FORMES MODULAIRES ET REPRESENTATIONS DE GL(2) par p

FORMES MODULAIRES ET REPRESENTATIONS DE
par
GL(2)
p. Deligne
Introduction
§
§
2
O. Preliminaires
0.0 Notations
4
0.1 Reseaux adeliques
5
0.2 Representations admissibles
7
1. Fonctions de reseau
1.1 Fonctions sur
GL(2, :R)
8
1.2 Fonctions sur
GL(2,
fA)
15
1. 3 Pointes
§
§
20
2. Formes modulaires et spectre de GL
2
2.1 Formes modulaires holomorphes et
representations de GL(2,:R)
22
2.2 Modele de Kirillov et nouveau vecteur
24
2.3 Modele de Kirillov et operateurs de Hecke
29
2.4 Nouvelles formes d'Atkin-Lehner
30
2.5 Developpement aux pointes
34
3. Corps de classes local et representations de
3.2 Representations de
Bibliographie
GL(2,
F)
38
3.1 Preliminaires
GL(2, K)
41
51
-56Del-2
Introduction
a
Cet expose, qui ne pretend
aucuue originalite, se veut complementaire
au rapport de Robert [13] sur Jacquet-Langlands [9] • On peut Ie diviser en deux
parties d'esprit assez different. Les paragraphes 0, 1 et 2 se veulent un pont, dans
la theorie des formes modulaires, entre Ie point de vue classique et celui des representations de
GL{2) • Le paragraphe 3 est un fascicule de resultats de la theorie
de representations de
et 8 de [4]
GL(2, K)
(K corps local), II depend des paragraphes 2, 3
(ce volume), eux-m@mes independant du reste de cet article.
II ne sera pas question ici des theoremes globaux fondamentaux (relations
entre spectre de
a
GL(2) , spectre des algebres de quaternions et series de Dirichlet
equations fonctionnelles), pour lesquels on renvoie au rapport cite de Robert et
bien sar
a
[9]. On s'etendra sur les points suivants.
(A) Relation entre Ie point de vue classique:
formes modulaires comme fonctions
sur Ie demi-plan de Poincare, ou comme fonctions de reseaux, et Ie point de vue des
en somme de re-
representations, ou il s'agit de decomposer
presentations irreductibles du groupe adelique.
(B) Au paragraphe 2, apres Ie minimum requis sur
GL(2, R) , on donne deux corollaires
du theoreme d'existence et d'unicite du modele de Kirillov des representations admissibles irreductibles de
GL(2, K)
(K corps local non archimedien),
a) La theorie des nouvelles formes (new forms) d'Atkin et Lehner [1]: la demonstration
que nous donnons est plus simple, et plus proche de celIe d 'Atkin-Lehner , que celIe
de Casselman [3J, mais va moins loin.
b) Le theoreme de multiplicite un:
si, pour presque tout nombre premier
est une representation admissible irreductible de
une sous-representation admissible irreductible de
L2 (GL(2, ~)/GL(2,~»
o
les
TI
p
GL(2, ~p)
GL(2,~)
p, TI
P
, i l existe au plus
dans
dont les composantes locales cotncident presque toutes avec
,et de composante locale a l'infini donnee. La demonstration, tres ele-
mentaire, ne fait pas appel aux fonctions
L
globales.
-57-
Del-3
(c) Le paragraphe 3 est un fascicule de resultats des relations entre representations
admissibles irreductibles de
GL(2, K)
(K corps local) et representations de dimen-
sion 2 du groupe de Galois (de Weil, plut8t) de
K. Pour chaque theoreme cite, j'ai
tente, dans la mesure du possible, de fournir une reference ou la demonstration se
fasse avec un minimum de calcul. II n'est question dans ce paragraphe ni de la
construction explicite des representations (pour laquelle on pourra consulter l'expose [2] de Cartier, dans ce volume), ni de la decomposition de la restriction des
representations au sous-groupe compact maximal (voir Silberger [14]).
Comme il transparatt ci-dessus, je n'ai considere que
GL(2, F)
pour un corps global
porte pas trop
a
GL(2,~)
, non
F. Vu l'emphase mise sur la theorie locale cela ne
consequence. Je me suis aussi limite aux
formes modulaires holo-
morphes. Les cas general se traite de m@me, une fois acquis les resultats sur
GL(2,:R)
(et
GL(2, G:) ) prouves dans [9] §§S et 60u [15] ch VIII.
Parmi les nombreuses questions pas sees sous silence, je signale encore
- les series d'Eisenstein, pour lesquelles on peut renvoyer
- la relation entre
SL(2)
et
GL(2)
a Heeke
pour laquelle je renvoie
a
[8] 24;
[10].
Outre l'influence partout presente de [9], je puis citer, comme sources
dont je suis particulierement conscient:
pour Ie § 1 nO 2: I'introduction de [11], pour Ie § 3: [12], pour Ie § 2, n04 [3].
-58Del-4
O. Preliminaires
0.0. Notations
On pose
(n E:N+ , ordonne par divisibilite)
lim ZZ/n ZZ
ZZ
~
ZZ
p
/Af
<Q
p
fA
lim ZZ/pn ZZ
(m@me limite, selon un sous-ensemble d'indices)
~
n
ZZ @ <Q
Ul
ZZ@<Q=
1
U -n
R X},f
( R X ZZ) @ <Q
ZZ
n
P
p
ZZ
P
Ona
ZZ
---> IT ZZ
p
et l'anneau des adeles
p
est Ie produit restreint, relativement aux sous-groupes
~
des completes
compacts ouverts ZZp c: \
x E pn ZZ *
p
: lQ - - > ZZ U {",J: pour
-v (x)
p
p
p
Ilxll
IIxll : lQ p -->R
v ou v
p
Ifx II :/A --> R
tou tes dans les ZZ
IT
Ifx "
p
c: <Q
v
, pour
Ifx)/
x
( R = <Q", ' et les
v
v (x)
p
v
E lQ
lQ p ) de
v (0)
p
n
'"
les compos antes de
v
lQ
x
, presque
p
Pour tout anne au
GLA(V)
<Q
A et tout A-module libre
groupe lineaires des A-automorphismes de
n
GL(n, A) = GLA(A ) : matrices inversibles
V
V
,on pose
et
n Xn
corps local : corps (commutatif) localement compact non discret, par exemple R ,
ou
Nous les noterons
corps local archimedien : R
ou
F
ou
K
~
, selon les paragraphes.
~
corps local non archimedien : les autres. Pour
l'anneau de la valuation de
F
a
par
corps residuel fini F q
),
F
un tel corps, on notera
~
(anneau de valuation discrete complet
IT
une uniformisante, par
v
la
-59-
Del-5
valuation
(v(n)
II II
,par
1)
la valeur absolue Ilxll
q
-v (x)
0.1. Reseaux adeligues
(0.1.1)
Rappelons que, de m@me que
est discret
a
a
quotient compact dans
,
~
M un
~-module
libre de rang
n
• Un reseau
dans
M est un
R C M , tel que
II revient au m@me de dire que c'est un
~-vectoriel
compact (de m@me que les reseaux dans ~n
R CM
discret et a quotient
sont les sous-groupes discrets
a
quotient
compact).
R c~n
o
Soit
un reseau, et pour chaque nombre premier
Ro ® ~t ~> ~~
un isomorphisme
a.
R
o
R®CR
0
( 1,
(R
R
Rappel 0.1.2.
reseaux
R
0, 0.)
a.) ~
R c~n
o
R
0
t
o.t
,soit
o.t corresponderit a
" Les
®~ ~> ~n
L'injection identique de
qui fait de
~
quotient compact dans [A
Soit
~-vectoriel
est discret
~
0
®~
dans ~n
o
X~)
, et
a. definissent un isomorphisme
~> (~ x~)n
, d'ou
® ~) ®IA ~>lAn
un reseau dans /An
La construction precedente est une bijection de l'ensemble des
, munis de
a.: R ® ~ ~> ~n
o
La bijection inverse associe
considere cormne reseau dans ~n
muni de la deuxieme projection
a
R ClAn
, avec l'ensemble des reseaux
Ie ~-module R
par la premiere projection
a..
o
= R
n<
R C--> ~n
o
R
x~)n
,et
-00Del-6
(0.1.3)
Via ce dictionnaire, l'action de
decrit comme suit. Soit
R un reseau dans LAn
GL(n,:R)
Soit
a
Ie reseau isogene
R~
GL(n,~)
X
sur 1es reseaux de ~n
,correspondant
GL(n,
~
se
a
(R ' a)
o
g
d'image un
,et
I8i <Q)
tel que
R
o
on a a10rs
et en particu1ier
(0.1.4)
pour
gCXl E GL(n, :R)
pour
k E GL(n,
7A
Soit
reseau. Tout
C
~)
n
n
l'ensemb1e des homomorphismes
Hom(<Q , fA )
se pro1onge par 1inearite en un automorphisme
g
un isomorphisme
G/A~
L'ensemb1e
GL(n, fA)
\
des reseaux de /An
de /An
d'ou
s'identifie
au quotient
\
GL(n,
JI,} /GL(n,
De m~me, l'ensemb1e
R~ =
<Q)
~
GL(n, :R)/GL(n,
des reseaux dans :R
n
s'identifie au quotient
~}
L'assertion 0.1.2. signifie encore que l'app1ication
(0.1.4.1)
[GL(n,:R) X GL(n,
IZ) ]/GL(n,
~) --~-> GL(n, /A)/GL(n, <Q)
est un isomorphisme. A chaque reseau ade1ique, identifie
Ie reseau
R
o
• L'application de
'fA
dans
It~
a
(R ' a)
o
,associons
obtenue s'identifie au compose
GL(n, LA)/GL(n, Ql)
1\
[GL(n,:R) X GL(n,
IZ) ]/GL(n,
~) - - - - > GL(n, :R)/GL(n,
~)
-51.Del-7
Elle induit un isomorphisme
(0.1.4.2)
0.2
~
---->
\
Representations admissibles.
0.2.1.
o.
GL(n, 7l) \
Soient
F
un corps local non archimedien et
Vne representation admissible de
GL(2, F)
sur
k
un corps de caracteristique
k
est une representation
lineaire (de dimension finie ou infinie)
n : GL(2, F) - - > GLk(V)
telle que Ie stabilisateur de
discrete de
V) et que pour
H
V
des H-invariants dans
v E V soit ouvert (n(g).v
H CGL(2, F)
continu pour la topologie
un sous-groupe ouvert, Ie sous espace
V soit de dimension finie.
Pour la definition de la contragrediente admissible
0.2.2.
Plut8t que
groupe contient
plexe
s
n
, voir [9J p. 28.
GL(2, R) , nous considerons Ie groupe isomorphe
~*
. Soit
\I
K
(les
= VI
z 1--> A z)
Us VI
representations irreductibles
VI
dans
S1R(~)
. Une re-
consiste en
G1R(~)
nlK: K --->GL~(V)
(usuelle~,
. Ce
vI C ~* , et la conjugaison com-
Ie normalisateur de
presentation admissible (complexe) de
(a) une representation lineaire
,donc
G1R(~)
,somme directe algebrique de
de dimension finie) de
K
,chacune n'appa-
raissant qu'un nombre fini de fois;
(b) une action sur
V de l'algebre de Lie
de Lie(K) et telle que, pour
(0.2.2.0
k E K et
g1R(~)
X E
glR(~)
de
G1R(~)
,on ait
n(k) n(x) n(k)-l = n(ad k.X)
On verifie facilement que la representation donnee de
fa~on
,prolongeant l'action
unique en une representation de
(¢* U s
~*) CG1R(~)
K se prolonge de
qui verifie encore (b).
-62-
Del-B
11 suffit par ai11eurs de verifier (O.Z.Z.l) pour
k
s
0.Z.3. Par 1a definition des representations admissib1es de
GL(Z, A)
n de
~ [9] § 9. Toute representation admissible irreductib1e
GL(Z, A)
(comp1exe) est un produit tensorie1 restreint: pour chaque place
tout nombre premier
p
, un vecteur
v
n : GL(Z, Gl ) --> GL(V)
v
v
v
representation admissible irreductib1e
v
p
EV
p
, invariant par
, on renvoie
sur
V
,i1 existe une
, et pour presque
GL(Z, 7l)
p
, de sorte
que
V
f&' V
v
= lim
f&
- 4 vE
S
s
V
v
(limite sur 1es ensembles finis de places assez grands, inclusions definies par 1es
v
§
). C'est facile: voir [9] 9.1. De
P
1.
Fonctions de Reseaux
1. 1. Fonctions sur
1.1.1
g : 7l
m~me pour GL(Z, ~f)
Notons
Z
--> 0:
GL(Z,:R)
(e , e )
1
Z
1a base canonique de 7l
s'identifie
~
Z
l'ensemb1e des couples
» .
L'ensemb1e des homomorphismes
(W
1
,
)
Z
W
de nombres complexes
g ~> (g(e ), g(e
Notons G 1 'ensemble des g E Hom( 7l Z, 0:)
1
Z
Z
g( 7l ) soit un reseau. On peut identifier G ~ l'ensemb1e des couples
par
tel que
(til' ~) de
nombres complexes :R-1ineairement independants.
Tout
g
E G se pro1onge par 1inearite en des applications
et
:R- et O:-lineaires
!It : :R Z --> 0:
go: : o:Z_->o:
Ceci fournit diverses descriptions de
G
, qui s'identifie respectivement
-03-
Del-9
(a) L'ensemble des reseaux dans
(par
(b)
g
f-->
2
munis d'une base
; base
(g( 7l )
2
R , ~)
Iso~(
~
(par
g f--~
!it)
(b') L'ensemble des couples formes d'une structure complexe sur R
~-lineaire (pour cette structure complexe) de R
morphisme
(c) L'ouvert de
injective (par
Hom~(~
2
avec
et d'un iso-
~
dont la restriction a R
forme des formes
, ~)
2
2
2
est
g f - - > g~)
Les interpretations (a) et (c) mettent en evidence une structure complexe
sur
G
,pour laquelle les fonctions
= g(e i )
wi
sont holomorphes.
L'interpretation (b) met en evidence une action a droite, par composition,
de
GL(2, R)
(a),
sur
G/GL(2,71)
G
. Cette action respecte la structure complexe de
s'identifie
a
l'ensemble des reseaux dans
complexe naturelle. Dans le systeme de coordonnees
(w
l'
(W , w )
l
2
Get, par
,muni de sa structure
~
,l'action s'ecrit
UJ) (a
2
c
(produit matriciel).
L'interpretation (b) met aussi en evidence une action a gauche de
sur
G
Identifions
L'action de
0:*
a
0:*
0:* CG1R(O:)
homogene de groupe
sur
sur
un sous groupe de
obtenue sur
+
x E X-
+
X-
G (0:)
1R
G est holomorphe, et
+
X-
0:* \ G
semble des structures complexes sur R
G
G1R(~)
2
par
A >-> (z >--> A z)
G est un espace principal
. D' apres (b')
+
X-
s'identifie
a
l'en-
. La structure complexe quotient de celle de
se deduit aussi de l'inclusion
~
1
X "--> n' (0:)
on associe le noyau de l'application O:-lineaire
suivante:
-64-
Del-iO
qui pro10nge l' identite R 2 _ _ >R 2
(1.1.2)
Soit
On choisira g
go E G
a
Ie reseau de base
(i, 1)
comme origine dans G, et on identifiera G
h E GL(2, R) 1--> goh
a GL(2,R)
. Les actions a droites ou a gauche de
par
GL(2, R)
ou
GIil. (0:)
introduites plus haut s'identifient a10rs aux translations a droite ou a gauche,
G~ (0:) Hant identifie a GL(2,
(1. 1. 3)
Sur
Une fonction
A
>0
,N
GL(2, R)
f
>0
sur
R)
aI' aide de
(i, 1) : R
, definissons une fonction
GL(2, R)
sera dite
co
C
a
IIg
II
2
~>
0:
par
croissance moderee
s'i1 existe
tels que
0.1. 3.1)
et que toutes 1es derivees de
f
(re1ativement a des champs de vecteurs invariants)
verifient des conditions analogues. La condition (1.1.3.1) revient a dire que
fest
majoree par une fonction a1gebrique. C'est une condition de croissance tres faib1e
(1'ana10gue pour
GL(l, R) est:
majore par A.X
, pour
X un quasi-caractere con-
venable).
On transporte par (1.1.2) cette termino10gie aux fonctions sur
on l'etend aux fonctions sur l'ensemb1e
a certaines fonctions sur
Definition 1.1.4.
des reseaux dans
f :
0:
,et
, identifiees
G
Une forme modu1aire holomorphe de poids
est une fonction de reseau
qui est
G!GL(2,~)
G
f(R)
G!CL(2,~)
- - > 0:
k
,de groupe
GL(2,~)
,
-65Del-11
(a) holomorphe,
fCA R)
(b) telle que
(d)
a
= A-k HR )
(a )
fest holomorphe;
(b )
l
HAg)
A- k f(g)
(c )
Hgy)
f(g)
(d )
l
f
l
est un reseau et
A E 0:*),
croissance moderee.
Lorsqu'on identifie
l
(R
(1.1.5)
est
a
(g
f
a
une fonction sur
G
, ces conditions deviennent:
E G , A E 0:*)
(g E G , Y E GL(2, LZ)
croissance moderee.
Deux systemes de coordonnees sur
G sont tres commodes. Dans chacun d'eux,
il est utile de connattre
(A) L'element de volume invariant (par
(B) La valeur de
det g
GL(2, R)
a
droite et
GLR(O:)
a
gauche).
(auquel on donne un sens par 1.1.2).
(c) L'action a gauche de 0:* ,et l'action a droite de GL(2, R)
(D) L'operateur de Casimir, invariant par translations
a
gauche et
a
droite. C'est
l'element central
n= t
2
H
+
xy
+
YX
de l'algebre enveloppante de l'algebre de Lie de
GL(2, R)
, agissant par convolu-
tion. On a pose, dans Ie complexifie de cette algebre de Lie
H=(0
i
Dans Ia base
-i)
0
x
t( -~ -i)
-~
y
I
, identifiee
a
Ia base duale de Ia base
H est Ie generateur infinitlisimal du tore compact
U c: 0:*
I
de
z, z
de
GL R (0:) ::' GL(2, R)
-66-
Del-12
(isomorphisme 1.1.2).
(1.1.5.1) Coordonnees homogenes
. Pour S une forme holomorphe, on note
On pose ~ = xl + iYl' 02 = x 2 + iy
Z
2
la forme reel Ie S A ~ (et l'element de volume positif correspondant pour
IsI
S une 2-forme).
2)
A.(~, w
02)
(~'
pour
Y = (a
*
f
x*
f
*
f
y
1.1.5.2
A w2 )
y= (a wI +b W
2 ' c WI +d W2 )
c)
d
b
H
= (A~,
Demi-plans de Poincare
g
1--> [A, z]
2 ' ~/ W2 ]
= [W
( wI' 1J)2) = A. (z, 1)
On pose
z
z
= x+iy.
Dans Ie systeme de coordonnees
[A,
z]
l'ensemble des nombres complexes de partie imaginaire
A
,
y
~
0
parcourt
.
~*
et
-67-
Del-13
=
dA. 2
ITI .
(A )
dg
(B )
det g
(C )
A. [~, z ]
p
p
p
2
=
y- Idzl
2
=2
2
1A.1 .y
= [A
~, z]
[A., z] Y = [A..(cz+d),
Y = (a
b
pour
(n )
p
0
axo + A ax]
f
*f
'" [-A.
X
*
= [2y A. oz
y
* f = [-2y
n*
f
X0
[t
az + b ]
cz + d
c)
d
H
f
dA.
A.
dA
-2
.y
dx.dy
A.
A. 0
-X oz
-A-i]f
-A.
A.0.\
] f
ax-)
o
-02
0 -0
(A. OA. + A.
+ (A. ax +A. ax
)+
4 (y A.
00
0
oz 01.. - y -A0
Oz ~)
2 0 0
ozoz]f
-By
(1.1.6)
Les formu1es (1.1.5.2) mettent en evidence que
homogene de groupe
~*
sur Ie double demi-p1an de Poincare
La restriction Ii 1a section
des fonctions verifiant
G est un espace principal
(b )
1
z 1--> (z, 1)
de
+
G - > X-
+
X-
=
(z E ~IIm(z)+ o} .
identifie l'ensemb1e :Jik
+
(1.1.4) Ii l'ensemb1e des fonctions sur X- = ~ -~ .
-08Del-14
Par cette identification, les fonctions holomorphes correspondent aux fonctions
a
holomorphes. L'action
sur les fonctions sur
Lorsqu'on identifie
droite de
G ,par
J
k
GL(2, R)
sur
G induit une action
= f(gy)
(Yf)(g)
aux fonctions sur
+
X-
a
gauche
Cette action respecte
J
k
,cette action devient, pour
(yf)(z)
II est traditionnel de poser, pour avoir une action
a
droite
(pour
Les formes modulaires holomorphes de poids
tifient donc aux fonctions
(a )
2
fest holomorphe
(c )
2
pour
y
= (~ :)
f
sur
E GL(2,
lfex+iy)
I Al
S;
pour
X
n
de groupe
GL2(~)
s'iden-
telles que
~)
f( az+b )
cz+d
(d )
2
+
R(x)
= (cz
+ d)k fez)
borne,
y -->
al
,N
convenable
(il resulte de la theorie de la reduction que cette condition entraine la condition
apparemment plus forte (d ) ).
l
Variante 1.1.7.
Les elements de
composantes connexes de
+
X-
GL(2,~)
de determinant -1 permutent les deux
On peut donc encore identifier les formes considerees
aux fonctions sur Ie demi-plan de Poincare
X = {z E a: IIm(z) > O}
Variante 1. 1. 8. Soit SG l'ensemble des g E G tels que g(e ) II g(e ) = ill 1
l
2
2
dans lIet
Sur SG c: G , Ie sous-groupe SL(2, R) de GL(2, R) agit a droite,
R
et S~(et) ::::J U
a gauche. Dne forme modulaire comme plus haut est determinee par
l
sa restriction
a
SG
-69-
Del-iS
Soit
SG
l'ensemble des couples formes de
du rev@tement universel de R
au-dessus de
¢ - (a}
avec celui de
"-'
(point base 1).
,..,
Le rev@tement universel
SL(2, R)
de
SG
2
que pour
SL(2, R)
A dans
Pour
k ER
et
r
un sous-groupe discret de
laire holomorphe de poids
k
de groupe
f
=
2
, en particulier dans
k
A
urI
SG
"'" (R)
SL
2
rest une fonction
"-'
SG --> SG
par une section locale de
,de sorte que
IV_k
f(Ag)
=A
f(g)
(0, 1)
SG
,une forme modu-
f
N
sur
SG
telle que:
a une
f
a
et qu'on la prolonge
, on veut que
pour
S1R(¢)
est bien defini.
verifie une condition d'holomorphie (localement, quand on ramene
f
fonction sur
en
e
agit a gauche, Notons
"
U C "S1R(¢)
l
'V
et
r'
(point base
agit a droite, et celui de
k E¢
(a )
3
¢*
- (a}
et d'un isomorphisme,
est un rev@tement universel de
a gauche. En particulier, Ie rev@tement universel
rJ
g E SG
G
soit holo-
f
morphe) ;
= f(g)
(c )
3
f(gy)
(d )
3
If(g) I
pour
y Er
,qui d'apres (b )
3
provient d'une fonction sur
SG
,est
a
croissance moderee.
1.2
Fonctions sur
(1.2.1)
Soit
1A
GL(2, A)
CHom(~
2
, ¢ X VA
g
»
l'ensemble des homomorphismes
f
¢ X <!A )2
l'image soit un reseau «0.1.1);
Ces
f 2
s'identifient aux isomorphismes
droite de
GL(2, /A)
et une action
a
d'un reseau
f
¢ X VA )2
A ~> ¢
R C¢
o
et de:
0
R
..--> (R o ,
a)
(R
f(R o )
1--> f(R )
0
,d'ou une action
a
f
l'ensemble des couples
®zl -=->zl2
R
Une fonction de reseau
reseau adelique
a
f
X OA )2
G (¢) XGL(2, /A ) ,Le quotient
1R
f
¢ X <!A )2 . D'apres (0,1,2), l'ensemble
gauche de
s'identifie
dont
est un/A-module libre de rang deux),
2
1A/GL(2,~) est l'ensemble des reseaux de
des reseaux dans
g
o
C ¢)
(R ' a)
o
formes
definit done une fonction de
. Cette construction
-70Del-i6
identifie les formes modulaires holomorphes de poids k
aux fonctions sur
a
(fb )
4
remplace par
(fb )
S
pour
on a
(1.1.4)
.
g~
Une forme modulaire holomorphe de poids
verifiant les conditions
G~
GL(2,~)
qui sont
croissance moderee comme fonction de
Definition 1.2.2.
~
G~
de groupe
(a )
4
!
(d )
4
k
est une fonction
ci-dessus, avec
K dans un sous-groupe compact ouvert convenable
K de
GL(2, JAf)
= f(g)
f(Xg)
On
dira que
f
est de
niveau
K si
fest invariante sous
K .
On verifie encore qu'il suffit de verifier (d ) dans un domaine de
4
Siegel.
(1. 2. 3)
Traduisons cette definition en termes plus concrets, pour
II existe alors un entier
proque de
n
J
K
Soit
K
n
a
ii :
..!:::-> ( ~/n ~)2
In
R
0
dite de niveau
~)
C
GL(2,
tel que
~/n)
K soit 1 'image reci-
- - - > GL(2,
J
H
l'ensemble des couples
n
~/n)
----->H
defini par
s'identifie
o
H
~)
H par l'application surjective
GL(2,
R
et
K C GL(2,
{e}
. D'apres (0.1.4.1), le quotient
(R ,
o
oj
formes d 'un reseau
RCa:
o
Une forme modulaire holomorphe de poids
si elle est invariante par
K
n
k
et de
sera
. Une telle forme s'identifie
a
-71Del-17
une fonction holomorphe de reseaux marques
f(R '
o
a) , homogene
de poids -k
,veri-
finat une condition de croissance convenable.
Plus generalement, pour
s'identifie
a
K defini par
l'ensemble des couples
(R ,
o
a)
(N, H)
,Ie quotient
formes d'un reseau
R
o
et d'une
c~
c1asse lateraIe
a E H\ Isom(Ro /n
(1.2.4)
On
R , (71./n71.)2)
0
notera que l'ensemble de reseaux marques
K\G~/GL(2,~)
est en general
disconnexe.
D'apres ce qui precede ou (0.1.4.1), il s'identifie en effet
(1.2.4.0
K\ G /GL(2, ~) < ~ K\ (G
/A
G
Les deux composantes connexes de
de determinant -1, et
SL(2,71.)
x
a
""-'
x GL(2, 71.»/GL(2, 71.) --->
J~
(H\ GL(2, 71./n»/GLC2, 71.)
G sont permutees par les elements de
s'envoye sur
SL(2,71./n)
GL(2, 71.)
. De (1.2.4.1), on tire
donc une bijection
- -!t.- > det(H) \ Cll/n 71.) *
ou, en termes adeliques
En terme de reseaux marques
(R '
o
a)
,cette application se decrit comme
suit. Le reseau R c~ est muni d'une orientation naturelle: Ie generateur
o
2
2
Si
AR dont l'image dans A ~ est un multiple positif de i A 1
o
:R
0. :
R /n R ~> CZ/n 71.)2
o
0
element de
est un representant de
Cll/n 71.) * dont la classe >J.(Rn
,
0.)
a
mod det{H)
det(a) = ~ o.(e)
ne depend que de
e
de
est un
0.
-72Del-i8
(1.2.5)
Soit
f
une forme modu1aire ho1omorphe de poids
en 1.2.3). D'apres (1.2.4.1),
+
(z E X-, a E GL(2,
~/n»,
K comme
et niveau K
k
fest determinee par 1a fami11e de fonctions
f(z, a)
definie par
Hz; a) = f«z, 0, 0)
Les proprietes de variance de
f
s'ecrivent
(1.2.5.0
Hz; 0)
Hz; hO)
(1.2.5.2)
f ( z; 0 )
= ( cz+d ) -k
N
y
et
La forme
y E SL(2,
f (az+b
cz+d; 0
'~y)
0
pour
y
(~
~) E GL(2, ~)
fest aussi determinee par 1a fami11e des restrictions au
X des
, (1.2.5.2) ne devant plus
fez, a)
~tre
verifie que
~)
a E GL(2,
Soit
h EH
sa reduction mod n.
demi-p1an de Poincare
pour
pour
~/n)
et
ra
c SL(2,
l'image reciproque de
~)
a
-1
Ha
Les conditions (1.2.5.1) et (1.2.5.2) impliquent
Reciproquement, si
det
H\
= (cz+d)-k f(:~:~
fez; a)
0.2.5.3)
<7I./n ~)*
, a)
est une partie de
~
uniquement determinee par
Soit
GL(2,
fez)
= fez;
SG/A = SG X SL(2, JAf)
det: H ->
SL(2,
(extension centrale par
~p)
sp1itte au-des sus de
x IT
p
de
SG
IA
SL(2,
• Soit
~ ~/2 -->~/2
v
qui s'envoie bijectivement sur
~)
p
SL(2,
Hz, a) (z E X; a E I:)
<7I./n~)*
est surjectif,
fest
1) (z Ex) , soumise Ii (1.2.5.3) (pour
• Soient
quotient du rev~tement universe1 (1.1.8 ). Soit
de
~/n)
, fest uniquement determinee par 1es
soumis Ii 0.2.5.3). En particulier, si
Variante.
pour
~/2
~
p
)
'"
SG
2
Ie
rev~tement
st(2, ~p)
0
double de
= 1)
SG
Ie rev~tement double
). On sait que pour presque tout
p
• Un produit restreint
est donc defini, et est un
rev~tement
de groupe
I:( ~/2)
v
SGIA
Ie rev~tement double qui s'en deduit, via l'application somme
• Un
rev~tement
double de
SL(2, h!.) agit Ii droite sur
'"
SG/
A
•
On
-73Del-19
sait (C.C. Moore, Publ. Math. IRE8 35) que ce rev~tement splitte au-dessus de
, de sorte qu'une action a droite de
8L(2,~)
rev~tement double de
8~(O:) X 8L(2, fAf)
sous-groupe compact ouvert du
agit a gauche. Pour
k
et niveau
k E
~~ et K un
K est une fonction sur
une forme
....,
8G~
verifiant une condition d'holomorphie
(O)b6) telle que
HAg)
A- k f(g)
0, E Ul )
(fb 6 ) telle que
f(Kg)
f(g)
()l, E K)
(c )
6
telle que
f(gy) = f(g)
(d )
6
et
a
rJ
(y E 8L(2, ~»
croissance moderee comme fonction de
Le quotient
N
8GAf81(2,~)
fonctions holomorphes sur
A
possible de faire agir sur l'espace
plus gros que
81(2, A) :
port de structure sur
G1(2, ~). §f(2, A)
8L(2,~)
de sorte que
des
' et Ie rev@tement double precedent de
un rev~tement double
IV
a
X
,-v
a
go>
est connexe; ces formes s'identifient
Identifions comme en 1.1.2 8G
etant
est definie. De m~me un
rev~tement double induit de 8L(2, fAf)
modulaire holomorphe de poids
(a )
6
8L(2,~)
G1(2,~)
IV
81(2, fA)
contenant
1
SL(2, A)
de
des fonctions sur
81(2, A)
'"
81Af81(2,~)
agit par conjugaison sur
8L 2
II est
un groupe
' donc par trans-
, et ceci permet de definir un groupe
G1(2,~) et
8:(2,~)
,l'intersection des deux
On a alors
G1(2, ~).SL(2, fA)
agit sur
L
(en fait via
GL(2, ~).Sr.(2, /A)f~* ).
-74-
Del-20
1.3
Pointes.
(1.3.1)
Soit
f
une forme modu1aire ho1omorphe de poids
k
et niveau
n
,decrite
comme en 1.2.5 par des fonctions
Hz; 0)
(z Ex, 0 E GL(2, '!lIn»
D'apres (1.2.5.3), on a
f(z+n; 0)
= f(z;
Posons
0)
q
A
e
2TTiAZ
. Les
Hz; 0)
ont a10rs un deve10ppement en serie de Fourier
0.3.1,1)
Hz; 0)
L: a(A, f, o)q
A
A
On veri fie aussit8t que 1a condition de croissance
0.3.1.2)
pour
A<
On dit que
si 1es Hz, 0)
4
°
a(A, f, 0)
°
(d ) equivaut a
fest
parabo1igue
si 1es
a(O, f, 0)
sont nu1s, i.e.
sont "nulles aux pointes" .
I
Ona
a(O, f, 0)
=
R/n'!l
Hz+u)
du
n
d'ou l'ecriture ade1ique:
Rappel 1.3.2.
Soit
~) . La forme f
U 1e sous-groupe unipotent inferieur
est parabo1igue si et seu1ement si on a
(l
J
0.3.2.1)
UtAIU~
Soit
P
Hg u) du =
1e sous-groupe triangu1aire inferieur. On a
pour
fp(gp)
fp(g)
fp()"g)
)" -k fp(g)
f
p
(Xg)
fp(g)
pour
Des lors, pour verifier que
g E O'image de
°
X dans
tion ecrite ci-des5U5.
p E
~
fp(g)
G par
P(~)U(A)
EK
n
est nul, i1 suffit de 1e verifier pour
z l--> (z,1»
X GL(2, '!l)
,et on trouve 1a condi-
-75-
Del-21
Bien entendu, (1.3.Z.1) sera vrai pour tout sous-groupe unipotent de
GL(Z,~)
(1.3.3)
,puisque ceux-ci sont tous conjugues.
Soient
f1
parabo1ique. Soit
et
n
Hg) = f 1 (g) fZ(g)
f
Z
deux formes modu1aires ho10morphes de poids k avec
tel qu'e11es soient de niveau
sur
GA/GL(Z, <II)
verifie
ou
r
a
(lZ/n lZ)*
• Si
= Ilxll
et ou
det
Zk
gauche sous
une constante independante de
= KerCSL(Z, lZ) -l> SL(Z, lZ/n»
ment sur
a
1
La fonction
W((~ ~)g)
C'est Ie produit sca1aire de Petersson , invariant
D'apres (1.1.5.Z), i1 s'ecrit
n
f
k
Hg)
de sorte que
GL(Z, £)
et
n
L: C:GL(Z, lZ/n)
envoie
D est un domaine fondamenta1 pour
SL(Z, lZ)
pres
bijective,on peut
encore ecrire
*
1
GL(Z, lZ/n)
ou
a
parcourt tout
converge des que
au moins en
e-
y/n
f
1
Sous cette forme, i1 est clair que l'integra1e
GL(Z, lZ/n)
est parabolique car, pour
sur
D pour
y
D Ie domaine standard,
---> = , a10rs que
f
Z
est bornee.
f
1
decroi.t
-70-
Del-22
§
Z.
Formes modulaires et spectre de
2.1.
GL(Z)
Formes modulaires holomorphes et representations de
(Z.l.l)
Soit
E G1R(~)
s
la conjugaison complexe et reprenons les notations de
1.1.5. Pour tout entier
k
irreductible suivante de
(a)
D_
k l
(b)
Les actions de
a une base
1
~
,nous noterons
en
indexee par les entiers
et de
g~(~)
e
(~*
(A E
n
(b4)
X
* en
k+n
-Z-
en+ Z
(0
si
n
-k)
(b5)
y
* en
k-n
Z
e
(0
si
n
k)
f
n.e
n-Z
une fonction sur
G
On a
*
verifient
f()"g)
= A-k
f(g)
, i. e.
=0
. Pour
(n ~ k , n
f
=k
holomorphe, posons
(mod Z»
en
, et les
f
qui verifie
n-k
((n+k-Z)/Z)!
s
y *f
-ZX
if f
(k-l) !
e -n
Inl~ k .
On verifie sur les formules (1.1.5.Z) que
est holomorphe si et seulement si
n
(mod Z) tels que
(resulte de (bl»
n
pour
e
=k
-n
if
Soit
n
~*)
H
n
la representation admissible
U s ~*) CG1R(~)
(b3)
e
D _
k l
G (C)
1R
n-k
~.kc)" X-I) """T e
A* e n
(bI)
GL(Z, E)
e
n
verifient les formules (b). La fonction
donc une representation admissible irreductible de
G1R(~)
,de type
f
engendre
D _
k l
A un facteur pres, c'est l'unique vecteur de cette representation qui verifie
On verifie facilement une reciproque.
Soit
sur
G
:J<G, GL(Z,
7l»
l'ensemble des fonctions
,invariantes a droite sous
GL(Z,71)
ex>
C
a
croissance moderee
f
-77Del-23
La definition 1.1.4 peut se reformu1er comme suit.
Scholie 2.1.2
GL(2,71)
L'ensemb1e des formes modu1aires ho1omorphes de poids k de groupe
cp+--> cp(e )
s'identifie, par
k
,a
l'ensemb1e des homomorphismes de re-
presentations
"Homomorphisme de representations"
commute aux actions de
K et
g~(~)
Dans Ie cadre ade1ique, soit de
G~
invariantes
a
droite sous
ouvert suffisamment petit et
Scho1i~
2.1.3
signifie application lineaire qui
m~me
,a
GL(2,~)
C'"
a
J(G )
A
l'ensemb1e des fonctions sur
gauche sous un sous-groupe compact
croissance moderee en
g",
• On a encore
L'ensemb1e des formes modu1aires ho1omorphes de Foids k (1.2.2
s'identifie a
Remargue 2.1.4.
part,
L'espace
Dk _ 1 ~ Dt-1
GL(2,
contient 1es
au fait que Ie produit
poids t
~G,
fg
en est une de poids
7l»
ci-dessus est stable par produit. D'autre
D +t+2m_1
k
(m ~ 0)
• Pour
=0
, ceci correspond
d'une forme modu1aire ho1omorphe de poids k par une de
k+t. Pour
m
=1
, en coordonnees (1.5.2), on trouve
t of.g - kf. ~
est modu1aire ho1omorphe de poids
Oz
oz
De m~me dans Ie cadre ade1ique.
que
Variante 2.1.5
m
k+t +2
,et ainsi de suite.
Lorsque, dans 1es considerations precedentes, on remp1ace
D _
k 1
par une autre representation admissible irreductib1e, munie d'un vecteur cyclique,
on trouve 1es differents types de formes modu1aires non ho1omorphes de Mass.
(2.1.6)
La remarque ci-dessous est l'ana1ogue, pour
GL(2, R)
et 1es
D_
k 1
du theoreme d'existence et d'unfcite du modele de Kirillov etudie au" numero~
-78Del-24
suivants.
A un facteur pres, il existe sur
Proposition 2.1.7
f
k
holomorphe, a croissance moderee, telle que
G une et une seule fonction
fk(Ag}
= A- k
fk(g}
et telle
(u ER, g EG)
On a, dans Ie systeme de coordonnees (l.1.5.2)
(2.1.7.1)
e
2niz
,in(z}
<
0
L'analogue de 2.1.7 pour toutes les representations admissibles irreductibles de dimension infinie tant de
GL(2, R}
que de
GL(2,~}
figure dans [9J §§ 5
et 6 ou [15 J Ch. VIII.
2.2 Modele de Kirillov et nouveau vecteur.
Soient
trivial de
de
F
GL(2, F}
et
F
0/ un caractere additif non
un corps local non archimedien,
n: GL(2, F} --->GL(V}
une representation admissible irreductible
• Nous designerons aussi par
creer de confusion. L'entier
n(o/}
n
une uniformisante; ce ne devrait pas
est Ie plus grand entier
n
tel que
o/In-
n
~
soit trivial.
Les enonces qui suivent seront purement algebriques. On peut donc prendre
pour
o,
V un espace vectoriel sur un corps
0/ etant
a
k
algebriquement clos de caracteristique
valeurs dans les racines de l'unite de
Proposition 2.2.1.
Si
V est de dimension finie,
existe un quasi-caractere
X de
F*
tel que
n{g}
k
V est de dimension un et il
x(det g}
-79-
Del-25
En effet,
donc contient
~
0
sur
est un sous-groupe distingue ouvert de
GL(2, F) ,
SL(2, F)
Theoreme 2.2.2.
L
Ker(n)
Si
V est de dimension infinie, il existe une forme lineaire
,unique a un facteur pres, telle que
V
Une demonstration conceptuelle de ce theoreme, et une generalisation pour
GL(n) , figurent dans [S] , Th. 4 et S.
Soit
(a)
fC (1
u
0
(b)
pour
It
W l'espace des fonctions
GL(2, F)
sur
telle que
W(u) fCg)
l)g)
On
f
dans un voisinage assez petit de
fait agir
GL(2, F)
sur
,
e
fCg
It) =
W par translations
a
fCg)
droite.
Par reciprocite de Frobenius, Ie theoreme 2.2.2 permet, d'une et d'une
seule
a
fa~on (a
v EV
un facteur pres), de realiser
de
Wen)
de
W
L(n(g>.v)
est Ie modele de Whittaker
n
dans un sous-espace
on associe
v(g)
Wen)
n
de
n
II ne depend que de la classe d'isomorphie
• Dans Ie modele de Whittaker, on a
Proposition 2.2.3.
Soit
P
Ie sous-groupe
L(v)
= vee)
(* 0)
it
de restriction, de
Wen)
dans
l~fonctions
Utilisant l'unicite de
invariants sous
(1
*
0)
1
L
sur
P
*
de
GL(2, F)
L' application
,est injective.
,on montre que Ie noyau est forme de vecteurs
,done (2.2.S ei-dessous) par
SL(2, F)
Voir [S] Th. 6 pour une generalisation a GL(n)
-80Del-26
Puisque
rr est irreductible, Ie centre de
il existe un quasi-caractere
wrr de
n
GL(2, F)
agit scalairement:
tel que
Dans la proposition precedente, on peut donc remplacer P
GL(2, F)
groupe
O)v)
de la forme
pour
a
xc n)
• On note
I' ensemble des fonctions sur
Le groupe
v EV
transport de structure, a partir de son action sur
de
par Ie sous-
GL(2, F)
V
agit sur
XCn)
F*
par
C'est Ie modele de Kirillov
rr . Dans ce modele, on a par construction
<2.2.3.1)
Theoreme 2.2. 4( 0
Les fonctions dans
support est relativement compact dans
(ii)
F*
L'espace
g(F*)
est contenu
dans
XC n)
sont localement constantes, et leur
F
des fonctions localement constantes
l«rr)
a
support compact dans
,et de codimension finie (0, I ou 2) dans
l«rr)
Le resultat difficile est la codimension finie. Le § 2 de Godement-Jacquet
[7J en fournit une demonstration conceptuelle.
Ie sous-groupe de
Lenune 2.2.5
SL(2, F)
engendre par les sous-groupes
et
(i)
Pour
~
n >0
,
c, a-I
et
(ii) Pour
n =
(iii) Pour
n
° ,
< ° ,
est Ie sous-groupe de
G'
n
d-l =0
G~ =
G~ =
(mod
SL(2, (9)
forme des
rf)
SL(2, (l})
SL(2, F)
C'est bien connu; indiquons seulement que (i) resulte de l'identite
-81Del-27
(u1 0)1 (10
Theoreme 2.2.6.
GL(2, F)
infinie de
(i)
Soit
1
l+uv
. Soient
a
~
les
n
:) pour
G
k
~
(a, d E ~*
. Alors
n
v
,
~)
I a,
b E ~)
est au moins egal au conducteur de
GL(2, F)
d E t!t*
~,
, b E
k
c En
~}
=0
si
k
si
k:a 1
Pour k au moins ega1 au conducteur de aB- I , soit car(a,B)
Gk valant a(a)· B(d)
~
sur les
des v E V tels que
k - n + I,
Prenons
~
et les (:
gv = car(a, B)(g)·v
que
et verifie
v
=0
n(w)
=
Pour k;;' n , I I espace
g E G
k
pour
Ie caractere de
est de dimension
(0"; i ,.; k - n) .
. Dans Ie modele de Kirillov, la condition
,identifie
v(dx)
~) .
O.)xn
o 1T-1
de (i) signifie alors que
support dans
(~ ~)
somme directe des droites (1
W tel
= WTI
comme en (i), invariant par
GL(2,~)
{(:
a~
n:a 0
Ie sous-groupe de
{
tels que
~*
E V ,tels que
~(d). v
c E TIn
,en particulier
(iii) Soit
o
1
Ie plus petit entier tel qu'il existe
(:
a~-l
1
deux caracteres de
~
II existe des vecteurs non nuls v
Soit
( l+uv
TI une representation admissible irreductible de dimension
a(a)
(ii)
0)
V) (~
~(d)
a
une fonction
v(x)
v(x)
sur
F*
, est
a
. L'assertion (i) resulte donc de
2.2.3 (8(F*) c XCTI»; (iO resulte de 2.2.5.
La transformation ( 1
o
0.)
rf
en vecteur invariants sous Ie groupe
transforme vecteurs
(01
rf
l
-i$)
(01 TIlk~) -invariants
(plus gros, si
i ~ 0 ). Dans Ie
-82Del-28
modele de Kirillov, elle trans forme fonctions a support dans
support dans
~~i&
(plus grand, si
X
n
II reste
a
~)
°
n
°
prouver que
Xn +i _ l
dim X
k
0
y
&*
a
0). La definition de
n
donne
,soit
+ I
k l
dim X _
• Nous prouverons que
nO_I)
dim(Xkl ( 1
x, y E X
Soient en effect
S
~
i
a
en fonctions
• Dans Ie modele de Kirillov, les restriction de
k
x
et
sont necessairement proportionnelles:
soit a support dans
il existe
(A,~)
f (0, 0)
(~ ~)
+~)
verifie encore la condition (i) du theoreme, donc est dans
(AX
tel que
Ax + ~y
TT
~
• Des lors,
X _l '
k
d'o~ l'assertion.
Definition 2.2.7.
2.2.6. aux caracteres
Le vecteur
b E
~
v
TT admissible irreductible de dimension infinie et appliguons
Soit
,unigue
W
~
n
a
1. L'entier
n
de
2.2.6 (ii) est Ie conducteur de
un facteur pres, invariant par les
est Ie
, c
nouveau vecteur
Dans Ie modele de Kirillov, Ie nouveau vecteur
par une fonction
vex)
de
x
,et non nulle sur
n : considerer
(1
tt-n(W)
~
~
(d E ~ ,
de Ia representation.
Remargue 2.2.7.1
,a support dans
vest represente
, ne dependant que de la valuation
. Ce dernier point resulte de la minimalite de
O)v
o n
Des arguments standards fournissent les corollaires suivants.
Corollaire 2.2.8.
Pour les
TT.
represent~ions admissibles
Ie corps de definition d'une representation
TT
irreductibles de
[plus petit corps
k
o
GL(2, F)
tel gue
TT
-83Del-29
soit isomorphe a nO'
pour
0'
E Aut(k/k ) ] est aussi Ie plu~ petit corps sur leguel
o
la representation puisse s' ecrire.
C'est Ie corps de definition de l'ideal de l'algebre du groupe qui annule
Ie nouveau vecteur.
Corollaire 2.2.9
-1
,
Cl~
G
n
Soient
Cl
comme en 2.2.6
~
~
deux caracteres de
L'algebre
,
n
Ie conducteur de
:II l'algebre (pour Ie produit de convolution) des
~
fonctions localement constantes a support compact sur
et
&*
a'
dans
y' E (b'
GL(2, F)
telles gue, pour
G
n
:II est commutative.
Ce corollaire figure dans Silberger - Proc. AMS 1959 p. 437-440. Pour Ie
deduire de ce qui precede, il faut utiliser que les vecteurs
presentation unitaire irreductible de
2.3
GL(2, F)
K-finis de toute re-
forment une representation admissible.
Modele de Kirillov et operateur de Heeke.
Les calculs de ce numero sont identiques aux calculs classiques donnant
l'action des operateurs de Heeke sur les developpements aux pointes des formes
modulaires. La raison en est expliquee en 2.5.
Soit
POBons
K
n: GL(2,
= GL(2,
double classe
~p)
K a K
~
,a
p
) --->GL(V)
=
1
(0
0
p)
une representation admissible de
et soit
~
GL(2,
~
P
)
la fonction caracteristique de la
Cette double classe est la
so~~e
disjointe des classes
a
droites
(~
1.
O)K
p
(i
E~/p) et
L'operateur de Heeke
de la projection
\n(k) v dk
T
p
de
v
est la convolution avec
dans
1
p~
.
C'est la composition
V K et d 'un endomorphisme de
VK
-81+-
Del-3D
Supposons que
K
V ." 0
que
Tv
p
0
Av
=
Si
0
(i. e,
est une fonction
T
p
soit admissible irreductible de dimension infinie et
est Ie nouveau vecteur de
pour un scalaire
0
conducteur
v0
IT
Fo
1.
v (x)
0
So i t
•
alors
K
V et
engendre
v0
un caractere additif de
,
~p
de
71: p = K",r( Ijr)). Dans Ie modele de Kirillov correspondant,
de la valuation de
~
Ijr( ix ) v 0 (px)
p iE71:lp
a
restriction
En termes de la fonction
A Fo (n)
A
,
V
F
o
~
de
E F*)
, a support dans
x
(x
+
P1 wIT(P) v 0 (-1
P
x)
v (x)
0
• On a
~
[v (px) + 1. W (p) v (p -Ix) J
o
p IT
0
supposee normalisee de sorte que
F (n+l) + 1. w~(p) F (n-l)
o
p"
0
pour
n
<!:
F (0)
o
0
1
,soi t
1
2.4
Formes nouvelles d'Atkin-Lehner [IJ.
(2.4.1)
Soit
Gf(k)
l'espace des formes modulaires holomorphes paraboliques de
poids k. C'est une representation admissible de
GL(2, fAf)
et il resulte facilement
de l'existence du produit scalaire de Petersson que c'est une somme directe (algebrique) de representations admissibles irreductibles de
Soit
GL(2, fAf)
R*
et
V c Gf(k)
agit sur
Af )
une sous-representation irreductible, Le centre de
V par un quasi-caractere
W definissent un quasi-caractere de
done determine par sa restriction
La representation
GL(2,
IT de
a
71:*
W . Les quasi-caracteres
, assujettie
GL(2, fAf)
. Le quasi- caractere
/A*/~*
sur
a
x
k
de
West
verifier
Vest un produit tensoriel
restreint (0.2.3) de representations admissibles irreductibles de dimension infinie
-85Del-31
GL(2, 01 )
des groupes locaux
11
P
p
V
Pour chaque
pour presque tout
I8i
P
p
V
P
, soit
p, ces
v
v
p
un nouveau vecteur pour
nouvelle forme
de
v
= I8i vp
de
(on suppose que
conducteur
est Ie produit
n
=
np
(bien defini
f E GP(k)
V. Une forme
GP(k)
si elle engendre une sous-representation irreductible de
nouvelle forme. Son
P
coincident avec les vecteurs utilises pour definir
p
Ie produit tensoriel restreint (0.2.3». On dit que
facteur pres) est la
11
f
p
p
ou
est
a
un
nouvelle
et en est une
f
p
est Ie conducteur
'IT
P
Scholie 2.4.2.
f
de
GL(2, A)
L'application qui
a
une nouvelle forme
f
associe la representation
qu'elle engendre est une bijection de l'ensemble des nouvelles formes
(a un facteur pres) avec l'ensemble des sous-representations irreductibles de
(2.4.3)
f
Soient
f
une nouvelle forme de conducteur
,i.e. Ie caractere de
~*
n
,et
W Ie
caractere
GP(k)
de
defini par la representation correspondante. Par de-
finition, pour
y
~) E GL(2,~)
(:
,avec
c == 0
(mod n)
on a
yf
(2.4.3.0
wCa)f
D'apres 1.2.5, une forme
fez; a)
(a E GL(2,
~(n»
f
verifiant 2.4.3.1 s'identifie a une famille
de fonctions sur Ie demi-plan de Poincare, verifiant
0.2.5.2) et
wCa) Hz; a)
pour
y
comme plus haut.
Cette famille est determinee par la seule fonction
demi-plan de Poincare
X
,verifiant
fez)
fez; 1) , sur Ie
-86-
Del-32
(2.4.3.2)
pour
Hz)
(:
~) E SL(2, 7l),
c == 0
Si une forme
verifie (2.4.3.1), on voit, en 1a decomposant se10n 1es
f
(mod n) 0.2.5>'
representations irreductib1es dans
de
fa~on
GP(k)
et en app1iquant (2.2.6) qu'e11e s'ecrit
unique comme combinaison 1ineaire de formes
(t, m entiers ~ 1 ,avec
f
GL(2, /A »
considere comme dans
n
mes de conducteur
~
f~,m
avec
~In;
combinaison 1ineaire de nouvelles for-
x
. En termes de fonctions sur
(2.4.3.3)
Theoreme 2.4.4
wC-u
= k
Soient
Pour que
k un entier
f
;;: 1
et
a
,
(2.4.3.2) et que, pour toute nouvelle forme
g
conducteur
IIJ
n/~
et de conducteur ega1
m <n
,
tel que
soit combinaison lineaire de nouvelles formes de po ids k
n
de caractere
un caractere de 7l*
IIJ
on ait
<HZ),
i l faut et i l suffit que
,
de poids k
g(~z»=O
caractere
verifie
f
IIJ
,
et de
(produit sca1aire de Petersson) •
Dans 1a decomposition (2.4.3.3), on veut avoir
f
t,m
= 0
pour
t m
F1
Des formes appartenant a des representations differentes sont orthogona1es pour 1e
produit sca1aire de Petersson, de sorte que
t m F t'm'
< f,
""',m
(~z),
f"
,m
'\..0
,(t' z»
= 0
pour
• L'assertion en resu1te.
Variante 2.4.5
Soit
GO
l'espace des fonctions
(a)
C'"
(b)
invariantes par un sous-groupe ouvert de
(c)
cuspida1es:
a
croissance moderee en
fp = 0
f
sur
GA\IGL(2,~) qui sont
g",
GL(2,
Af )
,
(1.3.2.1).
D'apres (2.1.2), 1a scho1ie 2.4.2 s'enonce encore en disant que 1es formes
modu1aires ho1omorphes (cuspida1es) nouvelles sont en bijection avec 1es sous-re-
-87-
Del-33
presentations admissibles irreductibles de
(IT
f
Gf
de l'un des types
f
GL(2, A ) , k ~ 1)
representation de
D _ ~ IT
k l
f
Pour avoir les autres, il faut aussi considerer des formes non holomorphes.
(2.4.6)
Dans la fin de ce paragraphe, nous expliquons comment s'ecrit en termes
classiques la representation de
80it
Gi(k)
GL(2, fAf)
dans
Gf(k)
l'espace des fonctions holomorphes sur Ie demi-plan de
Poincare
X, telles que
flk Y
8L(2,71:)
, et qui s'annulent aux pointes. Le groupe
f
terminant positif agit sur
~(k)
Le stabilisateur de chaque
f
pour
y dans un sous-groupe de congruence de
GL(2, Gl)+ des matrices
contient un sous-groupe de congruence de
topologie des sous-groupe de congruence de 8L(2, 71:)
l
= GL(2,
Gl)+. 8L(2,,z)
de-
par
de sorte que l'action se prolonge en une action du complete de
GL(2, /Ah
a
de
8L(2, 71:) ,
GL(2, Gl)+
pour la
. Le complete est Ie sous-groupe
GL(2, /Af)
• forme des
Gf(k)
GL(2, /Af)
g E GL(2, fAf)
de
determinant rationnel positif.
Proposition 2.4.7
La representation
representation
de
est induite par la
de
L'isomorphisme avec la representation induite s'obtient en associant
f E Gf(k)
la fonction
fez; 0)
= f((z,l),
0»
de
a en effet
Hz;
pour
y E GL(2, Gl)+
0
y -1)
y Hz; 0)
, donc aussi dans son complete.
GL(2, /Af)
dans
~(k) •
a
On
-88Del-34
2.5
Developpement aux pointes
(2.5.1)
Soit
restriction
A
W Ie caractere additif de
a
Rest
Wf(g)
e
-2TTiu
=f
. Pour
0»
1
f( (1
g u
f
trivial sur
une fonction sur
w(u) du
et sur
~
,dont la
GA/GL(2,~)
, on pose
~
d'ou
1A1~
1
wf(g(u
Puisque
f
W
f
~>
0»1
W(u)-l wf(g)
est definie par une integration a droite, l'application
W
f
commute aux translations
holomorphe de poids k, W
f
et telle que
Wf(Ag)
=
A-
fonction (2.1.7.1) sur
poserons
(2.5.1.1)
2.5.2
V
K'f(a)
(A
Wf(g)
°_1)
a
V c Gf(k)
Soit
. Des lors,
par une fonction
W'f
W
f
est produit de la
sur
GL(2, fAf)
fonction de ce modele
K'f
Kirillov des
envoye
GL(2,
~
p
V
P
f r-->Wf(g-l)
V
p
f (e)
p
en-
(l'ensemble des
IT f (g )
p p p
et ou, pour presque tout p , f p
)-invariante et telle que
• Soit
= 1).
ou
f
p
est la
Des lors,
V sur Ie produit tensoriel (au m@me sens) des modeles de
V
Soit
0.2.5) par des
(2.5.3.0
~f)
combinaisons lineaires de fonctions
est dans Ie modele de Whittaker de
(2.5.3)
GL(2,
On deduit de l'unicite des modeles de Whittaker que
V sur Ie produit tensoriel des modeles de Whittaker des
~>
. Nous
On a la formule de definition
une sous-representation irreductible de
fonctions sur
f
E ~*)
fest une forme modulaire
co
gco ,C
a croissance moderee
J~/A/~ f«(z,l),(~
= ®Vp
voie
°
f
gauche. Si
sera encore holomorphe en
k
GL(2, R)
W' (1
a
p
f
une forme modulaire de poids k, d'un niveau
f(z,
0)
f(z, 0)
(z EX,
0
E GL(2,
~/N».
l: a(n, f, 0) Qn
n
Posons
q
N
,decrite comme en
= exp(2TTiz)
(n E ClI, n ~ 0)
et
-89-
Del-35
Proposition 2.5.3.2.
Soient
a
o
E?l* et
n E Gl
,n > 0
Ona
0_1) mod N}
a
o
App1iquons (2.5.1.1) et integrons
u
dans
[0, M]
xlM
?l . On trouve, pour
M assez divisible, que
H(z+u,1),
Puisque
H(z+u, 1), (
1
(1
exp(-2TTiu) du
°
°_1 -1)
a n
0
n- k
H(~
1) , (
n'
o
1
o a
0
-1)}
o
on a encore
(
1
mod N) exp(-2TIiu} du
o
et 2.5.3.2 en resu1te.
Coro11aire:2.5.4
Une forme modu1aire ho10morphe parabo1igue de poids k, soit
est entierement determinee par 1a fonction
Supposons
1es
Hz; o}
pour
f
0
K' f
sur fA
f,
f
de niveau
N (ou divisant N). fest a10rs determinee par
1
de 1a forme
°a_1) avec a o E ( ?lIN ?l) * , car ces 0 ont
(0
o
n'importe que1 determinant. Ceux-ci sont determines par leur deve10ppement en serie
a
de Fourier
pour
n:S; 0
1a pointe
i~
, i.e. par 1es
sont nu1s, car
i1s sont donnes par
f
est
a
a(n, f, 0)
• Les
a(n, f, o}
croissance moderee et parabo1ique. Pour
n >0 ,
K' f
On notera que, dans ce coro11aire, on n'a
une sous-representation irreductib1e donnee de
global, ne se ramene done pas
(2.5.5)
(n E Gl)
a
pa~
Gf(k}
suppose que
f
soit dans
. Cet enonee, essentie11ement
l'enonee local 2.2.3.
La demonstration preeedente se traduit eomme suit en termes ade1iques. Tout
-90Del-36
d'abord, par la formule d'inversion de Fourier, on a pour
(2.5.5.0
f
parabolique
f(g)
On remarque ensuite que
GL(2, R).
est dense dans
1
GL(2,
A) .
fest donc
par la restriction de
d~termin~
W
f
a
et, appliquant 2.1.7 comme en 2.5.1, on obtient 2.5.4.
GL(2, R). (0
Rappelons la
d~monstration
du
r~sultat
de
a l'aide des
densit~ utilis~:
matrices diagonales dont on dispose, et qu'on peut mettre devant, on se ramene
8L
2
• Pour toute place
pour chaque
v
8L(2,
v' , 8L(2, ~v')
est alors dense dans
~v).8L(2,~)
a
A)
8L(2,
est engendre par ses sous-groupes unipotent inferieurs
et superieurs, et ceci ramene au probleme analogue pour Ie groupe additif.
Th~oreme 2.5.6.
TT
80it
8
une representation admissible irreductible de
P
plus une
sous-repr~sentation irreductible
locales isomorphes aux
TT
p
P
V
EV
p
p
Ie nouveau vecteur de
Pour
V
p
V
qui, dans Ie modele de Kirillov de
de
~*
p
L'ecriture de
p E 8 , (on normalise
u
vp
support dans
8i
~
TTl>
p
p E 8
p
soit
,
s'identifie
Pour
v
a
dans Ie modele de Kirillov est
v (x)
p
est la forme
lniquement determin~e par les
ces
V
p
v (0
p
=0
p
, de composantes
¢8
p
EV
p
® v
p p
(TTp)pf 8
, K'f
Puisque
n >0
,
soit
Ie vecteur de
la fonction caracteristique
d~terminee
par
, posons
x
EV
pour
V est
,est
a(n) = n
est connu et, par 2.5.4,
f
TT
p
Elle est donnee pour
est une fonction de la valuation de
, et vaut 1 en 1. Pour tout entier
f E cf(k)
,V ~ ® V
p
p
V c: ® V
,soit
II existe alors au
P
c: cf(k)
v '(x) de telle sorte que
p
E 8 • Dans tout les cas,
GL(2, ~ )
¢8
8upposons qu'il en existe une, soit
v
p ~ 8
un ensemble fini de nombres premiers. Pour
k
a
IT v (n).
p
p
fest
d~termine
par
-91Del-37
On a
pour
Hz; 0')
e
de la forme
0'
2TTinz
,avec
(independant de
0')
a E ?l*
En termes classiques, Ie point de cette demonstration est la possibilite
de modifier une forme modulaire
avec
a'
o
n
pour
Proposition 2.5.7.
f
et
Soit
Hz; 0')
Si
pin
n
en une forme modulaire
f E Gf(k)
une forme modulaire de niveau
constante
c
a' qn
n
N
et
A
0
engendre une sous-representation irreductible
et est produit
=~
f
pES
a(A, f, 0') q
~
A>
f = ~ a qn
V c Gf(k)
de
GL(2,
~f)
tensoriel de vecteurs des composantes locales, il existe une
v (N)
et des fonctions a (n, f, O'p)
p
(n entier 1 O'p E GL(2, ?lIp p
))
A>0
telles que, pour
a(A, f, cr) = c. II a (v (A), f, 0' )
P P P
P
(v
p
designe la valuation p-adigue et
cr E GL(2, ?lIN) ~ II
p
GL(2, ?lIN)
p
W
f
Ceci exprime que
cr
p
est la p-composante de
).
est un produit. En particulier, si
est une nouvelle forme de poids k , normalisee pour que
b)
si
p
ne divise pas Ie conducteur de
et
w=
~.€
f
a
l
fez)
~
a
=1
fest vecteur propre de
T
• On a (2.3) et (2.5.3.2)
1
c)
fest uniquement determinee par
(traduction de 2.5.6).
n
w et par les a p pour presque tout p
P
e
2TTinz
-92Del-38
L'analogue de b) pour
p
divisant Ie conducteur est traite dans Ie m@me
esprit dans Casselman [3]; cf. 3.2.
3.
Corps de classe local et representations de
GL(2, F)
3.1. Preliminaires.
3.1.1
§§
Dans ce paragraphe, nous ferons usage des notations et des resultats des
2, 3 et 8 de [4]
Soit
(ce volume).
K un corps local. On sait ce qu'est Ie
relatif a une c18ture separable
avons introdui t dans
[4]
§
K de
8 un
K
([4]
"groupe"
2). Pour
§
W' (K/K)
o
(a)
W(K/K)
K non archimedien, nous
,qui n' interviendra que via
la categorie de ses representations. Par definition, une
sur un espace vectoriel
groupe de Weil
representation de
V de dimension finie sur un corps
k
W'(K/K)
de caracteristique
consiste en
une representation
cr
W(K/K) --->GL(V)
(triviale sur un sous-groupe ouvert
du groupe d'inertie I);
(b) un endomorphisme nilpotent
N de
V, tel que
(w E W(K/K»
Rappelons que
W(K/K)
triques
~
est Ie quasi-caractere non ramifie donnant l'action de
Les Frobenius geome-
sur les racines de l'unite, et que
F
verifient
~(F)
=
~
Via l'isomorphisme de la theorie du corps de
classe local (normalise pour transformer Frobenius geometriques en uniformisantes),
il s'identifie a la valeur absolue normalisee.
Soit
E
A
une extension finie de
d'isomorphie de representations de
W'(K/K)
~~
(~f
sur
p)
L'ensemble des classes
EA est en bijection canonique
avec l'ensemble des classes d'isomorphie de representations A-adiques de
Cec; est la raison d'~tre de
W'(K/K)
W(K/K)
-93Del-39
Nous aurons exclusivement
([4] 8.6) de
si
W'(K/K)
W'(K!K)
considerer des
representations
F- semi-simples
(les Frobenius sont semi-simples) • Pour unifier Ie langage,
K est archimedien et que
simple de
a
k
=~
,nous definisons une
representation F-semi-
comme etant une representation semi-simple du groupe de Lie
W(K/K)
K non archimedien.
Dans la fin de ce numero, on suppose
3.1.2
On definit de
presentations de
fa~on
W'(K!K)
evidente sommes, quotients et produits tensoriels de re. Ainsi
(a', N') ® (a", Nil)
Soit
sp(n)
= (a'
® a", N'
- o(w)e
N e
i
i
= wi (w)e
= e i +l
(ii)
les
(a,
. On note
et
a
E
avec
Ne _
n l
(a, N)
de
R( r)
et
V
une representation
de
(V,
a)
S( r) = Ho~(R( r), V)
=
$
r
la base canonique
V( r)
de
W'(K!K)
sur
k
W'(K!K)
sur
k
sont
irreductible.
r de representations de
r
(a, N)
F-semi-simples indecomposables de
L'hypothese implique que la representation
typique de type
~
a
L'assertion (i) resulte de ce que
d I isomorphie
~
sur
irreductible.
Les representations
Soit
W(K!K),
e.(OS; i < n )
Les representations irreductibles
avec
0)
E ® sp(n)
~n
suivante de
i
(as; i< n)
Proposition 3.1.3 (i)
sont les
1 + 1 ®N")
(a, N)
la representation
- L'espace de la representation est
~
Im(N)
F-semi-simple de
,soient
V( r)
un representant de
On a
W'(K!K)
sur
V
a est semi-simple. Pour chaque classe
W(K!K)
R( r)
est une sous-representation.
la composante isor
k( r)
Ie commutant
-94Del-40
(cr, N)
La representation
a
donc egale
est somme directe des sous-representations
l'une d'elle. Soit
d'une seule fa~on faire agir
S
=$
i
W'(K/K)
S(T
~
sur
w.)
S
On peut
On a
1.
,par
(cr', N I)
de sorte que cet
isomorphisme soit un isomorphisme de representations. On a alors
crl(W)lS(T~Wi)
a
adaptee
= Wi(w},
,et
NIS(T~Wi) CS(T~Wi+l)
S(T ® Wi)
la decomposition en les
. Prenant une base de
et dans laquelle
N'
S
soit sous forme
de Jordan, on obtient (ii).
Proposition 3.1.4.
ductible
P de
W(K/K)
sur
n
p
algebriguement clos. route representation irren <p
de dimension
d'un sous-groupe d'indice
On fixe
k
Supposons
n
de
,est induite par un guasi-caractere
W(K/K)
(mais non
K), et on procede par recurrence (limitee
a
p)
Rappelons que la dimension de toute representation irreductible d'un groupe
fini (ou profini) divise l'ordre du groupe. Puisque
n <p
,la restriction a P
~I
X un
X
v Ie sous-espace correspondant de V et
de la representation est somme de representations de dimension un. Soit
caractere de
W' C W(K/K)
P
qui apparatt dans
Ie stabilisateur de
W' f W . Alors,
(a)
p
X (ou
V X)
• Distinguons deux cas
pest induite par la representation
vX , a
laquelle
on applique l'hypothese de recurrence
(W'
(b) W' = W ,donc v X = V et
est commutatif. II existe alors un caractere
de
I
qui apparatt dans
currence, soit
p(W(K/K»
Exemple 3.1.5.
Si
P(I)
est de la forme
W' -
W(K/K»
P , et on raisonne comme avant: soit on conclut par reest commutatif, auquel cas
P f Z
n = 1
,les representations F-semi-simples complexes de
dimension deux de W(K'/K) sont les sui vantes.
[A]
(a)
la somme
(D)
une representation
(c)
une representation induite par un quasi-caractere d'une extension quadratique
de
K
$ [~]
de deux representations de dimension 1.
[A] ® sp(Z)
-95Del-lll
3.2
Representations de
GL(2, K)
Ce numero est un fascicule de resultats. Des ref~rences pour des demonstrations seront donnees en 3.2.9.
3.2.1
Soit
K un corps local. Si
W un quasi-caractere de
K*
nest une representation de
,nous noterons
dans Ie m@me espace, pour laquelle
de
n
,et
W
0.2.1.2)
wv
n@ X
W
n
I
et
la representation, realisee
= n(g).w(det
~ Ie quasi-caractere de K* tel que n(~ ~)
0.2.1.0
3.2.2.
(n @ W)(g)
n @W
GL(2, K)
g),
~ Ie dual admissible
soit
wn(a).
: on a
et
n
Soient
~ une forme bilineaire non degeneree sur K2 et g ~> g~'
morphisme exterieur de
GL(2, K)
l'auto-
tel que
~(x, g y) = ~(gVx, y)
Pour
~
alternee, on a
La representation duale
*
est isomorphe
a
la representation
g ~> n(gV)
0.2.2.0
En particulier,
0.2.2.2)
Supposons choisi un caractere additif non trivial
l'espace du modele de Kirillov de
0.2.2.3)
:::hanger
xc n @ w)
n
¢ ,
et soit
XCn)
. On a
= XC TT). W
Dans Ie modele de Kirillov, la dualite
¢ ne modifie pas l'espace :tI(n)
-1
entre n et n@ W
est donnee par la formule suivante, pour vI E XC TT)
n
v? E XCn @ W~l) et v l ou v? dans g(F*)
-90-
Del-42
(3.2.2.4)
3.2.3.
Lorsque
K est archimedien ou de caracteristique residuelle f 2 , et sans
doute toujours, il existe une correspondance bijective naturelle entre classes
d'isomorphie de representations admissibles irreductibles de
d'isomorphie de re presentations F-semi-simples de
GL(2, K)
W' (K/K)
II Y a plusieurs
naturelles de normaliser cet isomorphisme, faisant passer de
a t--> nCo) I8l
~
tions est
,et deer irons la
~
et classes
01-->
nCo)
fa~ons
a
. Nous supposerons tout d'abord que Ie corps de base des representacorrespondance unitaire
a
~--->
nu(o)
,implicite-
ment utilisee dans [7J, [9J et [llJ. Elle est caracterisee par les proprietes suivantes (en fait, deja par (E».
(A) Fonctorialite
(1)
n (0 I8l tu)
u
(2)
tun (0)
u
(3)
n (~)
u
nCa) I8l tu
( twist)
det 0
(restriction au centre)
tT (a)Y
(Automorphismes de
u
GL(2)
(cf. 3.2.2.1».
(B) Serie discrete
Dans Ie cas non archimedien,
nu(a)
supercuspidale
o
irreductible
tT (0)
de la serie discrete
o
indecomposable
o
irreductible (i.e. indecomposable) .
u
Dans Ie cas archimedien,
n (a)
u
de la serie discrete
Rappelons qu'une representation est dite de la serie discrete (resp. supercuspidale) si un de ses coefficients (done tous) est de carre sommable (resp. a support
compact) modulo Ie centre.
-97Del-43
(c) Induction
Soit
la representation de
Ind(Xl'~)
quasi-caracteres
Xl
et
de
~
K*
GL(Z, K)
(induction unitaire). Pour
les constituants (= quotients de Jordan-HUlder) de
les
TTu(O)
,pour
0
de semi-simplifiee
TV~, ~) = dfn TTu([XlJ EEl [~)
induite par deux
Ind(X , X )
Z
l
[Xl) EEl [~)
K non archimedien,
sont exactement
• Dans tous les cas,
Ind(Xl , ~)
est un constituant de
(D) Representations degenerees
Les representations de dimension 1 de GL(2, F) sont les ITu(X 1 , X2 ) pour
Pour
Freel, et
x
(n + 1)
irreductibles de dimension
(Xt
-1 +l
~
)-
= UJ_ , x
Ie plongement de
de
F
GL(Z, F)
sont les
TTu(X , ~)
l
n
F
complexe, et
z
et
z
les plongements de
presentations irreductibles de dimension finie de
(Xt
, les representations
~
pour
l
Pour
pour
dans
-1 +1
~)-
= UJ_l,z
n -m
z
GL(Z, F)
F
dans
sont les
~
,les re-
TTu(X , .~)
l
(n, m ;;, 0)
Dans tous les cas, la representation unite est
(E) Equation fonctionnelle de Tate
Soient
duale de
K
W un caractere additif non trivial de
,relativement
on note encore
dx
la mesure
fCy)
Pour
note
Z(f, TT)
tT
=
j
Sur l'espace
fCx) W(Tdxy»
l'endomorphisme de
=
f
MZ(K)
da db dc dd, et pour
une representation de
Z(f, TT)
(d*g
a w.
f
K et
dx la mesure auto-
des matrices
de Schwartz-Bruhat sur
dx
GL(2, K)
sur
V
et
f E 3(M (K»
2
V
fCg) n(g) d*g
est une mesure de Haar sur
GL(2, F) ). Cette integrale est definie par
,on
-98Del-44
prolongement analytique dans la famille de representations
dans Ie
m~me
TT0w
s
, toutes realisees
espace.
Le quotient
Z(f, TTu(O) 0 W 0 WI)
s
L(00
est fonction holomorphe de
W )
s
s
de ces endomorphismes, pour
,et une combinaison lineaire finie de coefficients
f
variable, est une fonction sans zero de
s
•
On
a l'equation fonctionnelle
t
<tV 0) 0
Z(f,
L(~
0
U1)
€( 0,
0 Wi)
1jJ, dx)
Z (f, TT (0) 0 W~)
u
;;:
U1)
L( 0)
(F) Equation fonctionnelle de Hecke
Soient
1jJ
et
dx
comme en (E), et
0
tel que
TT (0)
u
soit de dimension
infinie.
Pour
I(J
E J«rr(o) 0 W_¥
f
K*
<3.2.2.3), Ie quotient
:It (TT(0». W_i
ql..x) W (x) d*x
s
L( 0 0 W )
S
est une fonction holomorphe de
en
s
). Pour
I(J
Posons
f U1 (x) w- l (x)
s
(integrale definie par prolongement analytique
convenable, cette fonction de
(0
1
w
wql..x).
° . Pour
-1)
W_~(x). d*x
"
est sans zero.
E:It (TT( 0 » ,on a l'equation fonctionnelle
€( 0,
1jJ, dx)
f
ql..x}, W_i(x) d*x
L( 0)
L( ~ 0)
et donc pour tout caractere
I(J
s
X de
F*
-99-
f~
Del-45
(x)
W~l(X) X-lex>.
w<,OCx>'
W_~(x>. d*x
L(~ X-I ~)
L(a
x>
(G) Nouveau vecteur
On
de
tT (a)
u
suppose
K non archimedien et
de dimension infinie. Le conducteur
tT (a)
u
,defini en 2.2.7, cotncide alors avec Ie conducteur [4J 8.12.1 de
Soit
v
Ie nouveau vecteur de
o
F'o
v (x) est une fonction
o
tT- n ( W) ~
Posons
tT (a)
u
de la valuation de
a
Dans Ie modele de Kirillov,
. Son support est contenu dans
x
pour que
, et normalisons
On a
Rappelons que
0.2.4)
q
p
d
(uP
et que
-s
U! )
s
a<!:--> tT (0")
La normalisation choisie de la correspondance
de donner lieu
a
des formules
~)
W'(K/K)
dans
a l'avantage
tres simples. De (A)(2) resulte aussi que
en correspondance bijective representations de
F-semi-simples de
u
PGL(2, K)
n
u
met
et representations
SL(2,~)
En contrepartie, cette normalisation conduit a parsemer les formules de
t .
Dans Ie cas non archimedien, Ie seul OU Ie probleme se pose, elle n'est pas
invariante par automorphismes de
0.2.5)
Definissons la
tTt (a) = tT (0") ® W
u
t
Soit
.
W un
On
~
si
vq
n'est pas entier.
correspondance de Tate
0"
1--> tTt (0")
par
a alors
caractere additif non trivial de
K ,dx
la mesure de Haar
-100Del-46
autodua1e sur
detinit
K
,On note encore dx 1a mesure
da db dc dd
sur
M (K)
2
,et on
f par
L'equation fonctionne11e de Tate prend 1a forme rationa1isee
e:(o, 1jr, dx)
L( 0)
(Pour
dx
que1conque, multiplier 1e membre de droite par
(c) (Induction) devient: TI (X , ~)
t
GL(2, K)
1
dx/dx' ).
figure dans 1a representation de
,par translation a droite, sur l'espace des fonctions sur
GL(2, F)
K-finies a droite, te11es que
(5.2.3,l)
(D) (Representations degenerees) devient:
a) 1a representation unite est
b) Pour
K =R
ou
~
, et
TI (W_ , 1)
t
1
V 1a representation evidente de dimension 2,
(cas reel)
n)
m -)
n -m
)
Sym (V <81 Sym (V = TTt(W_1,z .z , 1
(5.2.6)
Definissons 1a
Cette fois,
~(X1'~)
correspondance de Hecke
(cas comp1exe)
par
figure dans l'espace des fonctions verifiant
et, avec 1es notations de (D) ci-dessus, on a
-101Del-47
I
(K = R)
-m
(K
z ,
It)
L'equation fonctionnelle de Hecke prend la forme simple suivante. Soit
un caractere additif non trivial de
K et
dx autoduale (pour
multiplier Ie membre de droite par
dx'/dx)
Pour
dx
0/
quelconque,
dans Ie modele de Kirillov de
~
1b (a)
e( a
x..
0/, dx) [X(x) Jx) d*x
L( X a)
Avec les notations de (G) , Ie nouveau vecteur
L(a
3.2.7
Pour
~
de
a
est definie sur un corps
se realise sur
K
Ainsi,
a
W(K/K)
a
It
a~--->
sur
IQ
TIt(a)
(resp.
a~>
TIh(a) )
. Des lors (2.2,8), si la classe d'isomorphie
K de caracteristique
chaque representation
- - > GL(2,
0,
TIt(a)
(resp.
TIh(a»
t-adique
IQ~)
correspond une classe d'isomorphie de representations
GL(2, K)
o
oh
K non archimedien, la correspondance
est invariante par automorphisme de
v (x)
TIt (a)
(resp. ~(a»
de
t
Dans la correspondance conjecturale entre classes d'isogenie de courbes
elliptiques sur
IQ
et nouvelles formes de poids 2, la conjecture est que la represen-
tation t-adique
HI(E, ~t)
= Tt(E)
,restreinte au groupe de decomposition en
correspond par la correspondance de Hecke au facteur en
p
p
de la representation de
-102Del-48
}L(2, A)
3.2.8.
associee
a
la nouvelle forme.
Supposons que
Kia:
Puisque tout automorphisme de
et soit
H "Ie"
corps de quaternion sur
H est interieur, Ie groupe
morphisme interieur pres, que de
K
Les groupes
ne depend, a auto-
H*
GL(2, F)
K
et
H*
sont des formes
interieures l'un de l'autre. Des lors
(a)
On peut comparer les classes de conjugaison dans
que l'ensemble des classes de conjugaison dans
H*
GL(2, F)
et
H*
. On trouve
s'identifie a l'ensemble des
classes de conjugaison elliptiques ou centrales dans GL(2, F)
4
4
(b) h Lie{GL(2, F»
et h Lie(H*) sont canoniquement isomorphes.
Passant aux valeurs absolues, on trouve une correspondance entre mesures de Haar
sur
GL(2, F)
et mesures de Haar sur
On transpose de
fa~on
H*
a
evidente les notations (3.2.1)
une correspondance naturelle bijective
n~>
n'
H*
. II existe
entre classes d'isomorphie de
representati.ons admissibles irreductibles (de dimension finie) de
H*
,et classes
d'isomorphie de representations admissibles i.rreductibles de la serie discrete de
GL(2, F)
(H)
. Cette correspondance est caracterisee par les proprietes suivantes
L'analogue de (3.2.2.1) (3.2.2.2) est vrai pour les representations de
H*
On a
(H 1)
(n ® w)
(H 2)
W
I
= TT' ® W
n
(H 3)
(I)
pour
(J)
Le conducteur de
x-I
de valuation
est Ie plus petit entier
~
n
dans
n
tel que
n'
. Les degres formels de
A un changement de signe pres,
tt(x)
soit trivial
H
Sur les elements elliptiques (cf. (a», Ie caractere de
du caractere de
(K)
tt'
TT
et
nelle de Tate: pour des facteurs euleriens
TT et
TT'
TT'
TT est l'oppose
sont egaux (cf. (b».
verifient la m@me equation fonction-
L(TT, s)
et des
"constantes"
convenables,
-103-
Del-49
on a
t
1/
A
Z(f, TT'@
_ )
2 s
W
e:(s, TT, I/J)
L('~, 2-s)
t
1/
A
Z(g, TT I8i W _ )
2 s
- e:(s, TT, I/J)
L(TT, 2-S)
parfois sans
0
Z/L
@ W
s
)
L(TT, s)
V
avec des quotients
Z(f, TT'
Z(g, TT
@ W
s
et
)
L(TT, s)
holomorphes en s
,comme en (E).
I/J
et dont une combinaison lineaire est
designe un caractere additif de
K ,et les
transformees de Fourier sont prises relativement a une mesure de Haar autoduale
pour
I/J Tr(x y)
3.2.9.
ou
I/J Tr red(x y)
Voici des references pour les demonstrations. Sauf mention expresse du con-
traire, on n'exclut pas la caracteristique residuelle 2.
3.2.9.1.
Vne demonstration conceptuelle de (3.2.2.1) figure dans [5J Th. 2. La
demonstration de loco cit. vaut pour
GL(n)
La formule (3.2.2.4) est la seule compatible
a
l'invariance de
<
>
sous Ie groupe triangulaire inferieur. Dne demonstration directe en est par ail leurs
donnee dans
3.2.9.2.
[6J, qui traite aussi du cas archimedien.
L'existence d'une equation fonctionnelle
a
la Tate est prouvee a priori,
dans [7J, pour les representations admissibles irreductibles du groupe multiplicatif
de toute algebre simple.
3.2.9.3.
L'equivalence entre (E) et (F) (equations fonctionnelles de Tate et de
Heeke) est prouvee dans [9J § 13.
3.2.9.4.
Les resultats 0.2.8) (H) (J) (K)
constituent les §§ 1 et 15 de [9
(1) m'a ete signale par Weil, et resulte assez facilement de (G) et (K).
J.
-104-
Del-50
3.2.9.5.
La preuve de (G) est donnee dans [3].
3.2.9.6.
Le dictionnaire
a(:-->
pour les representation
n(a)
constituents d'une representation induite (toutes, pour
5, pour
K
= a:
dans [9 J
6 et pour
§
qui sont
K archimedien), et la
preuve de (A) (B) (C) (D) (F) pour celles-ci sont donnes, pour
[9 J
'IT
K
=~
,dans
K non archimedien dans [9
J§
3.
Voir aussi [6 J.
3.2.9.7.
Le dictionnaire
a-->n(a)
pour
a
induite par un caractere d'une
extension quadratique et la preuve de (F) sont donnes en (9J 4.7 .. Je n'ai pas
verifie l'injectivite de
ionnant Ie caractere.
3.2.9.8.
a
~
ma) . On m'a dit q:u'elle se lisait sur les .formules
Jacquet sait 1a deduire de sa theorie [ 9 bis) .
D'apres 3.1.5, si
p
~
2, toutes les representations
ete considerees. D'apres [7J §2, toutes les representations
l'ont ete egalement. Les representations
dans la formule de Plancherel. 8i
p
~
IT
IT
a
ont maintenant
non supercuspidales
oubliees ont donc une masse non nulle
2 , que Ie dictionnaire soit complet se lit
donc sur la formule de Plancherel'sous sa forme explicite (voir par exemple [2J).
3.2.9.8.
Langlands a verifie, a l'aide de (3.2.8) et (I), que, pour
existe d'autres representations
IT
~2
,il
que celles considerees jusqu'ici. II existe
aussi d'autres a
En egale caracteristique
qu'a chaque representation
representation
IT(a)
(fOt-elle 2), [9J
F-semi-simple
§
12 prouve par voie globale
a de W' (K/K)
correspond une (unique)
verifiant (F) (et (E». La demonstration utilise la conjecture
d'Artin, connue pour les corps de fonctions.
-105Del-51
Bibliographie
[lJ
A.O.L. Atkin and J. Lehner - Heeke operators on
(1970) 134-160.
r
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[2 J
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Lecture Notes 278.
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R.P. Langlands - Problems in the theory of Automorphic Forms - in:
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