transfert très simple, les deux zéros sont nuls et les deux pôles sont égaux et de la forme : R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres et . Page 14 Bande passante simplifiée d’un sismomètre STS-2 calculée à partir du fichier pôles et zéros ci-dessus et du logiciel SAC (Seismic Analysis Code de Tull and Harris (1987)). La période coin de la bande passante est de 120 s (0.00833 Hz) et l’amortissement vaut 0.707. 4.7 l’amortissement critique Les très fortes amplitudes qui apparaissent à la fréquence propre du pendule doivent être réduites et ramenées au même niveau que le niveau d’amplitude haute fréquence (figure 4.12). Le pendule sera amorti au critique ce qui correspond à une valeur de égale soit à 1 soit à . La valeur de 1 est la valeur théorique qui supprime l’amortissement, mais la valeur de 0.707 correspond à un amortissement moindre qui conserve une bande passante plate (sans surtension ou overshut à la résonance). Comme l’amortissement réduit la sensibilité du pendule, les sismologues utilisent de préférences un amortissement critique moindre de 0.707. Pour mettre l’amortissement à sa valeur critique (0.707) les sismologues utilisent maintenant la propriété de réversibilité du couple aimant/bobine. Si on réinjecte dans la bobine un courant électrique proportionnel à la vitesse de déplacement de la masse, on fabrique un freinage magnétique équivalent à un force de frottement qui va s’additionner à la force de frottement mécanique du pendule. Une résistance adaptée, appelée shunt, est placée aux bornes de la bobine (figure 4.16) et permet de faire passer un courant électrique i qui va créé une force opposée au mouvement de la forme : . Pour ce calcul la valeur de l’inductance de la bobine (exprimée en Henry) sera négligée, seule la résistance interne de la bobine et le shunt sont prises en compte. La tension aux bornes de la bobine est de la forme avec qui est la constante du couple aimant/bobine exprimé en V/m/s ou N/A. Rappelons que 1 joule = 1 Nm = 1 VAs, ce qui nous permet d’écrire 1 N/A = 1 V/m/s. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 15 Figure 4.16. Schéma hybride d’un sismomètre passif : à gauche, la partie mécanique (masse, frotteur, ressort) et à droite, la partie électrique avec la bobine fixée à la masse d’inertie et soumise à un champ magnétique B lié au châssis. La tension aux bornes de la bobine, partiellement court-circuité par le shunt, fournit la mesure. Le courant qui circule dans la bobine et le shunt est de la forme : .et cette même tension est produite par le déplacement : Si le coefficient de frottement mécanique est faible on peut écrire que la nouvelle force de frottement ne dépend que du courant électrique contrôlé par le shunt. La force de frottement correspond au deuxième terme de l’équation générale du pendule établie au chapitre II, on peut donc écrire : . Soit : .On obtient : shunt Sh doit être positive : . La résistance de et donc les caractéristiques du sismomètre et du couple aimant/bobine doivent être adaptées pour répondre à cette contrainte, sous peine de ne pas pouvoir amortir suffisamment le pendule. De plus, la résistance de shunt sert à mettre le pendule à son amortissement critique : , il faut donc : . La résistance interne de la bobine, son coefficient (exprimé en N/A ou V/m/s) et la valeur de la masse sont donnés par le constructeur. La bande passante d’un sismomètre passif avec un amortissement critique est représenté figure 4.17. La courbe d’amortissement d’un sismomètre équipé d’un shunt calculé qui fixe l’amortissement à la valeur critique est présentée sur la figure 4.17. La tension en sortie V(t) du capteur est : - proportionnelle à la vitesse de déplacement du sol quand ; en surtension quand . Pour réduire cette surtension, l’amortissement sera fixé à sa valeur critique de 0.707 à l’aide d’un shunt ; - rapidement décroissante en R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres au-delà de . Page 16 Figure 4.17. Bande passante typique d’un sismomètre passif équipé d’un transducteur du type aimant/bobine. Les deux courbes correspondent à deux amortissement différents : critique avec = 0.707 et sans amortissement avec une très forte surtension à la période propre. L’ordonnée des amplitudes est exprimée en Volts/m/s, l’abscisse en fréquence. La fréquence propre du pendule est de 1 Hz. Figure 4.18. Cette figure du domaine temporel met en évidence le changement de phase en fonction de la fréquence du signal. La fréquence évolue de ‘1’, f=1.25 Hz, à ‘2’, f=1.10 Hz, à ‘3’, f=1.00 Hz, à ‘4’, f=0.9 Hz et ‘5’, f=0.8 Hz. L’inversion de phase se situe entre 1.10 et 1.00 Hz. Pratiquement, une résistance de shunt aux bornes de la bobine permet de réinjecter avec précision un courant électrique qui agit sur la bobine et fixe l’amortissement au critique. L’utilisation d’un shunt n’est pas une opération anodine. Pour une même calibration, l’amplitude maximale de la première oscillation est réduite. Quand l’amortissement vaut 0.707, la deuxième oscillation est ~9 fois plus petite que la première (figure 4.19). R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 17 Figure 4.19. Signal d’amortissement d’un sismomètre passif sans shunt et même signal amortie au critique avec un shunt adapté. Cette façon d’utiliser les pendules permet à certains constructeurs de fabriquer des appareils avec un amortissement mécanique très légèrement inférieur à l’amortissement critique. Ceci leur permet de faire des appareils robustes fortement amortis mécaniquement (ce sont souvent des géophones) qui seront ajustés précisément au critique avec un shunt adapté. Remarque : Le court-circuit de la bobine (shunt de résistance nulle) réduit fortement les mouvements de la masse car l’amortissement est grand. Le court-circuit est parfois utilisé pour bloquer, durant le transport, la masse de certains sismomètres peu fragiles. A partir d’un pendule et d’un transducteur aimant/bobine, les sismologues ont rajouté un circuit (shunt) qui renvoie sur la bobine un courant s’opposant au mouvement de la masse. Il s’agit des prémisses du principe de la contre-réaction surtout si l’on représente séparément les deux fonctions du couple aimant-bobine : transducteur et forceur (figure 4.19). Figure 4.20. Schéma de principe d’un sismomètre passif. Le shunt seul constitue la boucle de contre-réaction. Transducteur et forceur sont le même appareil : un couple aimant/bobine. L’utilisation d’un sismomètre passif avec un transducteur du type aimant/bobine et d’un shunt qui fixe l’amortissement du pendule, peut être vu comme une contre-réaction élémentaire passive ou le shunt seul, constitue la boucle de contre-réaction. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 18 4.8 la contre-réaction électronique En 1927, la demande de brevet déposé par Harold Black pour la contre-réaction électrique est accueillie comme une demande d’invention de mouvement perpétuel. Elle fut finalement acceptée neuf ans plus tard après que Black et d’autres membres des laboratoires Bell aient développé la théorie relative à la contre-réaction (source Wikipedia). Cependant, la notion de contre-réaction a été largement développée quelques années auparavant dans le domaine des pilotes automatiques pour la maintient du cap des navires. La notion de contre-réaction est née au 18ème siècle quand les navigateurs qui voulaient suivre un cap, étaient amenés à corriger en permanence la barre. Dans un circuit quelconque, on injecte à l’entrée de ce circuit, par l’intermédiaire d’un circuit annexe appelé boucle de contre-réaction une partie du signal de sortie que l’on souhaite soustraire au signal d’entrée. La boucle de contre-réaction est constituée d’un filtre qui ne réinjecte sur l’entrée que des signaux indésirables, les maintenant ainsi à un très faible niveau en sortie pendant que les signaux désirés peuvent être fortement amplifiés. Par exemple, un amplificateur de conception soigné atteint un taux de distorsion de 1% qui passe à 0.001% avec l’usage d’une contre-réaction. Dès que la masse du sismomètre s’écarte de sa position d’équilibre, correspond au zéro du capteur de déplacement, un courant électrique calculé par la CRE est envoyé sur le forceur. La force exercée va ramener la masse dans sa position de départ. Dans le domaine fréquentiel, la CRE peut se décomposée en une suite d’éléments actifs notés Ti. Chaque élément est une fonction de transfert égale au rapport du signal de sortie sur le signal d’entrée. La fonction de transfert d’une CRE s’écrit : (figure 4.22). T1 représente le pendule, T2 le transducteur qui est un capteur de déplacement, T3 la contreréaction et T4 le forceur qui est le couple aimant-bobine. Figure 4.22. Schéma de principe de la CRE appliquée à la sismologie. 4.9 l’amortissement passif avec un shunt, traité en termes de CRE Reprenons le cas d’un pendule équipé d’un capteur de vitesse (couple aimant-bobine) et d’un shunt qui maitrise l’amortissement. La figure 4.20 représente ce sismomètre en séparant bien le transducteur et le forceur qui sont, de fait, un même élément ayant deux fonctions. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 19 La fonction de transfert du pendule est égale à la sortie (accélération du bras du pendule) divisée par l’entrée qui est l’accélération du sol : . La fonction de transfert du transducteur aimant-bobine s’écrit : La fonction de transfert du shunt s’écrit : . . r désigne la résistance interne de la bobine qui est en série avec le shunt Sh. Le forceur applique une force sur la masse de la forme : . désigne le mouvement du bras induit par le forceur . La fonction de transfert (rapport de la sortie sur l’entrée) s’écrit : . Etablissons les éléments de la fonction de transfert globale : en notant que puis , l’un exprimé en V/m/s et l’autre en A/N, et représentant les deux caractéristiques du couple aimant-bobine. Le dénominateur s’écrit : . La fonction de transfert du sismomètre équipé d’un shunt s’écrit après mise en forme : . Dans ces conditions, on voit apparaître un nouvel amortissement (contenu dans le coefficient du terme de degré 1 di dénominateur) : qui donne un amortissement contrôler par le shunt de la forme : . C’est bien la même formule définie au paragraphe 4.7 en ne négligeant pas l’amortissement mécanique. 4.10 pourquoi une CRE Nous venons de voir la description du sismomètre passif utilisant un shunt. Cette méthode est largement utilisée pour les capteurs courte période (au dessus de 1 Hz de fréquence propre). Voyons maintenant le cas des capteurs longue période (entre ~30 et ~1 secondes de période propre) pour lequel des problèmes vont se poser. Reprenons le cas précédent d’un sismomètre passif, équipé d’un transducteur aimant-bobine, mais cette fois, de période propre de 30 secondes, . On écrit : R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 20 , pour le pendule et pour le transducteur aimant-bobine soit globalement : mais aussi . Un shunt adéquat placé aux bornes de la bobine permet d’avoir un amortissement critique. Toutes les fréquences supérieures à la fréquence propre du pendule sont restituées avec le même facteur de transfert (figure 4.21, gauche). Un tel pendule longue période présente deux inconvénients majeurs : - au-delà de la période propre, la décroissance en amplitude est très forte. La représentation en échelle logarithmique des bandes passantes est trompeuse et ne laisse pas apparaître la très forte atténuation en . Ainsi, les ondes de surface supérieures à ~50 secondes (pour un pendule à ~30 s) ne seront pas correctement enregistrées par ce sismomètre. - une période propre de 30 secondes est possible avec les pendules inverse, du type gardengate ou vertical (voir chapitre V) mais le pendule devient instable. La moindre perturbation extérieure (courant d’air, variations de température, variations de pression atmosphérique, présence humaine, etc.) va agir et peut pousser la masse en butée. Le sismomètre reste bloqué et ne fonctionne plus. Une première réponse à ces deux problèmes et l’usage d’un capteur de déplacement qui permet d’avoir un enregistrement privilégiant les longues périodes (figure 4.21, droite), au détriment des courtes périodes, évidemment. Figure 4.21.Représentation des fonctions de transfert en V/m/s. A droite, bande passante d’un sismomètre de période propre de 30 secondes équipée d’un transducteur du type aimantbobine. La tension de sortie est de 100 V/m/s. A gauche, le même sismomètre avec un capteur de déplacement. Les longues périodes sont mieux enregistrées, pour un même niveau d’enregistrement. Quand ,( , c’est l’élément neutre dans cette représentation, et les amplitudes des signaux exprimées en V/m/s et en V/m sont identiques. Ce sismomètre est donc instable, mais on peut extraire le signal longue période correspondant à cette instabilité, par l’usage d’un filtre passe bas actif. Après changement de signe, le signal R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 21 obtenu ‘D’ sur la figure 4.21 est utilisé comme signal de correction et appliqué à la masse par l’intermédiaire d’un forceur. Figure 4.21. Séparation par filtrage du signal ‘A’ à la sortie du sismomètre en un signal LP ‘B’ et un signal CP ‘C’. Le signal ‘D’est l’inverse du signal ‘B’. Il est utilisé pour contraindre la masse autour d’une position LP proche du zéro du capteur de déplacement. Introduction de la notion de contre-réaction en sismométrie Nous allons comparer les signaux sismiques enregistrés par deux sismomètres qui ne différent que de leur période propre : le premier à la période propre de 1 seconde (trace B de la figure X) et le second à 10 secondes (trace C de la figure X). Le premier ne va pas voir les ondes longue période, tandis que le second va être sensible aux ondes longues périodes et aux perturbations extérieures, elles aussi longues périodes. La figure 4.22 illustre ces deux cas d’enregistrement. La trace A de la figure 4.22 représente un séisme correctement et totalement enregistré. Il s’agit de l’enregistrement à la station de Lifou (LIF, réseau de a Nouvelle Calédonie) d’un séisme des Îles Salomon (23 avril 2011, Ms=6.8, 04h17mn). Le sismomètre est un Trillium (de chez Nanometrics) qui a une bande passante plate de 0.1 à 120 secondes. Le signal est exprimé en digits, avec un facteur 106 près, et il est proportionnel à la vitesse du sol sur les trois quart de la bande passante dessinée dans le spectrogramme à droite. Ce sismogramme nous servira de référence pour cette démonstration. La trace B de la figure 4.22 représente le même signal enregistré par un sismomètre passif, de période propre de 1 Hz. Les longues périodes ont disparues. La trace C de la figure 4.22 représente le même séisme, enregistré par un sismomètre passif, équipé d’un transducteur du type aimant/bobine, de période propre égale à 10 secondes. Cette période un peu longue laisse place aux ondes sismiques longues mais aussi à des phénomènes perturbateurs tel que température, marée terrestre, etc. qui décentrent la masse. Le signal résultant s’en trouve écrêté mais la valeur nominale reste autour de zéro. Avec ce type de R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 22 transducteur (A/B), nous n’avons pas d’information absolue sur la position de la masse, seul l’écrêtage nous en informe. Le spectrogramme de droite est calculé à partir du signal non écrêté. Il montre un net gain vers les longues périodes par rapport à la trace B précédente. Pour aller encore plus vers les longues périodes et avoir une mesure de la position de la masse, le sismomètre précédent (à T = 10s) est utilisé avec un transducteur du type capteur de déplacement. La position de la masse est connue car ce capteur possède un zéro autour duquel oscille la masse par opposition au couple aimant/bobine qui produit une vitesse quelque soit la position de la masse. Le signal obtenu est proportionnel à la position de la masse, c’est donc l’intégrale du signal en vitesse et donc il amplifie les longues périodes, comme le montre la bande passante en rouge dans le spectrogramme de droite (lui aussi calculé à partir du signal non écrêté). La trace F montre la partie longue période gênante qui doit être contournée, éliminée, séparée pour qu’apparaisse la trace sismique E. Cette séparation doit se faire avant l’enregistrement. Figure 4.22. Evolution d’un sismogramme en fonction de la période propre du sismomètre et du transducteur (couple aimant/bobine ou capteur de déplacement). R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 23 Au sortir du capteur de déplacement qui produit un signal D (de la figure 4.22) on extrait la partie longue période au travers d’un filtre passe bas : un filtre qui ne laisse passé que les longues périodes. Il est caractérisé par une fréquence coin (~0.01 Hz soit 100 secondes). Le signal LP ainsi obtenu, après inversion de son signe, est transformé en une force, par l’intermédiaire d’un couple aimant/bobine, mais cette fois utilisé en forceur, et appliqué à la masse d’inertie. Ainsi, quand le capteur de déplacement indique une masse trop basse par exemple, le filtre passe bas isole cette information et induit une force qui recentre la masse. Figure 4.23. Structure d’un filtre passe bas Le filtre passe bas ou intégrateur donne une tension de sortie de la forme : avec un temps caractéristique , ou fréquence de coupure , . Le courant qui circule au travers de C doit égal et opposé au courant qui passe dans R. Le schéma global et le suivant, avec un couple aimant/bobine utilisé comme outil pour envoyé une force calibrée sur la masse, nous l’appellerons : le forceur. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 24 Figure 4.24. Schéma d’un sismomètre équipé d’un capteur de déplacement et dont le signal LP, transformé en force, est réinjecté sur la masse d’inertie. remplacer CRE par ‘filtre passe bas’. Les différentes fonctions de transfert des éléments s’écrivent : 1/ le pendule mécanique : , avec déplacement de la masse par rapport au châssis ; 2/ le capteur de déplacement : ; 3/ le filtre passe bas : , car il faut considérer la résistance de charge (résistance de la bobine ou une autre résistance notée s’applique la tension . , int pour intégrateur) sur laquelle , car la force de Laplace induite par le forceur s’écrit : 4/ le forceur : . Lorsque la mesure s’effectue à la sortie du capteur de déplacement, la fonction de transfert finale s’écrit : . Programme ABint.f dans CRE. à revoir. Nous retrouverons ce résultat dans la formule générale de la contre réaction du type PID (Proportionnel, Intégral et Dérivé) qui répond mieux aux attentes des sismologues qu’un simple filtrage longue période, comme nous venons de la voir. Nous venons de décrire les prémisses de la contre-réaction qui permet de stabilisée la masse du pendule autour du zéro du capteur de déplacement. Un filtre passe bas est équivalent à un intégrateur et c’est ce terme qui est utilisé. Pratiquement la CRE est du type PID avec trois branches : Proportionnelle, Intégrale et Dérivée. La contre réaction électronique (CRE) permet de répondre à (i) l’instabilité des pendules longue période et (ii) l’enregistrement des longues périodes : ondes de surface, modes propres et marées terrestres. Elle permet une meilleure stabilité du pendule, une bande passante plus large et plus stable, ainsi qu’une linéarité accrue. 4.11 la contre-réaction électronique (CRE) du type PID Reprenons notre pendule à la période propre de 30 secondes, équipé d’un capteur de déplacement qui nous fournira la mesure de la position de la masse par rapport au châssis et R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 25 d’un forceur, couple aimant-bobine, qui nous permettra d’injecter une force contrôlée sur la masse d’inertie. Le pendule a une fonction de transfert notée . La fonction de transfert du transducteur capacitif (ou LVDT) (noté T2) s’écrit : . Nous admettrons que cette fonction de transfert est indépendante des fréquences, en d’autres termes, ce transducteur traite toutes les fréquences de la même manière et fournit une tension proportionnelle à la position de la masse. Le signal à la sortie du transducteur (T2) est la convolution du pendule (noté T1) et du transducteur : . C’est la courbe rouge de la figure 4.28, notée ‘pendule’, et représentée dans un diagramme proportionnelle à la vitesse du sol ou la figure 4.21 (droite). La partie haute fréquence de cette courbe est proportionnelle au déplacement du sol (DISP) et la partie basse fréquence, proportionnelle à l’accélération (ACC). La tension électrique à la sortie du transducteur de déplacement est séparé en deux : d’un coté elle va vers l’enregistrement et elle est appelé VBB, pour Very Broad Band ; de l’autre elle suit le chemin de la contre-réaction (figure 4.25). Figure 4.25. Schéma de principe d’une CRE appliquée à un sismomètre. La masse fait office de sommateur. Elle va ressentir les accélérations du sol et les forces induites par le forceur. Le pendule agit comme un filtre passe-haut et le transducteur transforme le mouvement du pendule en tension électrique. La CRE est un filtre qui réinjecte à l’entrée, une partie du signal de sortie non souhaitée. Module . La contre-réaction électronique du type PID (Proportionnel, Intégral et Dérivé), classiquement utilisée en sismométrie, est constituée de trois branches. Leurs inductances s’écrivent : - branche proportionnelle : - branche dérivée : - branche intégrale : R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 26 La branche dérivée est simplement produite par un condensateur qui dérive le signal d’entrée. Une bobine, ou inductance, intègre le signal d’entrée, , mais engendre une très grande instabilité dans le circuit. Un intégrateur, ou filtre passe bas, avec une constante de temps facilement contrôlable est utilisé. Figure 4.26. Schémas d’un intégrateur inverseur (à gauche) d’intégration s’écrit . A droite, un amplificateur inverseur le signal de sortie de l’intégrateur. Si Le module , la constante redressera , le gain est unitaire. est égal à l’inverse de l’impédance de la CRE : Figure 4.27. Schéma de principe d’un sismomètre à contre-réaction électronique. Une première branche produit un courant proportionnel à la tension de sortie. Une deuxième branche produit un courant dérivé après passage à travers un condensateur. Une troisième branche intègre le signal. On utilise deux sorties d’information : une sortie notée VBB pour Very Broad Band (en V/m/s) et une sortie notée POS (en V/m/s²) pour position de la masse qui est prise à la sortie de l’intégrateur. Le courant qui traverse le PID agit sur le forceur en produisant une force proportionnelle au courant qui le traverse. La force va induire une accélération sur la masse du pendule de la forme : , noté car comme le mouvement du sol noté , il agit sur la masse d’inertie. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 27 La transformée de Laplace de cette équation s’écrit : sur l’entrée (la fonction de transfert du forceur) s’écrit : et le rapport de la sortie . La fonction de transfert de la boucle de contre-réaction et du forceur s’écrit : ; La CRE du type PID permet deux sorties d’information. Une sortie large bande notée VBB, pour Very Braod Band (figure 4.28) et une sortie longue période notée POS pour Position de la masse (voir paragraphe 4.11). 4.12 fonction de transfert de la sortie large bande Very Broad Band (VBB) Sachant que la fonction de transfert de l’ensemble s’écrit : , et après de lourds calculs, on obtient l’équation suivante que nous allons commenter. Par analogie avec les équations plus générales des oscillateurs, le coefficient du terme de deuxième ordre est mis égal à l’unité. Et d’une manière un peu différente (Wielandt) : - le terme du numérateur est un terme d’amplitude qui va fixer le rapport entre la tension électrique de sortie et la vitesse du sol : - fixée en général autour de 1000 V/m/s et dépend que de trois paramètres faciles à contrôler : masse, forceur et surtout condensateur, très facile à modifier. le terme constant du dénominateur correspond à la pulsation propre au carré. On écrit : et donc - . Cette valeur est . Les valeurs habituelles sont aux alentours de 120 secondes, seul le STS-1 atteint la valeur de 360 secondes. La valeur de est choisie du même ordre de grandeur que la période ; le terme du dénominateur proportionnel à correspond à l’amortissement. On écrit classiquement : , R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 28 En écrivant ces équations de manière un peu moins simplifiée que nous l’avons fait, on fait apparaître un terme qui dépend directement de la résistance proportionnelle mais aussi d’autres caractéristiques dont la période propre du pendule mécanique . Ainsi l’amortissement induit par la contre-réaction est . On écrit : fixé à sa valeur critique et s’écrit : - . le terme du dénominateur, proportionnel à correspond à un terme de fréquence de coupure : qui s’appelle ‘cross-over frequency’ et soit indique la limite haute fréquence de l’action de CRE. Classiquement, ces fréquences sont de quelques dizaines de Hertz, mais pour le STS-1, résolument basse fréquence, la fréquence de coupure est de 7 Hz. Les quatre valeurs définies ci-dessus : amplitude de la sortie, période propre, amortissement et fréquence de coupure ne dépendent, au premier ordre, que des composants de l’électronique de contre-réaction. Les caractéristiques mécaniques du pendule ne sont plus les paramètres qui contrôlent la fonction de transfert du sismomètre. La bande passante peut ainsi être adaptée facilement tant que des problèmes d’instabilité de la CRE n’apparaissent pas. Mais attention, il faut considérer la CRE comme un outil qui découpe, qui extrait, qui révèle un sous-ensemble dans la bande passante du pendule mécanique (figure 4.28). Une nouvelle bande passante mieux adaptée à notre demande et quasi-indépendante de la mécanique est ainsi créée. Généralement, un sismomètre actif (avec CRE) est plus stable et plus facile à gérer qu’un sismomètre passif, à performance égale. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 29 Figure 4.28. Les différentes bandes passantes du sismomètre STS-1 de Wielandt-Streckeisen. En rouge, bande passante du pendule mécanique oscillant à 30 secondes de période propre et équipé d’un capteur de déplacement. En bleu, la bande passante large bande, notée VBB est proportionnelle à la vitesse de la masse (on dit souvent et improprement : plat en vitesse) jusqu’à la période de 360 s. En vert, bande passante longue période POS proportionnelle à l’accélération au delà de 360 s. En (1) l’inverse du PID et en (2) le gain en boucle ouverte de la CRE ( ). 4.13 fonction de transfert de la sortie longue période appelée POS pour ‘position de la masse’. La sortie longue période du sismomètre POS est prise entre l’intégrateur et la résistance de la branche intégrale (figure 4.29). Décomposons la fonction de transfert l’intégrateur, en trois éléments : à la résistance en série de l’intégrateur et , correspondant à à la partie proportionnelle et dérivée. La fonction de transfert de la sortie POS s’écrit : en prenant en considération la séparation en deux chemins de la CRE : d’une part et d’autre part. On voit que , ainsi le dénominateur reste le même que pour la sortie VBB précédemment décrite, seul le numérateur change. La sortie POS est donc très ressemblante à la sortie VBB avec en plus l’action, au numérateur, de l’intégrateur de la forme A1 1 . La fonction finale de POS s. s’écrit : La présence de l’intégrateur, sur la sortie POS, va produire une sortie longue période. De part et d’autre de la période propre induite par la CRE, la sortie POS est proportionnelle au déplacement à courte période et proportionnelle à l’accélération du sol aux longues périodes (figure 4.29). La sortie POS est surtout utilisée pour connaître l’intensité électrique qui circule dans la bobine (nous avons accès à une tension qui lui est proportionnelle) et donc la force appliquée à la masse pour qu’elle reste dans sa position d’équilibre initial. En effet à très longue période, les accélérations qui entrent en jeu ne sont plus sismiques mais ce sont, essentiellement, les variations de l’attraction Terrestre dues aux marées et les modifications des caractéristiques du ressort dues aux variations de températures. Ces variations vont être vues par le sismomètre comme un poids variable. La masse monte et descend au rythme des marées Terrestres et d’autres perturbations comme la température. La tension POS indique la position de la masse par rapport à sa position d’équilibre. La sortie POS est appelée ainsi car elle correspond à la position de la masse par rapport au châssis. POS s’exprime en V/m/s² soit une tension proportionnelle à l’accélération. En l’absence de force extérieure, l’équation général du pendule (équation 2.5, chapitre II) s’écrit : . A très longue R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 30 période, elle devient : et comme nous sommes dans un domaine très longue période, l’accélération peut être remplacée par les variations de g. On écrit : . L’accélération longue période est équivalente à la position de la masse du sismomètre par rapport au châssis. Figure 4.29 Schéma de la CRE qui met en exergue la sortie POS et décompose la fonction de transfert T3 en trois éléments séparés : A1., A2 et A3. Recentrage. La tension POS qui agit sur la masse pour la ramener dans sa position d’équilibre peut devenir très importante, à la suite de différents phénomènes : marée, dérive thermique, etc. Il est judicieux de garder la tension POS dans des limites raisonnables. Pour ce faire, une masselotte est déplacée le long du bras du pendule, à l’aide d’un moteur électrique. La masse est ajustée pour que la CRE injecte, via POS, un minimum d’énergie dans la bobine du forceur. Les à-coups du moteur sont forts et le pendule réagit à cette stimulation par un large signal équivalent à une réponse impulsionnelle. Pratiquement, la CRE a la faculté de réinjecter sur la masse d’inertie, une force qui va s’opposer au déplacement de cette masse. La masse d’inertie ne bouge plus (ou très peu) par rapport au châssis. L’information utile (la mesure) n’est plus la vitesse de la masse d’inertie mais la valeur de la force appliquée à la masse d’inertie pour que celle-ci reste fixe par rapport au châssis. La CRE présente de nombreux avantages. La bande passante est très élargie, de plusieurs décades et s’étend à longues périodes jusqu’à plusieurs centaines de secondes. Elle est aussi beaucoup plus stable et la fonction de transfert est mieux connue car elle est définie presque uniquement par des composants électroniques. La dynamique du pendule est fixée par l’électronique à 140 dB. La CRE maintient la masse dans sa position d’équilibre, ce qui augmente la stabilité du sismomètre et la linéarité de la mesure. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 31 Caractéristiques des sismomètres STS-1 de Wielandt-Sreckeisen Masse 0.6 kg m Période propre mécanique 30 s. T0 Amortissement mécanique 0.1 Gain transducteur déplacement 80 000 V/m G Condensateur du PID 10 e-6 Farad C Résistance du PID 3 e6 Rp Résistance de l’intégrateur 320 e3 R Condensateur de l’intégrateur 2 000 e-6 Farad C Resistance en série avec l’intégrateur 635 e3 Rint Caractéristique du forceur 24 N/A Résistance de la bobine du forceur unused Durée de l’intégrateur 1036 s = R Niveau de sortie VBB 2400 V/m/s V Période de la CRE 360 s TCRE Amortissement de la CRE 0.744 CRE Fréquence de coupure 7.3 Hz 0 r C fc (sources /Havslov and Alguacil). 4.14 amortissement passif à l’aide d’un condensateur traité en termes de CRE Certains sismologues ont remplacés le shunt par un condensateur de forte capacitance. L’impédance de cette boucle de contre-réaction s’écrit : de la bobine (inductance négligeable) devient : et la tension aux bornes mais, pour plus de clarté, nous négligerons aussi la résistance interne de la bobine. Le condensateur dérive le courant électrique et la force réinjectée sur la masse est proportionnelle à une force d’inertie (elle était proportionnelle à une force de frottement avec le shunt). On écrit : R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres ,en introduisant l’équation ci-dessus. D’autre Page 32 part, la tension produite aux bornes de la bobine est proportionnelle à la vitesse : et donc . On en déduit . Le condensateur augmente virtuellement la masse du pendule. La période et l’amortissement s’en trouvent augmentés. Figure 4.28. Schéma de principe d’un sismomètre équipé d’une forte capacité aux bornes de la bobine. La fonction de transfert devient : . Pour simplifier la résistance interne de la bobine, en série avec le condensateur, est négligée. et La fonction de transfert globale obtenue s’écrit : Pour rester en accord avec les équations précédentes, nous devons mettre le coefficient du terme de deuxième ordre du dénominateur égal à l’unité. La masse a virtuellement changé mais il est plus judicieux de faire réapparaitre de nouveaux termes de frottement et de rappel. , , . On voit apparaître un nouveau niveau de sensibilité de la sortie, de la forme : qui montre que la sensibilité du capteur est diminuée. Il apparaît aussi une nouvelle période et un nouvel amortissement. , la fréquence est augmentée et et enfin , . Certains auteurs disent qu’un condensateur aux bornes de la bobine modifie la valeur apparente de la masse. Cette vision n’est pas conforme à l’écriture classique des équations qui R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 33 fait disparaître la valeur littérale de la masse dans les termes de sensibilité, de période et d’amortissement. Cette méthode augmente la période propre de la bande passante mais diminue la sensibilité de la mesure. Les longues périodes deviennent plus visibles simplement par ce que les plus courtes périodes sont atténuées (figure 4.29). Récapitulons : nous avons un sismomètre dans trois configurations différentes : (i) rien aux bornes de la bobine ; (ii) un shunt aux bornes de la bobine ; (iii) un fort condensateur aux bornes de la bobine (figure 4.29). Figure 4.29. Le sismomètre sans contre-réaction (en rouge), avec un shunt, un peu mal ajusté, car une petite surtension (overshut) apparaît (en bleu) et avec un condensateur (en vert). La courbe verte passe au dessus de la courbe rouge, ce qui est impossible. Une électronique aussi performante soit-elle, ne peut pas rajouter de la résolution à un pendule mécanique. Dans ce cas, la résistance interne de la bobine n’a pas été prise en compte dans l’écriture des équations. La bande passante réelle (en noire) correspond à l’usage d’un condensateur aux bornes de la bobine. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 34 représentation de la fonction de transfert La figure représente la tension de sortie du couple pendule-transducteur de déplacement dessiné selon les trois représentations habituelles : proportionnelle à l’accélération, proportionnelle à la vitesse et proportionnelle au déplacement. La fonction de transfert (rapport de la sortie sur l’entrée) de l’ensemble s’écrit simplement sachant que la tension électrique est proportionnelle au déplacement du sol : . Représentations de la bande passante d’un pendule équipé d’un transducteur (capteur de déplacement capacitif ou inductif) selon trois conventions : de gauche à droite : la fonction de transfert est représentée dans un diagramme ou l’amplitude est proportionnelle à l’accélération du sol; amplitude proportionnelle à la vitesse du sol et amplitude proportionnelle au déplacement du sol. Les branches de part et d’autre de la fréquence de résonnance du pendule (1 Hz) correspondent au déplacement DISP vers les hautes fréquences et à l’accélération ACC vers les basses fréquences. La surtension à la fréquence de résonnance exprime l’amortissement du pendule ou son facteur de qualité. Quand =1, f=1/2 , l’amplitude de la bande passante est la même sur les trois représentations. Notons que ces courbes ‘tournent’ autour d’un point défini par la période de 2 et l’amplitude du signal reste la même à cette période particulière. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons étudié l’adaptation d’un transducteur à un pendule. Il convertit le déplacement ou la vitesse de la masse en tension électrique (cas le plus général en sismométrie). Le sismomètre passif utilise une résistance de shunt pour réduire la résonnance du pendule à sa fréquence propre. Le sismomètre à contre-réaction électronique utilise les performances de la CRE du type PID (Proportionnel, Intégral et Dérivé). La dynamique et la bande passante s’en trouvent engrandies. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 35 Exemple du maintien de la masse en position d’équilibre : la conduite automobile. La conduite automobile est un exemple très simple et habituel de contre-réaction. Assis sur le siège du conducteur de votre automobile, vous suivez des yeux la route qui se présente devant vous. Au virage, vos bras tournent le volant. Le véhicule suit parfaitement la route. Vos yeux sont les capteurs de position qui vous indiquent la route à suivre. Vos bras sont des forceurs qui agissent sur le volant pour que la voiture reste sur la chaussée. Votre cerveau est la contreréaction qui interprète les informations venant des yeux et qui en envoie d’autres aux bras. En sismologie, c’est un peu différent car l’information de la route qui tourne (le mouvement du sol) n’est pas connue à l’avance. La sismométrie ressemblerait plutôt à la conduite automobile un jour de brouillard intense ou il faut réagir très vite dès qu’apparaît le virage à quelques mètres devant la voiture. Dans le brouillard la visibilité est réduite mais il faut malgré tout avancer et la vitesse de la voiture reste non nulle. Cette absence de vision impose de réagir très vite avec bien sûr, le risque de réagir trop fort. Si on agit trop fort il faudra corriger la trajectoire et donner un coup de volant en sens opposé et puis peut-être encore recommencer dans l’autre sens jusqu’au retour à une trajectoire correcte. Nous venons d’atteindre l’instabilité de la contre-réaction qui est un problème délicat lié à tous les systèmes de contre-réaction. En sismométrie, une période propre un peu longue du pendule mécanique (T0 > 1 seconde) est une bonne garantie contre ces phénomènes d’instabilité. R. Pillet, Chapitre IV, sismomètres Page 36
