RACINE DE PUISSANCE

RACINE DE PUISSANCE
Racine de puissance
Nous avons défini la racine mième d’un nombre algébrique A. Il peut se faire que
A soit lui-même la puissance pième d’un nombre a. On aura alors une écriture de
la forme :
m p
m
a
A=
,
qui peut être formé et même souvent simplifié, comme nous l’avons déjà montré
sur des cas particuliers :
aa
48
=
,
aa
23 6
=
……
Ces transformations résultent d’une propriété plus générale que nous allons
démontrer :
On ne modifie pas la valeur de la racine positive d’ordre m de la puissance
p
ième
d’un nombre positif a, en multipliant ou en divisant l’indice m de la
racine et de l’exposant p de la puissance par un même entier n.
Appelons x la valeur de
m p
a
et y la valeur de
nm np
a
:
m p
a
x=
,
nm np
a
y=
.
On en déduit x
m
= a
p
et y
nm
= a
np
, par application de la définition d’une racine.
On a aussi :
a
np
= (a
p
)
n
,
ce qui donne avec a
p
= x
m
:
a
np
= (a
p
)
n
= (x
m
)
n
= x
nm
.
Les deux nombres x
nm
et y
nm
, étant égaux à un même nombre a
np
, sont égaux.
Donc x et y sont égaux, ce qui permet de bien d’écrire :
nm npm p
aa =
.
On passe bien de la première à la deuxième de ces deux expressions égales en
multipliant m et p par n, de la deuxième à la première en divisant nm et np par n.
Cas particulier.
Si p = 1, on a :
nm n
m
a
a=
.
Nota : On peut appliquer cette propriété aux nombres négatifs moyennant certaine
précaution. Ecrire par exemple :
a
a=
42
, si a < 0,
( a est dans ce cas imaginaire).
Réduction de radicaux au même indice
Considérons le rapport :
6
3
6
183
,

Nous allons voir qu’il est avantageux de la mettre sous forme d’une seule racine.
Les indices des racines sont : 2, 3, et 6 ; le plus petit commun multiple étant 6, on
peut écrire :
6 3
3
3=
,
6 2
3
18
18 =
,
et :
(
)
62
43
6
2
23
6
3
23 2
33
23 2
33
6
183
×
××
=
×
××
=
×
66
6 6
666 143
232
3
2
3
2
3=×=×=×=
−+
.
Puissance de racine
Elle se ramène à une racine de puissance. En effet, on peut écrire :
(
)
mmmm
p
m
aaaaa ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
mp
m
a
aaaa =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
.
Racine de racine
La racine pième d’un nombre A,
p
A, s’écrit, si A est lui-même la racine mième
d’un nombre a :
pm
a.
Propriété
La racine pième de la racine mième d’un nombre positif est égale à la racine
d’indice mp de ce nombre :
pm
pm
aa =
.
Pour démontrer ce théorème, désignons par x la valeur de
pm
aet par y, la
valeur de
pm
a
. On a, par application de la définition d’une racine :
x
a
p
pm
=
, soit : a = (x
p
)
m
et : a = y
pm
.
On en déduit :
x
pm
= y
pm
, soit : x = y,
ou :
pm
pm
aa =
Si a est négatif, lorsque m et p sont des nombres impairs, cette formule est encore
valable.