Exercice 10 page 219

Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE
Exercice 10 page 219
On considère deux évènements E1 et E2
 Référentiel propre, R : la Terre. Dans ce référentiel, les deux évènements ont lieu au même endroit.
La durée propre T0 qui sépare les deux évènements est mesurée par une horloge liée à la Terre,
proche du lieu où se déroulent les deux évènements.
 Référentiel R’ : l’astronaute.
Ce référentiel est en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à R.
Vitesse de l’astronaute dans le référentiel terrestre : 0,80.c
1.
2.
T '   .T0
1
1
1
 


 1, 7
v2
0,80 2.c 2
1 0,80 2
1 2
1
c
c2
T '  2.T0
1
 2
1
v2
c2
v2 1

c2 2
v2 1
1 2 
c
4
2
v
3

2
c
4
3
v
.c  0,86.c
4
1
Exercice 11 page 220
 Référentiel propre, R : l’astronaute. La durée propre T0 qui sépare deux évènements est mesurée
par une horloge liée à l’astronaute, proche du lieu où se déroulent les deux évènements. Dans ce
référentiel, les deux évènements ont lieu au même endroit.
 Référentiel R’ : la Terre.
Ce référentiel est en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à R.
Vitesse de la Terre dans le référentiel de l’astronaute : v = 0,90.c
Remarque : une année-lumière équivaut à 9,461.1015 m.
1 . Durée du trajet de l’astronaute pour un observateur terrestre :
d
T '
d 4,0.9, 461.1015
T '  
 1, 4.10 8 s
v 0,90.3,00.10 8
v
2 . Durée du trajet pour l’astronaute :
T '   .T0
T0  1
v2
0,90 2.c 2
.T
'

1
.T '  0, 44.1, 4.10 8  6,1.10 7 s
c2
c2
Exercice 12 page 220
Postulat A = relativité restreinte
Postulat B = mécanique classique
Exercice 14 page 220
1 . Supposons que l’extraterrestre « SamSam » embarque dans sa soucoupe une horloge à photon.
Cette horloge est constituée d’un cylindre de verre aux extrémités duquel on trouve deux miroirs plans
qui réfléchissent le photon l’un après l’autre. Supposons que lorsque SamSam survole Bordeaux, le
photon quitte le miroir du bas (événement 1) et que lorsqu’il survole Arcachon, le photon revienne sur le
miroir du bas après avoir été réfléchi par celui du haut (événement 2).
Horloge
à
photons
Arcachon
Bordeaux
L'
L'
L
trajectoire du photon dans le référentiel du sol (celui de Nicolas)
trajectoire du photon dans le référentiel de la soucoupe volante (celui de SamSam)
L
2 . Le référentiel propre est celui dans lequel les deux évènements ont lieu au même endroit. Il s’agit
donc de la soucoupe de SamSam. C’est donc SamSam qui va mesurer la durée propre T0.
3 . Durée du survol mesurée par (« le petit ») Nicolas : On connaît la vitesse de la soucoupe dans le
référentiel du sol :
2
D
v  .c  Bor/Arc
3
T '
3 DBor/Arc 3 49.10 3
T '  .
 .
 2,5.10 4 s
8
2
c
2 3,00.10
4 . Durée du survol mesurée par SamSam :
T '   .T0
2
T0  1
v2
 2
.T '  1   .T '  0, 75.2,5.10 4  1,9.10 4 s
2
 3
c
Exercice 15 page 220
1.
Evènement E1 : émission d’un signal lumineux
Evènement E2 : émission d’un second signal lumineux
2 . Le référentiel propre est la fusée. En effet, c’est dans ce référentiel que les deux évènements E1 et
E2 ont lieu au même endroit. La durée qui sépare l’émission de deux signaux lumineux consécutifs
dans ce référentiel est T0. On a :
T0 
1
1

 0,20s
f 5,0
3 . Dans le référentiel « Terre » : Soit T’’ la période mesurée du signal lumineux. On a :
T '   .T0 
1
2
v
1 2
c
.T0 
1
.0,20  0, 36s
250000.10 
1
3,00.10 
3 2
8 2
Exercice 16 page 221
1 . La durée TS est la durée propre, mesurée grâce à une horloge fixe dans le référentiel propre qu’est
la sonde. On peut en effet imaginer que cette horloge est une horloge à photon. On peut considérer les
deux évènements :
Evènement E1 : départ du photon du miroir inférieur de l’horloge ;
Evènement E2 : retour du photon sur le miroir inférieur après avoir été réfléchi par le miroir supérieur.
Les deux évènements ont lieu au même endroit si on se situe dans le référentiel de la sonde. La sonde
est bien le référentiel propre et TS est la durée propre.
2.
TR   .TS 
1
v2
1 2
c
.TS
3 . Soit v la vitesse de la sonde dans le référentiel héliocentrique. Soit dR la distance parcourue par la
sonde dans le même référentiel. Soit TR le temps mis par la sonde pour aller du Soleil à la nébuleuse
de la lyre. On a :
v
dR
TR
4.
v
2
dR
dR


TR  .TS
2
S
d R . 1
TS
v2
c2
2
v .T
v
 1 2
2
dR
c
 T 2 1 
v 2 . 2S  2   1
c 
 dR
 c 2 .TS2  d R2 
v 2 .
  1
c 2 .d R2

v
c.d R
c 2 .TS2  d R2
v  2, 7.10 8 m.s 1

3,00.10 8.9, 461.1015.42.10 3
3,00.10  .20000.365,25.24.3600   9, 461.10
8 2
2
15
.42.10 3 
2
Exercice 17 page 221
1.
 
1
1
v
c

v2
c2
0
0,200
0,400
0,600
0,800
0,900
0,995
1
1,02
1,09
1,25
1,67
2,29
10,0
2 . Représentation graphique :
12,00
10,00
Gamma
8,00
6,00
4,00
2,00
0,00
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
v/c
3 . v = 1228 km.h-1 = 341,1 m.s-1
1
 
1
v2
c2
2
v 2  341,1 

 1,29.10 12
2
8


c
3,00.10
Le mouvement du Thurst SSC peut parfaitement être étudié dans le cadre de la mécanique classique.
Les effets relativistes sont totalement négligeables…
4 . a . Quelle valeur de  correspond à une augmentation de 10% des durées ?
T '   .T0  T0 
  1
10
.T0
100
10
 1,1
100
4 . b . Pour quelle valeur de la vitesse relative v, en km.s -1, observe-t-on une telle dilatation des
durées ?
1
 v
1  
 c
2
   1,1
2
2
 1
 v
   1  
c
1,1
2
 1
 v
1     
 c
 1,1 
2
2
v
 1
 1    0, 42
 1,1 
c
5 . Pourquoi les effets de la relativité restreinte n’ont-ils été observés par l’homme que tardivement
dans l’histoire des sciences ?
On observe une dilatation des durées de 10% lorsque la vitesse relative de R’ par rapport à R est de
0,4.c. Les effets relativistes se font sentir qu’aux très grandes vitesses. Lorsque les vitesses sont peu
élevées par rapport à la vitesse de la lumière, il faut des horloges extrêmement précises pour mesurer
de telles dilatations des durées…(horloges atomiques).
Exercice 18 page 222
1.a.
Expression du travail de la force électrique (dans un champ électrostatique uniforme) :
uuur
WAB (Félec )  q.U AB
J
Expression de l’énergie cinétique :
1
Ec  .m.v 2
2
2.e.U
m
2.e.U
m
2.e.U
vc 
m
J
kg.m 2 .s 2
J.kg 1
m2 .s 2
m.s 1
m.s 1
1.b.
U(V)
1,00.102
1,00.103
1,00.104
1,00.105
1,00.106
1,00.107
vC(m/s)
5,93.106
1,87.107
5,93.107
1,87.108
5,93.108
1,87.109
U(V)
1,00.102
1,00.103
1,00.104
1,00.105
1,00.106
1,00.107
vC(m/s)
5,93.106
1,87.107
5,85.107
1,64.108
2,82.108
2,99.108
2 . Les prévisions de la mécanique classique sont valables pour des tensions qui ne dépassent pas 10 3
volts. La formule donnée par la mécanique de Newton est applicable tant que la vitesse de l’électron ne
dépasse pas 6 % de la vitesse de la lumière :
1,87.10 7
 6,25.10 2
8
2,99.10
3 . La vitesse limite vers laquelle peut tendre celle d’un électron est celle de la lumière. C’est une
vitesse inatteignable pour l’électron car cette particule a une masse non nulle.
4 . La mécanique classique est utilisable tant que la vitesse du système étudié ne dépasse pas environ
10 % de celle de la lumière.
Exercice 21 page 223
On définit deux évènements :
E1 : passage de l’avant de la navette à la verticale de Bill ;
E2 : passage de l’arrière de la navette à la verticale de Bill.
1 . Pour Bill, les deux évènements E1 et E2 ont lieu au même endroit (à sa verticale).
La Terre est donc le référentiel propre et Bill mesure bien la durée propre T0.
2 . Dans le référentiel terrestre, on peut écrire :
v
L2
T0
v
L1
T '
3.
L2
L
L1
 1 
T0 T '  .T0
L1   .L2
4 . a . Le référentiel propre est la navette. C’est par rapport à elle-même que la navette est immobile.
C’est donc Boule qui calcule la longueur propre.
4.b.
L1   .L2
1
 
v2
1 2
c
L1  L2
1
Boule, dans la navette, mesure une distance L1 supérieure à la distance L2 que Bill va mesurer au
niveau du sol. Il y a bien contraction des longueurs pour Bill (au même moment, il y a aussi dilatation
du temps).
5 . On a :
v  0,90.c
L1  30m
Que vaut L2 ?
L2  1
v2
.L1  1 0,90 2 .30  13m
2
c
Exercice 23 page 224
1 . Postulat d’Einstein : la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les
référentiels galiléens.
vB
A
vA
v photon = c + v
A
B
'
v photon
v photon
'
v photon
=c-v
B
Observateur
2 .  Dans le référentiel du lanceur (le plateau du manège), la balle A est lancée avec une vitesse vA.
Dans le référentiel du sol, la loi de composition des vitesses indique qu’il faut ajouter à vA la vitesse du
lanceur par rapport au sol. En effet, le lanceur lance la balle A dans le même sens que son propre
mouvement.
 Dans le référentiel du lanceur (le plateau du manège), la balle B est lancée avec une vitesse vB.
Dans le référentiel du sol, la loi de composition des vitesses indique qu’il faut soustraire à vA la vitesse
du lanceur par rapport au sol. En effet, le lanceur lance la balle B dans le sens opposé à son propre
mouvement.
Si vA = vB, on voit que la balle A va parvenir à l’observateur avant la balle B.
3 . Dans cette situation, on peut sans problèmes appliquer la loi classique de composition des vitesses
car la vitesse du lanceur par rapport au sol et celle de la balle par rapport au lanceur sont faibles et du
même ordre de grandeur.
4 . Dans l’expérience de DE SITTER, les deux lanceurs sont remplacés par deux étoiles tournant
autour de leur centre de gravité. Les balles sont remplacées par les photons émis par ces deux étoiles
en direction de l’observateur.
Si la loi classique de composition des vitesses s’appliquait aux photons émis par chaque étoile en
direction de l’observateur, ce dernier percevrait des photons « rapides », de vitesse (c + v) et des
photons « lents » de vitesse (c – v). L’image des étoiles doubles apparaîtrait alors brouillée. Le fait que
DE SITTER n’ait jamais observé d’images brouillées malgré de nombreuses observations est en
accord avec le postulat d’Einstein qui affirme qu’un photon, quelque soit le référentiel d’étude, se
déplace à la vitesse c (dans le vide).
Exercice 25 page 225
1 . Si :
v= c
Alors :
 1
ur
ur
ur
prelat.   .pclass.  pclass.
2 . Une particule n’est pas relativiste si :
prelat .  pclass.
 1%
pclass.
1
prelat .  pclass. 
.pclass.
100
1 

prelat .  pclass.  1
 1,01.pclass.
 100 
 .m.v  1,01.m.v
  1,01
Or :
 
1
1
v2
c2
d’où :
1
v 2max
1

2
c
1,01
v 2max
1
1 2 
c
1,012
v 2max
1
 1
2
c
1,012
vmax  c. 1
1
 0,14.c
1,012
Conclusion : une particule n’est pas relativiste tant que sa vitesse ne dépasse pas 14% de celle de la
lumière.
Exercice 26 page 225
1 . Dans le vide, l’énergie relativiste totale d’une particule de masse m s’exprime par :
 2  p 2 .c 2  m 2 .c 4
Or :
p   .m.v
d 'où :
1
.m 2 .v 2 .c 2  m 2 .c 4
v2
1 2
c
2
 v2

v
 2  2 2 .m 2 .c 4  m 2 .c 4   2 2  1 .m 2 .c 4
c v
c v

 2   2 .m 2 .v 2 .c 2  m 2 .c 4 
 c2  2 4
.m .c   2 .m 2 .c 4
 c 2  v 2 
2  
   .m.c 2
2 . L’énoncé précise que l’énergie relativiste totale d’une particule est égale à la somme de son énergie
cinétique relativiste et de son énergie de masse :
  c  0
 c     0   .m.c2  m.c2   1.m.c2
3.a.

 m.c 2

Si la particule n’a pas de masse, alors :

0

3.b.
12,00
10,00
Pour une telle particule, le coefficient gamma
tend vers l’infini.
Gamma
8,00
6,00
Cela signifie donc que le rapport v / c tend vers 1.
4,00
3 . c . La valeur de la vitesse dans le vide d’une
particule de masse nulle est nécessairement
égale à celle de la lumière.
2,00
0,00
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
v/c
4 . a . Formule vue en première :
 photon  h. 
h.c

4 . b . Energie du photon en fonction de p et de c :
 2  p 2 .c 2  m 2 .c 4
or : m photon  0
d 'où :   p.c
4.c.
  p.c 
p
h.c

h

_________________