Algorithme de Remez
Introduction à l’Analyse Numérique
a b
f
p∗
FIGURE 1 – Meilleure approximation
Commençons par rappeler le problème. Soit f:
[a,b]→Rune fonction continue définie sur un inter-
valle borné [a,b]et n∈N. On cherche
p∗∈Pntel que |f−p∗|∞=inf|f−p|∞
p∈Pn
où Pndésigne l’ensemble des polynômes de degré au
plus net |–|∞est la norme du sup sur C([a,b];R). Un tel
p∗existe toujours, est unique, et est appelé le meilleur
approximant de f . Une caractérisation de ce polynôme
est donné par le théorème d’équi-oscillations de Cheby-
shev :
Théorème (Chebyshev, 1854) Un polynôme p∗∈Pn
est le meilleur approximant de f sur [a,b]si et seule-
ment s’il existe n+2points a 6x0<x1<···<xn+16b
tels que
∀i=0,...,n+1,f(xi)−p∗(xi) = (−1)iE
avec |E|=|f−p∗|∞(5)
L’équation (5) peut se lire en disant que l’erreur max-
imale |f−p∗|∞commise en remplaçant fpar p∗est
atteinte en n+2 points de manière oscillante. Ceci est
représenté à la figure 1où les points (xi,f(xi)) sont
tracés en rouge. Ce résultat forme la base de l’algo-
rithme pour estimer p∗que nous allons à présent présen-
ter.
L’idée est la suivante : si les n+2 points xiétaient connus, il suffirait de résoudre le système
linéaire de n+2 équations
p∗(xi)+(−1)iE=f(xi),06i6n+1,(6)
pour trouver p∗et E.
(a) Prouvez que, sous l’hypothèse qu’au moins n+1 des n+2 points xisont distincts, le système
linéaire (6) possède une et une seule solution (p∗,E)∈Pn×R.
INDICATION (à détailler si vous l’utilisez) : Montrez que le noyau de l’application linéaire as-
sociée au système est réduit à {0}de manière similaire à ce qui a été fait pour l’interpolation.
Le théorème des valeurs intermédiaires vous sera utile.
Bien entendu, nous ne connaissons pas a priori les points xi. Nous allons donc chercher à les
estimer par approximations successives, sachant qu’ils sont des minimums ou maximums locaux
de l’erreur x7→ f(x)−p∗(x).
Pour initialiser la méthode de Remez, on prend le polynôme p0∈Pnqui interpole fsur les
n+1 nœuds de Chebyshev de l’intervalle [a,b](voir la figure 2). Comme l’erreur commise par
p0s’annule en les n+1 points d’interpolation (points bleus sur la figure 3), on peut trouver n+2
points x0
0<x0
1<··· <x0
n+1qui sont des minimums ou des maximums de l’erreur e0:=f−p0sur
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