Habilitation à Diriger des Recherches - Loïck Lhote

Habilitation à Diriger des Recherches
Pour obtenir le diplôme d’habilitation à diriger des recherches
Spécialité INFORMATIQUE
Préparée au sein de l’Université de Caen, Normandie
Exemples d’analyses d’algorithmes en Arithmétique,
Théorie de l’Information et Fouille de Données.
Présentée et soutenue par
Loïck LHÔTE
HDR soutenue publiquement le 9 décembre 2016
devant le jury composé de
Frédérique BASSINO
Professeure, LIPN, Université de Paris 13
Rapporteure
Bruno SALVY
DR INRIA, LIP, ENS Lyon
Rapporteur
Hsien-Kuei HWANG
Chercheur, Institute of Statistical Science,
Academia Sinica, Taiwan
Rapporteur
Lhouari NOURINE
Professeur, LIMOS , Université Blaise Pascal
Examinateur
Bruno CRÉMILLEUX
Professeur, GREYC, Université de Caen
Normandie
Examinateur
Julien CLÉMENT
CR CNRS, HDR, GREYC, Université de Caen
Normandie
Examinateur (Directeur de l’HDR)

ii

Sommaire
Introduction 1
Publications 3
Chapitre 1 Analyses probabilistes d’algorithmes : principes et méthodes 5
1.1 Objectifs des analyses d’algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Combinatoireanalytique................................ 7
1.2.1 Démarcheglobale................................ 7
1.2.2 Classes combinatoires et séries génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Probabilités sur les classes combinatoires et séries génératrices . . . . . . 8
1.2.4 Méthode symbolique : opérations sur les classes et les séries . . . . . . . . 9
1.2.5 Les séries génératrices : des objets analytiques . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Analysedynamique................................... 12
1.3.1 Démarcheglobale................................ 12
1.3.2 Systèmedynamique .............................. 13
1.3.3 Sources dynamiques et mots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 Opérateurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5 Manipulations formelles des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.6 Séries génératrices et opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.7 Les opérateurs : un outil analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Conclusion ....................................... 18
Chapitre 2 Analyses des algorithmes de calcul du PGCD 21
2.1 Contexte......................................... 22
2.2 Présentation des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 AlgorithmedeKnuth ............................. 23
2.2.3 AlgorithmedeBrun .............................. 24
2.3 Paramètres étudiés et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii

Sommaire
2.3.1 Paramètres des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Notions de tailles et modèles probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Principaux résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Ébauchedepreuve................................... 34
2.4.1 Établir les systèmes dynamiques et les trajectoires . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Séries génératrices d’intérêt et opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3 Propriétés spectrales et analytiques des opérateurs et des séries génératrices 37
2.4.4 Théorèmes de transfert et fin de l’analyse en moyenne . . . . . . . . . . . 37
2.4.5 Vers une analyse en distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.6 Conclusion ................................... 39
2.5 Autresrésultats..................................... 39
2.5.1 Algorithme d’Euclide et de Knuth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.2 Algorithme de Knuth-Schönhage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Conclusion et perspectives de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chapitre 3 Réseaux euclidiens et modélisations de l’algorithme LLL 43
3.1 Réseaux euclidiens et algorithme LLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 Réseaux euclidiens, bases et réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 Orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.3 Principes de l’algorithme LLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.4 Analyses probabilistes connues de LLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Modélisations de LLL et des réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Modélisations de LLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Modèle aléatoire de réseaux euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Principauxrésultats .................................. 51
3.3.1 Probabilité et potentiel de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Nombre d’itérations du modèle M2...................... 51
3.3.3 Nombre d’itérations du modèle M3...................... 52
3.4 Conclusion ....................................... 52
Chapitre 4 Sources, taux d’entropie renormalisés et mots 55
4.1 Calcul explicite de taux d’entropie généralisés et renormalisés . . . . . . . . . . . 56
4.1.1 Contexte .................................... 56
4.1.2 Hypothèses et principaux résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.3 Valeurs explicites des taux d’entropie renormalisés . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.4 Application au calcul de taux d’entropie renormalisés . . . . . . . . . . . 66
4.2 Combinatoire des motifs cachés avec les sources dynamiques . . . . . . . . . . . . 67
iv

4.2.1 Contexte .................................... 67
4.2.2 Notations et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Conclusion ....................................... 70
Chapitre 5 Hypergraphes et fouille de données 73
5.1 Hypergraphes et Extraction de motifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.1 Hypergraphes et traverses minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.2 Énumération des traverses minimales : contexte . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Liens avec la fouille de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Modèles d’hypergraphes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.1 Modèle à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.2 Modèle à plusieurs paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Résultats obtenus dans le modèle univarié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4.1 Nombre moyen de traverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4.2 Nombre moyen de non-redondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4.3 Nombre moyen de traverses minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5 Résultats obtenus dans le modèle multivarié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.5.1 Borne inférieure sur le nombre de traverses . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5.2 Borne supérieure sur le nombre de non-redondants . . . . . . . . . . . . . 83
5.5.3 Nombre moyen de traverses minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6 Analyse de l’algorithme MTMiner .......................... 84
5.6.1 Présentation de l’algorithme et complexité moyenne . . . . . . . . . . . . 84
5.7 Perspectives....................................... 85
Conclusion 87
Bibliographie 89
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