RACINE DE PUISSANCE Racine de puissance Nous avons défini la racine mième d’un nombre algébrique A. Il peut se faire que A soit lui-même la puissance pième d’un nombre a. On aura alors une écriture de la forme : m A = map , qui peut être formé et même souvent simplifié, comme nous l’avons déjà montré sur des cas particuliers : a8 = a 4 , 3 a6 = a 2 …… Ces transformations résultent d’une propriété plus générale que nous allons démontrer : On ne modifie pas la valeur de la racine positive d’ordre m de la puissance pième d’un nombre positif a, en multipliant ou en divisant l’indice m de la racine et de l’exposant p de la puissance par un même entier n. Appelons x la valeur de m a p et y la valeur de x= map , nm a np : y = nm a np . On en déduit x m = a p et y nm = a np, par application de la définition d’une racine. On a aussi : a np = (a p) n, ce qui donne avec a p = x m : a np = (a p) n = (x m) n = x nm. Les deux nombres x nm et y nm, étant égaux à un même nombre a np, sont égaux. Donc x et y sont égaux, ce qui permet de bien d’écrire : m a p = nm a np . On passe bien de la première à la deuxième de ces deux expressions égales en multipliant m et p par n, de la deuxième à la première en divisant nm et np par n. Cas particulier. Si p = 1, on a : m a= nm an . Nota : On peut appliquer cette propriété aux nombres négatifs moyennant certaine précaution. Ecrire par exemple : 4 a2 = a , si a < 0, ( a est dans ce cas imaginaire). Réduction de radicaux au même indice Considérons le rapport : 3 3 18 6 6 , Nous allons voir qu’il est avantageux de la mettre sous forme d’une seule racine. Les indices des racines sont : 2, 3, et 6 ; le plus petit commun multiple étant 6, on peut écrire : 3 3 = 6 33 , 18 = 6 182 , et : 3 × 3 18 6 6 ( 3 × 32 × 2 3 6 = 3× 2 )2 3 × 34 × 22 3 = 3× 2 6 = 6 33+ 4−1 × 2 = 6 36 × 2 = 6 36 × 6 2 =3 6 2. Puissance de racine Elle se ramène à une racine de puissance. En effet, on peut écrire : ( a) m p = m a ⋅ m a ⋅ m a ⋅⋅⋅⋅⋅ m a = m a⋅a⋅a⋅⋅⋅⋅a = m a p . Racine de racine La racine pième d’un nombre A, d’un nombre a : pm p A , s’écrit, si A est lui-même la racine mième a . Propriété La racine pième de la racine mième d’un nombre positif est égale à la racine d’indice mp de ce nombre : pm a = pm a. Pour démontrer ce théorème, désignons par x la valeur de valeur de pm a et par y, la pm a . On a, par application de la définition d’une racine : pm a = x p , soit : a = (x p)m On en déduit : x pm = y pm, ou : pm et : a = y pm. soit : x = y, a = pm a Si a est négatif, lorsque m et p sont des nombres impairs, cette formule est encore valable.