Calcul Booléen et Circuits Logiques

Chapitre 7
Calcul Bool´een et Circuits
Logiques
7.1 Traitement Logique et Machine
7.1.1 Exemple
Nos raisonnement sont usuellement simples :
si ma voiture ne marche pas et il pleut alors je prends le metro
Ils sont form´es de :
1. Propositions
(a) ma voiture marche v
(b) il pleut p
(c) je prends le metro m
`a valeur Vrai ou Faux (1 ou 0)
2. Connecteurs logiques : ∨,∧,¬,⇒, . . . permettant de combiner les pro-
positions
p∨ ¬v⇒m
3. R`egles de calcul pour donner une s´emantique : Vrai et Vrai donne Vrai
(ou 1 ∨1 = 1)
Les raisonnements simples comme ci-dessus peuvent s’exprimer dans un
cadre formel qui est un calcul particulier appel´e calcul bool´een.
77

78 CHAPITRE 7. CALCUL BOOL ´ EEN ET CIRCUITS LOGIQUES
7.1.2 Calculs logique et machines
Calcul bool´een invent´e par le logicien George Boole bas´e sur 2 valeurs 0
et 1.
Repr´esentable physiquement par des m´ecanismes ´electroniques (tran-
sistors) : une tension strictement positive repr´esente 1, une tension nulle
repr´esente 0. Ouvrir ou fermer le circuit revient `a passer de 1 `a 0 et r´eciproquement.
Que peut-on r´ealiser :
– 18`eme si`ecle : Leibniz pense que toutes les math´ematiques pourront
se ramener `a un calcul.
– 19`eme si`ecle : Boole invente le calcul Bool´een (aussi appel´e calcul
propositionnel) que nous allons voir.
– fin 19`eme-20`eme si`ecle :
– Frege invente le formalisme de la logique du premier ordre (quanti-
fication ∀,∃, variables,. . . )
– Turing invente un mod`ele de machine et la th`ese de Church-Turing
postule que toutes les fonctions calculables par une machine le sont
par une machine de Turing.
– Godel montre que les math´ematiques contiennent des fonctions non-
calculable (th´eor`emes d’incompl´etude).
– Von Neuman d´ecrit les principes de fonctionnement des ordinateurs
(s´equentiels).
Le calcul bool´een est r´ealisable par des composants mat´eriels : les circuits
logiques (qu’on fabrique avec des transistors) qui sont les composants de base
du microprocesseur. Nous verrons comment ils sont combin´es dans l’Unit´e
Arithm´etique et Logique qui est la partie du microprocesseur qui effectue
les calculs arithm´etiques et logiques en lequel la majorit´e des op´erations
complexes de l’utilisateur se r´eduisent.
7.2 Calcul Bool´een et circuits logiques
7.2.1 Calcul Bool´een
Objets :
– valeurs de v´erit´e : B={0,1}
– variables propositionnelles : x1, x2, . . . `a valeurs dans B
– fonctions bool´eennes `a nvariables n= 0,1, . . . :f:Bn=B×. . . B →
B
– connecteurs logiques : ce sont des fonctions particuli`eres de B×B→B
ou B→B

7.2. CALCUL BOOL ´ EEN ET CIRCUITS LOGIQUES 79
S´emantique : ϕ:Bn→Bd´etermin´ee par sa table de v´erit´e (le graphe
de la fonction qui est fini car le domaine de d´epart est fini).
Exemple : Tables du ET logique, not´e ici comme une multiplication ·,
du OU logique, not´e comme un addition, de la n´egation de x, not´ee x, de
l’implication x⇒yet du OU exclusif, not´e x⊕y.
x y x.y x +y x x ⇒y x ⊕y
0 0 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 1 0 1 0
R`egles de calcul : Notation arithm´etique des connecteurs logiques.
. le ET
+ le OU
¯ le non
Alors (B, +, .,¯) est une alg`ebre bool´eenne :
– +, . sont des lois internes associatives et commutatives, 0 neutre pour
+, 1 neutre pour .,
–x+ ¯x= 1 et x.¯x= 0,
– Distributivit´e : (x+y).z =x.z +y.z et (x.y) + z= (x+z).(y+z)
Noter la similitude entre les op´erations logiques et les op´erations ensem-
blistes union, intersection, compl´ement.
Remarque : les ´el´ements n’ont pas d’inverse pour + (ni pour .). Pour
avoir un inverse il faut utiliser une autre addition le ou exclusif ⊕que
nous verrons plus loin.
7.2.2 Fonction bool´eennes de bases et circuits
Les fonctions bool´eennes de base peuvent se r´ealiser par des circuits
logiques combinatoires. Ces circuits se repr´esentent de mani`ere convention-
nelle avec des fils d’entr´ee (un par variable de la fonction) qui transmettent
la valeur de la variable correspondante et un fil de sortie qui transmet la
valeur calcul´ee par le circuit. Pour simplifier, on suppose que le calcul de la
fonction par le circuit est instantan´e (En r´ealit´e, il y a un d´elai - quelques
nanosecondes - entre le moment o`u les entr´ees arrivent et celui o`u la sortie
est disponible, d´elai que les fabriquant de circuits int´egr´es doivent prendre
en compte). On parlera de portes logiques pour ces circuits de base (porte
ET, porte OU. . . ). D’un point de vue physique, les signaux d’entr´ee sont
transform´es en le signal de sortie.

80 CHAPITRE 7. CALCUL BOOL ´ EEN ET CIRCUITS LOGIQUES
Not Cette fonction prend la n´egation de son entr´ee, le circuit correspon-
dant est un inverseur dont la repr´esentation graphique est indiqu´ee dans la
figure 7.1.
x z =not x
0 1
1 0
x z=not x
Figure 7.1 – L’inverseur
AND Cette fonction prend le ET logique de ses entr´ees, le circuit cor-
respondant est une porte ET dont la repr´esentation graphique est indiqu´ee
dans la figure 7.2.
x y z =x.y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
x
yz=x.y
Figure 7.2 – Porte AND
OR Cette fonction prend le OU logique de ses entr´ees, le circuit correspon-
dant est une porte OU dont la repr´esentation graphique est indiqu´ee dans
la figure 7.3.

7.2. CALCUL BOOL ´ EEN ET CIRCUITS LOGIQUES 81
x y z =x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
y
x
z=x+y
Figure 7.3 – Porte OR
Not AND Cette fonction prend la n´egation du ET logique de ses entr´ees,
le circuit correspondant est une porte AND suivie d’un inverseur repr´esent´ee
dans la figure 7.4.
x y z =NOT (x.y)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
x
yz=not(x.y)
Figure 7.4 – Porte NAND
Not OR Cette fonction prend la n´egation du OU logique de ses entr´ees,
le circuit correspondant est une porte OR suivie d’un inverseur repr´esent´ee
dans la figure 7.5.